543655 FUNDAMENTOS DE METROLOGIA MEDIÇÃO E INCERTEZA 30 07 2012

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INSTITUTO POLITÉCNICO 
Curso de Engenharia Elétrica 
Laboratório de Medidas Elétricas 
 
 
 
 
 
 
 
FUNDAMENTOS DE METROLOGIA: 
MEDIÇÃO E INCERTEZA(*) 
 
 
 
 
 
 
 Coordenador: Prof. Celso Martins de Almeida Fagioli 
 Colaboradores: Prof. Antônio Carlos Inácio Moreira 
Prof. Délio Eduardo Barroso Fernandes 
Prof. Nivaldo Miranda 
 
 Apoio: Monitor Bruno Moraes de Alcântara 
Monitor Luciano Almeida da Silva 
Monitor Wanderson Afonso Passos Oliveira 
 
 
 
 
(*)Trabalho em fase inicial. Autores aguardam críticas e sugestões. 
 
SUMÁRIO 
 
1 VANTAGENS DE UMA CULTURA METROLÓGICA..............................................5 
2. VOCABULÁRIO DE TERMOS BÁSICOS ..............................................................5 
2.1 Grandeza e unidade de medida..........................................................................5 
2.1.1 Grandeza mensurável ......................................................................................5 
2.1.2 Sistema de grandezas......................................................................................5 
2.1.3 Grandeza de base.............................................................................................5 
2.1.4 Grandeza derivada ...........................................................................................5 
2.1.5 Unidade (de medida) ........................................................................................5 
2.1.6 Símbolo de uma unidade (de medida)............................................................5 
2.1.7 Sistema de unidades (de medida)...................................................................6 
2.1.8 Unidade (de medida) (derivada) coerente ......................................................6 
2.1.9 Sistema Internacional de Unidades ................................................................6 
2.1.10 Valor (de uma grandeza)................................................................................6 
2.1.11 Valor verdadeiro (de uma grandeza).............................................................6 
2.1.12 Valor numérico (de uma grandeza)...............................................................6 
2.2 Operações de medição .......................................................................................6 
2.2.1 Medição.............................................................................................................6 
2.2.2 Metrologia .........................................................................................................6 
2.2.3 Princípio de medição .......................................................................................6 
2.2.4 Método de medição..........................................................................................7 
2.2.5 Procedimento de medição..............................................................................7 
2.2.6 Mensurando ......................................................................................................7 
2.2.7 Grandeza de influência ....................................................................................7 
2.2.8 Valor transformado de um mensurando ........................................................7 
2.3 Características e resultados de medição..........................................................7 
2.3.1 Resultado de uma medição .............................................................................7 
2.3.2 Indicação (de um instrumento de medição)...................................................7 
2.3.3 Resultado corrigido..........................................................................................7 
2.3.4 Exatidão de medição........................................................................................7 
2.3.5 Repetitividade (de resultados de medições)..................................................7 
2.3.6 Reprodutibilidade (dos resultados de medição) ...........................................8 
2.3.7 Desvio padrão experimental............................................................................8 
2.3.8 Incerteza de medição .......................................................................................9 
2.3.9 Erro (de medição)............................................................................................9 
2.3.10 Erro relativo ....................................................................................................9 
2.3.11 Erro sistemático ............................................................................................9 
2.3.12 Correção..........................................................................................................9 
2.4 Instrumentos medidores e dispositivos acoplados .........................................9 
2.4.1 Instrumentos de medição..............................................................................10 
2.4.2 Sistema de medição......................................................................................10 
2.4.3 Instrumento de medição mostrador / indicador ..........................................10 
2.4.4 Instrumento de medição registrador ...........................................................10 
2.4.5 Instrumento totalizador..................................................................................10 
2.4.6 Instrumento integrador ..................................................................................10 
2.4.7 Instrumento analógico...................................................................................10 
2.4.8 Instrumento de digital ....................................................................................10 
2.4.9 Índice..............................................................................................................11 
2.4.10 Valor de uma divisão....................................................................................11 
2.4.11 Escala linear ................................................................................................11 
2.4.12 Escala com zero suprimido .........................................................................11 
2.4.13Ajuste de um instrumento de medição........................................................11 
2.4.14 Regulagem de um instrumento de medição .............................................11 
2.5 Características de instrumentos e dispositivos de medição ........................11 
2.5.1 Faixa nominal .................................................................................................11 
2.5.2 Amplitude da faixa nominal...........................................................................12 
2.5.3 Faixa de medição ou faixa de trabalho.........................................................12 
2.5.4 Condições de utilização.................................................................................12 
2.5.5 Constante de um instrumento.......................................................................12 
2.5.6 Sensibilidade ..................................................................................................12 
2.5.7 (Limiar de) mobilidade ..................................................................................12 
2.5.8 Conceitos sobre resolução ...........................................................................12 
2.5.9 Zona morta......................................................................................................12 
2.5.10 Estabilidade ..................................................................................................12 
2.5.11 Discrição .......................................................................................................13 
2.5.12 Exatidão de um instrumento de medição...................................................13 
2.5.13 Erro de uminstrumento de medição ..........................................................13 
2.5.14 Erros máximos admissíveis .......................................................................13 
2.5.15 Tendência.....................................................................................................13 
2.5.16 Repetitividade...............................................................................................13 
2.6 Material de referência, medidores e sistemas padrão ...................................13 
2.6.1 Padrão .............................................................................................................13 
2.6.2 Calibração .......................................................................................................13 
3 ALGARISMOS SIGNIFICATIVOS .........................................................................14 
3.1 Notação científica com potências de 10..........................................................14 
3.2 Registros possíveis para uma medição ..........................................................15 
3.3 Registro do resultado de uma medição considerando o erro possível........15 
4 MENSURANDO E ERRO DE MEDIÇÃO...............................................................17 
4.1 Mensurando.......................................................................................................17 
4.2 Conceito de erro................................................................................................17 
4.3 Erro na medição ................................................................................................17 
4.4 Correção da medida..........................................................................................17 
4.5 Valor verdadeiro ................................................................................................17 
4.6 Classificação dos erros ....................................................................................17 
4.7 Fontes de erro ...................................................................................................18 
4.8 Erro absoluto .....................................................................................................18 
4.9 Erro relativo .......................................................................................................18 
4.10 Erro relativo percentual ..................................................................................18 
4.11 Erros grosseiros..............................................................................................18 
4.12 Erros sistemáticos ..........................................................................................18 
4.13 Erros acidentais ou aleatórios .......................................................................19 
4.14 Abandono de leituras......................................................................................19 
4.15 Aplicação de erro grosseiro ...........................................................................19 
5 PROPAGAÇÃO DE ERROS NAS MEDIÇÕES INDIRETAS.................................22 
5.1 Medição indireta com adição ou subtração....................................................22 
5.1.1 Erro absoluto na medição com adição ou subtração .................................22 
5.1.2 Erro relativo na medição com adição...........................................................22 
5.1.3 Erro relativo na medição com subtração .....................................................22 
5.2 Multiplicação......................................................................................................23 
5.3 Quociente...........................................................................................................23 
5.4 Fórmula geral envolvendo produto e quociente de potência........................23 
5.5 Incerteza no processo de medição de amostras............................................24 
5.6 Soma de medições com uma faixa de incerteza ...........................................24 
5.7 Subtração de medições com faixa de incerteza .............................................24 
5.7.1 O erro relativo percentual com relação ao valor da diferença ...................25 
6 CONCEITOS METROLÓGICOS............................................................................25 
6.1 Instrumento de medição...................................................................................25 
6.2 Exatidão .............................................................................................................25 
6.2.1 Exatidão total para uma medição .................................................................25 
6.2.2 Avaliação da exatidão do resultado de uma medição.................................25 
6.3 Classe de exatidão de um instrumento analógico .........................................26 
6.4 Precisão .............................................................................................................26 
6.5 Resolução do instrumento analógico..............................................................27 
6.6 Sensibilidade .....................................................................................................27 
6.7 Instrumentos digitais ........................................................................................27 
6.7.1 Considerações gerais ...................................................................................27 
6.7.1.1 Exibição na forma de dígitos.....................................................................27 
6.7.1.2 O número de dígitos de um instrumento ..................................................28 
6.7.1.3 Bit e palavra digital......................................................................................28 
6.7.1.4 Valor do bit em função da sua posição relativa na palavra digital .........28 
6.7.1.5 Conversor analógico / digital (CAD ou ADC) ............................................29 
6.7.1.6 Conversor digital / analógico (CDA ou DAC) ............................................29 
6.7.1.7 Número de bits de um sinal digital - passo de quantização e níveis de 
quantização..............................................................................................................30 
6.7.1.8 Resolução r de um conversor A/D com N bits..........................................31 
6.7.1.9 Menor valor que um conversor A/D consegue perceber (converter)......31 
6.7.1.10 Tempo de conversão do conversor A/D ..................................................31 
6.7.1.11 Problema de aliasing.................................................................................31 
6.7.1.12 Número de dígitos dos instrumentos digitais ........................................32 
6.7.1.13 Resolução do instrumento e resolução do display................................32 
6.7.2 Resolução do instrumento digital.................................................................34 
6.7.3 Exatidão e precisão de um instrumento digital ...........................................34 
6.7.4 Modificação da precisão................................................................................35 
6.7.5 Consulta ao manual do fabricante................................................................35 
6.7.6 Limiar de mobilidade vinculada a resolução ...............................................35 
6.7.7 Resposta dinâmica de um medidor ..............................................................35 
6.7.8 Transformada de Laplace – regime transitório – regime permanente.......36 
6.7.9 Estudo de caso de medidor digital ...............................................................36 
6.7.9.1 Gráfico de barras.........................................................................................36 
6.7.9.2 Tabelas do manual do usuário...................................................................37 
6.7.9.3 Trabalho de aplicação.................................................................................396.8 Medir...................................................................................................................41 
6.9 Medida................................................................................................................42 
6.10 Medição............................................................................................................42 
6.11 Resultado de uma medição ............................................................................42 
6.12 Objetivo de uma medição de qualidade ........................................................42 
6.13 Desvio de uma leitura .....................................................................................42 
6.14 Desvio médio ...................................................................................................42 
6.15 Resultado da medição ....................................................................................42 
6.16 Erro ou desvio absoluto .................................................................................42 
6.17 Erro relativo ou desvio relativo de uma medição.........................................43 
7 ANÁLISE ESTATÍSTICA DE MEDIDAS................................................................44 
7.1 Aspectos relevantes .........................................................................................44 
7.2 Média aritmética ................................................................................................44 
7.3 Desvio de uma medida em relação à média aritmética das medidas ...........44 
7.4 Desvio médio .....................................................................................................45 
7.5 Mediana..............................................................................................................45 
7.6 Moda...................................................................................................................46 
7.7 Média, mediana e moda idênticas....................................................................46 
7.8 Amplitude da dispersão....................................................................................46 
7.9 Medidas da dispersão.......................................................................................46 
7.10 Desvio Padrão σσσσ ..............................................................................................46 
7.11 Área sob a Curva Gaussiana.........................................................................47 
7.12 Faixa de erro provável ....................................................................................48 
7.13 Variância ..........................................................................................................48 
7.14 Distribuição de valores medidos ...................................................................49 
7.15 Resultado gráfico na forma de histograma...................................................49 
7.16 Curva Gaussiana–Curva da Lei Normal de Distribuição..............................50 
7.16.1 Análise estatística das medidas .................................................................50 
7.16.2 Tabela de ocorrências relativas ..................................................................50 
8 DADOS DISPERSOS ............................................................................................51 
9 PROVIDÊNCIAS INICIAIS PARA UM PROCESSO DE MEDIÇÃO ......................51 
10 REPRESENTAÇÃO DE UM CONJUNTO DE MEDIDAS....................................51 
10.1 Curva de Gauss determinada pelos erros aleatórios...................................52 
10.2 Porcentagens de erros prováveis correspondentes às diferentes áreas 
sob a curva de probabilidades...............................................................................52 
10.2.1 Área sob a curva gaussiana ........................................................................52 
11 LIMITE DE ERRO PARA INSTRUMENTOS E COMPONENTES ELÉTRICOS..53 
11.1 Erro máximo para instrumentos ....................................................................53 
11.2 Limite de erro em resistores, capacitores, indutores: faixa de erro ou 
tolerância .................................................................................................................54 
12 FÓRMULAS PARA A INCERTEZA CALCULADA EM LABORATÓRIOS 
INDUSTRIAIS E PARÂMETROS COMPLEMENTARES .........................................55 
12.1 Nível de confiança recomendado ..................................................................55 
12.2 Resultado da medição ....................................................................................55 
12.3 Ferramentas para apresentação dos dados .................................................55 
12.3.1 Tabelas ..........................................................................................................55 
12.3.2 Gráficos.........................................................................................................55 
12.3.3 Equação matemática determinada pela regressão linear.........................55 
12.4 Universo ou população...................................................................................56 
12.5 A Distribuição de Student...............................................................................56 
12.6 Fórmulas para o resultado da medição em laboratórios industriais..........61 
 
 
 
5 
1 VANTAGENS DE UMA CULTURA METROLÓGICA 
 
O desenvolvimento da metrologia possibilita maior produtividade, redução de 
perdas e custos, aprimoramento da qualidade dos serviços e produtos, além da 
harmonização interdisciplinar da terminologia metrológica. 
 
2. VOCABULÁRIO DE TERMOS BÁSICOS 
Foram estabelecidos termos pelo presidente do Instituto Nacional de 
Metrologia, Normalização e Qualidade Industrial – INMETRO que, em 10.03.1995, 
publicou a portaria nº 29. 
A seguir, apresenta-se um extrato selecionado da obra “Vocabulário 
internacional de termos fundamentais e gerais da metrologia”, decorrente dessa 
portaria1. 
Os termos podem ser agrupados, conforme sua aplicação ou vinculação. 
 
2.1 Grandeza e unidade de medida 
 
2.1.1 Grandeza mensurável 
Atributo de um fenômeno, corpo ou substância que pode ser qualitativamente 
distinguido e quantitativamente determinado. 
 
2.1.2 Sistema de grandezas 
Conjunto de grandezas, em um sentido geral, entre as quais há uma relação 
definida. 
 
2.1.3 Grandeza de base 
 
Grandeza que, em um sistema de grandezas, é por convenção aceita como 
funcionalmente independente de uma outra grandeza. 
 
2.1.4 Grandeza derivada 
Grandeza definida, em um sistema de grandezas, como função de grandezas 
de base deste sistema. 
 
2.1.5 Unidade (de medida) 
Grandeza específica, definida e adotada por convenção, com a qual outras 
grandezas de mesma natureza são comparadas para expressar suas magnitudes 
em relação àquela grandeza. 
 
2.1.6 Símbolo de uma unidade (de medida) 
Sinal convencional que designa uma unidade de medida. 
 
1
 INMETRO. Vocabulário internacional de termos fundamentais e gerais de metrologia. 2. ed. 
Brasília: SENAIDN, 2000, p. 13 a 64. 
 
 
6 
 
 
2.1.7 Sistema de unidades (de medida) 
Conjunto das unidades de base e unidades derivadas, definido de acordo com 
regras específicas, para um dado sistema de grandezas. 
 
2.1.8 Unidade (de medida) (derivada) coerente 
Unidade de medida derivada que pode ser expressa como um produto de 
potências de unidades de base com fator de proporcionalidade um. 
 
2.1.9 Sistema Internacional de Unidades 
Sistema coerente de unidades adotado e recomendado pela Conferência 
Geral de Pesos e Medidas (CGPM). 
 
 
2.1.10 Valor (de uma grandeza) 
Expressão quantitativa de uma grandeza específica, geralmente sob a forma 
deuma unidade de medida multiplicada por um número. 
 
2.1.11 Valor verdadeiro (de uma grandeza) 
Valor consistente com a definição de uma dada grandeza específica. 
 
Observação: 
É um valor que seria obtido por uma medição perfeita. 
 
2.1.12 Valor numérico (de uma grandeza) 
 
Número que multiplica a unidade na expressão do valor de uma grandeza. 
 
2.2 Operações de medição 
2.2.1 Medição 
Conjunto de operações que tem por objetivo determinar um valor de uma 
grandeza. 
 
2.2.2 Metrologia 
Ciência da medição. 
 
2.2.3 Princípio de medição 
Base científica de uma medição. 
 
 
 
7 
2.2.4 Método de medição 
Sequência lógica de operações, descritas genericamente, usadas na 
execução das medições. 
 
2.2.5 Procedimento de medição 
Conjunto de operações, descritas especificamente, usadas na execução de 
medições particulares, de acordo com um dado método. 
 
2.2.6 Mensurando 
Objeto da medição. 
 
2.2.7 Grandeza de influência 
Grandeza que não é o mensurando, mas que afeta o resultado da medição 
deste. 
 
2.2.8 Valor transformado de um mensurando 
Valor do sinal de uma medição representando um dado mensurando. 
 
2.3 Características e resultados de medição 
2.3.1 Resultado de uma medição 
Valor atribuído a um mensurando obtido por medição. 
 
2.3.2 Indicação (de um instrumento de medição) 
Valor de uma grandeza fornecido por um instrumento de medição. 
 
2.3.3 Resultado corrigido 
Resultado de uma medição, após a correção, devida aos erros sistemáticos. 
 
2.3.4 Exatidão de medição 
Grau de concordância entre o resultado de uma medição e o valor verdadeiro 
do mensurando. 
 
Observações: 
1) Exatidão é um conceito qualitativo. 
2) O termo precisão não deve ser utilizado como exatidão. 
 
2.3.5 Repetitividade (de resultados de medições) 
Grau de concordância entre os resultados de medições sucessivas de um 
mesmo mensurando efetuadas sob as mesmas condições de medição. 
 
 
 
8 
Observações: 
1) Estas condições são denominadas condições de repetitividade. 
2) Condições de repetitividade incluem: 
- mesmo procedimento de medição; 
- mesmo observador; 
- mesmo instrumento de medição, utilizado nas mesmas condições; 
- mesmo local; 
- repetição em curto período de tempo. 
3) Repetitividade pode ser expressa, quantitativamente, em função das 
características da dispersão dos resultados. 
 
2.3.6 Reprodutibilidade (dos resultados de medição) 
Grau de concordância entre os resultados das medições de um mesmo 
mensurando efetuadas sob condições variadas de medição. 
 
Observações: 
1) Para que uma expressão da reprodutibilidade seja válida, é necessário que 
sejam especificadas as condições alteradas. 
2) As condições alteradas podem incluir: 
- princípio de medição; 
- método de medição; 
- observador; 
- instrumento de medição; 
- padrão de referência; 
- local; 
- condições de utilização; 
- tempo. 
3) Reprodutibilidade pode ser expressa, quantitativamente, em função das 
características da dispersão dos resultados. 
4) Os resultados aqui mencionados referem-se, usualmente, a resultados 
corrigidos. 
 
2.3.7 Desvio padrão experimental 
Para uma série de “n” medições de um mesmo mensurando, a grandeza “s”, 
que caracteriza a dispersão dos resultados, é dada pela fórmula: 
 
 
 
onde xi representa o resultado da “iésima” medição e representa a média 
aritmética dos “n” resultados considerados. 
 
Observações: 
1) Considerando uma série de “n” valores como uma amostra de uma 
distribuição, é uma estimativa não tendenciosa da média µ  e s² é uma estimativa 
não tendenciosa da variância desta distribuição. 
 
 
 
9 
2.3.8 Incerteza de medição 
Parâmetro, associado ao resultado de uma medição, que caracteriza a 
dispersão dos valores que podem ser fundamentadamente atribuídos a um 
mensurando. 
 
Observações: 
1) O parâmetro pode ser, por exemplo, um desvio padrão (ou um múltiplo 
dele), ou a metade de um intervalo correspondente a um nível de confiança 
estabelecido. 
 
2.3.9 Erro (de medição) 
Resultado de uma medição menos o valor verdadeiro do mensurando. 
 
2.3.10 Erro relativo 
Erro da medição dividido pelo valor verdadeiro do objeto da medição 
 
2.3.11 Erro sistemático 
Média que resultaria de um infinito número de medições do mesmo 
mensurando, efetuadas sob condições de repetitividade, menos o valor verdadeiro 
do mensurando. 
 
Observações: 
1) Erro sistemático é igual ao erro menos o erro aleatório. 
 
2.3.12 Correção 
Valor adicionado algebricamente ao resultado não corrigido de uma medição 
para compensar um erro sistemático. 
 
Observações: 
1) A correção é igual ao erro sistemático estimado com sinal trocado. 
 
2.4 Instrumentos medidores e dispositivos acoplados 
Muitos termos diferentes são empregados para descrever os artefatos 
utilizados nas medições. Este vocabulário define somente uma seleção de termos 
preferenciais; a lista a seguir, mais completa, está organizada em ordem 
aproximadamente crescente de complexidade. Esses termos não são mutuamente 
excludentes. 
 
a - elemento 
b - componente 
c - parte 
d - transdutor de medição 
e - dispositivo de medição 
f - material de referência 
g - medida materializada 
 
 
10 
h - instrumento de medição 
i - aparelhagem 
j - equipamento 
k - cadeia de medição 
l - sistema de medição 
m - instalação de medição 
 
2.4.1 Instrumentos de medição 
Dispositivo utilizado para uma medição, sozinho ou em conjunto com 
dispositivo(s) complementar (es). 
 
2.4.2 Sistema de medição 
Conjunto completo de instrumentos de medição e outros equipamentos 
acoplados para executar uma medição específica. 
 
2.4.3 Instrumento de medição mostrador / indicador 
Instrumento de medição que apresenta uma indicação. 
 
Observações: 
1) A indicação pode ser analógica (contínua/descontínua) ou digital. 
2) Valores de mais de uma grandeza podem ser apresentados 
simultaneamente. 
3) Um instrumento de medição indicador pode, também, fornecer um registro. 
 
2.4.4 Instrumento de medição registrador 
Instrumento de medição que fornece um registro da indicação. 
 
2.4.5 Instrumento totalizador 
Instrumento de medição que determina o valor de um mensurando, por meio 
da soma dos valores parciais desta grandeza, obtidos, simultânea ou 
consecutivamente, de uma ou mais fontes. 
 
2.4.6 Instrumento integrador 
Instrumento de medição que determina o valor de um mensurando por 
integração de uma grandeza em função de outra. 
 
2.4.7 Instrumento analógico 
Instrumento de medição no qual o sinal de saída ou a indicação é uma função 
contínua do mensurando ou do sinal de entrada. 
 
2.4.8 Instrumento de digital 
Instrumento de medição que fornece um sinal de saída ou uma indicação em 
forma digital. 
 
 
11 
 
2.4.9 Índice 
Parte fixa ou móvel de um dispositivo mostrador, cuja posição em relação às 
marcas de escala permite determinar um valor indicado. 
 
2.4.10 Valor de uma divisão 
Diferença entre os valores da escala correspondentes a duas marcas 
sucessivas. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2.4.11 Escala linear 
Escala na qual o comprimento de uma divisão está relacionado com o valor 
de uma divisão correspondente por um coeficiente de proporcionalidade constante 
ao longo da escala. 
 
2.4.12 Escala com zero suprimido 
Escala cuja faixa de indicação não inclui o valor zero. 
 
2.4.13Ajuste de um instrumento de medição 
Operação destinada a fazer com que um instrumento de medição tenha 
desempenho compatível com o seu uso. 
 
2.4.14 Regulagem de um instrumento de medição 
Ajuste, empregando somente os recursos disponíveis no instrumento para ousuário. 
 
2.5 Características de instrumentos e dispositivos de medição 
2.5.1 Faixa nominal 
Faixa de indicação que se pode obter em uma posição específica dos 
controles de um instrumento de medição. 
 
 
Figura 1 – Escala linear de amperimetro 
 
Figura 2 – Escala não linear de voltímetro 
 
 
12 
2.5.2 Amplitude da faixa nominal 
Diferença, em módulo, entre os dois limites de uma faixa nominal. 
 
2.5.3 Faixa de medição ou faixa de trabalho 
Conjunto de valores de um mensurando para o qual se admite que o erro de 
um instrumento de medição mantém-se dentro dos limites especificados. 
 
2.5.4 Condições de utilização 
Condições de uso para as quais as características metrológicas especificadas 
de um instrumento de medição mantêm-se dentro de limites especificados. 
 
2.5.5 Constante de um instrumento 
Fator pelo qual a indicação direta de um instrumento de medição deve ser 
multiplicada para obter-se o valor indicado do mensurando ou de uma grandeza 
utilizada no cálculo do valor do mensurando. 
 
2.5.6 Sensibilidade 
Variação da resposta de um instrumento de medição dividida pela 
correspondente variação do estímulo. 
 
2.5.7 (Limiar de) mobilidade 
Maior variação no estímulo que não produz variação detectável na resposta 
de um instrumento de medição, sendo a variação no sinal de entrada lenta e 
uniforme. 
 
2.5.8 Conceitos sobre resolução 
Menor diferença entre indicações de um dispositivo mostrador analógico que 
pode ser significativamente percebida. 
 
Observações: 
1) Para dispositivo mostrador digital, é a variação na indicação quando o 
dígito menos significativo varia de uma unidade. 
 
2.5.9 Zona morta 
Intervalo máximo no qual um estímulo pode variar em ambos os sentidos, 
sem produzir variação na resposta de um instrumento de medição. 
 
2.5.10 Estabilidade 
Aptidão de um instrumento de medição em conservar constantes suas 
características metrológicas ao longo do tempo. 
 
 
 
13 
2.5.11 Discrição 
Aptidão de um instrumento de medição em não alterar o valor do 
mensurando. 
 
2.5.12 Exatidão de um instrumento de medição 
Aptidão de um instrumento de medição para dar respostas próximas a um 
valor verdadeiro. 
 
2.5.13 Erro de um instrumento de medição 
Indicação de um instrumento de medição menos o valor verdadeiro da 
grandeza de entrada correspondente. 
 
2.5.14 Erros máximos admissíveis 
Valores extremos de um erro admissível por especificações, regulamentos, 
etc., para um dado instrumento de medição. 
 
2.5.15 Tendência 
Erro sistemático da indicação de um instrumento de medição. 
 
2.5.16 Repetitividade 
Aptidão de um instrumento de medição em fornecer indicações muito 
próximas, em repetidas aplicações do mesmo mensurando, sob as mesmas 
condições de medição. 
 
2.6 Material de referência, medidores e sistemas padrão 
2.6.1 Padrão 
Medida materializada, instrumento de medição, material de referência ou 
sistema de medição destinado a definir, realizar, conservar ou reproduzir uma 
unidade ou um ou mais valores de uma grandeza para servir como referência. 
 
Exemplos: 
a) Massa padrão de 1 kg; 
b) Resistor padrão de 100 Ω; 
c) Amperímetro padrão; 
d) Padrão de frequência de césio; 
e) Eletrodo padrão de hidrogênio; 
f) Solução de referência de cortisol no soro humano, tendo uma concentração 
certificada. 
 
2.6.2 Calibração 
Conjunto de operações que estabelece, sob condições especificadas, a 
relação entre os valores indicados por um instrumento de medição ou sistema de 
 
 
14 
medição ou valores representados por uma medida materializada ou um material de 
referência, e os valores correspondentes das grandezas estabelecidos por padrões. 
 
Observações: 
1) O resultado de uma calibração permite tanto o estabelecimento dos valores 
do mensurando para as indicações como a determinação das correções a serem 
aplicadas. 
2) O resultado de uma calibração pode ser registrado em um documento, 
algumas vezes denominado certificado de calibração ou relatório de calibração. 
 
3 ALGARISMOS SIGNIFICATIVOS 
O número de algarismos significativos com que a medida deve ser expressa é 
indicativo da precisão dessa medida. Contém informações sobre a magnitude e 
precisão da medida da variável sob medição. 
 
Exemplos: 
 
1-Seja o resistor cujo valor nominal é de 75Ω. Sua resistência real deve se 
aproximar mais de 75 Ω, do que de 74Ω ou 76Ω. 
2-O valor nominal do resistor é de 87,1Ω. Sua resistência real deve se 
aproximar mais de 87,1 Ω do que de 87,0 Ω ou 87,2Ω. 
3-Se são especificados 100 Ω e 100,3 Ω para o resistor, o segundo valor tem 
mais precisão. 
Quanto maior o número de algarismos significativos, maior será a precisão da 
medição. 
Os zeros que posicionam a vírgula não são significativos. Os zeros na 
extremidade esquerda do número não são significativos. 
Exemplos: 
Medida Número de algarismos significativos 
0,025 cm 2 
0,349 s 3 
0,0070000 m 5 
 
3.1 Notação científica com potências de 10 
Nem sempre o número de algarismos ou dígitos da medida é significativo, ou 
seja, corresponde à precisão devida para a medida. Pode haver alguma 
impropriedade e esse número não reflete a precisão da medida, quando por 
exemplo, o valor da medida tem mais de um algarismo duvidoso. 
 
Exemplos: 
 
- Uma população é avaliada em 470.000 habitantes. Se todos os algarismos 
forem significativos, a população estaria entre 470.001 e 469.999 habitantes. Se o 
 
 
15 
levantamento realizado mostra que a população é mais próxima de 470.000 do que 
de 460.000 ou 480.000, o número de algarismos significativos são dois. 
Em notação científica de potências de 10, a quantidade 470.000 habitantes 
fica corretamente representada como 4,7 x 105 habitantes. 
-A carga do elétron é 1,6022x10 –19 C 
-A velocidade da luz é de 3,0 x 105 km/s. 
 
3.2 Registros possíveis para uma medição 
A medição feita com um voltímetro é de 127,0 V. Está bem mais próxima de 
127,0 V do que de 126,9 V ou 127,1 V. 
 
3.3 Registro do resultado de uma medição considerando o erro possível 
O erro possível permite que sejam conhecidos os limites entre os quais o 
valor medido se encontra. Quando se busca o valor mais próximo do verdadeiro, são 
feitas várias medições independentes da grandeza. Seu valor mais provável será 
entendido como a média aritmética das medidas acompanhada do máximo desvio 
das medidas com relação à média. 
Para o valor medido de 127,10 ± 0,03 V, a faixa de valores possíveis seria: 
de (127,10 + 0,03) V =127,13 V até (127,10 – 0,03) V = 127,07 V, ficando 
assim representada a medição: 12 7,07 V ≤valor medido ≤ 127,13V. 
Esse resultado é expresso pela média aritmética das medições associada a 
uma faixa de erros possíveis correspondente ao máximo desvio entre as medições e 
a média delas. 
Exemplo: 
Para as medidas de tensão 127,06 V, 127,05 V, 127,04 V, e 127,09 V, 
calcular: 
a) A tensão média 
b) A faixa de erros 
 
Tensão média = 
4
VV V V 4321 +++
 = 127,06 V 
 
 
Faixa de erros: Vmáx - Vmédio = 127,09 – 127,06 = 0,03 V 
 Vmédio - Vmin = 127,06 – 127,04 = 0,02 V 
 
Faixa de erros da medida = 0,03 + 0,02 = + 0,025 = + 0,03 V 
 2 
 
Resultado da medição = 127,06 + 0,03 V 
 
 
 
16 
Exemplo: 
 
Para a ligação de R1 = 15,6Ω, R2 = 2,328 Ω em série, calcular a resistência 
total, com o número correto de algarismos significativos. 
Regra: O resultado de uma adição deve ter o mesmo número de casas 
decimaisque a parcela com menor número de casas decimais. 
RT = 2,328+ 15,6 = 17,928 = 17,9 Ω 
 
Exemplo: 
 
Uma corrente de 2,31 A percorre uma resistência de 40,23 Ω. 
V = R x I = 2,31 x 40,23 = 92,9313 = 92,9 V 
 
Regra: O produto não pode ter maior precisão (maior número de algarismos 
significativos) do que o fator de menor precisão (menor número de 
algarismos significativos). 
Os dígitos extras do resultado (da resposta), devem ser arredondados. 
Nota: Se o dígito mais significativo a ser descartado for maior que 5, o dígito 
anterior deve ser acrescido de uma unidade. Se o dígito mais 
significativo a ser descartado for menor que 5, o dígito anterior 
permanece com seu valor. Se o dígito mais significativo a ser 
descartado for igual a 5, o dígito anterior poderá ou não ser acrescido de 
uma unidade, a critério do responsável pelos cálculos. 
Exemplo: 
Tem-se a tensão de 120,0V e a corrente de 1,57A num resistor. Qual é a sua 
resistência? 
R = 
I
V
= 
1,57
120,0V
= 76,433 = 76,4Ω 
Regra: Na divisão ou na multiplicação o resultado deve ter a quantidade de 
algarismos significativos correspondente à do número com a menor 
quantidade de algarismos significativos. 
 
 
 
17 
4 MENSURANDO E ERRO DE MEDIÇÃO 
 
4.1 Mensurando 
“Objeto da medição. Grandeza específica submetida à medição”2. 
 
4.2 Conceito de erro 
É a diferença entre o valor medido e o valor real ou verdadeiro da grandeza. 
4.3 Erro na medição 
Erro de medição é a diferença algébrica entre o valor da medição e o valor 
verdadeiro do mensurando. Sua unidade é a mesma da grandeza medida. 
Não se consegue o resultado de uma medição absolutamente exato. A 
análise estatística da medição possibilita-nos conhecer seu grau de exatidão. 
Um estudo de erros possibilita diminuir a sua propagação nas medições 
indiretas e aumentar a precisão do resultado. 
E = valor da medição – valor real da grandeza 
 
4.4 Correção da medida 
Correção da medida é o erro decorrente dela com o sinal invertido. 
C = - E 
 A correção deve ser adicionada algebricamente à medida ainda sem 
correção, para compensar o erro. 
 
4.5 Valor verdadeiro 
O valor verdadeiro de uma grandeza pode ser obtido pelo o valor medido 
acrescido da correção. Isto se considerarmos a medição com um instrumento. 
Tratando-se do valor nominal da resistência de um resistor, seu valor verdadeiro ou 
real corresponderá ao seu valor nominal acrescido da correção. 
 
4.6 Classificação dos erros 
Erro grosseiro: é cometido pelo usuário do medidor. É provocado por dúvida, 
engano, mau uso do equipamento, deslize. 
Erro sistemático: é a tendência de erro de um medidor. 
Erro aleatório ou residual: é provocado no instrumento de modo 
imprevisível. 
 
 
2
 INMETRO. Vocabulário internacional de termo fundamentais e gerais de metrologia: portaria 
INMETRO no 029 de 1995. 5. ed. Rio de Janeiro: INMETRO, SENAI - Departamento Nacional, 
2007. p. 24. 
 
 
18 
4.7 Fontes de erro 
Ocorrem erros dos instrumentos, dos operadores, do procedimento adotado, 
das condições ambientais do local da medição, dos materiais utilizados que são 
consumidos ou deteriorados com o tempo. 
 
4.8 Erro absoluto 
 
É o valor absoluto do erro, ou seja, da diferença entre o valor da medida e o 
real ou verdadeiro da grandeza. 
 
4.9 Erro relativo 
 
É a razão entre o erro da medida e o valor verdadeiro. 
 
Exemplo: 
O valor verdadeiro de uma tensão são 20,0V, o valor encontrado através da 
utilização de um voltímetro foi 19,9V. O erro relativo é 
0,20
0,209,19 −
 = 
0,20
1,0−
 = − 5 x 10-3 
4.10 Erro relativo percentual 
É o erro relativo tomado em porcentagem. No caso anterior o seu valor é 
– 0,5%. 
 
4.11 Erros grosseiros 
 
São erros provenientes de erros humanos. Pode surgir sempre que houver a 
presença do homem na execução da medição. Decorrem, em sua essência, de erro 
do operador. Podem ser leituras e/ou ajustes incorretos, aplicação incorreta do 
instrumento de medição ou do método de medição utilizado, erros computacionais, 
efeito de carga, etc. Esses erros podem ser evitados com a repetição dos ensaios 
pelo operador ou por outros operadores. Assim sendo, o efeito de carga de 
instrumento, o erro de leitura e/ou de seu registro provocam erro grosseiro na 
medição. 
 
4.12 Erros sistemáticos 
 
Para um instrumento de medição erro sistemático é denominado tendência. 
São erros instrumentais devidos a falhas de medidores defeituosos. Podem 
decorrer ainda de efeitos ambientais sistemáticos de temperatura, pressão, umidade 
relativa do ar, campo elétrico ou magnético. Os erros causados por fatores 
ambientais podem ser eliminados com a escolha correta do instrumento 
devidamente protegido contra cada tipo de influência perturbadora do meio 
ambiente. É o caso do medidor contar a existência de blindagem magnética ou 
 
 
19 
elétrica, utilização de ar condicionado no ambiente onde ocorre a medição, 
encapsulamento de componentes ou controle da umidade relativa do ar. 
Os erros sistemáticos de um medidor podem ser identificados através de uma 
comparação com medições realizadas com outro instrumento. Este deve ser 
devidamente protegido contra a perturbação ambiental, de melhor classe de 
exatidão, e possuidor das demais características similares às do primeiro 
instrumento. 
Os erros sistemáticos podem ainda ser estáticos ou dinâmicos ao longo do 
tempo. 
Os dinâmicos podem ser causados por uma demora do instrumento ao 
responder a uma alteração da variável sob medição. 
 
4.13 Erros acidentais ou aleatórios 
 
São provocados por fenômenos aleatórios, devido a causas desconhecidas 
atuando sobre os instrumentos, independentemente da ocorrência de erros 
sistemáticos e de erros grosseiros. Não há como identificar suas origens nem 
quando vão atuar nem a sua intensidade. 
Para que os erros aleatórios possam ser compensados, deve-se fazer um 
grande número de leituras. O valor estimado deverá corresponder à média aritmética 
das leituras das medidas acompanhada do desvio relativo ou da medida de 
incerteza definidos pela análise estatística dos resultados. 
 
4.14 Abandono de leituras 
As leituras sem sentido ou muito divergentes com relação à média das 
amostras, devem ser abandonadas, pois devem estar afetadas com erros grosseiros 
de medição, leitura ou registro e/ou de erros sistemáticos. 
 
4.15 Aplicação de erro grosseiro 
O efeito de carga é um erro grosseiro introduzido pelo o ser humano devido à 
escolha indevida do instrumento. 
 
Exemplo: 
 
O voltímetro V tem escala de 100V, sensibilidade voltimétrica 
Sv de 1100Ω/V e indica 100V. 
O miliamperímetro com resistência interna RA nula, indica corrente de 5 mA. 
 
 
20 
 
Figura 3 – Diagrama de circuito elétrico 
Calcular: 
a) a resistência aparente Rxa do resistor desconhecido. 
b) a resistência real Rx do resistor desconhecido. 
c) O erro relativo percentual de Rxa, resistência aparente com relação a 
resistência real Rx devido ao efeito de carga do voltímetro. 
 
Solução: 
 
Resistência aparente= Rxa = I
V
 = 
5mA
100V
 = 20 kΩ 
 
Resistência do voltímetro=Rv = 100 x 1100 Ω/V= 110 kΩ 
 
Rxa = 
XV
XV
RR
Rx R
+
; Rxa x (Rv + Rx ) = Rv x Rx ; Rxa Rv + Rxa Rx ) = Rv x Rx 
 
Rxa x Rv = Rv x Rx - Rxa Rx = (Rv – Rxa) Rx 
 
 
Rx = 
xaV
vxa
RR
Rx R
−
 = 
20101
x20x10101 3
−
 = Rx = 24,44 kΩ 
 
 
Erro relativo % = 
x
xxa
R
)R -(R
 x 100%
 
= 
44,24
24,44-20
x 100% = - 18%21 
Exemplo: 
 
Temos um voltímetro com escala de 100V. Sua sensibilidade é Sv = 1100 Ω/V . A 
tensão indicada é de 40V. 
A resistência interna do miliamperímetro é RA = 0 e a corrente indicada foi alterada 
para 800 mA, se comparada com a figura 3 do exemplo anterior. 
 
 
Figura 4 – Diagrama de circuito elétrico 
Calcular: 
a) Rxa a resistência aparente do resistor desconhecido. 
b) Rx a resistência real do resistor desconhecido. 
c) O erro devido ao efeito de carga do voltímetro na medição da Rxa aparente 
comparado com Rx real. 
 
Solução: 
 
Rxa = 0,8A
40V
 = 50 Ω 
 
Rv = 100 x 1100 Ω/V = 110 kΩ 
 
Rxa = 
xv
xv
RR
Rx R
+
 ; Rx = 
xav
vxa
RR
Rx R
−
 (conforme deduzido no exemplo anterior). 
 
Rx = 
xav
vxa
RR
Rx R
−
 = 
50110x10
50x110x10
3
3
−
 = 50 Ω 
 
Erro relativo percentual = 
x
xxa
R
R -R
 
 
x 100%
 
= 
50
5005 −
 x 100% = 0% 
 
 
 
22 
Conclusão: Não devemos medir tensão com um voltímetro de baixa 
resistência, principalmente entre dois pontos de alta resistência, 
pois seu efeito de carga seria elevado. Um voltímetro digital com 
alta impedância de entrada tem efeito de carga desprezível. 
 
5 PROPAGAÇÃO DE ERROS NAS MEDIÇÕES INDIRETAS 
 
Muitas medições indiretas de grandezas resultam de operações aritméticas 
com valores de medições diretas de outras grandezas. 
Exemplo: 
 
Podemos medir R indiretamente, utilizando valores medidos diretamente de V 
e I na fórmula anterior. 
O erro na medição indireta de R será uma propagação dos erros nas 
medições diretas de V e I. 
 
5.1 Medição indireta com adição ou subtração 
 
5.1.1 Erro absoluto na medição com adição ou subtração 
 
Nas medições indiretas com soma e subtração os desvios absolutos ou erros 
absolutos se somam, independentemente do sinal de cada um. 
G ± δG = (G1 ± δG1 )+ (G2 ± δG2) ........+(Gn ± δGn) 
δG = ± δG1 ± δG2 ± ......... ± δGn = ± (δG1 + δG2 + ......... + δGn) 
 
Exemplo: 
(S1 ± δS1) + (S2 ± δS2) = (S1 + S2) ± (δS1 + δS2) 
 
Exemplo: 
(S1 ± δS1) - (S2 ± δS2) = (S1 - S2) ± (δS1 + δS2) 
 
5.1.2 Erro relativo na medição com adição 
G ± δG = (G1 ± δG1 )+ (G2 ± δG2) =(G1 + G2) ± (δG1 + δG2) 
γG = 
21
21
GG
GG
+
+ δδ
 
 
 
5.1.3 Erro relativo na medição com subtração 
G ± δG = (G1 ± δG1 ) - (G2 ± δG2) =(G1 - G2) ± (δG1 + δG2) 
γG = 
21
21
GG
GG
−
+ δδ
 
 
 
 
 
 
23 
Nota: γγγγG terá valor elevado quando G1 - G2 for de valor reduzido. γγγγG poderá 
tender para infinito
. 
 As medições indiretas através de subtração devem 
ser evitadas quando a diferença G1 - G2 for reduzida, pois o erro relativo 
da medição atingirá valor absurdo.
 
 
 
5.2 Multiplicação 
G ± δG = (G1 ± δG1 ) · (G2 ± δG2) = G1 · G2 ± G1 . δG2 ± G2 . δG1 ± (δG1 . δG2) 
 δG1 . δG2 é de valor desprezível. 
G ± δG = G1 · G2 ± G1 . δG2 ± G2 . δG1 
21
1G2G21
21
G
.GG
.δG.δG
.GG
δ ±±
=
±
 
γG = ± (γG1 + γG2 ) 
 
Na multiplicação os erros (desvios) relativos se somam. 
 
G ± δG = (G1 ± δG1 ) · (G2 ± δG2)..... (Gn-1 ± δG n-1 ) 
 
Gn
Gn
2
2G
1
1GG
G
δ
.....
G
δ
G
δ
G
δ
±±±±= 
 
)γ.....γγ(γγ
nG3G2G1GG ++++±= 
 
5.3 Quociente 
 
Na divisão os erros (desvios) relativos se somam. 
Desenvolvendo raciocínio análogo ao da multiplicação anterior, teremos: 
 
G ± γG = ±=





+±=
±
±
2
1
2
2
1
1
2
1
22
11
G
G
G
δG
G
δG
G
G
δGG
δGG (γG1 + γG2 ) 
±=
±
±
2
1
22
11
G
G
δGG
δGG (γG1 + γG2 ) 
 
5.4 Fórmula geral envolvendo produto e quociente de potência 
 
 
d
Gnn
c
1-Gn1-n
b
2G2
a
1G1
) (G
) ...(G) (G) (G
G δ
δδδ
±
±±±
= 
 
Gn1GnG2G1G dγcγ...bγaγγ ±±±±= − 
 
 
 
24 
)dγcγ...bγ(aγ
G
...GGG
G Gn1GnG2G1d
n
1
c
n
b
2
a
1 +++±=
−
−
 
 
Exemplo: 
 
Um resistor R = 100 + 0,2 Ω, é percorrido por uma corrente I = 2,00 + 0,01 A. 
Calcular o erro relativo percentual provável para o cálculo da potência 
dissipada. 
 
R = 100 + 0,2 Ω = 100 + 0,2 % 
 
I = 2,00 + 0,01 A =2,00 + 0,5% 
 
P = R x I² = R x I x I 
 
γP = + 1 γ R + 2 γ I 
 
Erro relativo percentual provável = +0,2% + 2 x 0,5% = + 1,2% 
 
5.5 Incerteza no processo de medição de amostras 
Incerteza é a estimativa que permite caracterizar a faixa de valores em que se 
encontra o verdadeiro valor da grandeza medida. 
 
5.6 Soma de medições com uma faixa de incerteza 
 
Exemplo: 
 
A soma de N1 = (725 + 5) Ω e N2 =(526 + 3) Ω 
 (725 + 0,690 %) + (526 + 0,570 %) = (1251 + 8) Ω = (1251 + 0,64 %) Ω 
 
Nota: A faixa de incerteza da adição resultante não difere muito das faixas das 
parcelas. 
 
Regra: O resultado da adição deve ter o mesmo número de casas decimais que 
a parcela com menor quantidade de casas decimais. 
 
23,54508 
0,43 + 
23,97 
 
5.7 Subtração de medições com faixa de incerteza 
 
Considerar N1= 725 ± 5 e N2 = 526 ± 3 do exemplo anterior. 
Subtração: N1 - N2 = 199 + 8 = 199 + 4% 
 
 
 
25 
 
5.7.1 O erro relativo percentual com relação ao valor da diferença 
Na subtração há um grande acréscimo da incerteza do resultado em relação à 
das parcelas. O erro relativo percentual com relação ao valor da diferença pode 
tender para infinito se o valor da diferença tender para zero, pois o denominador da 
fração a ser calculada será quase nulo. 
 
Nota: As medições resultantes de subtração de valores próximos devem ser 
evitadas pois a faixa de incerteza do resultado final poderá ser bastante 
elevada, com relação à diferença,ou seja, o erro relativo percentual 
poderá ser muito grande, tornando o resultado absurdo. 
 
6 CONCEITOS METROLÓGICOS 
 
6.1 Instrumento de medição 
 
É o recurso físico utilizado para se determinar o valor de uma grandeza. 
 
 
6.2 Exatidão 
 
A exatidão de um instrumento corresponde ao grau de concordância entre a 
medição realizada com o instrumento e o valor verdadeiro da grandeza. 
É o grau de proximidade entre o valor medido e o valor verdadeiro. 
Suponhamos dois voltímetros idênticos. Se a resistência interna de um deles 
variar, sua indicação será afetada com erro. 
As exatidões das medições com os dois serão diferentes. Para se saber qual 
dos dois foi afetado, basta comparar a indicação de cada um com a de um voltímetro 
padrão. 
A exatidão de um instrumento só pode ser verificada quando ocorrer 
comparação da medição deste com outra, da mesma grandeza, realizada através de 
um instrumento padrão. A exatidão é um aspecto qualitativo. 
 
6.2.1 Exatidão total para uma medição 
Nenhuma medida é realizada com plena exatidão, isto é, sem erro. 
 
6.2.2 Avaliação da exatidão do resultado de uma medição 
Num processo de medição necessitamos conhecer a exatidão dos resultados, 
para avaliar sua qualidade em função das exigências feitas para sua obtenção. Para 
avaliar a exatidão dos resultados será necessário conhecer os tipos de erros 
envolvidos e como trabalhar com os mesmos. 
 
 
26 
6.3 Classe de exatidão de um instrumento analógico 
 
É um índice que avaliado em porcentagem do valor final da escala do 
instrumento o resultado corresponde ao seu erro absoluto máximo possível, para 
qualquer uma das suas indicações. 
Quando dizemos que um instrumento de medição pertence a uma 
determinada classe de exatidão, estamos informando queele “satisfaz a certas 
exigências metrológicas destinadas a conservar os erros dentro de limites 
especificados. Observação: uma classe de exatidão é usualmente indicada por um 
número ou símbolo adotado por convenção e denominado índice de classe”3. 
Quando o manual do fabricante não está disponível, é necessário realizar um 
levantamento das curvas de correção para o instrumento com o auxílio de um 
instrumento padrão do qual se conheça a exatidão. 
 
6.4 Precisão 
A precisão corresponde ao grau de afastamento entre várias medidas 
sucessivas de um mesmo valor de uma grandeza. Corresponde ao grau de 
reprodutibilidade da medida repetida sob condições que podem variar. Para um nível 
de afastamento haverá um nível de proximidade correspondente. 
A precisão revela o grau de proximidade entre vários valores medidos de uma 
mesma grandeza, com um mesmo instrumento ou com instrumentos diferentes, sob 
condições que podem variar. 
Possui duas características: grau de concordância das medidas e 
número de algarismos significativos, com os quais a medição é realizada. 
Exemplo: Se uma resistência com o valor real 1.593.681 Ω, é medida com um 
mesmo multímetro várias vezes. Obtém-se repetidamente o valor indicado de 
1,6MΩ. Com a escala utilizada, este é o valor mais próximo do verdadeiro. Se o 
número de algarismos significativos fosse maior, poderíamos perceber maior ou 
menor precisão, desde que percebêssemos a partir de qual algarismo haveria 
diferença entre as indicações. Aí poderíamos avaliar a precisão em função do grau 
de aproximação entre os valores das medidas. 
O erro criado pelo número limitado de algarismos significativos, é um 
erro de precisão. 
Se a precisão fosse maior, haveria maior número de algarismos significativos 
nos valores e o grau de afastamento entre as medidas seria menor. Caso o número 
de algarismos significativos fosse maior, o erro criado seria menor. 
O grau de concordância de valores é necessário neste caso, mas não é 
suficiente, uma vez que é necessário que possamos observar a partir de qual 
algarismo significativo acontecem as variações dos valores medidos. Isto não ocorre 
no exemplo anterior das medições de uma resistência com um multímetro. 
 
3
 INMETRO. Vocabulário internacional de termo fundamentais e gerais de metrologia: portaria 
INMETRO no 029 de 1995. 5. ed. Rio de Janeiro: INMETRO, SENAI - Departamento Nacional, 
2007. p.49. 
 
 
27 
A precisão das medidas pode ser quantificada pelo grau de dispersão entre 
as mesmas, em observações sucessivas. O desvio é uma avaliação passível de 
precisão. A precisão pode ser quantificada. 
 
6.5 Resolução do instrumento analógico 
Corresponde à diferença entre os dois valores indicados pelo o instrumento 
correspondentes a duas graduações adjacentes da sua escala. 
 Figura 5 - Escala de voltímetro com resolução de 1 V 
 
6.6 Sensibilidade 
 
É a razão entre a resposta do instrumento e o estímulo que recebeu. Num 
instrumento analógico sua resposta é o ângulo de deflexão do ponteiro e o estímulo 
é o valor da grandeza que está sendo medida. Portanto quanto maior a deflexão, 
para o mesmo valor sob medição, maior será a sensibilidade do instrumento. 
 
6.7 Instrumentos digitais 
6.7.1 Considerações gerais 
 
6.7.1.1 Exibição na forma de dígitos 
Instrumentos digitais exibem os valores das grandezas medidas na forma de 
dígitos discretos. Esta característica os torna sensivelmente diferentes dos 
instrumentos de medição analógicos que utilizam a deflexão de um ponteiro sobre 
uma escala contínua, para indicar o valor da grandeza medida. Algumas 
características tornam os instrumentos digitais preferidos para algumas aplicações. 
A utilização desses instrumentos proporciona aspectos positivos: possibilita 
leituras mais rápidas, sem erro de interpolação e sem erro paralaxe da parte do 
usuário. Sua saída digital é processável. 
Para que se possa fazer o melhor uso de um instrumento digital de medida é 
necessário conhecer algumas de suas características funcionais. É o caso da 
resolução e da exatidão. 
 
 
 
28 
6.7.1.2 O número de dígitos de um instrumento 
 
O número de dígitos de um instrumento define a resolução do instrumento. 
Número de 
Dígitos 
Fundo 
de 
Escala 
Total de 
Contagens 
Fundo de 
Escala em 
Múltiplo de 
3 1/2 1999 2000 2 
3 3/4 3999 4000 4 
4 1/2 19999 20000 2 
4 3/4 39999 40000 4 
4 4/5 49999 50000 5 
 
A unidade do dígito mais à direita corresponde ao menor valor de 
medição feita pelo instrumento. Correspondente à resolução do instrumento. 
 
6.7.1.3 Bit e palavra digital 
 
O bit pode corresponder a 1 ou 0. 
O BYTE ou palavra digital é um conjunto de bits. 
Exemplo: 
A palavra digital 0 1 0 1 tem quatro bits. 
 
 
 
 
 
O Bit Mais Significativo (MSB) fica mais à esquerda da palavra digital e o Bit 
Menos Significativo (LSB) fica mais à direita da palavra. 
 
6.7.1.4 Valor do bit em função da sua posição relativa na palavra digital 
 
Indicando-se a posição relativa do bit no byte, na sequência da direita para a 
esquerda, teremos os seguintes respectivos valores: 
X......... X X X 
 
 
 
 ... . 
 
 ... 4 2 1 
MSB 
bit mais 
significativo 
LSB 
bit menos 
significativo 
 
 LSB 
MSB 
 
 
29 
Exemplo: 
 
Determinar o valor do byte 1 1 1 
 
 
 
1 1 1 
 
O valor é 4 + 2 + 1 = 7 
 
 
6.7.1.5 Conversor analógico / digital (CAD ou ADC) 
Converte um sinal analógico em sinal digital. 
 
6.7.1.6 Conversor digital / analógico (CDA ou DAC) 
Converte um sinal digital em sinal analógico. 
 
 
30 
6.7.1.7 Número de bits de um sinal digital - passo de quantização e níveis de 
quantização 
 
 
 
 
 
Admitindo-se que a tabela anterior corresponde a um converso A/D, verifica-
se que o sinal digital na sua saída tem 16 níveis de quantização e o passo de 
quantização é 0,1 V. 
 
 
31 
6.7.1.8 Resolução r de um conversor A/D com N bits 
 
 A resolução R de um conversor A/D de N bits pode ser calculada por: 
 
 
 
N é o número de bits do sinal digital de saída do conversor A/D. 
 Ventrada max. e V entrada min são os limites do sinal de entrada analógico 
do conversor A/D. 
 
Exemplo: 
Um conversor A/D é de 8 bits, tem fundo de escala de 20 V e entrada mínima 
de 0V. Calcular sua resolução. 
80mV
1256
20
12
020
8 ≅
−
=
−
−
 
Exemplo: 
Trocando o número de bits para N=12, no exemplo anterior, temos: 
5mV
14096
20
12
020Resolução 12 ≅
−
=
−
−
= 
 
6.7.1.9 Menor valor que um conversor A/D consegue perceber (converter) 
 
O menor valor de sinal analógico de entrada que um conversor A/D consegue 
converter em sinal digital corresponde à sua resolução. 
 
6.7.1.10 Tempo de conversão do conversor A/D 
 
É o tempo gasto pelo conversor para gerar uma palavra digital, quando 
recebe um sinal analógico na sua entrada. 
 
6.7.1.11 Problema de aliasing 
Ocorre no conversor A/D quando sua frequência de amostragem é menor que 
a frequência dos componentes do sinal de entrada. 
 
 
 
32 
6.7.1.12 Número de dígitos dos instrumentos digitais 
 
O número de dígitos nos displays estão entre 3 e 8 dígitos. 
 
6.7.1.13 Resolução do instrumento e resolução do display 
 Resolução, por definição, é a menor variação na variável medida que pode 
serindicada pelo instrumento4. Adaptando esta definição para um instrumento de 
medição digital podemos dizer que a resolução de um instrumento de medição digital 
é a menor modificação, para mais ou para menos, na variável medida, que provoca 
alteração no valor do dígito menos significativo exibido no display do instrumento. 
 
 
Figura 6 - Paquímetro digital 
Em instrumentos digitais é comum haver uma coincidência entre a resolução 
do instrumento e a resolução do display do instrumento, ou seja, a menor variação 
na variável medida que pode ser considerada pelo circuito interno do instrumento e 
que provoca a menor variação exibida no display do instrumento. Apenas para 
entendimento do que foi dito, considere o paquímetro5 da figura 6 cujo display com 5 
dígitos pode indicar número de 0 a 99999 unidades de medida, com ponto decimal 
em qualquer posição. Quando está medindo na escala de milímetros, pode indicar 
qualquer comprimento entre 0,00 mm e 150,00 mm, respondendo a variações de 
0,01 mm. Quando está medindo na escala de polegadas6 pode indicar qualquer 
comprimento de 0,0000 in a 6,0000 in, respondendo a variações de 0,0005 in. No 
primeiro caso, a resolução do instrumento é igual à resolução do display. No 
segundo caso, não, já que o display pode variar de 0,0001 in, mas o circuito interno 
 
4
 HELFRICK, A. D.; COOPER, W. D. Instrumentação eletrônica moderna e técnicas de medição. 
Tradução de Antônio Carlos Inácio Moreira. Rio de Janeiro: Prentice-Hall do Brasil, 1994, p.1. 
5
 Instrumento para medição de comprimento. 
6
 Unidade de medida de comprimento do sistema inglês ( ). 
 
 
33 
do instrumento só responde a variações de 0,0005 in, produzindo arredondamento 
na quarta casa decimal. 
A forma mais objetiva de se obter a informação sobre a resolução de um 
instrumento de medição digital é consultando o manual do fabricante. Ao consultar o 
manual do fabricante, o usuário do instrumento deve ter atenção para os seguintes 
aspectos: 
a) A resolução de um instrumento pode ou não concordar com a resolução do display 
(conforme visto no parágrafo anterior). 
b) Em instrumentos com múltiplas escalas7, a resolução é um atributo próprio de cada 
escala. Então, um instrumento com múltiplas escalas terá múltiplas resoluções. Veja 
na figura 7 um capacímetro digital com múltiplas escalas. 
c) Um instrumento que mede várias grandezas8 pode ter resoluções distintas para cada 
grandeza medida. Veja na figura 8 um multímetro digital. 
d) Em instrumentos que possuem o recurso de escala automática9, a resolução é 
aquela da menor escala que o equipamento pode selecionar automaticamente. Veja 
na figura 9 um multímetro digital com escala automática. 
 
Figura 7 - Capacímetro Multiescala 
 
 
Figura 8 - Multímetro digital 
 
7
 Múltiplas escalas da mesma grandeza: . 
8
 Um multímetro mede várias grandezas (exemplo: tensão elétrica, corrente elétrica, resistência 
ôhmica, etc.). 
9
 Instrumentos com seleção automática de escala ajustam automaticamente a escala, para se obter a 
melhor (menor) resolução possível durante uma medição. 
 
 
34 
 
 
Figura 9 - Multímetro digital com escala automática 
 
Se o manual do fabricante não está disponível, uma observação cuidadosa do 
display do instrumento durante uma medição pode dar uma boa pista sobre a 
resolução do instrumento na escala que estiver sendo utilizada. 
 
6.7.2 Resolução do instrumento digital 
De modo geral considera-se que a resolução corresponde ao menor valor da 
grandeza que o instrumento é capaz de medir. Esse valor altera de acordo com a 
escala selecionada e corresponde a uma unidade no menor algarismo significativo 
(LSB) apresentado no display. 
 
6.7.3 Exatidão e precisão de um instrumento digital 
Exatidão é a medida do grau de concordância entre a indicação de um 
instrumento e o valor verdadeiro da variável sob medição10. É um conceito 
qualitativo da aptidão de um instrumento de medição para dar respostas próximas a 
um valor verdadeiro. O termo não deve ser confundido com precisão (capacidade de 
reprodução de uma indicação para um mesmo mensurando). 
Para se conhecer a exatidão de um instrumento de medição digital é 
necessário consultar o manual do fabricante e levar em consideração os seguintes 
aspectos: 
a) A exatidão de um instrumento pode variar de uma escala para outra em instrumentos 
com múltiplas escalas. 
b) A exatidão de um instrumento pode variar de uma grandeza para outra em 
instrumento que mede múltiplas grandezas. 
A precisão do instrumento leva a uma incerteza na medição realizada através 
dele. 
A precisão é expressa por uma percentagem da leitura acrescida do número 
de unidades (contagens) que pode fazer flutuar o dígito (algarismo) menos 
significativo (LSB) do display. 
 
10
 HELFRICK, A. D.;COOPER, W. D. Instrumentação eletrônica moderna e técnicas de medição. 
Tradução de Antônio Carlos Inácio Moreira. Rio de Janeiro: Prentice-Hall do Brasil, 1994, p.1. 
 
 
35 
Exemplo: 
Caso (A): ± (2% da leitura + 3 contagens) 
3 contagens: esta parcela representa 3 vezes a resolução da escala utilizada 
 
Exemplo : 
Caso (B): ± (% da leitura + % do final de escala) 
% do final de escala: esta parcela é denomina da incerteza base, pois quando 
a leitura for igual a zero já haverá esse mínimo de incerteza. 
 
Exemplo: 
Caso (C): ± (% da leitura + número de dígitos) 
Número de dígitos: é a variação de n unidades no dígito menos significativo 
(LSB) ou (mais à direita); é equivalente a número de contagens citado no caso (A). O 
caso C corresponde ao caso A. 
 
6.7.4 Modificação da precisão 
A precisão pode ser alterada por condições ambientais, inclusive pela 
temperatura, resultando, então, a incerteza modificada ou incerteza combinada. 
Incerteza total = Incerteza base + Modificação da Incerteza 
 
6.7.5 Consulta ao manual do fabricante 
É importante sempre consultar o manual do fabricante, pois a precisão total 
ou combinada (precisão básica + modificação da precisão) pode ser modificada em 
função da escala e da variável a ser medida. 
 
6.7.6 Limiar de mobilidade vinculada a resolução 
Limiar de mobilidade é a maior variação do sinal de entrada que não produz 
indicação no instrumento de medição. 
O limiar de mobilidade está vinculado à resolução de entrada e à resolução de 
saída. Esta corresponde à resolução do mostrador. 
 
6.7.7 Resposta dinâmica de um medidor 
Quando uma grandeza física varia ao longo tempo, sua medida é denominada 
dinâmica. A resposta dinâmica do sistema de medição permite a análise do sistema 
quanto à sua resposta em frequência, tempo de resposta, fator de amortecimento, 
função de transferência, etc. 
 
 
 
36 
6.7.8 Transformada de Laplace – regime transitório – regime permanente 
 
A transformada de Laplace transforma operações de diferenciação e de 
integração em operações algébricas. Funções como seno, cosseno e exponenciais 
têm sua transformada de Laplace em forma de relações de polinômios. A 
transformada de Laplace traduz uma resposta fiel tanto do transitório quanto do 
regime permanente. A variável s = σ + jw representa uma frequência complexa. A 
transformada de Laplace de f(t) é F(s). 
 
6.7.9 Estudo de caso de medidor digital 
 
A seguir são apresentadas informações sobre os multímetros digitais marca 
Fluke para medição de valores eficazes, modelos 175, 177 e 17911 obtidos no seu 
Manual do Usuário: 
 
6.7.9.1 Gráfico de barras 
 
Um gráfico de barras corresponde ao deslocamento do ponteiro num 
instrumento, portanto corresponde a um mostrador analógico. 
 
 
Figura10 – Gráfico de barras 
O gráfico de barras, no multímetro Fluke – modelo 179, é atualizado 40 vezes 
por segundo enquanto que o mostrador digital o é 4 vezes por segundo. Portanto a 
atualização do gráfico de barras é 10 vezes mais rápido que a atualização do 
mostrador. 
Por isto o gráfico de barras pode ser utilizado para verificação de sinais de 
entrada que variam rapidamente em valor eficaz, além de ajustes de valores de pico 
e de valor eficaz nulo. O instrumento tem indicação de sobrecarga à direita do 
mostrador e indicação de polaridade (±) à esquerda. Para indicações de temperatura 
e frequência o gráfico de barras é desabilitado. 
Indica com precisão o valor de correntes e tensões até 1kHz. 
O valor medido é indicado pelo GB proporcionalmente ao valor do final da 
escala selecionada. Na figura 10 a escala selecionada é de 60 Vdc e o valor 
indicado é de 30 Vdc aplicado no instrumento com a polaridade invertida. 
 
 
 
 
 
 
 
11
 Manual do usuário do multímetro de verdadeiro RMS, marca Fluke, modelos 175, 177, 179. Fluke 
Corporation, P. O. Box 9090, Everett, WA 982006 – 9090 U.S.A., 2003. 
 
 
37 
6.7.9.2 Tabelas do manual do usuário 
 
 
 
 
 
 
38 
 
 
14 
 
 
39 
6.7.9.3 Trabalho de aplicação 
 
Considerando as informações apresentadas no Manual do Usuário dos 
multímetros digitais marca Fluke, de verdadeiro valor eficaz (“true RMS”), modelo 
179, responder às questões que se seguem relativas aos mesmos: 
 
a) Quais são as condições para a validade da sua precisão quanto a 
tempo ocorrido após a sua última calibração, temperatura ambiente e 
umidade relativa do ar? 
b) Qual é a fórmula da precisão quando a função selecionada para a 
medição é Ampères CC e a faixa escolhida é 400,0mA? 
c) Considerando a leitura de 200,0 mA na questão b anterior, qual é a 
precisão da medida? 
d) Qual é a tensão de prova do medidor? 
e) Como poderia ocorrer um surto elétrico no instrumento quando 
estivesse ligado a um circuito? 
f) Qual seria o limite de altitude para sua utilização? 
g) Para seu armazenamento, qual poderia ser a altitude máxima do local? 
h) O multímetro está em conformidade com quais normas de segurança? 
i) Quais são os dispositivos de proteção para os circuitos de medição nas 
faixas de mA e de A ? Qual é o significado das suas respectivas 
especificações? 
j) Qual é a distinção entre suas faixas de temperatura, para operação e 
para armazenamento? 
k) Explique qual é o significado de coeficiente de temperatura 0,1x 
(precisão especificada) / ºC, (<18ºC ou >28ºC). Utilize esse coeficiente 
para calcular o/a aumento/modificação na precisão da medida, para o 
medidor funcionando a 15 graus centígrados? 
l) Qual será o aumento percentual na precisão, quando a medição 
ocorrer a 32 graus centígrados? 
m) Qual é o comportamento do instrumento segundo a umidade relativa 
do ar? 
n) Os medidores têm quais certificações? 
 
 
 
 
 
40 
o) Esclareça o significado das notas ao pé de página: 
- Página 12, nota 1. 
- Página 12, nota 4. 
- Página 12, nota 5. 
- Página 13, nota 2. 
- Página 13, nota 3. 
- Página 13, nota 4. 
- Página 13, nota 5. 
p) Considere que foram feitas várias medições com um multímetro marca 
Fluke de valor eficaz verdadeiro (“True RMS”), modelo 179. Os dados 
obtidos encontram-se na tabela apresentada a seguir. Calcular a faixa 
de erro provável e o resultado da medição com a incerteza, para cada 
leitura. Anotar os valores correspondentes na mesma tabela. 
 
 
 
41 
Tabela 1 
Dados obtidos e resultados da medição 
 
 
q) Descreva pormenorizadamente o significado de: 
- Mostrador digital de 6000 contagens; atualiza-se 4 vezes por seg. 
- Medidor de 3 ¾ dígitos. 
- Mostrador gráfico de barras (mostrador analógico) 
- Mostrador: freqüência de 10.000 contagens 
- Capacitância: 1.000 contagens 
- Gráfico de barras: 33 segmentos/barras; atualiza-se 40 vezes por 
segundo. 
 
6.8 Medir 
 
Medir envolve erros de instrumento, de operador, de método utilizado, de 
variação das condições do meio ambiente como temperatura, pressão e umidade 
relativa do ar. 
 
Função Faixa Leitura Faixa de erro possível 
Resultado da 
medição e 
incerteza 
600,0 mV 500,0 mV Volts CA 1000 V 900,0 V 
60,00 V 49,10 V Volts CC 600,0 V 528,3 V 
60,00 kΩ 48,7 kΩ Ohms 6,000 MΩ 4,208 MΩ 
10,00 µF 8,50 µF Capacitância 9999 µF 7830 µF 
60,00 mA 49,50 mA 
 
Ampères (A-
RMS 
verdadeiro) 6,000 A 2,700 A 
 
60,00 mA 51,30 mA Ampères CC 10,00 A 8,12 A 
999,9 Hz 490,0 Hz 
 
Hz 
(acoplado 
em CA ou 
CC, entrada 
de V ou A) 
99,99 kHz 58,62 kHz 
 
-40ºC a 
+400ºC 102,0ºC Temperatura 
-40ºF a 
+752ºF 630,0ºF 
 
 
42 
6.9 Medida 
 
A medida resultante tem sua margem de erro. Juntas corresponderão a uma 
faixa de valores dentro da qual estará o valor real ou verdadeiro da grandeza 
medida. 
 
6.10 Medição 
 
 É o procedimento pelo qual o valor de uma grandeza física é determinado. 
 
6.11 Resultado de uma medição 
O valor da medição VM corresponde ao valor da grandeza e é expresso por 
um número e uma unidade. Entretanto há erros de medição. Assim sendo, o 
resultado da medição RM, considerando a existência de um grau de indeterminação, 
deve ser expresso por um resultado base acompanhado por mais ou menos a 
medição da indeterminação MI e pela unidade correspondente. 
Exemplo: O resultado da medição de uma tensão será apresentado na forma 
RM = VM ± IM (V) 
 
6.12 Objetivo de uma medição de qualidade 
É executar a medição com um grau adequado de precisão, exatidão, com 
aplicação adequada de análise estatística das medidas e definição da incerteza. 
 
6.13 Desvio de uma leitura 
É o desvio da leitura considerada com relação à média aritmética das leituras: 
Xi - Xma. Seu valor pode ser positivo, negativo ou nulo. 
Ao se fazer uma medição, de preferência a grandeza deve ser medida várias 
vezes. 
Seu valor mais provável Xma será a média aritmética dos valores medidos 
(das leituras). 
 
6.14 Desvio médio 
 
Desvio médio é a soma dos valores absolutos dos desvios das leituras 
dividida pelo número total de leituras. Quanto menor for o desvio médio maior será a 
precisão do instrumento utilizado na medição. 
 
6.15 Resultado da medição 
 
G = Gmédio ± δmédio G 
 
6.16 Erro ou desvio absoluto 
 
Erro ou desvio absoluto é o valor absoluto da diferença entre o valor medido e 
o valor mais provável (valor médio). δi = | medida – valor mais provável |. 
No caso de se adotar a média aritmética dos valores medidos como o valor 
mais provável da medida, o erro absoluto de uma das medidas é considerado como 
 
 
43 
o valor absoluto da diferença entre essa medida e a média aritmética de todas as 
medidas. 
 
| δi | = | medida – média aritmética das medidas | 
|δi | = | Gi – Gmédia | 
 
6.17 Erro relativo ou desvio relativo de uma medição 
 
É a razão entre o desvio absoluto de determinada leitura e o valor adotado 
como mais provável para a medição, que na maioria das vezes é a média aritmética 
das leituras. 
 
γi = 
médio
i
G
δ
 
 
 
Suponhamos o caso da tabela a seguir: 
 
Tabela 2 
Valores medidos Gi e respectivos desvios δi 
Medida Valor Gi (mA) δi (mA) 
1 6,32 0,01 
2 6,31 0,02 
3 6,35 0,02 
4 6,34 0,01 
5 6,33 0,00 
Total = 5 ∑ Gi =31,65 ∑ δi =0,06 
 
O valor mais provável da grandeza é a medida aritmética dos valores obtidos. 
 
Media aritmética =Gmédio = 
n
G
n
1i
i∑
=
 = 
5
65,31
= 6,33 mA 
O desvio médio δmédio é a média aritmética dos valores absolutos dos desvios.