AD2 Questao 4 MÉTODOS DETERMINÍSTICOS 1 Gabarito

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MD1 – AD2 – Gabarito da Questa˜o 4 – 2016.2
(A) Deˆ todas as soluc¸o˜es do sistema de equac¸o˜es abaixo x + 2(y + 3)
2 = 28 + 12y
4x− y2 = 4
Soluc¸a˜o: Simplificando a primeira equac¸a˜o, temos
x + 2(y + 3)2 = 28 + 12y ⇔ x + 2(y2 + 6y + 9) = 28 + 12y ⇔ x + 2y2 + 12y + 18 = 28 + 12y ⇔ x + 2y2 = 10.
Assim, o sistema se torna  x + 2y
2 = 10
4x− y2 = 4
e, para resolveˆ-lo, podemos multiplicar a segunda equac¸a˜o por 2, obtendo x + 2y
2 = 10
8x− 2y2 = 8,
e somar as equac¸a˜o, tendo assim
9x = 18,
e enta˜o x = 2.
Substituindo em uma das equac¸o˜es, na primeira, por exemplo, temos
2 + 2y2 = 10,
logo 2y2 = 8, e enta˜o y2 = 4. Com isso, temos y = −2 ou y = 2. Assim, a soluc¸a˜o do sistema e´ dada por
S = {(2,−2), (2, 2)}.
(B) Esboce o conjunto soluc¸a˜o da equac¸a˜o (x−1)2(y+ 4)4 = 0, isto e´, o conjunto de todos os pontos (x, y) que satisfazem
esta equac¸a˜o. Dica: Lembre-se de que o produto de dois nu´meros reais e´ 0 se, e somente se, um deles e´ igual a 0.
Soluc¸a˜o: Seguindo a dica,
(x− 1)2(y + 4)4 = 0 ⇔ (x− 1)2 = 0 ou (y + 4)4 = 0
⇔ x− 1 = 0 ou y + 4 = 0
⇔ x = 1 ou y = −4.
Vamos pensar sobre o que acabamos de encontrar. Um ponto (x, y) satisfaz a equac¸a˜o (x − 1)2(y + 4)4 = 0 se, e
somente se, x = 1 ou y = −4, isto e´, se o ponto (x, y) pertence a` reta vertical x = 1 ou a` reta horizontal y = −4. Isto
significa que todos os pontos que satisfazem a` equac¸a˜o esta˜o na unia˜o das retas x = 1 ou y = −4. Assim, o conjunto
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soluc¸a˜o da equac¸a˜o pode ser esboc¸ado como abaixo:
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