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GE 2.10.1) A escala de uma balança de mola que indica de zero até 200 N possui comprimento igual a 12,5 cm. Um peixe pendurado na extremidade inferior da mola oscila verticalmente com 2,60 Hz. Qual é a massa do peixe? Despreze a massa da mola. Resposta: Como m k f π2 1 = , 22 4 f k m π = sendo m� m � k /1600 125,0 200 == Portanto m = 6,00 Kg Critério de correção: 100%(- 5% erro de conta; -5% algarismos significativos) ou 20% para um desenvolvimento satisfatório mas incorreto. A resposta é dada com três significativos. GE 2.10.2) Você deseja determinar o momento de inércia de um objeto não regular em relação a um eixo passando por seu centro de massa (CM) e suspende o objeto. Você torce ligeiramente o objeto em torno deste eixo e o liberta, cronometrando 125 oscilações em 265s. A constante de torção do fio é igual a 0,450 N.m/rad. Qual é o momento de inércia do objeto em relação a esse eixo? Resposta: De κ I T = temos que ( ) 2 22 2 .16,1 265 125 /.450,0 mKg s radm� f TI ==== κ κ Critério de correção: 100%(- 5% erro de conta; -5% algarismos significativos) ou 20% para um desenvolvimento satisfatório mas incorreto. A resposta é dada com três significativos. GE 2.10.3) Por que um cão com pernas curtas (como o da raça Chihuahuas) caminha dando passos mais freqüentes do que um cão com pernas altas (como o cão dinamarquês)? Resposta: Basta imaginarmos as pernas dos cães como sendo pêndulos (físicos no caso). Aquele que tiver pernas menores terá períodos menores, considerando sua perna uma haste; portanto o eixo de rotação passa por uma das extremidades de suas pernas junto ao corpo. Sendo assim o momento de inércia desse (Chihuahuas) será menor e como κ I T = ele terá passos mais freqüentes que um de pernas mais longas. 2.10.4) Um objeto de massa m move-se com movimento circular uniforme no plano xy. O círculo possui raio R e o objeto se move em seu entorno com velocidade v. O movimento é projetado no eixo x onde sua aparência é a de um movimento harmônico simples obedecendo à equação x(t) = R cos(ω t + φ). Nesta projeção ω vale: (a) v/R (b) m2R (c) R/v (d) v/(R sen(ω t) Resposta: Como a freqüência angular e a velocidade angular devem ser as mesmas para existir correspondência entre os dois movimentos a alternativa a deve ser a correta. 2 Nesta projeção φ vale: (a) 0 (b) vt/ω (c) π (d) φ não pode ser determinada com as informações dadas Resposta: Para a determinação da constante de fase φ seria necessário conhecermos a posição inicial do objeto, portanto não é possível determinar φ com os dados do problema e a alternativa correta é a d. Critério de correção: Cada item vale 50% se as justificativas estiverem corretas. GE2.10.5) Após o regime transiente, um oscilador amortecido forçado oscilará com: (a) a freqüência de excitação; (b) a freqüência do oscilador amortecido livre. (c) a freqüência do oscilador não-amortecido livre (d) qualquer das freqüências anteriores, pois são todas idênticas Resposta: Regime Transiente é o intervalo de tempo (pequeno) que o sistema leva para acoplar o seu movimento ao regime externo. Portanto, nesse regime, o oscilador amortecido forçado oscilará com a freqüência de excitação. Critério de correção: 100% para uma justificativacorreta. GE2.10.6) A freqüência de ressonância de um oscilador amortecido forçado é igual a: (a) a freqüência de excitação; (b) a freqüência do oscilador amortecido livre. (c) a freqüência do oscilador não-amortecido livre (d) qualquer das freqüências anteriores, pois são todas idênticas Resposta: A ressonância ocorre quando a freqüência da força externa é igual à freqüência natural de oscilação do sistema, o que causa um aumento na amplitude do movimento. Então a freqüência de ressonância deve ser igual á freqüência de excitação. Critério de correção: 100% para uma justificativa correta. 1 GABARITO – GE2 APLICAÇÕES DO MHS GE2.11) PROBLEMAS GE2.11.1) Depois de pousar em um planeta desconhecido, uma exploradora do espaço constrói um pêndulo simples de 50,0 cm de comprimento. Ela verifica que o pêndulo simples executa 100 oscilações completas em 136 s. Qual é o valor de g neste planeta? Utilizando a equação que nos fornece o período de um pêndulo simples, temos: ( ) 2 2 2 22 2 2 7,10 136 100500,04 4 4 2 s mg s mg Lfg T Lg g LT =⇒ ××=⇒ =⇒ =⇒ = π π π π Critério de correção:100% ou 0%(- 5% erro de conta; -5% algarismos significativos; -5% ordem de grandeza). A resposta é dada em três algarismos significativos. GE2.11.2) Enche-se uma esfera oca com água através de um pequeno orifício. A esfera é suspensa por um fio longo, posta para oscilar e, enquanto a água escorre pelo orifício no fundo, observa-se que, inicialmente, o período aumenta e, em seguida, diminui. Explique este fenômeno. O sistema (fio/esfera com água) é um pêndulo físico. Logo, para pequenas oscilações, o período T desse sistema é dado por: Mgd I T π2= onde d é a distância do ponto de fixação do fio ao centro de massa da esfera. Neste caso, temos essencialmente 3 variáveis no sistema: a massa, o momento de inércia e a distância d, do centro de massa ao ponto de fixação. À medida que a água vai escorrendo pelo orifício a massa diminui. Também a distribuição de massa, descrita pelo momento de inércia muda de uma casca esférica cheia de água pendurada por um fio, por um conjunto de casca esférica semi-preenchida com água, cuja massa decresce até uma casca esférica vazia; ou contendo somente ar no interior . E o centro de massa varia e conseqüentemente a distância d varia desde o centro da esfera até uma ponto de mínimo devido à água que escorre até ao centro da casca esférica, quando a mesma não contém mais água. 2 O cálculo da variação do período depende então da variação destas três grandezas que dependem das dimensões e densidade da casca esférica e fluxo da água que escorre, bem como do comprimento do fio. Critério de correção: 100% para a justificativa correta ou 20% para um desenvolvimento satisfatório mas incompleto. GE2.11.3) Como é afetado o período de um pêndulo quando seu ponto de sustentação se desloca: (a) horizontalmente no plano de oscilação, com aceleração a ; Quando o ponto de sustentação de um pêndulo desloca-se horizontalmente com uma aceleração a o pêndulo pára de oscilar. Pois, todo o sistema deve mover-se com a mesma aceleração horizontal a, e dessa forma, o pêndulo deve alcançar uma posição em que a resultante das forças que atuam sobre ele irá produzir uma aceleração resultante igual a a. (b) verticalmente para cima, com aceleração a; Quando o ponto de sustentação de um pêndulo desloca-se verticalmente para cima com uma aceleração a o período do pêndulo diminui. Pois, a força restauradora que tende a trazer o sistema de volta a posição de equilíbrio é igual: θθ sensen mamgF maPF maF rest xxrest −=+ =+ =∑ θθ sensen mamgFret −−= Supondo o eixo y positivo no sentido para cima (contrário à aceleração gravitacional). Para pequenos ângulos senθθθθ ~θθθθ , a força restauradora é proporcional ao deslocamento, condição para que ocorra o MHS, e o período do pêndulo dado por: ( ) ag L T ag L m m T + = + = π π 2 2 Como pode ser visto, a partir da equação acima, o período do pêndulo diminui. Critério de correção: 100% para uma justificativa correta ou 20% para uma resposta satisfatória mas incompleta. (Essa questão já foi pedida no guia de estudo, G.E.2.3.5) (c) verticalmente pra baixo, com aceleração a < g e a > g Quando o ponto de sustentação de um pêndulo desloca-se verticalmente para baixo com uma aceleração a < g o período do pêndulo aumenta. Pois, a força restauradora que tende a trazer o sistema de volta a posição de equilíbrio é igual: 3 θθ sensen mamgF maPF maF rest xxrest =+ =+ =∑ θθ sensen mamgFrest +−= para pequenos ângulos senθθθθ ~θθθθ , a força restauradora é proporcional ao deslocamento, condição para que ocorra o MHS, e o período do pêndulo dado por: ( ) ag L T ag L m m T − = − = π π 2 2 como pode ser visto, a partir da equação acima, o período do pêndulo aumenta. Quando o ponto de sustentação de um pêndulo desloca-se verticalmente para baixo com uma aceleração a > g o pêndulo para de oscilar. Pois, todo o sistema deve mover-se com a mesma aceleração vertical a, e dessa forma, o pêndulo alcança uma posição em que a resultante das forças que atuam sobre ele irá “puxa-lo” para baixo com uma aceleração resultante igual a a. Critério de correção: 100% para uma justificativa correta ou 20% para uma resposta satisfatória mas incompleta. (d) Alguns destes casos se aplicam a um pêndulo montado em um carro que desce por uma ladeira? A situação em que um pêndulo é montado em um carro que desce uma ladeira, pode ser considerada como uma mistura dos casos (a) e (c) anteriores, com a < g no caso (c). Critério de correção: 100% ou 0%. GE2.11.4) Um pêndulo físico consiste em um disco sólido uniforme de massa M = 563g e raio R = 14,4 cm, mantido no plano vertical por um eixo preso a uma distância d = 10,2 cm do centro do disco, conforme mostrado na figura ao lado. Desloca-se o disco de um pequeno ângulo e, em seguida, ele é liberado. Encontre o período do movimento harmônico resultante. Utilizando a equação que nos fornece o período de um pêndulo físico, temos: 4 sT gd dR T Mgd MdMR T Mgd I T 907,0 2 1 2 2 1 2 2 22 22 = + = + = = π π π onde, o teorema dos eixos paralelos foi utilizado para calcularmos o momento de inércia do disco em relação ao ponto d. Critério de correção:100% ou 0%(- 5% erro de conta; -5% algarismos significativos; -5% ordem de grandeza). A resposta é dada em três algarismos significativos. GE2.11.5) Uma mola de massa desprezível e constante k = 400 N/m está suspensa verticalmente e um prato de 0,200 kg está suspenso em sua extremidade inferior. Um açougueiro deixa cair sobre o prato de uma altura de 0,40 m uma posta de carne de 2,20 kg. A posta de carne produz uma colisão totalmente inelástica com o prato e faz o sistema executar um MHS. Calcule: (a) a velocidade do prato e da carne logo após a colisão; Utilizando a conservação de energia, para o momento imediatamente antes da posta de carne colidir com o prato, temos: s mv ghv mvmgh 80,2 2 2 1 2 = = = tendo em vista que a colisão é totalmente inelástica, e utilizando o principio da conservação da quantidade de movimento, temos: ( ) s mv mM Mv v mMvMv mvMvMv f f f ff 57,2=⇒ + =⇒ += += Critério de correção:100% ou 0%(- 5% erro de conta; -5% algarismos significativos; -5% ordem de grandeza). A resposta é dada em três algarismos significativos.(b) a amplitude da oscilação subseqüente; Inicialmente, o prato encontra-se a uma distancia x da posição de equilíbrio do sistema prato/posta. Iremos utilizar a Lei de Hooke para encontrar essa distância x. 5 mx k Mg x kxMg kxF 0538,0−= = −=− −= a energia mecânica desse sistema é dada por: ( ) JE kxvmME UKE f 50,8 2 1 2 1 22 = ++= += utilizando o valor de E obtido acima, podemos calcular o valor da amplitude de oscilação do sistema: mx k Ex kxE 206,0 2 2 1 max max 2 max = = = Critério de correção: 100% ou 0%(- 5% erro de conta; -5% algarismos significativos; -5% ordem de grandeza). A resposta é dada em três algarismos significativos. (c) o período do movimento. Utilizando a equação para o período do sistema massa-mola, temos: sT k mM T 487,0 2 = + = π GE2.11.6) Um bloco de massa M repousa sobre uma superfície sem atrito e está preso a uma mola horizontal cuja constante é k. A outra extremidade da mola está presa a uma parede, como na figura ao lado. Um segundo bloco de massa m repousa sobre o primeiro. O coeficiente de atrito estático entre os blocos é µe. Ache a amplitude máxima da oscilação para que o bloco superior não deslize sobre o bloco inferior. Estando o segundo bloco em repouso sobre o primeiro, os dois blocos devem estar sujeitos a mesma aceleração a. Assim, os dois blocos estão sujeitos a uma aceleração a dada por: 6 ( ) mM kx a amMkx + − =⇒ +=− O segundo bloco está sujeito a uma força cujo módulo é ma. Logo, a amplitude máxima de oscilação que esse sistema pode ter, sem que o bloco superior deslize, é dada por: ( ) k mMg x mM kx mmg mamg e m e e + = + = =− µ µ µ Critério de correção: 100%(- 5% erro de conta) ou 20% para um desenvolvimento satisfatório mas incorreto. GE2.11.7) Um ovo de 50,0 g fervido durante muito tempo está preso na extremidade de uma mola cuja constante é k = 25,0 N/m. Seu deslocamento inicial é igual a 0,300 m. Uma força de amortecimento F = - bv atua sobre o ovo e a amplitude do movimento diminui de 0,100 m em 5,00 s. Calcule o módulo da constante de amortecimento b. ( ) ( ) ( ) ( ) s kg b t m b e e mtx mtx textx m bt m bt m bt m 3 2 2 2 1011,8 300,0 200,0 ln 2 ln 300,0 200,0 ln 300,0200,0 200,05 300,00 cos − − − − ×= −= = = == == +′= φω Critério de correção: 100%(- 5% erro de conta; -5% algarismos significativos).A resposta é dada com três significativos. GE2.11.8) Um oscilador harmônico amortecido consiste em um bloco (m = 1,91 kg), uma certa mola (k = 12,6 N/m) e uma força amortecedora F = - bvx. Inicialmente, o bloco oscila com amplitude de 26,2 cm; por causa do amortecimento, a amplitude reduz-se para três quartos desse valor inicial, após quatro ciclos completos. (a) Qual o valor de b?; SUPONDO QUE O AMORTECIMENTO É PEQUENO, 7 2 2 2 22 2 − = ′ = −=′ m b m k T m b m k π ω π ω Primeiramente devemos encontrar o período de oscilação do sistema. Feito isso, podemos calcular o valor de b. ( ) ( ) ( ) ( ) −= − −= −= = = == == +′= − − − 4 3 ln 24 4 3 ln 2 2 2 4 3 ln 2 ln 4 3 ln 262,0262,0 4 3 262,0 4 34 262,00 cos 2 2 2 2 4 2 m b m km b m b m k m T m b e e mTtx mtx textx m bT m Tb m bt m π π φω sKg mk b /155,0 1)4/3(ln 16 2 2 = + = π Critério de correção: 100%(- 5% erro de conta; -5% algarismos significativos) ou 20% para um desenvolvimento satisfatório mas incorreto. A resposta é dada com três significativos. (c) Qual a quantidade de energia dissipada durante esses quatro ciclos? A quantidade de energia dissipada E∆ é dada por: 8 ( ) JE kxE kxxkE UUE m mm if 189,0 16 169 2 1 2 1 4 3 2 1 2 2 2 −=∆ −=∆ −=∆ −=∆ Critério de correção: 100%(- 5% erro de conta; -5% algarismos significativos) ou 20% para um desenvolvimento satisfatório mas incorreto. A resposta é dada com três significativos. GE2.11.9) Considere as oscilações forçadas de um sistema bloco-mola amortecido. Mostre que na ressonância: (a) a amplitude das oscilações é xm = Fm/bω ; A equação de movimento de um oscilador massa-mola amortecido forçado é dada por: ( ) ( )βω −′′= t G F tx m cos onde ( ) 222222 ωωω ′′+−′′= bmG . Na ressonância ωω =′′ , para pequenos amortecimentos. Logo, ( ) ωω ωωω b F b F x bm F x mm m m m = ′′ = ′′+−′′ = 222222 Critério de correção: 100% ou 0%. (b) a velocidade máxima do bloco oscilante vmáx = Fm/b. ( ) ( ) ( ) 222222 cos ωωω βωω βω ′′+−′′ −′′′′ −= −′′ = = bm tsenF v dt t G F d v dt dx v m m Mas na ressonância ωω =′′ , para pequenos amortecimentos. Logo, 9 b F b F v b F v mm m m m =−= ′′ ′′ −= ω ω Critério de correção: 100% ou 0%.
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