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� PAGE \* MERGEFORMAT �5� UNIDADE II REGIME DE CAPITALIZAÇÃO SIMPLES Expressão fundamental No regime de juros simples, por definição, os juros são calculados unicamente sobre o capital inicial ao longo de todo o prazo de transação financeira e creditados ao final do período. O montante, neste caso, resulta de um processo de crescimento linear do capital Temos então, que: (1) (2) Substituindo a equação (1) na equação (2) teremos: (3) Colocando-se o P em evidência, obteremos a expressão fundamental: (4) 2.2 Exemplo de cálculo de juros, do montante, do principal, da taxa de juros e do número de períodos de capitalização Exemplo 1: Quais os juros, ao fim de quatro anos, de um capital de R$100,00 aplicado à taxa de juros de 10% aa? Solução: J= 100 x 0,10 x 4 = 40,00 Resposta: R$40,00 Exemplo 2: Qual o montante produzido pelo capital de R$600,00, aplicado à taxa de juros simples de 30% aa, por 2 anos? S = P . (1 + i . n) S = 600 . (1 + 0,30 . 2) Resposta: S = R$960,00 Exemplo 3: Qual o valor atual, à taxa de juros simples de 12% aa, de uma nota promissória de R$ 2000,00 vencível em nove meses? Vide item 2.4 Solução: P= S . __1__ (1+i.n) P= 2000 . _____1_____ 1+ 0,12 x _9_ 12 P= 2000 x 0,917431 Resposta: P= R$1834,86 Exemplo 4: Determinar o valor da rentabilidade mensal, em termos de taxa de juros simples, que faz um principal de R$ 1.500,00 se transformar num montante de R$2.250, 00, num prazo de 25 meses. Solução: S= P (1+i.n) 2250 = 1500 (1+i. 25) 1+25 i = 2250 1500 1+25 i = 1,5 25 i = 1,5 –1 25 i = 0,5 i= 0,5 25 i= 0,02 tx= 0,02 x 100 Resposta: tx= 2% am. Exemplo 5: Determinar o número de meses necessário para que a aplicação de um capital de R$5.000,00, à taxa de juros simples de 3% am., se transforme num montante de R$6200,00. Solução: S= P (1+i.n) 6200= 5000 (1+0,03 n) 1 + 0,03 n = 6200 5000 1+0,03 n= 1,24 0,03 n = 1,24 – 1 0,03 n = 0,24 n= 0,24 0,03 Resposta: n= 8 2.3 Homogeneidade entre as unidades de tempo do prazo e da taxa de juros da transação financeira A fórmula J = P. i . n (como, de resto, qualquer das fórmulas da Matemática Financeira) só pode ser empregada se o prazo da aplicação estiver expresso na mesma unidade de tempo em que está expressa a taxa de juros da operação financeira. Observe: Quando a taxa de juros (i) for anual e o prazo da operação (n) estiver indicado em meses adaptamos a unidade de tempo do prazo a aquela da taxa de juros. Dividimos, simplesmente, o número n de meses por 12. J = P . i . n/12 Quando a taxa de juros (i) for mensal e o prazo da operação (n) estiver indicado em dias adaptamos a unidade de tempo do prazo a aquela da taxa de juros. Dividimos, simplesmente, o número n de dias por 30. J = P . i . n/30 Exemplo: Quais os juros simples, ao fim de 9 meses, pela aplicação do capital de R$10.000,00 à taxa de 8% ao ano? J = 10.000 . 0,08 . 9 = R$600,00 12 2.4 Fatores de capitalização e de Descapitalização Simples Costuma-se esclarecer que, a rigor, o fenômeno da capitalização só ocorre no regime de juros compostos, onde os juros se transformam em capital e passam a render juros. Porém, é comum o emprego da expressão “capitalização simples” para se referir ao crescimento do dinheiro no regime de juros simples. Logo: Capitalização simples: Descapitalização simples: Valor Atual: É o Valor Presente, a uma determinada taxa de juros, do Valor Final de um compromisso futuro. É o capital que, aplicado àquela determinada taxa de juros, permite a obtenção de um montante igual ao Valor Nominal do compromisso, na sua data de vencimento. Na capitalização temos: S = P . ( 1+ i . n ) Daí vem a fórmula: P = S . 1 _ (1 + i . n) 2.5 Juro exato e Juro Comercial Nas operações financeiras de curto prazo, onde usualmente é adotado o regime de juros simples, o prazo da operação é expresso em dias. Conforme se considere o ano civil (365 dias), ou o ano comercial (360 dias), os juros serão ditos juros exatos, ou juros comerciais (também chamados de juros ordinários), ficando as fórmulas, respectivamente: J = P . i . n ou seja: J = P . i . n/365 365 J = P . i . n ou seja: J = P . i . n/360 360 Obs: Uma operação financeira, contratada numa determinada ocasião, dura um certo prazo de tempo, ficando o seu vencimento definido para uma determinada data futura. O prazo da operação é, então, considerado como o número exato de dias compreendido entre as duas referidas datas. EXERCÍCIOS SOBRE JUROS SIMPLES 1) Qual o montante acumulado por um aplicador que empregou a quantia de R$1.000,00 por 5 meses, sabendo-se que a taxa de juros simples contratada foi de 3,24% ao mês? Qual o valor do rendimento dessa aplicação? Qual o fator de capitalização simples que permitiu a obtenção do montante da operação? R: FV= R$ 1.162,00 Rendimento = Juros = R$ 162,00 Fator = 1,162 2) Qual o capital que, aplicado à taxa de juros simples de 18,75% ao trimestre, proporciona ao aplicador, ao fim de 1 ano e meio, o rendimento de R$1.687,50? R: PV= R$ 1.500,00 3) Qual o capital que, tendo sido aplicado 2 meses atrás à taxa mensal de juros lineares de 3,00%, está proporcionando a seu possuidor, hoje, o rendimento de R$1.200,00? R: PV= R$ 20.000,00 4) A que taxa mensal de juros simples, o capital de R$2.000,00 foi aplicado, de forma a produzir o montante de R$3.600,00, ao fim do prazo de 10 meses? R: tx= 8% a.m 5) Qual a taxa mensal de juros simples a que foi aplicado o capital de R$5.000,00 pelo prazo de 2 anos e que proporcionou, ao fim desse prazo, o rendimento de R$480,00? R: 0,4% a.m 6) O Banco ABC S/A cobra de seus clientes juros simples de 12% ao mês sobre saldos negativos em contas especiais. Quais os juros cobrados de um cliente cuja conta ficou negativa em R$1.800,00 por 9 dias? R: j=R$ 64,80 7) Qual o prazo necessário para que o capital de R$7.500,00, aplicado à taxa anual de juros lineares de 30%, proporcione o montante de R$9.750,00? R: n= 1 ano 8) Que quantia devemos aplicar hoje, à taxa de juros simples mensais de 2,5%, para obter, daqui a 2 trimestres, o montante de R$10.000,00? R: PV= R$ 8.695,65 9) Um título tem valor de resgate igual a R$12.000,00 e vence daqui a 45 dias. Por quanto deve um aplicador adquirir tal título de crédito, hoje, se pretende auferir, na aplicação, uma rentabilidade linear de 14% ao ano? R: PV= R$ 11.793,61 10) Qual o capital acumulado por um aplicador que tenha empregado a quantia de R$5.000,00, pelo prazo de 4 anos e 2 trimestres, à taxa simples de 20,4% ao ano? R: FV= R$ 9.590,00 11) Qual o valor de resgate de uma aplicação de R$6.000,00, contratada à taxa de juros simples anuais de 12%, pelo prazo de 7 meses? R: FV= R$ 6420,00 12) Qual o valor a ser resgatado por um investidor que aplicou a quantia de R$2.580,00, pelo prazo de 2 anos e um mês, à taxa linear de juros de 10,35% ao trimestre? R: FV= R$ 4.805,25 13) Qual o prazo (em meses), durante o qual esteve aplicado o capital de R$15.000,00, à taxa de juros simples semestral de 9%, e que proporcionou a seu possuidor o rendimento de R$1.800,00? R: n= 8 meses 14) A que taxa mensal de juros simples devemos aplicar o capital de R$4.000,00 para que ao fim do prazo de 2 anos e 6 meses tenhamos o direito ao recebimento de juros da ordem de R$3.500,00? R: tx= 2,92% a.m 15) Qual a rentabilidade mensal, em termosde taxas de juros simples, das operações financeiras abaixo discriminadas: Operação A Operação B Operação C valor da aplicação:R$3.600,00 capital aplicado: R$5.000,00 rendimento: R$9.000,00 prazo da aplicação: 75 dias prazo da operação: 1ano e 4 meses prazo da aplicação: 5 trimestres valor de resgate: R$4.500,00 valor final: R$8.000,00 montante: R$19.000,00 R: tx operação A= 10% a.m tx operação B= 3,75% a.m tx operação C= 6% a.m 16) Em que prazo a quantia de R$10.000,00, empregada a juros simples semestrais de 14,40%, produziria o montante de R$29.800,00? R: n= 13,75 semestres 17) Um capital foi aplicado durante 54 dias à taxa linear anual de juros de 30%, proporcionando o rendimento de R$450,00. Qual o valor de resgate da aplicação? R: FV= R$ 10.450,00 J = P. i. n S = P + J S= P+ P. i. n S= P (1 + i . n) J= P. i. n S = P (1 + i. n.)
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