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�
 1
GABARITO – GE2 APLICAÇÕES DO MHS 
 
GE2.10) Resolva estes Exercícios de Fixação. 
 
GE 2.10.1) A escala de uma balança de mola que indica de zero até 200 N possui comprimento 
igual a 12,5 cm. Um peixe pendurado na extremidade inferior da mola oscila verticalmente com 
2,60 Hz. Qual é a massa do peixe? Despreze a massa da mola. 
 Resposta: Como 
m
k
f
π2
1
= , 
22
4 f
k
m
π
= sendo m�
m
�
k /1600
125,0
200
== 
Portanto m = 6,00 Kg 
Critério de correção: 100%(- 5% erro de conta; -5% algarismos significativos) ou 20% para um 
desenvolvimento satisfatório mas incorreto. A resposta é dada com três significativos. 
GE 2.10.2) Você deseja determinar o momento de inércia de um objeto não regular em relação a 
um eixo passando por seu centro de massa (CM) e suspende o objeto. Você torce ligeiramente o 
objeto em torno deste eixo e o liberta, cronometrando 125 oscilações em 265s. A constante de 
torção do fio é igual a 0,450 N.m/rad. Qual é o momento de inércia do objeto em relação a esse 
eixo? 
Resposta: De 
κ
I
T = temos que
( )
2
22
2
.16,1
265
125
/.450,0
mKg
s
radm�
f
TI ====
κ
κ 
Critério de correção: 100%(- 5% erro de conta; -5% algarismos significativos) ou 20% para um 
desenvolvimento satisfatório mas incorreto. A resposta é dada com três significativos. 
GE 2.10.3) Por que um cão com pernas curtas (como o da raça Chihuahuas) caminha dando 
passos mais freqüentes do que um cão com pernas altas (como o cão dinamarquês)? 
Resposta: Basta imaginarmos as pernas dos cães como sendo pêndulos (físicos no caso). Aquele que 
tiver pernas menores terá períodos menores, considerando sua perna uma haste; portanto o eixo de 
rotação passa por uma das extremidades de suas pernas junto ao corpo. Sendo assim o momento de 
inércia desse (Chihuahuas) será menor e como 
κ
I
T = 
ele terá passos mais freqüentes que um de pernas mais longas. 
2.10.4) Um objeto de massa m move-se com movimento circular uniforme no plano xy. O círculo 
possui raio R e o objeto se move em seu entorno com velocidade v. O movimento é projetado no 
eixo x onde sua aparência é a de um movimento harmônico simples obedecendo à equação x(t) 
= R cos(ω t + φ). 
 Nesta projeção ω vale: 
(a) v/R 
(b) m2R 
(c) R/v 
(d) v/(R sen(ω t) 
Resposta: Como a freqüência angular e a velocidade angular devem ser as mesmas para existir 
correspondência entre os dois movimentos a alternativa a deve ser a correta. 
 2
Nesta projeção φ vale: 
(a) 0 
(b) vt/ω 
(c) π 
(d) φ não pode ser determinada com as informações dadas 
Resposta: Para a determinação da constante de fase φ seria necessário conhecermos a posição inicial 
do objeto, portanto não é possível determinar φ com os dados do problema e a alternativa correta é a 
d. 
Critério de correção: Cada item vale 50% se as justificativas estiverem corretas. 
GE2.10.5) Após o regime transiente, um oscilador amortecido forçado oscilará com: 
(a) a freqüência de excitação; 
(b) a freqüência do oscilador amortecido livre. 
(c) a freqüência do oscilador não-amortecido livre 
(d) qualquer das freqüências anteriores, pois são todas idênticas 
Resposta: Regime Transiente é o intervalo de tempo (pequeno) que o sistema leva para acoplar o seu 
movimento ao regime externo. Portanto, nesse regime, o oscilador amortecido forçado oscilará com a 
freqüência de excitação. 
Critério de correção: 100% para uma justificativacorreta. 
 
GE2.10.6) A freqüência de ressonância de um oscilador amortecido forçado é igual a: 
(a) a freqüência de excitação; 
(b) a freqüência do oscilador amortecido livre. 
(c) a freqüência do oscilador não-amortecido livre 
(d) qualquer das freqüências anteriores, pois são todas idênticas 
Resposta: A ressonância ocorre quando a freqüência da força externa é igual à freqüência natural de 
oscilação do sistema, o que causa um aumento na amplitude do movimento. Então a freqüência de 
ressonância deve ser igual á freqüência de excitação. 
Critério de correção: 100% para uma justificativa correta. 
 
 
 1
GABARITO – GE2 APLICAÇÕES DO MHS 
 
GE2.11) PROBLEMAS 
 
GE2.11.1) Depois de pousar em um planeta desconhecido, uma exploradora do espaço constrói 
um pêndulo simples de 50,0 cm de comprimento. Ela verifica que o pêndulo simples executa 100 
oscilações completas em 136 s. Qual é o valor de g neste planeta? 
 
Utilizando a equação que nos fornece o período de um pêndulo simples, temos: 
 
( )
2
2
2
22
2
2
7,10
136
100500,04
4
4
2
s
mg
s
mg
Lfg
T
Lg
g
LT
=⇒
××=⇒
=⇒
=⇒
=
π
π
π
π
 
Critério de correção:100% ou 0%(- 5% erro de conta; -5% algarismos significativos; -5% ordem 
de grandeza). A resposta é dada em três algarismos significativos. 
GE2.11.2) Enche-se uma esfera oca com água através de um pequeno orifício. A esfera é 
suspensa por um fio longo, posta para oscilar e, enquanto a água escorre pelo orifício no fundo, 
observa-se que, inicialmente, o período aumenta e, em seguida, diminui. Explique este 
fenômeno. 
 
O sistema (fio/esfera com água) é um pêndulo físico. Logo, para pequenas oscilações, o período T 
desse sistema é dado por: 
 
Mgd
I
T π2= 
 
onde d é a distância do ponto de fixação do fio ao centro de massa da esfera. 
 
Neste caso, temos essencialmente 3 variáveis no sistema: a massa, o momento de inércia e a distância 
d, do centro de massa ao ponto de fixação. 
 
À medida que a água vai escorrendo pelo orifício a massa diminui. 
 
Também a distribuição de massa, descrita pelo momento de inércia muda de uma casca esférica cheia 
de água pendurada por um fio, por um conjunto de casca esférica semi-preenchida com água, cuja 
massa decresce até uma casca esférica vazia; ou contendo somente ar no interior . 
E o centro de massa varia e conseqüentemente a distância d varia desde o centro da esfera até uma 
ponto de mínimo devido à água que escorre até ao centro da casca esférica, quando a mesma não 
contém mais água. 
 
 2
O cálculo da variação do período depende então da variação destas três grandezas que dependem das 
dimensões e densidade da casca esférica e fluxo da água que escorre, bem como do comprimento do 
fio. 
Critério de correção: 100% para a justificativa correta ou 20% para um desenvolvimento 
satisfatório mas incompleto. 
GE2.11.3) Como é afetado o período de um pêndulo quando seu ponto de sustentação se 
desloca: 
(a) horizontalmente no plano de oscilação, com aceleração a ; 
 
Quando o ponto de sustentação de um pêndulo desloca-se horizontalmente com uma aceleração a o 
pêndulo pára de oscilar. Pois, todo o sistema deve mover-se com a mesma aceleração horizontal a, e 
dessa forma, o pêndulo deve alcançar uma posição em que a resultante das forças que atuam sobre 
ele irá produzir uma aceleração resultante igual a a. 
 
(b) verticalmente para cima, com aceleração a; 
 
Quando o ponto de sustentação de um pêndulo desloca-se verticalmente para cima com uma 
aceleração a o período do pêndulo diminui. Pois, a força restauradora que tende a trazer o sistema de 
volta a posição de equilíbrio é igual: 
 
 
θθ sensen mamgF
maPF
maF
rest
xxrest
−=+
=+
=∑
 
 
θθ sensen mamgFret −−= 
Supondo o eixo y positivo no sentido para cima (contrário à aceleração gravitacional). Para pequenos 
ângulos senθθθθ ~θθθθ , a força restauradora é proporcional ao deslocamento, condição para que ocorra o 
MHS, e o período do pêndulo dado por: 
 
( )
ag
L
T
ag
L
m
m
T
+
=
+
=
π
π
2
2
 
 
Como pode ser visto, a partir da equação acima, o período do pêndulo diminui. 
Critério de correção: 100% para uma justificativa correta ou 20% para uma resposta satisfatória 
mas incompleta. (Essa questão já foi pedida no guia de estudo, G.E.2.3.5) 
(c) verticalmente pra baixo, com aceleração a < g e a > g 
 
Quando o ponto de sustentação de um pêndulo desloca-se verticalmente para baixo com uma 
aceleração a < g o período do pêndulo aumenta. Pois, a força restauradora que tende a trazer o 
sistema de volta a posição de equilíbrio é igual: 
 
 3
θθ sensen mamgF
maPF
maF
rest
xxrest
=+
=+
=∑
 
 
θθ sensen mamgFrest +−= 
 
para pequenos ângulos senθθθθ ~θθθθ , a força restauradora é proporcional ao deslocamento, condição para 
que ocorra o MHS, e o período do pêndulo dado por: 
 
( )
ag
L
T
ag
L
m
m
T
−
=
−
=
π
π
2
2
 
 
como pode ser visto, a partir da equação acima, o período do pêndulo aumenta. 
 
Quando o ponto de sustentação de um pêndulo desloca-se verticalmente para baixo com uma 
aceleração a > g o pêndulo para de oscilar. Pois, todo o sistema deve mover-se com a mesma 
aceleração vertical a, e dessa forma, o pêndulo alcança uma posição em que a resultante das forças 
que atuam sobre ele irá “puxa-lo” para baixo com uma aceleração resultante igual a a. 
Critério de correção: 100% para uma justificativa correta ou 20% para uma resposta satisfatória 
mas incompleta. 
(d) Alguns destes casos se aplicam a um pêndulo montado em um carro que desce por uma 
ladeira? 
 
A situação em que um pêndulo é montado em um carro que desce uma ladeira, pode ser considerada 
como uma mistura dos casos (a) e (c) anteriores, com a < g no caso (c). 
Critério de correção: 100% ou 0%. 
GE2.11.4) Um pêndulo físico consiste em um disco sólido uniforme de massa M = 563g e raio R = 
14,4 cm, mantido no plano vertical por um eixo preso a uma distância d = 10,2 cm do centro do 
disco, conforme mostrado na figura ao lado. Desloca-se o disco de um pequeno ângulo e, em 
seguida, ele é liberado. Encontre o período do movimento harmônico resultante. 
 
 
 
Utilizando a equação que nos fornece o período de um pêndulo físico, temos: 
 
 4
sT
gd
dR
T
Mgd
MdMR
T
Mgd
I
T
907,0
2
1
2
2
1
2
2
22
22
=
+
=
+
=
=
π
π
π
 
 
onde, o teorema dos eixos paralelos foi utilizado para calcularmos o momento de inércia do disco em 
relação ao ponto d. 
Critério de correção:100% ou 0%(- 5% erro de conta; -5% algarismos significativos; -5% ordem 
de grandeza). A resposta é dada em três algarismos significativos. 
GE2.11.5) Uma mola de massa desprezível e constante k = 400 N/m está suspensa verticalmente 
e um prato de 0,200 kg está suspenso em sua extremidade inferior. Um açougueiro deixa cair 
sobre o prato de uma altura de 0,40 m uma posta de carne de 2,20 kg. A posta de carne produz 
uma colisão totalmente inelástica com o prato e faz o sistema executar um MHS. Calcule: 
(a) a velocidade do prato e da carne logo após a colisão; 
 
Utilizando a conservação de energia, para o momento imediatamente antes da posta de carne colidir 
com o prato, temos: 
s
mv
ghv
mvmgh
80,2
2
2
1 2
=
=
=
 
 
tendo em vista que a colisão é totalmente inelástica, e utilizando o principio da conservação da 
quantidade de movimento, temos: 
 
( )
s
mv
mM
Mv
v
mMvMv
mvMvMv
f
f
f
ff
57,2=⇒
+
=⇒
+=
+=
 
Critério de correção:100% ou 0%(- 5% erro de conta; -5% algarismos significativos; -5% ordem 
de grandeza). A resposta é dada em três algarismos significativos.(b) a amplitude da oscilação subseqüente; 
 
Inicialmente, o prato encontra-se a uma distancia x da posição de equilíbrio do sistema prato/posta. 
Iremos utilizar a Lei de Hooke para encontrar essa distância x. 
 5
 
mx
k
Mg
x
kxMg
kxF
0538,0−=
=
−=−
−=
 
 
a energia mecânica desse sistema é dada por: 
 
( )
JE
kxvmME
UKE
f
50,8
2
1
2
1 22
=
++=
+=
 
 
utilizando o valor de E obtido acima, podemos calcular o valor da amplitude de oscilação do sistema: 
mx
k
Ex
kxE
206,0
2
2
1
max
max
2
max
=
=
=
 
Critério de correção: 100% ou 0%(- 5% erro de conta; -5% algarismos significativos; -5% ordem 
de grandeza). A resposta é dada em três algarismos significativos. 
 
(c) o período do movimento. 
 
Utilizando a equação para o período do sistema massa-mola, temos: 
 
sT
k
mM
T
487,0
2
=
+
= π
 
 
GE2.11.6) Um bloco de massa M repousa 
sobre uma superfície sem atrito e está preso 
a uma mola horizontal cuja constante é k. A 
outra extremidade da mola está presa a uma 
parede, como na figura ao lado. Um segundo 
bloco de massa m repousa sobre o primeiro. 
O coeficiente de atrito estático entre os 
blocos é µe. Ache a amplitude 
máxima da oscilação para que o bloco 
superior não deslize sobre o 
bloco inferior. 
 
 
 
Estando o segundo bloco em repouso sobre o primeiro, os dois blocos devem estar sujeitos a mesma 
aceleração a. Assim, os dois blocos estão sujeitos a uma aceleração a dada por: 
 
 6
( )
mM
kx
a
amMkx
+
−
=⇒
+=−
 
 
O segundo bloco está sujeito a uma força cujo módulo é ma. Logo, a amplitude máxima de oscilação 
que esse sistema pode ter, sem que o bloco superior deslize, é dada por: 
 
( )
k
mMg
x
mM
kx
mmg
mamg
e
m
e
e
+
=
+
=
=−
µ
µ
µ
 
Critério de correção: 100%(- 5% erro de conta) ou 20% para um desenvolvimento satisfatório 
mas incorreto. 
GE2.11.7) Um ovo de 50,0 g fervido durante muito tempo está preso na extremidade de uma mola 
cuja constante é k = 25,0 N/m. Seu deslocamento inicial é igual a 0,300 m. Uma força de 
amortecimento F = - bv atua sobre o ovo e a amplitude do movimento diminui de 0,100 m em 5,00 
s. Calcule o módulo da constante de amortecimento b. 
 
( ) ( )
( )
( )
s
kg
b
t
m
b
e
e
mtx
mtx
textx
m
bt
m
bt
m
bt
m
3
2
2
2
1011,8
300,0
200,0
ln
2
ln
300,0
200,0
ln
300,0200,0
200,05
300,00
cos
−
−
−
−
×=






−=








=





=
==
==
+′= φω
 
Critério de correção: 100%(- 5% erro de conta; -5% algarismos significativos).A resposta é dada 
com três significativos. 
GE2.11.8) Um oscilador harmônico amortecido consiste em um bloco (m = 1,91 kg), uma certa 
mola (k = 12,6 N/m) e uma força amortecedora F = - bvx. Inicialmente, o bloco oscila com 
amplitude de 26,2 cm; por causa do amortecimento, a amplitude reduz-se para três quartos 
desse valor inicial, após quatro ciclos completos. 
(a) Qual o valor de b?; 
 
SUPONDO QUE O AMORTECIMENTO É PEQUENO, 
 7
2
2
2
22
2





−
=
′
=





−=′
m
b
m
k
T
m
b
m
k
π
ω
π
ω
 
 
Primeiramente devemos encontrar o período de oscilação do sistema. Feito isso, podemos calcular o 
valor de b. 
 
( ) ( )
( )
( )











−=











−
−=




−=








=





=
==
==
+′=
−
−
−
4
3
ln
24
4
3
ln
2
2
2
4
3
ln
2
ln
4
3
ln
262,0262,0
4
3
262,0
4
34
262,00
cos
2
2
2
2
4
2
m
b
m
km
b
m
b
m
k
m
T
m
b
e
e
mTtx
mtx
textx
m
bT
m
Tb
m
bt
m
π
π
φω
 
sKg
mk
b /155,0
1)4/3(ln
16
2
2
=
+
=
π
 
 
Critério de correção: 100%(- 5% erro de conta; -5% algarismos significativos) ou 20% para um 
desenvolvimento satisfatório mas incorreto. A resposta é dada com três significativos. 
(c) Qual a quantidade de energia dissipada durante esses quatro ciclos? 
 
A quantidade de energia dissipada E∆ é dada por: 
 
 8
( )
JE
kxE
kxxkE
UUE
m
mm
if
189,0
16
169
2
1
2
1
4
3
2
1
2
2
2
−=∆





 −=∆
−=∆
−=∆
 
Critério de correção: 100%(- 5% erro de conta; -5% algarismos significativos) ou 20% para um 
desenvolvimento satisfatório mas incorreto. A resposta é dada com três significativos. 
GE2.11.9) Considere as oscilações forçadas de um sistema bloco-mola amortecido. Mostre que 
na ressonância: 
(a) a amplitude das oscilações é xm = Fm/bω ; 
 
A equação de movimento de um oscilador massa-mola amortecido forçado é dada por: 
( ) ( )βω −′′= t
G
F
tx m cos 
 
onde ( ) 222222 ωωω ′′+−′′= bmG . 
 
Na ressonância ωω =′′ , para pequenos amortecimentos. Logo, 
 
( )
ωω
ωωω
b
F
b
F
x
bm
F
x
mm
m
m
m
=
′′
=
′′+−′′
=
222222
 
Critério de correção: 100% ou 0%. 
 
(b) a velocidade máxima do bloco oscilante vmáx = Fm/b. 
 
( )
( )
( ) 222222
cos
ωωω
βωω
βω
′′+−′′
−′′′′
−=





 −′′
=
=
bm
tsenF
v
dt
t
G
F
d
v
dt
dx
v
m
m
 
 
Mas na ressonância ωω =′′ , para pequenos amortecimentos. Logo, 
 
 9
b
F
b
F
v
b
F
v
mm
m
m
m
=−=
′′
′′
−=
ω
ω
 
Critério de correção: 100% ou 0%.

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