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AP2-MetDet1-2016-1-gabarito

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Fundac¸a˜o Centro de Cieˆncias e Educac¸a˜o Superior a Distaˆncia do Estado do Rio de Janeiro
Centro de Educac¸a˜o Superior a Distaˆncia do Estado do Rio de Janeiro
AP2 – Me´todos Determin´ısticos I – 2016-1
Nome: Matr´ıcula:
Polo: Data:
Atenc¸a˜o!
• Identifique a Prova, colocando Nome, Matr´ıcula, • O desenvolvimento das questo˜es pode ser a la´pis. No entanto,
Polo e Data; as respostas devera˜o estar necessariamente a` caneta;
• E´ expressamente proibido o uso de calculadoras; • E´ expressamente proibido o uso de corretivo nas respostas.
• Devolver a prova e a folha de respostas ao res- • As respostas devem estar acompanhadas de justificativa.
ponsa´vel; Respostas sem justificativa na˜o sera˜o consideradas.
Este texto e´ comum as Questo˜es 1, 2, 3 e 4 a seguir.
Vamos imaginar que o bairro B esta´ representado no plano cartesiano, de forma que a origem e´
o ponto onde o Hospital H se encontra, o norte e o sul sa˜o representados no eixo y e o leste e o
oeste sa˜o representados no eixo x. Sabe-se que uma casa noturna sera´ constru´ıda no bairro e que
sua localizac¸a˜o, no plano, corresponde ao ponto
(
−2
5
, 3
)
. Uma fam´ılia deseja comprar uma casa
neste bairro e a localizac¸a˜o da casa nova sera´ representada, no plano, por (x, y).
Com base nestas informac¸o˜es, responda as Questo˜es 1, 2, 3 e 4 a seguir.
Questa˜o 1 (1.2 pt) Pedro, o marido, exige que o corretor procure apenas casas localizadas em
pontos (x, y), tais que a abscissa x diste mais do que 3km da abscissa da futura casa noturna. Qual
e´ a inequac¸a˜o modular (na varia´vel x) que o corretor deve resolver para encontrar os valores de x
que satisfazem a exigeˆncia de Pedro? Encontre o conjunto soluc¸a˜o da inequac¸a˜o e o apresente na
forma de um intervalo ou de uma unia˜o de intervalos.
Soluc¸a˜o: Observe que o marido refere-se apenas a`s abscissas da casa e da futura casa noturna.
Portanto, ele esta´ se referindo a pontos da reta. Ale´m disso, sabemos que a distaˆncia entre dois
pontos a e b da reta, i.e. a, b ∈ R, e´ dada por |a− b|. Como a abscissa da futura casa noturna e´ −2
5
e a da casa e´ x, e a distaˆncia entre elas deve ser maior do que 3, temos que a inequac¸a˜o modular
que modela o problema e´ ∣∣∣∣x− (−25
)∣∣∣∣ > 3,
ou seja,
⇔
∣∣∣∣x+ 25
∣∣∣∣ > 3.
Me´todos Determin´ısticos I AP2 2
Para resolver a inequac¸a˜o acima, vamos utilizar o Teorema 2 do EP9, que diz que para c e d reais,
|c| > d ⇔ (c < −d ou c > d). Desta forma, tomando c = x+ 2
5
e d = 3, temos que∣∣∣∣x+ 25
∣∣∣∣ > 3 ⇐⇒ x+ 25 < −3 ou x+ 25 > 3
⇐⇒ x < −3− 2
5
ou x > 3− 2
5
⇐⇒ x < −3 · 5
5
− 2
5
ou x >
3 · 5
5
− 2
5
⇐⇒ x < −15
5
− 2
5
ou x >
15
5
− 2
5
⇐⇒ x < −17
5
ou x >
13
5
.
⇐⇒ x ∈
(
−∞,−17
5
)
∪
(
13
5
,∞
)
.
Questa˜o 2 (0.4 pt) Maria, a esposa de Pedro, que e´ matema´tica, disse que ele na˜o podia ignorar
a ordenada y e pediu para o corretor procurar uma casa tal que sua distaˆncia ao ponto onde seria
constru´ıda a casa noturna fosse maior do que 3km. Qual e´ a inequac¸a˜o (nas varia´veis x e y) que o
corretor tera´ que resolver para atender a restric¸a˜o que Maria impoˆs? Na˜o resolva-a! Apenas apresente
a inequac¸a˜o.
Soluc¸a˜o: Observe que Maria, diferentemente de Pedro, refere-se a pontos do plano. Sabemos que
a distaˆncia, d, entre dois pontos (x1, y1) e (x2, y2) em R2 e´ dada por
d =
√
(x2 − x1)2 + (y2 − y1)2.
Desta forma, como, no plano, a casa e´ representada pelo ponto (x, y) e a futura casa noturna, por(
−2
5
, 3
)
, a exigeˆncia de que a distaˆncia entre a casa e a futura casa noturna seja maior do que 3km
e´ traduzida, matematicamente, por√(
x−
(
−2
5
))2
+ (y − 3)2 > 3,
ou seja, por √(
x+
2
5
)2
+ (y − 3)2 > 3,
ou, equivalentemente, por (
x+
2
5
)2
+ (y − 3)2 > 9.
Questa˜o 3 (0.2 pt) Mais tarde, preocupada com seu marido, que trabalha no hospital H, ela ligou
para o corretor e incluiu uma nova condic¸a˜o: a distaˆncia da casa ao Hospital H deveria ser menor
ou igual a 1km. Qual e´ a nova inequac¸a˜o que o corretor tera´ que resolver para atender esta u´ltima
restric¸a˜o que Maria impoˆs? Na˜o resolva-a! Apenas apresente a inequac¸a˜o.
Fundac¸a˜o CECIERJ Conso´rcio CEDERJ
Me´todos Determin´ısticos I AP2 3
Soluc¸a˜o: Como, no plano, o Hospital H corresponde a` origem, i.e. ao ponto (0, 0), a exigeˆncia de
que a distaˆncia entre a casa e o hospital seja menor ou igual a 1km e´ traduzida, matematicamente,
por √
(x− 0)2 + (y − 0)2 ≤ 1,
ou seja, por √
x2 + y2 ≤ 1,
ou, equivalentemente, por
x2 + y2 ≤ 1.
Questa˜o 4 (0.4 pt) O corretor, cansado de tantas inequac¸o˜es, procurou a casa mais bonita. Ela
esta´ localizada no ponto
(
−2
5
,
1
4
)
. Ele apresentou a casa a` fam´ılia. Maria ficou satisfeita? Por queˆ?
Soluc¸a˜o:
O sistema de inequac¸o˜es que modela as exigeˆncias de Maria e´
√(
x+
2
5
)2
+ (y − 3)2 > 3 (i)√
x2 + y2 ≤ 1 (ii)
,
ou, equivalentemente, { (
x+
2
5
)2
+ (y − 3)2 > 9 (iii)
x2 + y2 ≤ 1 (iv)
Para sabermos se a localizac¸a˜o da casa apresentada pelo corretor atende a`s restric¸o˜es impostas por
Maria, vamos substituir o ponto dado nas inequac¸o˜es (iii) e (iv). Desta forma, conforme pode ser
visto abaixo, a casa satisfaz a condic¸a˜o representada pela inequac¸a˜o (iv), mas na˜o satisfaz a condic¸a˜o
representada pela inequac¸a˜o (iii).
Fundac¸a˜o CECIERJ Conso´rcio CEDERJ
Me´todos Determin´ısticos I AP2 4

(
−2
5
+
2
5
)2
+
(
1
4
− 3
)2
> 9(
−2
5
)2
+
(
1
4
)2
≤ 1
⇔
 02 +
(
1
4
− 4 · 3
4
)2
> 9
4
25
+
1
16
≤ 1
⇔

(
1− 12
4
)2
> 9
16 · 4
25 · 16 +
25
16 · 25 ≤ 1
⇔

(
−11
4
)2
> 9
64
400
+
25
400
≤ 1
⇔

112
42
> 9
89
400
≤ 1
⇔

121
16
> 9
89
400
≤ 1
⇔
{
121 > 9 · 16
89 ≤ 400
⇔
{
121 > 144 (Falso)
89 ≤ 400 (Verdadeiro)
Logo, Maria na˜o ficou satisfeita com a localizac¸a˜o da casa, ja´ que a distaˆncia da casa a` casa noturna
na˜o sera´ maior do que 3 km.
Este texto e´ comum as Questo˜es 5, 6 e 7 a seguir.
Considere a func¸a˜o demanda D(P ) = A ·P +368 e a func¸a˜o oferta Q(P ) = 3P 2+30P − 3 ·A+15
de um determinado produto, onde A e´ uma constante real. Sabe-se que o prec¸o de equil´ıbrio e´ de
R$ 5,00.
Com base nestas informac¸o˜es, responda as Questo˜es 5, 6 e 7 a seguir.
Questa˜o 5 (1.0 pt) Determine a constante A.
Soluc¸a˜o: Sabemos que o prec¸o de equil´ıbrio e´ o valor de P em que a demanda e´ igual a oferta.
Como e´ dito que o prec¸o de equil´ıbrio e´ R$5,00, segue que
D(5) = Q(5),
ou seja,
A · 5 + 368 = 3 · 52 + 30 · 5− 3 · A+ 15.
Fundac¸a˜o CECIERJ Conso´rcio CEDERJ
Me´todos Determin´ısticos I AP2 5
Para descobrirmos o valor de A, vamos resolver a equac¸a˜o acima.
A · 5 + 368 = 3 · 52 + 30 · 5− 3 · A+ 15 ⇐⇒ A · 5 + 368 = 3 · 25 + 150− 3 · A+ 15
⇐⇒ A · 5 + 368 = 75 + 150− 3 · A+ 15
⇐⇒ A · 5 + A · 3 = −368 + 75 + 150 + 15
⇐⇒ A · 8 = −368 + 75 + 150 + 15
⇐⇒ A · 8 = −128
⇐⇒ A = −128
8
⇐⇒ A = −16.
Questa˜o 6 (0.8 pt) Qual e´ a quantidade de equil´ıbrio?
Soluc¸a˜o: Sustituindo A = −16 nas equac¸o˜es de demanda e de oferta, ebcontramos que
D(P ) = −16 · P + 368
e
Q(P ) = 3P 2 + 30P − 3 · (−16) + 15 = 3P 2 + 30P + 63.
Substituindo, enta˜o, P = 5 em qualquer uma das equac¸o˜es, encontramos que
D(5) = −16 · 5 + 368 = −80 + 368 = 288
e, da mesma forma,
Q(5) = 3 · 52 + 30 · 5 + 63 = 3 · 25 + 150 + 63 = 75 + 150 + 63 = 288.
Questa˜o 7 (0.5 pt) A partir de que prec¸o na˜o ha´ mais demanda do produto (D = 0)?
Soluc¸a˜o: Na˜o haver mais demanda do produto, significa que a demanda e´ zero. O prec¸o P0 a partir
do qual na˜o ha´ mais demanda do produto e´ dado, portanto, pela equac¸a˜o
D(P0) = −16P0 + 368 = 0.
Resolvendo a equac¸a˜o acima, temosque
−16P0 + 368 = 0 ⇐⇒ −16P0 = −368
⇐⇒ P0 = 368
16
⇐⇒ P0 = 23.
Quando o prec¸o chega a R$23,00, na˜o ha´ mais demanda do produto.
Fundac¸a˜o CECIERJ Conso´rcio CEDERJ
Me´todos Determin´ısticos I AP2 6
Questa˜o 8 (2.0 pt) Um pintor precisa de tinta branca e azul para pintar uma escola. O prec¸o do
gala˜o de tinta branca e´ R$102,00 e do tinta azul e´ R$178,00. Sabe-se que o pintor comprou 48
galo˜es e que gastou R$5.732,00. Quantos galo˜es de tinta branca ele comprou? Quantos galo˜es de
tinta azul ele comprou?
Soluc¸a˜o: Vamos definir as seguintes varia´veis:
b - nu´mero de galo˜es de tinta branca comprado.
a - nu´mero de galo˜es de tinta azul comprado.
Portanto, como o pintor comprou 48 galo˜es, temos que
b+ a = 48.
Ale´m disso, temos que
102 · b - representa o dinheiro gasto na compra dos galo˜es de tinta branca.
178 · a - representa o dinheiro gasto na compra dos galo˜es de tinta azul.
Portanto, como o pintor gastou R$5.732,00 na compra das tintas, temos que
102 · b+ 178 · a = 5.732.
Sendo assim, a e b devem satisfazer o sistema de equac¸o˜es{
b+ a = 48 (i)
102b+ 178a = 5.732 (ii)
Vamos, enta˜o, resolver esse sistema.
Multiplicando a equac¸a˜o (i) por −102 e depois somando as duas equac¸o˜es, i.e., fazendo −102(i) +
(ii), temos 
−102b− 102a = −102 · (48)
102b+ 178a = 5.732
+
(178− 102) a = 5732− 4896
Encontramos enta˜o que
76a = 836⇐⇒ a = 836
76
⇐⇒ a = 11.
Substituindo agora a = 11 em (i), chegamos a
a+ b = 48 ⇐⇒ 11 + b = 48
⇐⇒ b = 48− 11
⇐⇒ b = 37.
Portanto, o pintor comprou 11 galo˜es de tinta azul e 37 galo˜es de tinta branca.
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Me´todos Determin´ısticos I AP2 7
Este texto e´ comum as Questo˜es 9, 10, 11 e 12 a seguir.
Considere as func¸o˜es f(x) = 7− 4x e g(x) = 6x2 + 5x− 6. A func¸a˜o F e´ definida como
F (x) =
√
g(x)√
f(x)
.
Com base nestas informac¸o˜es, responda as Questo˜es 9, 10, 11 e 12 a seguir.
Questa˜o 9 (0.4 pt) Esboc¸e o gra´fico da func¸a˜o f
Soluc¸a˜o: Observe que a func¸a˜o f e´ uma func¸a˜o afim, de modo que seu gra´fico e´ uma reta. Mais
especificamente, o gra´fico da func¸a˜o f e´ a reta y = 7− 4x. Desta forma, para determinar o gra´fico
da func¸a˜o f , basta determinarmos dois pontos da reta. Vamos determinar as intersec¸o˜es da reta
como os eixos y e x. Neste caso, temos que
• x = 0⇐⇒ y = 7. Ou seja, (0, 7) e´ um ponto da reta.
• y = 0⇐⇒ 7− 4x = 0⇐⇒ −4x = −7⇐⇒ x = 7
4
. Ou seja,
(
7
4
, 0
)
e´ um ponto da reta.
Na Figura 1 plotamos o gra´fico da func¸a˜o f .
7
4
x
7
y
Figura 1: Questa˜o 9
Questa˜o 10 (0.8 pt) Esboc¸e o gra´fico da func¸a˜o g
Soluc¸a˜o: Observe que a func¸a˜o g e´ uma func¸a˜o quadra´tica, de modo que seu gra´fico e´ uma para´bola.
Mais especificamente, o gra´fico da func¸a˜o g e´ a para´bola y = 6x2 +5x− 6. Note que esta para´bola
possui concavidade voltada para cima, pois o coeficiente de x2 e´ positivo. Lembre-se ainda, que para
determinar a para´bola y = 6x2+5x− 6 (gra´fico da func¸a˜o g), e´ necessa´rio, no m´ınimo, treˆs pontos.
Neste caso, vamos encontrar os pontos de intersec¸o˜es da para´bola como os eixos coordenados e seu
ve´rtice. Temos assim, que
Fundac¸a˜o CECIERJ Conso´rcio CEDERJ
Me´todos Determin´ısticos I AP2 8
• x = 0⇐⇒ y = 6(0)2 + 5(0)− 6 = −6.
Portanto, a para´bola intercepta o eixo y no ponto (0,−6).
•
6x2 + 5x− 6 = 0 ⇐⇒ x = −5±
√
52 − 4(6)(−6)
2 · 6
⇐⇒ x = −5±
√
25 + 144
12
⇐⇒ x = −5±
√
169
12
⇐⇒ x = −5± 13
12
⇐⇒ x = −5− 13
12
ou x =
−5 + 13
12
⇐⇒ x = −18
12
ou x =
8
12
⇐⇒ x = −3
2
ou x =
2
3
.
Portanto, a para´bola intercepta o eixo x nos pontos
(
−3
2
, 0
)
e
(
2
3
, 0
)
.
• O ve´rtice (xv, yv) da para´bola tem coordenadas
(xv, yv) =
(
− b
2a
,−∆
4a
)
=
(
− 5
2(6)
,−(169)
4(6)
)
=
(
− 5
12
,−169
24
)
.
Na Figura 2 plotamos o gra´fico da func¸a˜o f .
-
3
2
-
5
12
2
3
x
-
169
24
-6
y
Figura 2: Questa˜o 10
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Me´todos Determin´ısticos I AP2 9
Questa˜o 11 (0.6 pt) Determine o ponto em que a func¸a˜o g atinge seu m´ınimo. Qual e´ este valor
m´ınimo?
Soluc¸a˜o: O ponto em que a func¸a˜o g atinge seu m´ınimo e´ dado pelo x do ve´rtice da para´bola,
calculado acima em xv = − 5
12
e o valor do m´ınimo e´ dado pelo y do ve´rtice da para´bola, calculado
acima em yv = −169
24
.
Questa˜o 12 (1.7 pt) Determine, na forma de intervalo ou de uma unia˜o finita de intervalos, o
dom´ınio da func¸a˜o F
Soluc¸a˜o: Observe que na definic¸a˜o da func¸a˜o F , tomamos a raiz quadrada da func¸a˜o f , da func¸a˜o
g e ainda realizamos o quociente entre as duas raizes. Portanto, para que a func¸a˜o F esteja bem
definida, precisamos que todas estas operac¸o˜es sejam va´lidas. Isto significa que, o que for radicando,
ou seja, o que estiver dentro do s´ımbolo de raiz quadrada, precisara´ ser maior ou igual a zero e, o
que for denominador, precisara´ ser diferente de zero. Desta forma, o dom´ınio de F e´ formado pelos
valores de x ∈ R, tais que f(x) > 0 e g(x) ≥ 0. Desta forma, temos que
f(x) > 0 ⇔ 7− 4x > 0
⇔ −4x > −7
⇔ x < 7
4
⇔ x ∈
(
−∞, 7
4
)
e
g(x) ≥ 0 ⇔ 6x2 + 5x− 6 ≥ 0
⇔ x ≤ −3
2
ou x ≥ 2
3
,
⇔ x ∈
(
−∞,−3
2
]
∪
[
2
3
,∞
)
Portanto, o dom´ınio de F e´ dado por
x ∈
((
−∞,−3
2
]
∪
[
2
3
,∞
))
∩
(
−∞, 7
4
)
x ∈
(
−∞,−3
2
]
∪
[
2
3
,
7
4
)
Explicamos a seguir como resolver a inequac¸a˜o 6x2 + 5x− 6 ≥ 0.
Podemos resolver a inequac¸a˜o utilizando nossos conhecimentos de para´bola. Desta forma, chamando
y de 6x2+5x− 6, isto e´ y = 6x2+5x− 6, podemos estudar o sinal da inequac¸a˜o 6x2+5x− 6 ≥ 0
estudando o sinal do y da para´bola. Conforme calculado na Questa˜o 10, as ra´ızes da equac¸a˜o
6x2+5x−6 = 0, sa˜o x = 2
3
e x = −3
2
. Como a = 6 > 0, temos que a para´bola possui concavidade
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Me´todos Determin´ısticos I AP2 10
para cima, cortando o eixo x em x =
2
3
e x = −3
2
. Desta forma, y sera´ positivo para valores de x,
tais que, x ≤ −3
2
ou x ≥ 2
3
.
Uma forma alternativa de fazer a ana´lise de sinal para a inequac¸a˜o
6x2 + 5x− 6 = 6
(
x+
3
2
)(
x− 2
3
)
≥ 0
e´ utilizar a tabela abaixo.
(−∞,−3/2) (−3/2, 2/3) (2/3,∞)
sinal de 6 + + +
sinal de
(
x+
3
2
)
− + +
sinal de
(
x− 2
3
)
− − +
sinal de 6
(
x+
3
2
)(
x− 2
3
)
+ − +
Como vemos na tabela acima,
6x2 + 5x− 6 = 6
(
x+
3
2
)(
x− 2
3
)
≥ 0 ⇐⇒ x ≤ −3
2
ou x ≥ 2
3
.
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