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Fundação Centro de Ciências e Educação Superior a Distância do Estado do Rio de Janeiro Centro de Educação Superior a Distância do Estado do Rio de Janeiro EP12 � Gabarito � Métodos Determinísticos I � 2016-2 Neste EP vamos trabalhar o conteúdo estudado nas Aulas 13 e 14 do Caderno Didático. Exercício 1 Num baú há 10 brinquedos diferentes. Pedro, Maria e Carlos, 3 crianças, abrem o baú e Pedro pega 2 brinquedos, Maria pega 4 e Carlos pega 3 brinquedos. Para cada item a seguir, decida se a relação entre conjuntos indicada é, ou não é, uma função. Justifique. a) A relação entre o conjunto das crianças e o conjunto dos brinquedos do baú que liga cada criança aos brinquedos pegos por ela. b) A relação entre o conjunto das três crianças e o conjunto dos números naturais que associa cada criança ao número de brinquedos que ela pegou. c) A relação entre o conjunto dos brinquedos do baú e o conjunto das crianças que liga cada brinquedo do baú à criança que o pegou. d) A relação entre o conjunto dos brinquedos pegos e o conjunto das crianças que associa cada brinquedo pego à criança que o pegou. Solução: a) Não é função, pois cada criança pegou mais de um brinquedo, e uma função deve associar cada elemento do conjunto domínio a um único elemento do contra-domínio. b) É função, pois para cada elemento do conjunto domínio, isto é, cada criança, está assinalado um único elemento do conjunto contra-domínio, isto é, um único número natural. c) Não é função, pois há brinquedos no baú que não foram pegos por nenhuma criança. Para que a relação seja função todo elemento do domínio deve estar relacionado a um (e apenas um) elemento do contra-domínio. d) É função, pois cada elemento do domínio, isto é, cada brinquedo pego, foi pego por uma e apenas uma criança, estando assim associado a um único elemento do contra-domínio. Exercício 2 Considere a função f , dada por f(x) = −3x ( x + 2 3 ) + x2, x ∈ R. Determine o que é pedido em cada item a seguir. a) f ( 1 2 ) b) f (a− b) , a, b ∈ R c) f (x2) , x ∈ R Solução: Métodos Determinísticos I EP12 2 a) f ( 1 2 ) = −3 ( 1 2 )( 1 2 + 2 3 ) + ( 1 2 )2 = −3 2 ( 3 6 + 4 6 ) + 1 4 = −3 2 ( 7 6 ) + 1 4 = −7 4 + 1 4 = −6 4 = −3 2 b) f (a− b) = −3 (a− b) ( a− b + 2 3 ) + (a− b)2 = −3 [ (a− b) (a− b) + 2 3 (a− b) ] + a2 − 2ab + b2 = −3 [( a2 − 2ab + b2 + 2 3 a− 2 3 b )] + a2 − 2ab + b2 = −3a2 + 6ab− 3b2 − 2a + 2b + a2 − 2ab + b2 = −2a2 + 4ab− 2b2 − 2a + 2b c) f ( x2 ) = −3 (x2)(x2 + 2 3 ) + ( x2 )2 = −3 ( x4 + 2 3 x2 ) + x4 = −3x4 − 2x2 + x4 = −2x4 − 2x2 = −2x2(x2 + 1) Exercício 3 Em cada item a seguir, considere as funções dadas por suas regras e encontre o domínio das mesmas. Isto é, para cada caso, encontre o maior subconjunto de R para o qual a regra faz sentido, ou seja, o maior subconjunto de R, de modo que se aplicarmos a regra dada a um elemento deste conjunto, obteremos um número real. Fundação CECIERJ Consórcio CEDERJ Métodos Determinísticos I EP12 3 a) f1(x) = √ x + 5 b) f2(x) = 3 √ x + 5 c) f3(x) = √ x2 − 49 +√−(x− 2)(x− 9) d) f4(x) = x + 2 x− 1 e) f5(x) = 1 x2 − 5x + 6 Solução: a) Na expressão de f1, como extraímos a raiz quadrada do polinômio x+ 5, é preciso que x+ 5 seja maior ou igual a zero para que esta raiz esteja definida. Portanto, Dom(f1) = {x ∈ R;x + 5 ≥ 0} = {x ∈ R;x ≥ −5} = [−5,∞). b) Na expressão de f2, extraímos a raiz cúbica do polinômio x + 5. Como raiz cúbica está definida para todos os reais, não há qualquer restrição. Portanto, Dom(f2) = R. c) Na expressão de f3, como extraímos a raiz quadrada do polinômio x 2 − 49 e do polinômio −(x− 2)(x− 9), é preciso que estes polinômios sejam ambos maiores ou igual a zero para que estas raizes estejam definidas. Portanto, Dom(f3) = {x ∈ R;x2 − 49 ≥ 0 e − (x− 2)(x− 9) ≥ 0} = {x ∈ R; (x− 7)(x + 7) ≥ 0 e (x− 2)(x− 9) ≤ 0} = {x ∈ R; (x ≤ −7 ou x ≥ 7) e (2 ≤ x ≤ 9)} = [7, 9]. Confira pelas tabelas a seguir. (−∞,−7) (−7, 7) (7,∞) x + 7 − + + x− 7 − − + (x− 7)(x + 7) + − + (−∞, 2) (2, 9) (9,∞) x− 2 − + + x− 9 − − + (x− 2)(x− 9) + − + Nas tabelas anteriores trabalhamos com intervalos abertos. Para complementar, é importante obser- var que: (x− 7)(x + 7) = 0 ⇐⇒ x− 7 = 0 ou x + 7 = 0 ⇐⇒ x = 7 ou x = −7, Fundação CECIERJ Consórcio CEDERJ Métodos Determinísticos I EP12 4 e (x− 2)(x− 9) = 0 ⇐⇒ x− 2 = 0 ou x− 9 = 0 ⇐⇒ x = 2 ou x = 9. Desta forma, segue que (x− 7)(x + 7) ≥ 0 ⇐⇒ x ≤ −7 ou x ≥ 7 e (x− 2)(x− 9) ≤ 0 ⇐⇒ 2 ≤ x ≤ 9. Finalmente, observe que o intervalo [7, 9] foi obtido pela interseção dos conjuntos {x ∈ R;x ≤ −7 ou x ≥ 7} e {x ∈ R; 2 ≤ x ≤ 9}. d) Na expressão de f4, temos o polinômio x − 1 no denominador. Como o denominador não pode ser zero, devemos excluir a raiz deste polinômio, que é x = 1. Desta forma, segue que Dom(f4) = R\{1} = {x ∈ R;x < 1 ou x > 1} = (−∞, 1) ∪ (1∞). e) Na expressão de f5, temos o polinômio x 2 − 5x + 6 no denominador. Como o denominador não pode ser zero, devemos buscar as raízes deste polinômio e excluí-las do domínio. Por Bhaskara, vemos que as raízes são 2 e 3. Então o domínio é R\{2, 3}. Dom(f5) = R\{2, 3} = {x ∈ R;x < 2 ou 2 < x < 3 ou x > 3} = (−∞, 2) ∪ (2, 3) ∪ (3,∞). Exercício 4 Verifique se as funções f e g dadas abaixo são iguais. f(x) = √ (x− 2)(x− 3) e g(x) = √ (x− 2) √ (x− 3). Solução: A função f não é igual à função g, pois seus domínios são diferentes. De fato, na expressão de f , como extraímos a raiz quadrada do polinômio (x−2)(x−3), é preciso que este polinômio seja maior ou igual a zero para que esta raiz esteja definida. Desta forma, temos que Dom(f) = {x ∈ R; (x− 2)(x− 3) ≥ 0} = {x ∈ R;x ≤ 2 ou x ≥ 3}. Confira pela tabela a seguir. Fundação CECIERJ Consórcio CEDERJ Métodos Determinísticos I EP12 5 (−∞, 2) (2, 3) (3,∞) x− 2 − + + x− 3 − − + (x− 2)(x− 3) + − + Na tabela anterior trabalhamos com intervalos abertos. Para complementar, é importante observar que: (x− 2)(x− 3) = 0 ⇐⇒ x− 2 = 0 ou x− 3 = 0 ⇐⇒ x = 2 ou x = 3. Desta forma, segue que (x− 2)(x− 3) ≥ 0 ⇐⇒ x ≤ 2 ou x ≥ 3. Já na expressão de g, como extraímos a raiz quadrada do polinômio (x− 2) e do polinômio (x− 3), é preciso que estes polinomios sejam ambos maiores ou iguais a zero para que estas raizes estejam definidas. Desta forma, temos que Dom(g) = {x ∈ R; (x− 2) ≥ 0 e (x− 3) ≥ 0} = {x ∈ R; (x ≥ 2) e (x ≥ 3)} = {x ∈ R;x ≥ 3}. Ou seja, Dom(g) 6= Dom(g). Exercício 5 Considere a função f dada a seguir. f(x) = √ −3x2 − 5x + 2. a) Determine, na forma de intervalo, o domínio da função f . b) Determine, na forma de intervalo, para que valores de x pertencentes ao domínio de f , temos que 3 + (f(x))2 ≥ x|x− 1|+ 5. Solução: a) Na expressão de f , como extraímos a raiz quadrada do polinômio −3x2 − 5x + 2, é preciso que este polinômio seja maior ou igual a zero para que esta raiz quadrada esteja definida. Por Bhaskara, vemos que as raízes dele são −2 e 1 3 . Desta forma, o polinômio −3x2 − 5x + 2 pode ser fatorado como, Fundação CECIERJ Consórcio CEDERJ Métodos Determinísticos I EP12 6 −3x2 − 5x + 2 = −3 ( x− 1 3 ) (x + 2) = −3 ( x2 + 5 3 x− 2 3 ) . Portanto, Dom(f) = {x ∈ R;−3 ( x− 1 3 ) (x + 2) ≥ 0} = {x ∈ R; ( x− 1 3 ) (x + 2) ≤ 0} = { x ∈ R;−2 ≤ x ≤ 1 3 } = [ −2, 1 3 ] . Confira pela tabela a seguir. (−∞,−2) (−2, 1/3) (1/3,∞) x + 2 − + + x− 1/3 − − + (x + 2)(x− 1/3) + − + Na tabela anterior trabalhamos com intervalos abertos. Para complementar, é importante observar que: (x + 2)(x− 1/3) = 0 ⇐⇒ x + 2 = 0 ou x− 1/3 = 0 ⇐⇒ x = −2 ou x =1/3. Desta forma, segue que (x + 2)(x− 1/3) ≤ 0 ⇐⇒ −2 ≤ x ≤ 1/3. b) Observe que (f(x))2 = −3x2 − 5x + 2, x ∈ [ −2, 1 3 ] . Para determinar os valores de x ∈ [ −2, 1 3 ] que satisfazem a desigualdade 3 + (f(x))2 ≥ x|x− 1|+ 5, devemos, portanto, resolver a inequação 3 + (−3x2 − 5x + 2) ≥ x|x− 1|+ 5, x ∈ [ −2, 1 3 ] . Fundação CECIERJ Consórcio CEDERJ Métodos Determinísticos I EP12 7 Uma vez que |x− 1| = { x− 1, se x ≥ 1 1− x, se x < 1 , como x ∈ [ −2, 1 3 ] , temos que x < 1, de modo que |x− 1| = 1− x. Desta forma, 3 + (f(x))2 ≥ x|x− 1|+ 5, x ∈ [ −2, 1 3 ] ⇐⇒ 3− 3x2 − 5x + 2 ≥ x(1− x) + 5, x ∈ [ −2, 1 3 ] ⇐⇒ 3− 3x2 − 5x + 2 ≥ x− x2 + 5, x ∈ [ −2, 1 3 ] ⇐⇒ −2x2 − 6x ≥ 0, x ∈ [ −2, 1 3 ] ⇐⇒ x2 + 3x ≤ 0, x ∈ [ −2, 1 3 ] ⇐⇒ x(x + 3) ≤ 0, x ∈ [ −2, 1 3 ] ⇐⇒ x ∈ [−3, 0], x ∈ [ −2, 1 3 ] . ⇐⇒ x ∈ [−2, 0]. Observe que concluímos que x ∈ [−2, 0], uma vez que x deve pertencer ao intervalo [−3, 0] e deve estar no domínio da função f , que é o intervalo [ −2, 1 3 ] . Desta forma, x ∈ [−3, 0]∩ [ −2, 1 3 ] = [−2, 0] Confira pela tabela a seguir a determinação do conjunto solução da inequação x2 + 3x = x(x + 3) ≤ 0. (−∞,−3) (−3, 0) (0,∞) x + 3 − + + x − − + x(x + 3) + − + Na tabela anterior trabalhamos com intervalos abertos. Para complementar, é importante observar que: x(x + 33) = 0 ⇐⇒ x = 0 ou x + 3 = 0 ⇐⇒ x = 0 ou x = −3. Desta forma, segue que x(x + 3) ≤ 0 ⇐⇒ −3 ≤ x ≤ 0. Fundação CECIERJ Consórcio CEDERJ Métodos Determinísticos I EP12 8 Exercício 6 Esboce os gráficos das funções dadas a seguir. a) f(x) = x2 − x− 2 b) g(x) = x2 + 4x + 6 c) h(x) = −x + 7 d) r(x) = 2x− 5 Solução: Note que os gráficos das funções f e g são parábolas e os das funções h e r são retas. a) Usando Bhaskara, podemos encontrar as raízes da equação. A partir das raízes podemos encontrar o vértice. Veja que estes pontos estão todos marcados no gráfico. b) Neste item, quando usamos Bhaskara descobrimos que não há raízes reais para essa função. Então precisamos determinar 3 pontos de alguma outra forma. É simples, vamos encontrar primeiro o ponto (0, g(0)). Substituindo x por 0, temos g(0) = 6. Podemos, agora, encontrar o outro ponto em que g vale 6: g(x) = 6⇔ x2 + 4x + 6 = 6⇔ x2 + 4x = 0⇔ x(x + 4) = 0⇔ x = 0 ou x = −4. Como pode ser visto no gráfico, o valor da coordenada x do vértice deve ser a média entre 0 e -4, isto é, no vértice temos x = −2. Calculando o valor da função nesse ponto, obtemos nossos três pontos para traçar o gráfico. Fundação CECIERJ Consórcio CEDERJ Métodos Determinísticos I EP12 9 c) Nesse item e no próximo, como os gráficos das funções são retas, basta determinarmos dois pontos de cada uma das retas. Vamos escolher estes dois pontos como sendo os pontos de interseção destas retas com os eixos coordenados. Assim, neste caso, em que h(x) = −x + 7, para encontrar os dois pontos de interseção da reta y = −x + 7 com os eixos coordenados temos: - para x = 0, y = h(0) = −0 + 7 = 7. Logo, o par ordenado (0, 7) pertence ao gráfico de h. - para y = 0, 0 = h(x) = −x + 7 = 7 ⇐⇒ x = 7. Logo, o par ordenado (7, 0) pertence ao gráfico de h. d) Neste item, caso em que r(x) = 2x − 5, para encontrar os dois pontos de interseção da reta y = 2x− 5 com os eixos coordenados temos: - para x = 0, y = r(0) = 2 · (0)0− 5 = −5. Logo, o par ordenado (0,−5) pertence ao gráfico de r. - para y = 0, 0 = r(x) = 2x− 5 = 7⇐⇒ x = 5 2 . Logo, o par ordenado ( 5 2 , 0 ) pertence ao gráfico de r. Fundação CECIERJ Consórcio CEDERJ Métodos Determinísticos I EP12 10 Exercício 7 Considere as funções f(x) = −x2 + 6x + 10 e g(x) = 3x − 8. Encontre o conjunto dos valores de x para os quais f(x) ≥ g(x). Solução: Devemos resolver a inequação f(x) ≥ g(x). Temos assim, que f(x) ≥ g(x) ⇔ f(x)− g(x) ≥ 0 ⇔ −x2 + 6x + 10− (3x− 8) ≥ 0 ⇔ −x2 + 3x + 18 ≥ 0. Vamos achar as raízes da equação −x2 + 3x + 18 = 0: ∆ = 9 + 4× 18 = 9 + 72 = 81 donde x = −3±√81 −2 = −3± 9 −2 x = 6 ou x = −3. Temos portanto, que y = −x2 + 3x+ 18 é uma parábola com concavidade voltada para baixo, pois a = −1 < 0, cortando o eixo x nos pontos x = 6 e x = −3. Logo, y = −x2 + 3x + 18 será maior ou igual a zero quando esta parábola estiver acima do eixo x, o que acontece quando −3 ≤ x ≤ 6. Portanto, teremos f(x) ≥ g(x) quando x pertencer ao conjunto [−3, 6]. Observe que optamos, neste exemplo, por resolver inequação −x2 + 3x+ 18 ≥ 0 verificando quando o sinal da parábola y = −x2 + 3x + 18 é maior ou igual a zero. Poderíamos ter resolvido esta inequação fatorando −x2 + 3x + 18 = −(x− 6)(x + 3) e construindo a tabela de sinais. Contudo, agora que já sabemos construir parábolas, vamos optar por este caminho. Um bom exercício seria voltar aos exemplos anteriores e resolvê-los através de parábolas. Fundação CECIERJ Consórcio CEDERJ Métodos Determinísticos I EP12 11 Exercício 8 Às 11 horas da manhã certa caixa d'água de 1000 litros que encontra-se cheia começa a perder água por um furo na base com vazão constante. Às 17 horas, ela está com 850 litros. Responda: a) A que horas a caixa fica com 700 litros? b) A que horas a caixa fica com 500 litros? c) Encontre a função V (t) que para cada t nos dá o volume de água na caixa após t horas. d) Esboce o gráfico da função V . e) Quanto tempo levará para que a caixa fique vazia? Solução: a) Das 11 às 17 horas, passam-se 6 horas e a caixa d'água perde 150 litros. Isso significa que ela perde 25 litros por hora. Para chegar aos 700 litros, ela terá que perder mais 150 litros, logo decorrerão mais 6 horas. A caixa ficará com 700 litros às 23 horas. b) Para chegar aos 500 litros terá que perder mais 200 litros (depois de chegar a 700). Para isso serão necessárias mais 8 horas. Portq anto a caixa estará com 500 litros às 7 horas da manhã do dia seguinte. c) V (t) = 1000− 25t (veja que essa fórmula é válida até a hora em que a caixa fica vazia. Depois disso, ela continua com zero litros). d) e) Façamos V (t) = 0: 1000− 25t = 0⇔ 1000 = 25t⇔ t = 40 Logo ela ficará vazia após 40 horas (como vemos no gráfico). Fundação CECIERJ Consórcio CEDERJ Métodos Determinísticos I EP12 12 Exercício 9 Certo banco cobra taxa de juros diária no cheque especial de 0,3% (isto é, 9% mensal). Nessas condições se você ficar devendo 1000 reais por x dias no cheque especial, vai pagar como encargos (juros) um valor y = 1000× 0, 3 100 × x. Já o cartão de crédito deste mesmo banco, em caso de atraso de pagamento, cobra uma multa fixa de 2% mais juros diários de 0,2% (isto é, 6% ao mês) sobre o valor devido. Portanto, se você ficar devendo 1000 reais no cartão de crédito por x dias (até um mês), terá como encargos (juros + multa) o valor y = 1000× 2 100 + 1000× 0, 2 100 × x. a) Uma pessoa fica devendo 1000 reais a esse banco por dez dias. Quanto pagará de encargos se a dívida for no cheque especial? b) Ainda devendo 1000 reais por 10 dias, quais serão os encargos se a dívida for no cartão de crédito? c) Devendo 1000 reais por 30 dias, quais são os encargos se a dívida for no cheque especial e quais são os encargos se a dívida for no cartão de crédito? d) Imagine que uma pessoa precisa contrair uma dívida de 1000 reais nesse banco por menos de um mês e sabe que levará exatamente x dias para pagar a dívida. Quanto deve ser x para que o cartão de crédito seja mais vantajoso? Solução: Observe que quando a pessoa fica devendo 1000 reais no cheque especial por x dias, paga como encargos y = 1000× 0, 3 100 × x = 3x e quando a dívida é no cartão de crédito, os encargos são de y = 1000× 2 100 + 1000× 0, 2 100 × x = 20 + 2x. a) Se a pessoa ficar devendo 1000 reais por 10 dias no cheque especial pagará como encargosy = 3× 10 = 30 reais. b) Se a pessoa ficar devendo 1000 reais por 10 dias no cartão de crédito pagará como encargos y = 20 + 2× 10 = 20 + 20 = 40 reais. c) Devendo 1000 reais por 30 dias, os encargos no cheque especial são de y = 3× 30 = 90 reais. e os do cartão de crédito são de y = 20 + 2× 30 = 20 + 60 = 80 reais. Fundação CECIERJ Consórcio CEDERJ Métodos Determinísticos I EP12 13 d) Para decidir entre o cheque especial e o cartão de crédito, temos que descobrir qual das duas formas resultará em menos encargos. Isto é, se vamos levar x dias para pagar a dívida, devemos usar o cheque especial se 3x < 20 + 2x, e devemos usar o cartão de crédito se 3x > 20 + 2x e podemos usar qualquer um dos dois quando valer a igualdade 3x = 20 + 2x. Vemos que 3x < 20 + 2x⇔ x < 20, isto é, devemos usar o cheque especial se pretendemos pagar a dívida em menos de 20 dias. Se pagamos em 20 dias, tanto faz usar um ou outro. Para pagamentos após o vigésimo dia, é melhor que a dívida seja feita no cartão de crédito. Exercício 10 A empresa de telefonia FALE oferece aos seus clientes diversos planos de serviço para celulares. Veja alguns deles: • Plano 60: o cliente paga 60 reais e tem direito a falar 60 minutos para qualquer número fixo ou móvel (franquia de 60 minutos). Por cada minuto que exceda os 60 da franquia, o cliente deve pagar mais 90 centavos. • Plano 110: o cliente paga 80 reais e tem direito a falar 110 minutos para qualquer número fixo ou móvel (franquia de 110 minutos). Por cada minuto que exceda os 110 da franquia, o cliente deve pagar mais 60 centavos. O Plano 60 pode ser modelado pela função f : R+ → R+, onde R+ = {x ∈ R;x ≥ 0}, dada por: f(t) = { 60 , se t ≤ 60 (isto é, se a pessoa falar até 60 minutos) 60 + 0.9(t− 60) , se t > 60 (isto é, se a pessoa falar mais que 60 minutos) Acima, t é o tempo das chamadas feitas pelo cliente e f(t) nos dá quanto o cliente pagará por esse tempo usando o Plano 60. Já o Plano 110 é modelado pela pela função g : R+ → R+ dada por: g(t) = { 80 , se t ≤ 110 80 + 0.6(t− 110) , se t > 110. Acima, t também indica o tempo das chamadas feitas pelo cliente e g(t) nos dá quanto o cliente pagará por esse tempo usando o Plano 110. A seguir vemos os gráficos de cada uma dessas funções: Fundação CECIERJ Consórcio CEDERJ Métodos Determinísticos I EP12 14 Considerando as informações acima, responda aos itens a seguir. a) Se uma pessoa fala sempre 70 minutos por mês, quanto ela pagará se usar o Plano 60? E se usar o Plano 110? b) Se a pessoa falar sempre 100 minutos, quanto ela pagará mensalmente com cada um dos planos acima? c) Quanto a pessoa deve falar mensalmente para que o Plano 60 seja mais vantajoso? Qual deve ser o consumo mensal para que o Plano 110 seja mais em conta? d) A empresa FALE oferece ainda um terceiro plano, o Plano 170. Neste plano o cliente paga 100 reais por mês e usufrui de uma franquia de 170 minutos. Cada minuto excedente custa 50 centavos. Encontre a função h : R+ → R+ que modela este plano, esboce sobre a figura acima o gráfico da função h e descubra qual deve ser o consumo mensal para que este plano seja mais vantajoso que os outros dois. Solução: a) Falando 70 minutos por mês, no Plano 60, a pessoa pagará os 60 reais da franquia mais 90 centavos por cada um dos 10 minutos excedentes, resultando em 69 reais. Outra forma de fazer este cálculo é usar a fórmula da função f que nos dá o valor a ser pago nos plano 60. Para t > 60, a função nos dá que f(t) = 60 + 0, 9(t− 60), logo, f(70) = 60 + 0, 9(70− 60) = 60 + 0, 9× 10 = 69 Usando o Plano 110, a pessoa pagará os 80 reais da franquia (não há minutos excedente, pois o consumo foi menor que a franquia). b) Pelo Plano 60, a pessoa que fala 100 minutos paga f(100) = 60+0, 9(100−60) = 60+0, 9×40 = 96 reais. Usando o Plano 110, ela pagará apenas os 80 reais da franquia. c) No gráfico apresentado na questão está marcado um ponto B. À esquerda do ponto B, vemos que o Plano 60 sai mais barato, à direita do ponto B, vemos que o custo do Plano 60 ultrapassa o do Plano 110 e este último fica mais em conta. Temos então que descobrir a que tempo corresponde Fundação CECIERJ Consórcio CEDERJ Métodos Determinísticos I EP12 15 o ponto B. Pelo gráfico, vemos que este ponto encontra-se entre as retas t = 60 e t = 110. Logo, a abcissa, t, do ponto B é o valor para o qual f(t) = 60 + 0, 9(t− 60) se iguala com g(t) = 80: 60 + 0, 9(t− 60) = 80⇔ 0, 9t− 54 = 20⇔ 0, 9t = 74⇔ t = 74/0, 9 ≈ 82, 22 Desta forma, o Plano 60 é mais vantajoso se a pessoa falar até 82 minutos. A partir daí se torna mais interessante o Plano 110. d) A função h que corresponde ao Plano 170 é: h(t) = { 100 , se t ≤ 170 100 + 0.5(t− 170) , se t > 170. O gráfico é: Vemos que o Plano 170 se torna mais vantajoso à direita do ponto P. Vamos achar o tempo corres- pondente a este ponto igualando h(t) = 100 a g(t) = 80 + 0, 6(t− 110): 80 + 0, 6(t− 110) = 100⇔ 0, 6t− 66 = 20⇔ 0, 6t = 86⇔ t ≈ 143, 33 Logo, a partir de 143 minutos, o Plano 170 é o melhor dos três. Exercício 11 Acesse na internet a página http://www.uff.br/cdme/c1d/c1d-html/c1d-br.html e tente resolver os 6 primeiros desafios. Exercício 12 Considere as funções f(x) = 7− 4x e g(x) = 6x2 + 5x− 6. A função F é definida como F (x) = √ g(x)√ f(x) . Fundação CECIERJ Consórcio CEDERJ Métodos Determinísticos I EP12 16 a) Esboçe o gráfico da função f b) Esboçe o gráfico da função g c) Determine o ponto em que a função g atinge seu mínimo. Qual é este valor mínimo? d) Determine, na forma de intervalo ou de uma união finita de intervalos, o domínio da função F Solução: a) Observe que a função f é uma função afim, de modo que seu gráfico é uma reta. Mais especi- ficamente, o gráfico da função f é a reta y = 7 − 4x. Desta forma, para determinar o gráfico da função f , basta determinarmos dois pontos da reta. Vamos determinar as interseções da reta como os eixos y e x. Neste caso, temos que • x = 0⇐⇒ y = 7. Ou seja, (0, 7) é um ponto da reta. • y = 0⇐⇒ 7− 4x = 0⇐⇒ −4x = −7⇐⇒ x = 7 4 . Ou seja, ( 7 4 , 0 ) é um ponto da reta. Na Figura 1 plotamos o gráfico da função f . 7 4 x 7 y Figura 1: Questão 12 b) Observe que a função g é uma função quadrática, de modo que seu gráfico é uma parábola. Mais especificamente, o gráfico da função g é a parábola y = 6x2 + 5x − 6. Note que esta parábola possui concavidade voltada para cima, pois o coeficiente de x2 é positivo. Lembre-se ainda, que para determinar a parábola y = 6x2 + 5x− 6 (gráfico da função g), é necessário, no mínimo, três pontos. Neste caso, vamos encontrar os pontos de interseções da parábola como os eixos coordenados e seu vértice. Temos assim, que • x = 0⇐⇒ y = 6(0)2 + 5(0)− 6 = −6. Portanto, a parábola intercepta o eixo y no ponto (0,−6). Fundação CECIERJ Consórcio CEDERJ Métodos Determinísticos I EP12 17 • 6x2 + 5x− 6 = 0 ⇐⇒ x = −5± √ 52 − 4(6)(−6) 2 · 6 ⇐⇒ x = −5± √ 25 + 144 12 ⇐⇒ x = −5± √ 169 12 ⇐⇒ x = −5± 13 12 ⇐⇒ x = −5− 13 12 ou x = −5 + 13 12 ⇐⇒ x = −18 12 ou x = 8 12 ⇐⇒ x = −3 2 ou x = 2 3 . Portanto, a parábola intercepta o eixo x nos pontos ( −3 2 , 0 ) e ( 2 3 , 0 ) . • O vértice (xv, yv) da parábola tem coordenadas (xv, yv) = ( − b 2a ,−∆ 4a ) = ( − 5 2(6) ,−(169) 4(6) ) = ( − 5 12 ,−169 24 ) . Na Figura 2 plotamos o gráfico da função f . - 3 2 - 5 12 2 3 x - 169 24 -6 y Figura 2: Questão 12 c) O ponto em que a função g atinge seu mínimo é dado pelo x do vértice da parábola, calculado acima em xv = − 5 12 e o valor do mínimo é dado pelo y do vértice da parábola, calculado acima em yv = −169 24 . Fundação CECIERJ Consórcio CEDERJ Métodos DeterminísticosI EP12 18 d) Observe que na definição da função F , tomamos a raiz quadrada da função f , da função g e ainda realizamos o quociente entre as duas raizes. Portanto, para que a função F esteja bem definida, precisamos que todas estas operações sejam válidas. Isto significa que, o que for radicando, ou seja, o que estiver dentro do símbolo de raiz quadrada, precisará ser maior ou igual a zero e, o que for denominador, precisará ser diferente de zero. Desta forma, o domínio de F é formado pelos valores de x ∈ R, tais que f(x) > 0 e g(x) ≥ 0. Desta forma, temos que f(x) > 0 ⇔ 7− 4x > 0 ⇔ −4x > −7 ⇔ x < 7 4 ⇔ x ∈ ( −∞, 7 4 ) e g(x) ≥ 0 ⇔ 6x2 + 5x− 6 ≥ 0 ⇔ x ≤ −3 2 ou x ≥ 2 3 , ⇔ x ∈ ( −∞,−3 2 ] ∪ [ 2 3 ,∞ ) Portanto, o domínio de F é dado por x ∈ (( −∞,−3 2 ] ∪ [ 2 3 ,∞ )) ∩ ( −∞, 7 4 ) x ∈ ( −∞,−3 2 ] ∪ [ 2 3 , 7 4 ) Explicamos a seguir como resolver a inequação 6x2 + 5x− 6 ≥ 0. Podemos resolver a inequação utilizando nossos conhecimentos de parábola. Desta forma, chamando y de 6x2 + 5x− 6, isto é y = 6x2 + 5x− 6, podemos estudar o sinal da inequação 6x2 + 5x− 6 ≥ 0 estudando o sinal do y da parábola. Conforme calculado na Questão 13, as raízes da equação 6x2 +5x−6 = 0, são x = 2 3 e x = −3 2 . Como a = 6 > 0, temos que a parábola possui concavidade para cima, cortando o eixo x em x = 2 3 e x = −3 2 . Desta forma, y será positivo para valores de x, tais que, x ≤ −3 2 ou x ≥ 2 3 . Uma forma alternativa de fazer a análise de sinal para a inequação 6x2 + 5x− 6 = 6 ( x + 3 2 )( x− 2 3 ) ≥ 0 é utilizar a tabela abaixo. Fundação CECIERJ Consórcio CEDERJ Métodos Determinísticos I EP12 19 (−∞,−3/2) (−3/2, 2/3) (2/3,∞) sinal de 6 + + + sinal de ( x + 3 2 ) − + + sinal de ( x− 2 3 ) − − + sinal de 6 ( x + 3 2 )( x− 2 3 ) + − + Como vemos na tabela acima, 6x2 + 5x− 6 = 6 ( x + 3 2 )( x− 2 3 ) ≥ 0 ⇐⇒ x ≤ −3 2 ou x ≥ 2 3 . Exercício 13 O salário de um vendedor é formado de uma parte fixa igual a R$ 1.050,00, mais 2, 5% do valor das vendas efetivadas no mês. a) Considere que a variável x representa o valor das vendas efetivadas. Determine uma expressão que relacione o salário em função de x. b) Em um mês que o salário foi de R$ 1.730,00, qual foi o valor das vendas? c) Seu empregador lhe fez uma proposta de diminuir a parte fixa em 15% e aumentar a porcentagem sobre o valor das vendas realizadas para 3%. Determine a função salário que representa a proposta feita pelo empregador. d) Esboce o gráfico da função salário da Questão 8 e o da função salário proposto na Questão 10 em um mesmo sistema de eixos. e) O funcionário possui uma média de vendas em torno de R$ 28.000,00. Ele deve aceitar a proposta do empregador, pois será mais vantajosa para ele, ou deve recusar, pois lhe será prejudicial? Solução: a) Chamando de S a função que define o salário do vendedor, temos que S(x) = 1.050 + 2, 5 100 · x, x ≥ 0. b) Para descobrir o valor das vendas quando o salário foi de R$ 1.730,00, precisamos resolver a equação 1.730 = 1.050 + 2, 5 100 · x. Fundação CECIERJ Consórcio CEDERJ Métodos Determinísticos I EP12 20 Desta forma, segue que 1.730 = 1.050 + 2, 5 100 · x ⇔ 2, 5 100 · x = 1.730− 1.050 ⇔ 2, 5 100 · x = 680 ⇔ x = 680 · 100 2, 5 ⇔ x = 68.000 2, 5 ⇔ x = 68.0000 25 ⇔ x = 27.200. Portanto, quando o salário foi de R$ 1.730,00, o valor das vendas foi de R$ 27.200,00. c) Vamos chamar de PF a parte fixa da proposta feita pelo empregador. Desta forma, como ele propõe uma diminuição de 15%, temos que PF = 1.050− 15% · 1.050 = 1.050− 15 100 · 1.050 = 1.050− 15 · 1.050 100 = 1.050− 15.750 100 = 1.050− 157, 50 = 892, 50. Chamando de Sp a função que define a proposta de salário feita pelo empregador, temos que Sp(x) = 892, 50 + 3 100 · x, x ≥ 0. d) Observe que as funções S e Sp são funções afins, de modo que seus gráficos são retas. Mais especificamente, o gráfico da função S é a reta y = 1.050 + 2, 5 100 · x, x ≥ 0, e o gráfico da função Sp é a reta y = 892, 50 + 3 100 · x, x ≥ 0 . Desta forma, para determinar o gráfico da funções S e Sp, basta determinarmos dois pontos de cada reta. Gráfico de S: Vamos determinar as interseções da reta com os eixos y e x. Neste caso, temos que • x = 0⇐⇒ y = 1.050. Ou seja, (0, 1.050) é um ponto da reta. • y = 0⇐⇒ 1.050 + 2, 5 100 ·x = 0⇐⇒ 2, 5 100 ·x = −1.050⇐⇒ x = −1.050 · 100 2, 5 = −105.000 2, 5 = −42.000. Ou seja, (−42.000 , 0) é um ponto da reta. Fundação CECIERJ Consórcio CEDERJ Métodos Determinísticos I EP12 21 Gráfico de Sp: Vamos determinar as interseções da reta com os eixos y e x. Neste caso, temos que • x = 0⇐⇒ y = 892, 50. Ou seja, (0 ; 892, 50) é um ponto da reta. • y = 0 ⇐⇒ 892, 50 + 3 100 · x = 0 ⇐⇒ 3 100 · x = −892, 50 ⇐⇒ x = −892, 50 · 100 3 = −892.500 3 = −29.750. Ou seja, (−29.750 , 0) é um ponto da reta. Para o esboço ficar mais preciso, vamos identificar a abscissa do ponto de interseção das duas retas. 1.050 + 2, 5 100 · x = 892, 50 + 3 100 · x ⇔ 3 100 · x− 2, 5 100 · x = 1.050− 892, 50 ⇔ 0, 5 100 · x = 157, 50 ⇔ x = 157, 50 · 100 0, 5 ⇔ x = 31.500 Na Figura 3 plotamos o gráfico das funções S e Sp. S Sp -42 000 -29 750 31 500 x 892.5 1050 1837.5 y Figura 3: Questão 13 Fundação CECIERJ Consórcio CEDERJ Métodos Determinísticos I EP12 22 e) Graficamente, podemos observar que quando x > 31.500, a reta y = 892, 50 + 3 100 · x, gráfico da função Sp, está acima da reta y = 1.050 + 2, 5 100 · x, gráfico da função S. Isto significa que para x > 31.500, Sp(x) > S(x). Já para 0 ≤ x < 31.500, a reta y = 1.050 + 2, 5 100 · x, grá- fico da função S, está acima da reta y = 892, 50 + 3 100 · x, gráfico da função Sp. Isto significa que para 0 ≤ x < 31.500, S(x) > Sp(x). Como a média de vendas do vendedor é em torno de R$ 28.000,00, que é um valor entre 0 e 31.500, a proposta do empregador é prejudicial, pois, ele ganharia menos com o salário calculado pela função Sp do que com o salário calculado pela função S. Fundação CECIERJ Consórcio CEDERJ
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