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Questões de Integrais de Linha e Teorema de Green 1. Calcule a massa de um pedaço de arame cuja forma é descrita pela curva �! (t) = D 6t2; 4 p 2t3; 3t4 E ; 0 � t � 1: e a densidade é �(x; y; z) = 6 + jxj : Resp.: 84: 2. Calcule o comprimento da curva �! (t) = � t2 2 ; t3; p 2t2 � ; 0 � t � 1: Resp.: 2 p 2� 1: 3. Calcule a área da parte do plano x + y = 1 que está no primeiro octante e é limitada acima pelo parabolóide z = x2 + y2: Resp. 2 p 2 3 : 4. Calcule a área da superfície do cilindro x2 + y2 = 1 que está acima do plano xy e abaixo do plano x+ y + z = 1: Resp.: 3� 2 + 2: 5. Considere o campo vetorial �! F = hy;�x; ezi e a curva C; interseção do parabolóide z = 4� x2 � y2 com o plano z = 4� x: Calcule a integral Z C �! F � d�!r : Resp.:�� 2 : 6. Calcule a integral Z C (ey � xex � x5ex)dx+ (x+ y5)eydy em que C é a parte da cuva y = x200 que liga o ponto (0; 0) ao ponto (1; 1) : Resp.: e� 1: 7. Calcule a integral Z C (1 + ln x+ ey)dx+ (xey + sen3(y))dy em que C é segmento de reta que liga o ponto (1; 0) ao ponto (e; �) : Resp.: e+ e�+1 + 1 3 : 8. Calcule o trabalho realizado pelo campo �! F (x; y) = x(x2 + y2) �! i + y(x2 + y2) �! j para mover uma partícula ao longo da curva dada por 9x2 + 4y2 = 36; x � 0; do ponto (2; 0) até o ponto (0; 3) : Resp.: 65 4 : , 9. Utilize o Teorema de Green para calcular o trabalho realizado pelo campo �! F (x; y) = �3y5�!i + 5y2x3�!j para mover uma partícula ao longo da circunferência x2 + y2 = 4; partindo do ponto (2; 0) e retornando a este ponto apenas uma vez. Resp.: 160�: 10. Calcule a integral Z C (ex + 2xy)dx+ (x2 + cos�y)dy em que C é a parte da parábola y = x2 de (�1; 1) até (1; 1) : Resp.: e1 � e�1: 11. Utilize o Teorema de Green para calcular o trabalho realizado pelo campo �! F (x; y) = � x4 � 3y4��!i + y(1 + 4x3)�!j para mover uma partícula ao longo do quarto de círculo x2 + y2 = 1 com x � 0 e y � 0; do ponto (1; 0) até o ponto (0; 1) : Resp.: 27 10 : 12. Utilizando o Teorema de Green calcule o trabalho realizado pelo campo �! F (x; y) = � 3y 5 x2 + y2 �! i + 5y2x3 x2 + y2 �! j : para mover uma partícula ao longo da circunferência x2 + y2 = 1; partindo do ponto (1; 0) e retornando a este ponto apenas uma vez (no sentido anti-horário). Resp.: 5� 2 : 13. Aplicando o Teorema de Green, calcule a integralZ C y 4x2 + y2 dx� x 4x2 + y2 dy; em que C é o círculo x2 + y2 = 4 orientado no sentido anti-horário. Resp.: ��:
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