Álgebra Linear: Transformações Lineares e Diagonalização de Matrizes

Prévia do material em texto

Avaliação 8
	
		1.
		Uma Transformação linear é um mapeamento de um espaço vetorial V para um espaço vetorial W. Qualquer transformação linear pode ser representada por uma matriz. Seja um vetor (x1 ,x2) e considere as transformações realizadas pelas matrizes abaixo. Quais as transformações sobre os pontos (x1 ,x2), no plano:
A = [1 00-1]   B =  [-100-1]   C = [0-11 0]  D = [1000]   
  
	
	
	
	
	
	(x1,-x2),(-x1,-x2), (-x1, x2), (x1, 0)
	
	 
	(x1,-x2),(-x1,-x2), (-x2,-x1), (0 , x2)
	
	 
	(x1,-x2),(-x1,-x2), (-x2, x1), (x1, 0)
	
	
	(x1,-x2),(-x1,-x2), (-x2,-x1), (-x1,0)
	
	
	(x1,-x2),(-x1,-x2), (-x2,-x1), (-x1,x2)
	
	
	
		2.
		Marque a alternativa que indica os autovalores da matriz A.
A = [423-1]
	
	
	
	
	
	λ1 = -5  e  λ2 = -1
	
	 
	λ1 = 5 
	
	 
	λ1 = 5  e  λ2 = -2
	
	
	λ1 = -5  e  λ2 = 2
	
	
	λ1 = 3  e  λ2 = -2
	 Gabarito Comentado
	
	
		3.
		Seja T uma transformação linear tal que T(1,0,0) = (1,2,1), T(0,1,0) = (3,5,2) e T(0,1,1) = (-1,-2,-1). Determine uma base para N(T)(núcleo de T).
	
	
	
	
	
	Base deN(T)={(1,1,1), (1,2,1}.
	
	
	Base deN(T)={(1,0,0),(0,1,0)}.
	
	 
	Base deN(T)={(1,1,1)}.
	
	
	Base deN(T)={(1,0,1)}.
	
	 
	Base deN(T)={(1,2,1)}.
	
	
	
		4.
		Considere a Transformada Linear  T(X) = AX  tal que A = [231-252]Sendo B = [13327]  a imagem de  X  por  T, o vetor  X  é
	
	
	
	
	 
	 [51]
	
	
	 [135]
	
	 
	[531]
	
	
	[15]
	
	
	 [-5-1]
	
	
	
		5.
		A função f: R2 →R2, tal que f(x, y) = (2x - y, x + 3y) é uma Transformação Linear do R2. A imagem do vetor v = (1, 2) será
	
	
	
	
	
	(3, 5)
	
	
	(-1, 5)
	
	 
	(0, 7)
	
	 
	(2, 6)
	
	
	(-2, 0)
	
	
	
		6.
		A função f: R3 →R3, tal que f(x, y, z) = (x + y + 2z, 2x - y, 0) é uma Transformação Linear do R3. A imagem do vetor v = (2, -1, 3) será
	
	
	
	
	
	(2, -1, 0)
	
	
	(6, -1, 1)
	
	
	(1, 4, 0)
	
	
	(-5, 3, 2)
	
	 
	(7, 5, 0)
	
	
	
		7.
		As transformações Lineares estão presentes em diversos sistemas dinâmicos lineares. A seguir apresentamos algumas assertivas sobre transformações lineares. Considere as mesmas e assinale a alternativa correta:
I - O princípio da superposição descrito pela equação abaixo é uma transformada linear empregada em sistemas lineares:
T(c1v1+c2v2+...+cpvp) = c1T(v1 )+ c2T(v2 ) + ...+ cpT(vp);
II - Se a Matriz A tem dimensão 3x5 e T é a transformada definida por T (x) =Ax, então o domínio de T é o R3;
III - Se a Matriz A tem dimensão 3x5 e T é a transformada definida por T (x) =Ax, então o domínio de T é o R5;
IV - Se T é uma transformada linear, então T(0) = 0 e T(cv +du) = cT(v) + dT(u)
 
	
	
	
	
	 
	As afirmações II, III e IV são verdadeiras e a afirmação I é falsa
	
	
	As afirmações II e IV são verdadeiras e as afirmações I e III são falsas
	
	
	As afirmações I e III são verdadeiras e as afirmações II e IV são falsas
	
	
	As afirmações I, III e IV são verdadeiras e a afirmação II é falsa
	
	 
	As afirmações I, II e IV são verdadeiras e a afirmação III falsa
	
	
	
		8.
		Nas teorizações sobre diagonalização de matrizes temos o Teorema:
Uma matriz  A, n x n,  é diagonalizável se, e somente se,  A  pode ser fatorada na forma  A = P. D. P-1, sendo:
P  uma matriz invertível, tal que as colunas de  P  são  n  autovetores de  A, linearmente independentes e,
D  uma matriz diagonal em que os elementos da diagonal principal são os autovalores de  A  associados, respectivamente, aos autovalores de  P.
Desse modo, para  A = [72-41],  cujos autovalores são  5 e 3 , com autovetores associados  v1 = ( 1, -1 )  e  v2 = ( 1, -2 ), respectivamente temos:
	
	
	
	
	
	P = [1-11-2]  e  D = [5003]
	
	
	P = [11-1-2]  e  D = [0530]
	
	 
	P = [1001]  e  D = [53-3-5]
	
	 
	P = [11-1-2]  e  D = [5003]
	
	
	P = [2-1-11]  e  D = [3005]