U1Elasticidade

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UNIDADE 1 
MECÂNICA DOS MEIOS CONTÍNUOS - ELASTICIDADE 
 
 
Quando desejamos descrever o movimento de um corpo sólido, é muito 
útil supormos que ele é rígido, isto é, que ele não se deforma. Na realidade, 
esta é uma aproximação que se aplica à maioria das situações que 
encontramos, visto que não existe nenhum corpo absolutamente rígido. 
Entretanto, há casos em que as deformações sofridas por um corpo, quando 
sujeito a determinadas forças, têm que ser estudadas com muito cuidado. 
Existem muitos exemplos no dia-a-dia onde é necessário o conhecimento da 
deformação de um corpo, seja para evitá-la, seja para aproveitar a 
deformação para uma dada aplicação. Por exemplo, na engenharia, as 
possíveis deformações de estruturas de aço, concreto ou vidro devem ser 
levadas em conta para evitar que elas venham a ruir ou se fraturar. Estas 
deformações, em geral, são provocadas por movimentação e assentamento do 
solo após a obra/instalação, dilatações e contrações térmicas devido à 
variações de temperatura ou desastres naturais como deslizamentos de terra, 
terremotos e maremotos. Máquinas, por exemplo, podem vir a sofrer flexões 
mecânicas que inviabilizem o seu correto funcionamento. Ou então, no caso de 
carros a deformação é bem-vinda em choques com outros veículos ou 
obstáculos, exatamente para absorver os momentos linear e angular e a 
energia, evitando que os mesmos sejam transferidos para as pessoas dentro 
do carro diminuindo o grau de danos físicos às mesmas. 
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OBJETIVOS (AO FINAL DESTA AULA VOCÊ DEVE SER CAPAZ DE...) 
• DEFINIR TENSÃO DE TRAÇÃO E DE COMPRESSÃO 
• DEFINIR DEFORMAÇÃO E MÓDULO DE YOUNG 
• DEFINIR TENSÃO DE CISALHAMENTO E MÓDULO DE CISALHAMENTO 
• APLICAR O CONCEITO DE RAZÃO DE POISSON 
• DISCUTIR OS EFEITOS DA ELASTICIDADE EM SITUAÇÕES COTIDIANAS 
 
1.1 TENSÃO E DEFORMAÇÃO 
Quando um corpo sólido fica sujeito a forças que tendem a esticá-lo, ou 
comprimí-lo, sua forma pode se alterar. Se, após a remoção dessas forças, o 
corpo retornar à forma original, dizemos que ele é elástico; se isso não 
acontecer, dizemos que ele é inelástico. Na maioria dos casos, os corpos são 
elásticos se as forças aplicadas estiverem abaixo de um valor máximo, 
chamado de limite elástico; quando as forças aplicadas excederem este 
limite, o corpo não irá retomar a forma original e ficará permanentemente 
deformado depois da ação das forças. 
A Fig. 1.1a mostra uma barra sólida, maciça, ainda no comprimento 
original L , inicialmente em equilíbrio e sem deformação. Quando ela é sujeita 
a uma força de tensão de traçãoF , seu comprimento tende a aumentar (Fig. 
1.1b). A tensão se distribui por igual sobre sua área de seção transversal, 
tanto à sua esquerda quanto à sua direita. 
 
Fig. 1.1a: Barra sólida 
em equilíbrio e sem 
deformação. 
Fig. 1.1b: Barra sujeita à uma 
tensão de tração. 
Se LΔ é a variação do seu comprimento, a variação fracional desse 
comprimento, sob ação da força, é a deformação da barra, dada por: 
L
LDeformação Δ= (1.1) 
Se a multiplicarmos por 100, obteremos a porcentagem de aumento de 
comprimento da barra em relação a seu comprimento original. 
A razão entre o módulo da força F e a área da seção reta da barra ( A ) é 
a tensão de tração, ou simplesmente tração, dada por: 
A
FTensão = (1.2) 
 3 
 Se a mesma força é aplicada segundo a normal à todas as superfícies, a 
chamamos de pressão: 
 (1.3) 
Quando uma barra sólida é sujeita a forças que tendem a comprimí-la, a 
tensão é chamada de tensão de compressão. O gráfico da tensão versus a 
deformação para uma barra sólida é mostrado na Fig. 1.2. O gráfico é linear 
até o ponto A; no intervalo de zero ao ponto A, a deformação é proporcional à 
tensão. O ponto B define o limite do regime elástico do material de que a barra 
é constituída. Para valores da deformação maiores que o deste ponto, a barra 
ficará permanentemente deformada; o intervalo entre os pontos B e C é 
chamado de regime plástico do material. Se a tensão for ainda maior que o 
seu valor no ponto C, a barra irá se fraturar. Esse é o ponto de fratura, ou 
ruptura. 
 
Figura 1.2: Gráfico de Tensão em função da 
Deformação 
 A razão entre a tensão e a deformação, no intervalo linear do gráfico, é uma 
constante que define o módulo de elasticidade do material, conhecida como 
Módulo de Young Y : 
LL
AF
deformação
TensãoY
/
/
Δ
==
 
(1.4a) 
ou: 
LA
LFY
Δ
=
. (1.4b) 
No SI, a unidade do módulo de Young é Newtons por metro quadrado N/m2. O 
módulo de Young para muitos materiais tem o mesmo valor tanto para a 
tensão de compressão quanto para a tração. Há outros materiais que possuem 
estes valores bem diferentes um do outro; por exemplo, o concreto, que tem o 
valor da tensão de compressão muito alto, não suporta tensões de tração. 
 4 
A equação 1.4b nos mostra que o módulo de Young dá uma medida da 
capacidade do material resistir à deformação. Quanto maior o módulo de 
Young, menor a deformação que o material sofre sob ação de uma tensão. A 
tabela 1.1 mostra os valores aproximados do módulo de Young para diversos 
materiais. Obviamente o aço, o vidro, o concreto, a madeira e o osso podem 
ter valores diferentes dos indicados devido a variações em sua composição 
química e estrutural. 
Tabela 1.1 
MATERIAL DENSIDADE 
(kg/m3) 
MÓDULO DE 
YOUNG 
(109 N/m2) 
LIMITE 
ELÁSTICO 
(106 N/m2) 
CARGA DE 
RUPTURA 
(106 N/m2) 
Aço 7860 200 250 400 
Alumínio 2710 70 95 110 
Cobre 8890 110 28 - 
Bronze 8740 90 - - 
Vidro 2190 65 - 50 
Concreto 2320 30 - 40 
Madeira 525 13 - 50 
Osso 1900 9 - 170 
Poliestireno 1050 3 - 48 
Nylon 1050-1010 2-4 - 45 
Borracha 1600-400 0,001-0,1 2 - 
 
Exemplo 1.1: Aplicamos a mesma força uniformemente sobre as quatro tiras, 
de mesmo comprimento Lo e área de seção reta A: 
 
(a) (b) (c) (d) 
Figura 13: Teste seus conceitos sobre elasticidade em diferentes materiais 
 (a) Qual a relação entre as tensões para as quatro tiras? 
(b) Em sua opinião qual das tiras terá maior deformação? Qual terá menor? 
(c) Compare qualitativamente as relações de ΔL/Lo para as quatro tiras, sendo 
ΔL a dilatação da tira e Lo seu comprimento inicial. Que grandeza física 
distingue as diferentes deformações das tiras? Consulte a tabela 1.1, se julgar 
necessário. 
(d) Se as forças nas tiras tivessem o sentido contrário ao mostrado na figura, o 
módulo de Young seria o mesmo? Explique. 
Resposta: 
 5 
(a) Como é aplicada a mesma força F sobre a mesma seção reta de área A das 
tiras, a tensão é igual para as quatro tiras. 
(b) Podemos presumir que a borracha terá a maior deformação e o aço terá a 
menor. 
(c) Qualitativamente podemos dizer que ΔL/Lo é maior na seguinte ordem 
decrescente: borracha, nylon, concreto, aço. 
Sendo a tensão a mesma para as quatro tiras e tendo, no entanto, 
deformações diferentes, deve existir uma grandeza, característica do material 
de qual são feitas as tiras, relacionada à elasticidade. Essa grandeza é 
denominada módulo de elasticidade, quando a tensão aplicada é 
diretamente proporcional à deformação. 
Isso pode ser verificado de maneira semi-quantitativa analisando-se os valores 
do Módulo de Young listados na tabela do 1.1. Como se pode ver, a 
deformação é maior para os materiais que possuem Módulo de Young menor. 
Esta tendência é expressa pela equação abaixo: 
!!
!"
"
#
$
 
uma vez que as tensões e deformações são as mesmas. 
(d) Existem materiais que possuem o mesmo valor do módulo de Young Y para 
a compressão e dilatação. No entanto, existem alguns materiais como o 
concreto (material compósito) que são exceções, ou seja, possuem diferentes 
valores de Y para a compressão e dilatação. 
 
Exemplo 1.2: Um trampolim é formado por uma prancha demadeira que tem 
uma extremidade fixa e a outra livre. Um atleta se prepara para saltar da 
ponta livre do trampolim. Nesse instante, que parte da prancha que está sob 
tensão? E sob compressão? Alguma parte da prancha não sofre nem distensão 
nem compressão? Sugestão: Faça um esboço da situação e observe o que 
acontece. 
Resposta: 
 
Figura 1.4 
Acima da linha central da viga (linha tracejada onde não existe compressão ou 
dilatação), podemos perceber que houve um aumento no comprimento da 
 6 
prancha e, portanto, existe distensão (tensão de dilatação). Abaixo dessa linha 
houve uma diminuição, ou seja, nessa região há compressão. A linha central 
(pontilhada na figura) da prancha não sobre tensão de dilatação e nem de 
compressão 
 
Atividade 1.1: O gráfico na figura 1.5 ilustra um diagrama de tensão-
deformação de um metal dúctil. 
 
Figura 1.5 
(a) Defina os regimes linear, elástico e plástico, identificando-os no gráfico. 
(b) Determine a que material corresponde o gráfico de acordo com os dados 
da tabela 1.1. 
 
Exemplo 1.3: As cordas usadas por alpinistas em escaladas são geralmente 
de nylon, cujo módulo de Young é 2 x 109 Pa. 
(a) Estime a dilatação e a deformação na corda utilizada por um alpinista. 
Suponha valores razoáveis para as grandezas necessárias à resolução do 
problema. 
(b) Poderia um cabo de aço, que tenha mesma deformação quando submetido 
à mesma tensão da corda de nylon, servir para a mesma finalidade? Explique. 
(c) Você acha que poderia ser utilizada, para o alpinismo, uma “corda de 
borracha” que tenha mesma deformação quando submetido à mesma tensão 
da corda de nylon. Por quê? 
 7 
Resposta: 
(a) Supondo que um alpinista tenha 7 0 Kg e utilize uma corda de 50 m de 
comprimento e 1 cm de diâmetro, temos: 
∆!! = !!! = !"!! = (!"  !")×(!,!!!!)!   !,!  ×  !"!!  ! !!,!  ×  !"!      !" ~0,02    
A elongação então será de aproximadamente 2% de 50m, o que equivale a 
aproximadamente 1,0 m. 
(b) Provavelmente seria inviável utilizar um cabo de aço na prática de 
alpinismo. Para que ambos os cabos, o de aço e o de nylon, tenham a mesma 
deformação quando submetidos à mesma tensão, o cabo de aço deverá ter 
uma área de seção reta menor que a do cabo de nylon, pois o seu módulo de 
Young (200 x 109 Pa) é muito maior que o do nylon (2 x 109 Pa). Neste caso, 
como as tensões e as deformações são as mesmas para os dois cabos, temos 
que: 
 
Com uma área de seção reta menor, será maior a tensão sobre a mão do 
alpinista que utiliza um cabo de aço, e, por exemplo, ao cair, ele poderia ter 
sua mão cortada. 
(c) Também seria inviável utilizar uma corda de borracha para a prática de 
alpinismo. Ao contrário do cabo de aço, o “cabo de borracha” deverá ter uma 
seção reta de área muito maior, (para que esse cabo tenha mesma 
deformação quando submetido à mesma tensão da corda de nylon), pois o 
módulo de Young da borracha é menor. Isso significa que o alpinista deverá 
carregar uma corda muito mais “pesada”, o que inviabiliza sua utilização. 
 
Exemplo 1.4: Postes que sustentam semáforos, placas de trânsito e de 
energia elétrica, possuem seção reta circular para serem resistentes ao 
encurvamento em qualquer direção, causado por terremotos ou pelo vento. 
Dois postes de mesma massa e material possuem seções retas diferentes, 
como mostra a figura 1.6. Qual é mais resistente ao encurvamento? Explique. 
 
Figura 1.6: a) Poste maciço. b) Poste oco. 
Y
A 1∝
 8 
 
Se calcularmos o torque (M) que um barra 
envergada sofre em torno da linha neutra 
(região da barra que não se distende e nem se 
contrai) encontraremos: 
 M=YI/R, 
onde !!dA , y é a distância do elemento de 
massa à linha neutra ; Y é o módulo de Young 
da barra e R é o raio de curvatura da barra (ver Feyman, Lectures on Physycs. 
Vol II, pag 38-9). 
Ou seja, a resistência da barra é proporcional ao momento de inércia. Se 
quisermos maximizar a resistência da barra com uma dada massa de 
material, devemos concentrar esta massa o mais longe possível da superfície 
neutra para que possamos então maximizar o momento de inércia. 
 
Atividade 1.2: Um fio metálico de 3,50 m de comprimento e 0,70 mm de 
diâmetro foi submetido ao seguinte teste. Uma carga pesando 20 N foi 
inicialmente presa ao fio para mantê-lo esticado. A posição da extremidade 
inferior do fio foi medida com uma régua enquanto a carga aumentava. 
Tabela 1.2 
Carga 
Adicionada(N) 
Leitura 
(cm) 
0 3,02 
10 3,07 
20 3,12 
30 3,17 
40 3,22 
50 3,27 
60 3,32 
70 4,27 
 
(a) Faça um gráfico com os valores de aumento da carga por aumento do 
comprimento. 
(b) Calcule o valor do módulo de Young. 
(c) O limite de proporcionalidade é atingido quando a leitura da régua atinge 
3,34 cm. Qual a tensão neste ponto? 
(d) Pode ser usada a relação (F/A)/(ΔL/L) para uma carga de 70N? 
 9 
Atividade 1.3: Explique como é possível minimizar o encurvamento 
substituindo uma viga horizontal por uma viga em forma de I. 
 
 
Figura 1.7: a) Viga horizontal. b) Viga em forma de I. 
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1.2 Tensão e Deformação de Cisalhamento 
 O cisalhamento é uma deformação em que uma parte do corpo se 
desloca sobre outra ao longo da direção de aplicação da força deformadora. A 
figura 1.8 mostra um livro sendo empurrado por uma força Fs aplicada em sua 
parte superior e tangencialmente a ela. A capa superior se desloca 
relativamente à inferior; com isso, cada página do livro também tem um 
pequeno deslocamento em relação à página imediatamente inferior. 
 
Figura 1.8 
A força Fs é chamada de força de cisalhamento. A razão entre o 
módulo da força de cisalhamento Fs e a área A é a tensão de cisalhamento: 
Tensão de cisalhamento 
A
Fs= (1.5) 
A deformação criada no livro da figura é chamada de deformação de 
cisalhamento, sendo medida pela seguinte relação: 
Deformação de cisalhamento θtan=Δ=
L
X (1.6) 
em que θ, mostrado na figura, é o ângulo de cisalhamento. 
Define-se também o módulo de cisalhamento Ms como a razão entre a 
tensão de cisalhamento e a deformação de cisalhamento: 
θtan
/
/
/ AF
LX
AFM sss =Δ
= (1.7) 
O módulo de cisalhamento também é conhecido como módulo de 
torção. Para pequenas tensões, ele é aproximadamente constante e, dessa 
forma, a deformação de cisalhamento é função linear da tensão de 
cisalhamento. A tabela 1.3 mostra valores aproximados do módulo de 
cisalhamento de vários materiais. 
 
 
 
 
 11 
Tabela 1.3 
Material Ms (109 N/m2) 
Aço 84 
Alumínio 30 
Bronze 36 
Chumbo 5,6 
Cobre 42 
Ferro 70 
Tungstênio 150 
 
Exemplo 1.5: Uma força de módulo F é aplicada uniformemente sobre uma 
aresta de um bloco causando-lhe uma deformação conforme mostra a figura 
abaixo. 
 
 Figura 1.9a 1.9b 1.9c 
(a) Verifique o que ocorre com as dimensões paralelas às diagonais D1 e D2 
após a deformação. 
(b) Qual a diferença entre tensão de compressão e tensão de cisalhamento? 
(c) Determine a tensão, a deformação e o Módulo de Cisalhamento do bloco. 
Resposta: 
(a) As dimensões paralelas a D1 são maiores que as dimensões paralelas a D2, 
ou seja, as diagonais sofrem deformações. 
(b) Na compressão, a força é aplicada perpendicularmente à área da seção 
reta e no cisalhamento a força é aplicada paralelamente, provocando uma 
torção do objeto. 
(c) Temos 
2L
FTensão s= 
θθ ≈==
L
xtgDeformação 
 12 
22 L
F
x
L
L
F
Deformação
TensãoM sss θ
≈== 
Onde MS é o Módulo de Cisalhamento. 
 
Atividade 1.4 Identifique nas figuras abaixo as tensões a que estão 
submetidos os objetos. Faça um diagrama de forças para justificar suas 
respostas. 
 
 
 
Ponte Pênsil Ponte em formade 
abóbada 
Bloco deformado Viga horizontal 
Figura 1.10a 1.10b 1.10c 1.10d 
 
 
 13 
1.3 Razão de Poisson 
Consideremos um objeto com comprimento L e espessuras E e H. Se 
esse objeto é submetido a uma tensão (de tração ou de compressão) na 
direção do comprimento L, suas dimensões variam, respectivamente, dos 
valores: L, E e H (Figura 1.11). 
 
Figura 1.11 
Para valores pequenos da tensão aplicada, as variações relativas das 
dimensões da barra, perpendicularmente à da aplicação da força, são 
proporcionais à variação relativa da dimensão de mesma direção da força 
aplicada, ou seja: 
L
L
H
H
H
Δ
−=
Δ
σ (1.8) 
e 
L
L
E
E
E
Δ
−=
Δ
σ (1.9) 
em que é denominado coeficiente de Poisson. O sinal negativo nas 
relações acima indica que um aumento na dimensão L acarreta uma 
diminuição nas dimensões E e H. Para materiais homogêneos: E = H. 
 
Exemplo 1.6: Uma corda, usada em alpinismo, de 9,0 mm de diâmetro e 50 
m de comprimento, é feita de nylon, cujo módulo de Young vale 8,0 x N/
 e o coeficiente de Poisson vale 0,2. Um alpinista de 80 kg está 
dependurado nessa corda. Determine a elongação e o diâmetro dessa corda na 
situação descrita. 
Resposta: 
m
m
msmkg
AY
mgLL
m
N
769,0
)10
4
0,81)(100,8(
)50()78,9)(80(
268
2
2
=
××
==Δ
−π
 
A variação no diâmetro D será 
Δ Δ Δ
σ σ
 14 
mm
m
mD
L
LD 43 108,2100,9
50
769,02,0 −− ×−=×−=Δ−=Δ σ 
O diâmetro da corda quando esta estiver sob tensão será: 
mmDDDf
44 102,8710)8,20,90()( −− ×=×−=Δ+= 
 
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EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO 
 
EF 1.1: Um bíceps relaxado necessita de uma força de 25,0 N para uma 
dilatação de 3,0 cm; o mesmo músculo, sob tensão máxima, necessita de uma 
força de 500 N para produzir a mesma dilatação. Calcule e compare os 
módulos de Young do tecido muscular em cada um destes casos supondo que 
o músculo seja um cilindro uniforme com uma área de seção reta igual a 50,0 
cm2 e comprimento igual a 0,200 m. Qual a relação entre os dois valores? 
 
EF 1.2: Um fio de alumínio (YAl = 7,0 x 1010 N/m2) tem sua extremidade 
soldada na extremidade de outro fio de aço (Yaço = 2,0 x 1011 N/m2). Os dois 
fios têm as mesmas dimensões: 1,0 m de comprimento e diâmetro de 1,0 mm. 
(a) Se um bloco de 10 kg é suspenso por esse conjunto, qual será o aumento 
total no comprimento? 
(b) Qual é o módulo de Young efetivo desse conjunto? 
 
EF 1.3: Dê exemplos de objetos submetidos a uma força de cisalhamento. 
 
EF 1.4: A carga de ruptura de cisalhamento de um certo tipo de aço é de 
3,5x108 N/m2. Deseja-se abrir um buraco de 1,5 cm de diâmetro em uma 
chapa desse aço com 1,0 cm de espessura, como mostra a figura 1.12. Calcule 
a força necessária para abrir esse buraco. 
 
Figura 1.12 
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PROBLEMAS DA UNIDADE 1 
 
P 1.1: Os módulos de Young dos ossos são de 9,0 x 109 N/m2, para 
compressão, e de 1,6 x 1010 N/m2, para tração (tensão de dilatação), e as 
cargas de ruptura são de 1,7 x 108 N/m2 e de 2,0 x 108 N/m2, 
respectivamente. O fêmur, o osso principal da coxa, em um homem adulto tem 
um diâmetro aproximado de 2,8 cm. 
a) Faça uma estimativa da deformação de seu fêmur quando você está em pé. 
b) Qual a força necessária para quebrar o fêmur por compressão? 
c) Você acha possível alguém quebrá-lo quando cai de certa altura? Estime 
essa altura sabendo que o tempo de colisão de uma queda geralmente não 
ultrapassa 0,005 s. 
d) O que se pode fazer para diminuir o “impacto da queda”? 
 
P 1.2: A figura mostra o gráfico da tensão versus deformação para um certo 
tipo de aço, que tem as seguintes características: 
 
Módulo de Young = 2,00 x 1011 N/m2 
Limite elástico = 2,50 x 108 N/m2 
Tensão de ruptura = 3,80 x 108 N/m2 
 
Um fio desse aço tem comprimento de 5,0 m e seção transversal de 5,0 mm2. 
O fio está preso por uma de suas extremidades. Com base nessas informações, 
responda se as afirmativas são falsas ou verdadeiras e justifique sua resposta: 
(a) Se um bloco de 150 kg for dependurado na outra extremidade, o fio 
sofrerá uma deformação permanente. 
(b) O maior alongamento que o fio pode ter antes de adquirir uma deformação 
permanente é de 0,50 cm. 
(c) O maior alongamento que o fio pode ter antes de se romper é de 1,0 cm. 
 
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P 1.3: Uma mesa de quatro pernas está desnivelada. Três pernas têm 1,0 m 
de comprimento e a outra é 0,50 mm maior. Cada perna é um cilindro de 
madeira (Ymadeira = 1,5 x 1010 N/m2) com 1,0 cm2 de área. Um bloco de 400 kg 
é colocado sobre a mesa de forma que ela fique nivelada. 
(a) Determine a tração em cada perna. 
(b) Se o tampo da mesa é um quadrado de 1,0 m de lado, calcule a posição 
onde o bloco deve ser colocado. 
 
P 1.4: Andar significa empurrar o chão para trás e ser por este empurrado 
para frente. Quando estamos calçados, nós empurramos o solado do sapato, 
cisalhando-o. Assumindo que o módulo de cisalhamento de um solado é de 2,0 
x 105 N/m2, estime o ângulo de cisalhamento do solado de um calçado. 
 
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GABARITO COMENTADO 
 
ATIVIDADES 
Atividade 1.1: 
(a) 
Regime Linear: o regime linear é observado quando a tensão é diretamente 
proporcional à deformação. Quando a tensão é interrompida, o objeto volta ao 
seu tamanho original, isto é, a deformação é reversível. No gráfico, 
corresponde ao trecho Oa. 
Regime Elástico: quando aumentamos a tensão aplicada a um corpo além do 
limite do regime linear, a deformação não será mais diretamente proporcional 
à tensão; mas, mesmo quando essa tensão é interrompida, o objeto retorna ao 
seu tamanho original, isto é, a deformação ainda é reversível e é denominada 
deformação elástica. No gráfico, corresponde ao trecho ab. 
Regime Plástico: quando aumentamos a tensão aplicada a um corpo além do 
limite do regime elástico, o objeto não retorna ao seu comprimento original e a 
deformação é dita permanente ou irreversível (deformação plástica). No 
gráfico, corresponde ao trecho bd. 
(b) Calculando o módulo de Young pelos dados do gráfico na região linear tem-
se Y = 111 x 1010 Pa. Portanto ele deve ser o cobre. 
 
Atividade 1.2: 
(a) 
(b) Pela inclinação do gráfico pode-se calcular o módulo de Young. 
 
3,0 3,2 3,4 3,6 3,8 4,0 4,2 4,4
-10
0
10
20
30
40
50
60
70
80
Au
me
nto
 da
 C
ar
ga
 (N
)
Aumento do comprimento (cm)
2 11 
2 3 
10 82 , 1 
350 
) 07 , 3 12 , 3 ( 
) 10 35 , 0 ( 
) 10 20 ( 
m 
N x 
 
 
x 
 
Deformação 
Área 
Força 
Deformação 
Tensão Y = 
− 
− 
= = = 
− π 
 19 
(c) Como no regime linear a tensão e a deformação são proporcionais, temos 
que a deformação é 1,43 x . Então: 
 
Ou Y = 1,82x N/ 
(d) Não, porque está fora do regime linear e, portanto, não vale a equação 
1.3. 
 
Atividade 1.3: 
Sobre a linha central da viga não há compressão ou distensão. Acima 
dessa linha há compressão e abaixo distensão. Como a deformação é 
inversamente proporcional à área da seção reta, as partes superior e inferior 
devem ter maior área, enquanto que a região central pode ter área pequena 
(diminuindo assim o peso da viga). O resultado é uma viga em forma de I. 
 
Atividade 1.4: 
Podemos verificar se as estruturas estão sobre tração (tensão de 
dilatação), compressão ou torção (tensão de cisalhamento) identificando, por 
exemplo, as forças aplicadas sobre as áreas de seção reta das estruturas. 
Nesse tipo de situação é mais fácil verificar a dilatação delas, ou seja: 
Ponte Pênsil: Se as forças tendem a aumentar o comprimento da estrutura, a 
tensão será de dilatação, como é o caso da ponte pênsil. Os cabos estão 
submetidos a tensões de dilataçãoe as torres, a tensões de compressão. 
Ponte em forma de abóbada: Se as forças tendem a diminuir o comprimento 
da estrutura, a tensão será de compressão; a ponte em forma de abóbada é 
um exemplo. Toda a estrutura está submetida a tensões de compressão. 
Bloco deformado: Se as forças tendem a torcer a estrutura, a tensão será de 
cisalhamento; como o bloco cisalhado na figura 1.10c. Como o bloco está fixo, 
é necessário representar a reação da força F, que tem mesma intensidade e 
direção, mas sentido contrário. 
Viga horizontal: na linha central da viga (linha tracejada), não existe nem 
compressão nem dilatação. Acima dessa linha, pode-se perceber que houve 
uma diminuição no comprimento da viga e portanto existe compressão. Abaixo 
dessa linha houve um aumento, ou seja, nessa região há distenção ou tensão 
de dilatação. Observe a parte escura que se estende além das linhas verticais 
na borda da viga. 
 20 
 
 
EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO 
EF 1.1: 
O módulo de Young é dado por 
L
L
A
F
deformação
tensãoY
Δ
== 
Quando o músculo estiver relaxado teremos: 
2
4
224 103,3100,3
200,0
100,50
25
m
NY
m
m
m
NY ×=⇒
×
×
×
=
−−
 
Quando o músculo estiver sob tensão máxima: 
2
5
224 107,6100,3
200,0
100,50
500
m
NY
m
m
m
NY ×=⇒
×
×
×
=
−−
 
Como era de se esperar, o Módulo de Young para o músculo relaxado é muito 
menor. Logo, para se provocar a mesma deformação quando ele está sob 
tensão máxima, é necessário se fazer uma força muito menor, na verdade 20 
vezes menor. 
 
EF 1.2: 
(a) O módulo de Young é dado por: 
AY
mgLL
L
L
A
FY =Δ⇒
Δ
= ; a elongação devido 
ao alumínio será: 
m
m
mkg
AY
mgLL
m
N
s
m
Al
Al
Al
4
26
4
10 108,1710
0,1
100,7
)78,9)(10(
2
2 −
−
×=
×
×
×
==Δ
π
 
E devido ao aço será: 
m
m
mkg
AY
mgL
L
m
N
s
m
aço
aço
aço
4
26
4
11 102,610
0,1
100,2
)78,9)(10(
2
2 −
−
×=
×
×
×
==Δ
π
 
(b) A deformação efetiva será igual à elongação do fio de alumínio mais a 
elongação do fio de aço dividido pelo comprimento total do fio 
açoAl
açoAl
LL
LL
+
Δ+Δ )(
, o 
módulo de Young efetivo do conjunto será dado por: 
 21 
)(
)(
açoAl
açoAl
ef LL
LL
A
mgY
Δ+Δ
+
= 
2
2 11
426
4
100,1
10)8,172,6(
0,2
10
)78,9)(10(
m
Ns
m
ef m
m
m
kg
Y ×=
×+
×
×
=
−−π
 
 
EF 1.3: 
Eixos que giram submetidos a cargas, ossos fraturados, vigas de concreto, os 
líquidos escoam por não suportarem tensões de cisalhamento, etc. 
EF 1.4: 
FS = A . (Carga de ruptura de cisalhamento). 
Onde A é área lateral do buraco. A área da base do buraco não entra no 
cálculo, porque ela não está sob a ação da Força de cisalhamento. A base é 
perpendicular a ação dessa força e não paralela 
FS = πDh . (Carga de ruptura de cisalhamento). 
D=diâmetro, h=altura do chapa de aço, 
!"=#$!%&'("= $!)&'("= $*+,-&$,+.",/##&$,+/",/##&*+.",/0
!"=,+1.",/.2
 
 
PROBLEMAS DA UNIDADE 1 
P 1.1: 
(a) Supondo que o peso de uma pessoa é 700N então quando esta estiver de 
pé, cada perna sustentará 350N logo a deformação no fêmur será 
m
m
mN
AY
FLL
m
N
c
5
922
4
102,3
)109()108,2)((
)5,0)(350(
2
−
−
×=
××
==Δ
π
 
(b) A tensão de ruptura para compressão é 1,7x108N/m2 a área do fêmur é 
6,2x10-4m2 logo a força mínima necessária para quebrar um fêmur é: 
NmTAF mN
5248 101,1)102,6)(107,1( 2 ×=××== − 
(c) É possível, que o fêmur de uma pessoa que cai de certa altura se quebre. 
Quando uma pessoa cai de certa altura o fêmur será comprimido. Se a tensão 
 22 
de compressão da queda ultrapassar a tensão de ruptura de compressão 
1,7x108N/m2, este osso será quebrado. 
Podemos estimar a altura h para uma pessoa de massa m = 70 Kg, utilizando 
a Conservação da Energia e o teorema do Impulso – Momento Linear: 
( ) ( ) m
smxKg
sxNx
gm
tFh
Logo
t
pF
pFdt
gm
ph
m
pmvmgh
3
/8,92
1
70
005,0101,1
2
1
222
1
2
252
2
22
2
≈⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
=⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ Δ=
Δ
Δ
=
Δ=
=⇒==
∫
 
Onde foi utilizada a força necessária para se quebrar o fêmur NF 5101,1 ×= . 
(d) Quando pulamos ou caímos de certa altura (em pé) instintivamente 
dobramos o joelho para “amortecermos” a queda, ou seja, para aumentar o 
tempo de colisão Δ t; fazendo isso, a força F diminui, pois o impulso é o 
mesmo. 
Outra maneira seria transformar a energia cinética de translação K em energia 
cinética de rotação R, rolando na queda. Diminuindo K, diminui-se também o 
momento linear p, fazendo com que o impulso neste caso seja menor. 
Portanto quanto menor o tempo da colisão, maior é a força F aplicada sobre o 
fêmur. Do mesmo modo, 
 quanto maior for a altura h, maior será F. 
 
P 1.2: 
(a) Quando o bloco estiver dependurado no fio, este sofrerá uma tensão igual 
a: 
2
2 8
26 109,2100,5
)78,9)(150(
m
Ns
m
m
kg
A
mgT ×=
×
==
−
 
 Como a tensão ultrapassou o limite elástico a deformação será permanente. 
 23 
(b) O maior alongamento que o fio pode ter antes de adquirir uma deformação 
permanente acontecerá quando a tensão atingir o valor que corresponde ao 
limite elástico. 
Só podemos utilizar a equação 1.4 para o regime linear. 
Calculamos então qual é a tensão necessária para provocar um alongamento 
de 0,50 cm, supondo que essa tensão não ultrapassa o regime linear. 
PaxT
cmPax
L
LYTensão
8
11
1000,2
00,5
500,01000,2
=
=
Δ
=
 
Como o valor da tensão está abaixo da tensão que corresponde ao regime 
elástico, podemos dizer que a deformação não será permanente. 
(c) Nada podemos dizer sobre o alongamento no ponto de ruptura com os 
dados que foram dados. 
É bom lembrar que a equação 1.4 só vale para o regime linear, portanto não 
podemos utiliza-la para calcular o alongamento utilizando a tensão de ruptura 
do material e o módulo de Young. 
 
P 1.3: 
(a) As três pernas de comprimentos iguais sofrerão a mesma compressão ΔL3 
e estarão sob a mesma tensão T3 já a perna maior sofrerá uma compressão 
ΔL1 = ΔL3 +d e estará sob uma tensão T1. 
Sabemos que: 
L
LAYF Δ= logo )( 311 dLL
AYL
L
AYF +Δ=Δ= e 33 LL
AYF Δ= 
Como a mesa está em equilíbrio temos que: 3F3 + F1 = mg, ou seja; 
NF
m
mmmkg
F
L
AYdmgLF
L
AYdmgF
mgd
L
AYL
L
AY
mgdL
L
AYL
L
AY
m
N
s
m
5,790
0,14
)105,0)(105,1)(100,1()0,1)(78,9)(400(
4
4
4
)(3
3
31024
3
33
3
33
22
=⇒
×
×××−
=
−
=⇒−=
=+Δ
=+Δ+Δ
−−
 
NF
NkgF
FmgF
s
m
5,1540
5,7903)78,9)(400(
3
1
1
31
2
=
×−=
−=
 
 24 
A tração na perna de maior comprimento será: 2624
1
1 104,15100,1
1540
m
N
m
N
A
FT ×=
×
==
−
 
A tração nas pernas de um metro de comprimento será: 
2
6
24
3
3 109,7100,1
5,790
m
N
m
N
A
FT ×=
×
== − 
(b) Como a mesa está em equilíbrio estático, não há rotação e o torque 
resultante em torno de um determinado eixo será nulo ∑ = 0τ . Tomando-se 
um eixo perpendicular ao plano da mesa e que passe pela perna de maior 
comprimento teremos: 
m
mg
mFx
mgxmFmF
4,0
)0,1(2
0)0,1()0,1(
3
33
==
=−+
 
m
mg
mFy
mgymFmF
4,0)0,1(2
0)0,1()0,1(
3
33
==
=−+
 
Considerando a origem do sistema como sendo a perna de maior 
comprimento, o bloco deve ser colocado no ponto (0,4m; 0,4m). 
 
P 1.4: 
Nesta situação a força que causa o cisalhamento é a força de atrito. 
A deformação em um cisalhamento é igual à tangente do ângulo de 
cisalhamentoθtan=Δ
L
x , logo, tem-se que: θtan=Δ=⇒Δ=
L
L
AM
F
L
LM
A
F
s
s . 
Supondo que uma pessoa de 70kg esteja calçando o tênis, que o coeficiente de 
atrito entre o tênis e o solo seja de 0,5 e que a área do solado seja 0,01m2, 
então, teremos: 
)100,2)(01,0(
)78,9)(70(5,0
tan
tan
2
2
52
m
N
s
m
s
s
at
m
kg
AM
mg
AM
F
×
==
=
µ
θ
θ
 °== 7,9)171,0arctan(θ