Aula 03 - Sistemas de Numeração

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Prof. Rodrigo Hübner
rodrigohubner@utfpr.edu.br
IC31A – Introdução à Ciência da Computação
Universidade Tecnológica Federal do Paraná – UTFPR
Bacharelado em Ciência da Computação
Aula 03
Sistemas de numeração
 2 
Motivação:
• Dispositivos que operam com diferentes sistemas de 
numeração. Ex: Displays BCD, Simuladores, Calculadoras
• Circuitos Digitais usam 2 estados para representar uma 
informação. Ex: Circuito Base  Transistor
• Números binários podem ser muito extensos  Difíceis de 
representar  Usa base com menos algarismos
Sistemas de Numeração
 3 
- Generalizando: Dado uma base b, 
qualquer quantidade N pode se 
representada com um número tal como 
segue:
Onde a é um algarismo válido para a base b 
e n é a posição que algarismo ocupa na 
formação do número.
- Parte inteira: 
- Parte fracionária: 
N b=an⋅b
nan−1⋅b
n−1...a2⋅b
2a1⋅b
1a0⋅b
0a−1⋅b
−1a−2⋅b
−2...a−n⋅b
−n
an⋅b
nan−1⋅b
n−1...a2⋅b
2a1⋅b
1a0⋅b
0
a−1⋅b
−1a−2⋅b
−2...a−n⋅b
−n
Formato Geral
N b=∑
i=n
−n
ai⋅b
i
 4 
- Exemplo: 125,38 (base 10)
1×1022×1015×1003×10−18×10−2
1 2 5 3 8
2 1 0 -1 -2
Algarismos
Posições
Vírgula
1×1002×105×13×0,18×0,01
1002050,30,08
1250,38
125,38
Formato Geral
 5 
Base:
- É a quantidade de algarismos ou símbolos 
disponíveis para representar todos os números no 
sistema de numeração é de 0 a (base -1)
- Exemplos:
- Base 10  10 dígitos: 0,1,2,...9
- Base 2  2 dígitos: 0 e 1
- Base 16  16 dígitos: 0,1,2,...,9,A,B,C,D,E,F
Convenção: Bases maiores que 10 usam letras para 
representar algarismos maiores que 9
Sistemas de Numeração
 6 
Sistema Decimal
Base 10:
Base 10  10 dígitos: 0,1,2,...9
- Exemplo:
130310
1000 + 300 + 0 + 3 = 1303
Notação Posicional
1x10 + 3x10 + 0x10 + 3x10
 3 2 1 0
Sistemas de Numeração
 7 
Sistema Binário
Base 2:
Base 2 2 dígitos: 0 e 1 cada dígito é 
chamado de bit (binary digit)
- Convenção:
- 1 dígito: bit
- 4 dígitos: nibble
- 8 dígitos: byte
- Exemplo:101111
Sistemas de Numeração
 8 
Sistema Binário
Conversões de Bases:
Binário para Decimal
- Exemplo:
1011112
 5 4 3 2 1 0 
1x2 + 0x2 + 1x2 + 1x2 + 1x2 + 1x2
32 + 0 + 8 + 4 + 2 + 1 = 47
Sistemas de Numeração
 9 
Sistema Binário
Conversões de Bases:
Decimal para Binário
- Parte Inteira: 
– 2 Métodos: soma de potências e divisões sucessivas
– Exemplo de Soma de Potências:
1011112
47 = 32 + 0 + 8 + 4 + 2 + 1
 5 4 3 2 1 0 
1x2 + 0x2 + 1x2 + 1x2 + 1x2 + 1x2
Sistemas de Numeração
 10 
Sistema Binário
Conversões de Bases:
Decimal para Binário 
- Exemplo de Divisões Sucessivas:
47 2
23 2
11 2
5 2
2 2
1
1
1
1
1
0
4710 = 1011112
Sistemas de Numeração
 11 
● Se o número for fracionário, a conversão 
se fará em duas etapas distintas:
• Conversão da parte inteira: como já vimos.
• Conversão da parte fracionária
Parte Fracionária
 12 
O algoritmo para a parte fracionária
• consiste em uma série de multiplicações 
sucessivas do número fracionário a ser 
convertido pela base; 
• a parte inteira do resultado da primeira 
multiplicação será o valor da primeira casa 
fracionária e a parte fracionária será de novo 
multiplicada pela base; 
• e assim por diante, até o resultado dar zero ou 
até encontrarmos o número de casas decimais 
desejado.
Parte Fracionária
 13 
● Por exemplo, 15,6510 para a base 2, com 5 
dígitos e com 10 dígitos de precisão:
● Parte inteira se processa normalmente: 1510= 11112
● Parte fracionária:
Com 5 dígitos Ampliando para 10 dígitos
0,65 x 2 = 1,3 0,8 x 2 = 1,6
0,30 x 2 = 0,6 0,6 x 2 = 1,2
0,60 x 2 = 1,2 0,2 x 2 = 0,4
0,20 x 2 = 0,4 0,4 x 2 = 0,8
0,40 x 2 = 0,8 0,8 x 2 = 1,6
Com 5 dígitos:
0,65 = 0,10100
Com 10 dígitos:
0,65 = 0,1010011001
Precisão 5
15,6510 = 1111,101002
Precisão 10
15,6510 = 1111,10100110012
Parte Fracionária
 14 
● A conversão foi interrompida quando encontramos o 
número de algarismos da precisão solicitada no 
enunciado. No entanto, com não encontramos resultado 
0 em nenhuma das multiplicações, poderíamos continuar 
efetuando multiplicações indefinidamente até encontrar 
(se encontrarmos) resultado zero.
● O resultado encontrado, no caso de interrompermos por 
chegarmos no número de dígitos especificado, é 
aproximado.
● Fazendo a conversão inversa é possível notarmos o 
efeito da aproximação.
Parte Fracionária
 15 
● A conversão foi interrompida quando encontramos o 
número de algarismos da precisão solicitada no 
enunciado. No entanto, com não encontramos resultado 
0 em nenhuma das multiplicações, poderíamos continuar 
efetuando multiplicações indefinidamente até encontrar 
(se encontrarmos) resultado zero.
● O resultado encontrado, no caso de interrompermos por 
chegarmos no número de dígitos especificado, é 
aproximado.
● Fazendo a conversão inversa é possível notarmos o 
efeito da aproximação.
Parte Fracionária
 16 
● Parte inteira: 11112 = 1510
● Parte fracionária:
• Com precisão 5:
● Com precisão 10:
● Quanto maior o número de algarismos forem 
considerados, melhor será a aproximação.
0,101002=1x2
−1+ 0x2−2+ 1x2−3+ 0x2−4+ 0x2−5=0,5+ 0,125=0,62510
0,10100110012=1x2
−1+ 0x2−2+ 1x2−3+ 0x2−4+ 0x2−5+ 1x2−6+ 1x2−7+ 0x2−8+ 0x2−9+ 1x2−10
0,10100110012=1/21/81/641/1281/1024
0,10100110012=0,50,1250,0156250,00781250,0009765625=0,649414062510
Parte Fracionária
 17 
Conversões de Bases
• Converter 10012 para decimal
• Converter 40010 para binário
• Converter 356,2610 para binário
Exercícios
 18 
Conversões de Bases
• Converter 10012 para decimal
10012
1x23+0x22+0x21+1x20
 8 + 0 + 0 + 1 = 910
 3 2 1 0 
Solução dos Exercícios
 19 
Conversões de Bases
• Converter 40010 para binário
- Método de Divisões Sucessivas:
400 2
200 2
100 2
50 2
25 2
0
0
0
0
1
40010 = 1100100002
12 2
6 20
0 3 2
11
Solução dos Exercícios
 20 
Sistema Hexadecimal
Base 16:
Base 16  16 dígitos: 
0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F
1016
C12
D13
E14
F15
A10
B11
99
88
77
66
55
44
33
22
11
00
HexadecimalDecimal
Sistemas de Numeração
 21 
Sistema Hexadecimal
Conversões de Bases:
Hexadecimal para Decimal
- Exemplo: 3F16
3x161+15x160
48 + 15 = 6310
 1 0 
Sistemas de Numeração
 22 
Sistema Hexadecimal
Conversões de Bases:
Decimal para Hexadecimal 
- Exemplo de Divisões Sucessivas:
1000 16
62 16
3
8
14
100010 = 3 14 816 = 3E816
Sistemas de Numeração
 23 
Conversões de Bases
• Converter 1C316 para decimal
• Converter 13410 para hexadecimal
Exercícios
 24 
Conversões de Bases
• Converter 1C316 para decimal
1C316
1x162+12x161+3x160
256 + 192 + 3 = 45110
 2 1 0 
Soluções dos Exercícios
 25 
Conversões de Bases
• Converter 13410 para hexadecimal
134 16
86
13410 = 8616
Soluções dos Exercícios
 26 
Sistema Hexadecimal
Conversões de Bases:
Hexadecimal para Binário: Transforma cada 
algarismo hexa no correspondente binário (para 
cada hexa são necessários 4 bits  24 = 16 – 
Base hexa)
- Exemplo: C1316
1100000100112
1111F
1110E
1101D
1100C
1011B
1010A
10019
10008
01117
01106
01015
01004
00113
00102
00011
00000
BinárioHexadecimal
Sistemas de Numeração
 27 
Sistema Hexadecimal
Conversões de Bases:
Binário para Hexadecimal: Processo 
inverso – agrupa-se 4 bits apartir da 
direita
- Exemplo:
9 8 = 9816
100110002
Sistemas de Numeração
 28 
Conversões de Bases
• Converter 1ED16 para binário
• Converter 11000112 para hexadecimal
Exercícios
 29 
Conversões de Bases
• Converter 1ED16 para binário
1ED16
0001111011012
Soluções dos Exercícios
 30 
Conversões de Bases
• Converter 11000112 para hexadecimal
6 3 = 6316
 11000112
Insere 0
Soluções dos Exercícios
 31 
Adição e SubtraçãoAdição e Subtração
Aritmética Computacional
 32 
Circuitos Aritméticos: circuitos utilizados para construir a ULA (Unidade 
Lógica e Aritmética)
Adição
Exemplo de adição em decimal (dígitos de 0 a 9):
Cada posição só pode representar um dígito, 
por isso, gera um carry (vai um)
3 7 6
4 6 1+
3 7 6
4 6 1
 7
+
1
3 7 6
4 6 1
 3 7
+
3 7 6
4 6 1
8 3 7
1
+
Aritmética Computacional
 33 
a) 0
0
0
+
Adição em Binário :
Exemplo Cada posição só pode representar um 
dígito, por isso, gera um carryb) 0
1
1
+
c) 1
0
1
+
d) 1
1
 10
+
1 0 1 0 1
0 0 1 1 1+
1 0 1 0 1
0 0 1 1 1
 0
+
1 0 1 0 1
0 0 1 1 1
 0 0
+
1 0 1 0 1
0 0 1 1 1
 1 0 0
+
1 0 1 0 1
0 0 1 1 1
 1 1 0 0
+
1 0 1 0 1
0 0 1 1 1
1 1 1 0 0
+
1 1 1 11 10 0
cin
cout Soma
Aritmética Computacional
 34 
Subtração
Exemplo de subtração em decimal (dígitos de 0 a 9):
Empresta 1 da coluna da esquerda 
para formar a dezena
 7 6
 5 8-
7 6
5 8
 
-
16
8
 7 6
 5 8
 8
-
6
1
Aritmética Computacional
 35 
Subtração em Binário
Exemplo
a) 0
0
0
-
b) 0
1
1
-
c) 1
0
1
-
d) 1
1
0
-
Gera um “empresta-1” (carry out) da coluna seguinte: a 1a 
coluna passa a valer 210=102
O carry out será subtraído da coluna seguinte na continuação 
da operação
1
Aritmética Computacional
 36 
Subtração em Binário :
Exemplo Gera um “empresta-1” (carry out) da coluna seguinte: a 1a coluna passa a 
valer 102=210
1 0 1 0 
0 0 1 1-
1 0 1 0
0 0 1 1
 
-
1 0 1 0
0 0 1 1
 
-
10
Subtração
1 1
0
1 0 1 0
0 0 1 1
 
-
11
1 0 1 0
0 0 1 1
 
-
11
1 0 1 0
0 0 1 1
 
-
1
11
0
1
1 0 1 0
0 0 1 1
 
-
1
1
110
Aritmética Computacional
10 0 10 0 1
0
1
 37 
Próxima Aula
● Algoritmos
● Linguagens de Programação
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