AD2 Questao 3 MÉTODOS DETERMINÍSTICOS 1 Gabarito

Prévia do material em texto

MD1 – AD2 – Gabarito da Questa˜o 3 – 2016.2
Questa˜o 3
Uma empresa fara´ investimentos nas a´reas de produc¸a˜o e publicidade. Na reunia˜o em que se iria decidir como o
dinheiro seria investido,
• o diretor de produc¸a˜o disse que investir R$6.000,00 na a´rea seria a opc¸a˜o mais adequada em termos de custo-benef´ıcio,
mas que tambe´m pode-se trabalhar com a margem de R$2.000,00, para mais ou menos, a depender das escolhas
estrate´gicas a serem adotadas;
• o diretor de marketing disse que pesquisas apontam o valor de R$5.000,00 como o ideal a ser investido em publicidade.
Ele acredita, pore´m, que seja razoa´vel considerar uma margem de erro, para mais ou para menos, de R$1.000,00
neste nu´mero;
• e o diretor financeiro lembrou que a soma do investimento nas duas a´reas deve ser R$10.000,00.
Podemos representar o investimento a ser feito como um ponto no plano cartesiano, com o investimento em produc¸a˜o
representando coordenada horizontal x e o investimento em publicidade representando a coordenada vertical y. Um inves-
timento, que chamaremos de I1, de R$2.000 em produc¸a˜o e R$7.000,00 em publicidade, por exemplo, seria representado
pelo ponto I1 = (2.000, 7.000). Um investimento I2, de R$1.000 em produc¸a˜o e R$5.000,00 em publicidade, por exemplo,
seria representado pelo ponto I2 = (1.000, 5.000). Estes pontos esta˜o representados no plano abaixo.
Um investimento que se adequasse a` proposta do diretor de produc¸a˜o satisfaria a` inequac¸a˜o modular
|x− 6.000| 6 2.000
e estaria na regia˜o do plano representada abaixo:
1
Note que a regia˜o acima e´ o conjunto de todos os pontos (x, y) tais que 4.000 6 x 6 8.000, isto e´, o investimento em
produc¸a˜o (coordenada horizontal) esteja dentro da margem de R$2.000,00 do proposto pelo diretor da a´rea. Repare ainda
que, na regia˜o acima, y > 0, pois na˜o se cogita fazer um investimento negativo!
A partir disso,
(a) Deˆ a inequac¸a˜o modular satisfeita por todos os investimentos (x, y) que satisfazem a` condic¸a˜o imposta pelo diretor
de marketing.
Soluc¸a˜o: O investimento em marketing e´ representado pela coordenada y. Assim, se o investimento em marketing
deve estar pro´ximo a R$5.000,00, na˜o distando deste valor mais do que R$1.000,00, temos
|y − 5.000| 6 1.000.
(b) Represente a regia˜o do plano onde podem estar os investimentos (x, y), de acordo com o diretor de marketing.
Soluc¸a˜o: Como a inequac¸a˜o |y − 5.000| 6 1.000, obtida no item anterior, corresponde a
4.000 6 y 6 6.000,
a regia˜o dos pontos (x, y) que esta˜o de acordo com a proposta do diretor de marketing e´ dada por
(c) Expresse, por meio de uma equac¸a˜o em x e y, a condic¸a˜o lembrada pelo diretor financeiro e represente os pontos
correspondentes no sistema de coordenadas.
2
Soluc¸a˜o: Segundo o diretor financeiro, a soma dos investimentos deve ser de R$10.000,00. Assim,
x + y = 10.000.
Estes representam uma reta. Para obtermos dois pontos desta reta, vamos fazer x = 0 e depois y = 0.
• Fazendo x = 0, temos y = 10.000 e, portanto, o ponto (0, 10000).
• Fazendo y = 0, temos x = 10.000 e, portanto, o ponto (10000, 0).
Esboc¸ando esta reta, temos
Conve´m, pore´m, observar que os investimentos na˜o podem ser negativo, isto e´, devemos ter x > 0 e y > 0. Com isso,
a reta acima fica restrita ao segmento esboc¸ado abaixo:
[Este u´ltimo detalhe na˜o sera´ levando em conta na correc¸a˜o.]
(d) Esboce o conjunto dos pontos do plano que cumprem, simultaneamente, com as treˆs condic¸o˜es lembradas pelos
diretores.
Soluc¸a˜o: Vamos, inicialmente, esboc¸ar as treˆs condic¸o˜es no mesmo sistema de coordenadas.
3
A intersec¸a˜o do segmento de reta com as regio˜es dadas pelas desigualdades e´ o segmento esboc¸ado abaixo.
(e) Quase ao final da reunia˜o, o dono da empresa chegou e alertou que a distaˆncia, no sistema de coordenadas, entre o
ponto (4.000, 6.000) e o investimento a ser feito na˜o poderia ser maior do que 10.000. Deˆ a inequac¸a˜o satisfeita pelo
conjuntos dos investimentos (isto e´, dos pontos (x, y)) que cumprem a condic¸a˜o imposta pelo dono.
Soluc¸a˜o: A condic¸a˜o imposta pelo dono e´ dada por√
(x− 4000)2 + (y − 6000)2 6 10000,
ou ainda
(x− 4000)2 + (y − 6000)2 6 100002.
Esta condic¸a˜o representa os pontos interiores ao c´ırculo de centro (4.000, 6.000) e raio 10.000, bem como os pontos
da circunfereˆncia. Esta regia˜o esta´ esboc¸ada abaixo:
4
Mais uma vez podemos considerar que os investimentos x e y na˜o podem ser negativos, obtendo a regia˜o esboc¸ada
abaixo.
[Este u´ltimo detalhe na˜o sera´ levando em conta na correc¸a˜o.]
(f) Represente o conjunto dos investimentos (pontos (x, y)) que cumprem todas as condic¸o˜es impostas pelos diretores e
pelo dono.
Soluc¸a˜o: Todos os investimentos que atendem aos diretores de produc¸a˜o, marketing e financeiros esta˜o dentro das
condic¸o˜es impostas pelo dono. Realmente, veja que os extremos do segmento obtido no item (d) tem seus extremos
dentro do c´ırculo. O extremo (4.000, 6.000) e´ o pro´prio centro, logo esta´ dentro do c´ırculo. Ja´ para o extremo
(6.000, 4.000), temos
d ((4.000, 6.000), (6.000, 4.000)) =
√
(4.000− 6.000)2 + (6.000− 4.000)2 =
√
2.0002 + 2.0002 = 2.000
√
2 6 10.000,
pois
√
2 < 2. Assim, o esboc¸o da intersec¸a˜o das quatro regio˜es, sera´ o pro´prio esboc¸o obtido no item (d).
5
6