Q3 AD1 MÉTODOS DETERMINÍSTICOS 1 2016 2 Gabarito

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AD1 - GABARITO DA QUESTA˜O 3 - 2016–2
Questa˜o 3 [2,5 pontos]
Sobre o clima na praia de Icara´ı, costuma-se dizer que esta´ chovendo sempre que o vento sudoeste
esta´ soprando.
Considerando as proposic¸o˜es
p: ”O vento sudoeste esta´ soprando em Icara´ı”
q: ”Esta´ chovendo em Icara´ı”
(a) Escreva a frase do enunciado utilizando p, q e o conectivo lo´gico adequado.
(b) Minha tia acredita que a regra do enunciado nunca falha. Desta forma, em um dia em que o
vento sudoeste na˜o estava soprando, ela afirmou: “Como o vento na˜o esta´ soprando, na˜o esta´
chovendo, logo na˜o vou levar o meu guarda-chuva”. Ha´ algum erro na argumentac¸a˜o de minha
querida tia? Justifique.
(c) Se o ditado “Em Icara´ı, esta´ chovendo sempre que o vento sudoeste esta´ soprando”for verdadeiro,
e, em um certo meˆs, o vento sudoeste tiver soprado em 10 dias, e´ correto dizer que:
( ) choveu em Icara´ı em, no ma´ximo, 10 dias.
( ) choveu em Icara´ı em, no m´ınimo, 10 dias.
( ) choveu em Icara´ı em exatamente 10 dias.
( ) nenhuma das alternativas anteriores.
Justifique.
(d) Supondo novamente que o ditado e´ verdadeiro, se, em um certo meˆs, em Icara´ı, tiver chovido
em 10 dias, e´ correto dizer que:
( ) o sudoeste soprou em Icara´ı em, no ma´ximo, 10 dias.
( ) o sudoeste soprou em Icara´ı em, no m´ınimo, 10 dias.
( ) o sudoeste soprou em exatamente 10 dias.
( ) nenhuma das alternativas anteriores.
Justifique.
Soluc¸a˜o:
(a) A afirmac¸a˜o pode ser escrita como
“esta´ chovendo em Icara´ı”(q)
sempre que
“O vento sudoeste esta´ soprando em Icara´ı”(p),
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isto e´, sempre que p acontece, q acontece. Isto significa que p implica q, ou que se “esta´
chovendo em Icara´ı”, enta˜o “o vento sudoeste esta´ soprando em Icara´ı”. Assim,
p⇒ q.
(b) Uma poss´ıvel soluc¸a˜o:
Como visto acima, o ditado diz que p ⇒ q. A contrapositiva deste ditado e´ ∼ q ⇒∼ p (Se
“na˜o esta´ chovendo em Icara´ı”enta˜o “o sudoeste na˜o esta´ soprando”). Estas afirmac¸o˜es sa˜o
logicamente equivalentes, ou seja, se assumimos que o ditado e´ correto, temos que ∼ q⇒∼ p.
Pore´m, a argumentac¸a˜o de minha tia e´ “O sudoeste na˜o esta´ ventando, logo na˜o esta´ chovendo”,
que pode ser escrita como ∼ p⇒∼ q, que na˜o e´ o ditado (e´ sua conversa˜o, na verdade).
Veremos na soluc¸a˜o seguinte que, mesmo que o ditado seja verdadeiro e que na˜o esteja ventando,
pode estar chovendo.
Outra poss´ıvel soluc¸a˜o:
Acreditando que o ditado e´ verdadeiro, ele pode ser tomado como uma premissa. Assim, no dia
em questa˜o, a primeira argumentac¸a˜o de minha tia (”Como o vento na˜o esta´ soprando, na˜o esta´
chovendo”) tem as seguintes premissas em sua argumentac¸a˜o:
premissa 1: p⇒ q (“Se o vento sudoeste esta´ soprando em Icara´ı”enta˜o “esta´ chovendo em Icara´ı.”)
premissa 2: ∼ p (O vento sudoeste na˜o esta´ soprando.)
Sua conclusa˜o e´
conclusa˜o: ∼ q (Na˜o esta´ chovendo)
Este argumento e´ falho! Vamos listar todas as possibilidades de valores para p e q e verificar
que as premissas podem ser verdadeiras sem que a conclusa˜o o seja.
premissas conclusa˜o
p q p⇒ q ∼ p ∼ q
V V V F F
V F F F V
F V V V F
F F V V V
A terceira linha nos mostra que o ditado (p ⇒ q) pode ser verdadeiro e na˜o estar ventando
(∼ p), sem que a conclusa˜o (∼ q) seja va´lida.
(c) Assumindo que o ditado p⇒ q (Se “o sudoeste esta´ soprando em Icara´ı”enta˜o “esta´ chovendo”)
e´ verdadeiro, em todos os dias que o sudoeste ventar (p for verdadeiro), tambe´m devera´ chover
(q tambe´m tera´ de ser verdade). Assim, para cada dia de vento havera´ pelo menos um dia de
chuva. Com isso, como foram 10 dias de vento, teremos no m´ınimo 10 dias de chuva, logo a
opc¸a˜o “choveu em Icara´ı em, no m´ınimo, 10 dias”e´ correta.
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A opc¸a˜o “choveu em Icara´ı em, no ma´ximo, 10 dias”na˜o e´ correta, visto que, ale´m de chover nos
dez dias de vento, pode ter chovido em algum outro dia. Em outras palavras, podemos ter q
verdadeiro com p falso, e ainda continuara´ sendo verdade que p⇒ q (relembre a tabela verdade
de ⇒). Poder´ıamos ter tido, por exemplo, 15 dias de chuva, com vento em apenas 10 deles.
Pelo mesmo motivo, a afirmac¸a˜o “choveu em Icara´ı em exatamente 10 dias”na˜o e´ correta.
(d) Como vimos acima, em todos os dias que o sudoeste ventar, tambe´m devera´ chover, logo o
nu´mero de dias de chuva sera´ menor ou igual ao nu´mero de dias de vento. Equivalentemente, o
nu´mero de dias de vento e´ maior ou igual ao nu´mero de dias de chuva.
Com isso, se choveu em 10 dias, tera´ ventado em 10 ou menos dias. Logo a opc¸a˜o “o sudoeste
soprou em Icara´ı em, no ma´ximo, 10 dias”e´ correta.
As opc¸o˜es “o sudoeste soprou em Icara´ı em, no m´ınimo, 10 dias”e “o sudoeste soprou em
exatamente 10 dias”na˜o esta˜o corretas, pois poder´ıamos ter tido, por exemplo, 10 dias de chuva
com vento em apenas 5 deles.
Qual e´ a moral desta questa˜o?!?!
Ale´m de fazer argumentac¸o˜es (incorretas!) sobre o clima em Icara´ı, minha tia costuma diz (correta-
mente, neste caso!) que toda boa histo´ria tem uma moral.
A moral desta questa˜o e´ que uma implicac¸a˜o p⇒ q jamais deve ser confundida com sua conversa˜o
p⇒ q. Elas representam relac¸o˜es de causa e consequeˆncia muito diferentes.
Vamos a um exemplo muito claro disso: e´ verdade que “se a > b enta˜o a + 1 > b”. Isto pode ser
provado de forma muito simples; assumindo a > b, temos a+ 1 > a > b, logo a+ 1 > b. Por outro
lado, na˜o e´ verdade que “se a + 1 > b enta˜o a > b”. Tome, por exemplo, a = 0 e b = 0; teremos
a+ 1 > b, pois 0 + 1 > 0, mas na˜o e´ verdade que 0 > 0 (a > b). Outro contraexemplo e´ a = 0, 5 e
b = 1.
Temos uma tendeˆncia muito forte a confundir implicac¸o˜es (⇒) com equivaleˆncias (⇔), o que pode
nos conduzir a inu´meros mal-entendidos, ou nos fazer utilizar argumentac¸o˜es falaciosas.
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