Limite Fundamental Seno

Prévia do material em texto

Limite Fundamental do Seno
Objetivo: Esta sessa˜o dedica-se a enunciar e demonstrar o Teorema do Limite Fundamental do Seno e
discutir alguns exerc´ıcios utilizando o Teorema.
Teorema:
lim
x→0
sen(x)
x
= 1
Releitura:
lim
ALGO→0
sen(ALGO)
ALGO
= 1
A demonstrac¸a˜o se divide em duas partes. Uma delas dedica-se a provar que lim
x→0+
sen(x)
x
= 1, e a outra
mostra que lim
x→0−
sen(x)
x
= 1. Aqui sera´ efetivada a demosntrac¸a˜o de que lim
x→0+
sen(x)
x
= 1. A outra parte,
que e´ totalmente ana´loga, sera´ deixada para ana´lise pessoal.
A fim de mostrar que lim
x→0+
sen(x)
x
= 1 utiliza-se o Teorema do Confronto. Para tanto, se faz necessa´rio
encontrar duas func¸o˜es, g e h, para as quais valem g(x) <
sen(x)
x
< h(x), e, em seguida, mostrar que
lim
x→0+
g(x) = 1 e lim
x→0+
h(x) = 1, para aplicar o Teorema do Confronto.
Observando a figura a seguir verifica-se facilmente que a a´rea do triaˆngulo AOP e´ menor que a a´rea da
sec¸a˜o circular AOP , que e´ menor que a a´rea do triaˆngulo AOT .
1
Lembrando que a a´rea de um triaˆngulo e´ dada pela fo´rmula (Base X Altura)/2, e que a a´rea de uma sec¸a˜o
circular de um arco de comprimento x e´ dada pela fo´rmula (Raio2 X Comprimento do Arco)/2, temos que
1.sen(x)
2
<
(1)2.x
2
<
1.tg(x)
2
⇒ sen(x) < x < sen(x)
cos(x)
Como o arco referente ao aˆngulo e´ representado por x e x > 0, temos que sen(x) > 0. Multiplicando
ambos os lados da desigualdade anterior por sen(x) > 0, obtemos
1 <
x
sen(x)
<
1
cos(x)
Aplicando a func¸a˜o ‘um sobre’ (que e´ decescente), em ambos os lados da desigualdade anterior, obtemos
cos(x) <
sen(x)
x
< 1
Neste caso, as func¸o˜es g e h sugeridas no in´ıcio da discussa˜o sa˜o g(x) = cos(x) e h(x) = 1. Temos que
lim
x→0+
g(x) = lim
x→0+
cos(x) = cos
(
lim
x→0+
x
)
= cos(0) = 1, e lim
x→0+
h(x) = lim
x→0+
1 = 1. Portanto, lim
x→0+
g(x) = 1
e lim
x→0+
h(x) = 1.
Pelo Teorema do Confronto temos que lim
x→0+
sen(x)
x
= 1.
De maneira totalmente ana´logo mostra-se que lim
x→0−
sen(x)
x
= 1.
Logo, lim
x→0−
sen(x)
x
= 1 = lim
x→0+
sen(x)
x
. Desta forma, lim
x→0
sen(x)
x
= 1.
IDEIA IMPORTANTE
O Limite Fundamental e´ bastante u´til quando se trata do ca´lculo de Limites que geram indeterminac¸o˜es
do tipo 0/0, e as expresso˜es que aparecem no Limite envolvem alguma func¸a˜o trigonome´trica.
Os exerc´ıcios a seguir visam desenvolver, e colocar me pra´tica, este tipo de ideia.
2
Exerc´ıcio 1 Sejam a e b ∈ R− {0}. Calcule lim
x→0
sen(ax)
sen(bx)
Soluc¸a˜o:
Considerac¸o˜es Inciais
Temos que,
• lim
x→0
sen(ax)
sen(bx)
=
limx→0 sen(ax)
limx→0 sen(bx)
=
sen (limx→0 ax)
sen (limx→0 bx)
=
sen(0)
sen(0)
=
0
0
Portanto, lim
x→0
sen(ax)
sen(bx)
gera uma indeterminac¸a˜o do tipo 0/0, e o Limite tem uma expressa˜o que
envolve uma func¸a˜o trigonome´trica. Enta˜o a ideia e´ fazer alguma manipulac¸a˜o alge´brica, a fim de
utilizar o Limite Fundamental.
O objetivo e´ manipular algebricamente a expressa˜o
sen(ax)
sen(bx)
, com foco em fazer surgir as expresso˜es
sen(ax)
ax
e
sen(bx)
bx
e enta˜o utlizar o Limite Fundamental.
Note que
sen(ax)
sen(bx)
Multp. e dividir o numerador por ax,Multp. e dividir o denominador por bx
================================
ax
(
sen(ax)
ax
)
bx
(
sen(bx)
bx
) x 6=0⇒ posso cancelar x========== a
b
(
sen(ax)
ax
)
(
sen(bx)
bx
)
Desta forma,
lim
x→0
sen(ax)
sen(bx)
Fazer as manipulac¸o˜es descritas anteriormente
=================== lim
x→0
(a
b
) ( sen(ax)
ax
)
(
sen(bx)
bx
) = (a
b
)
lim
x→0
(
sen(ax)
ax
)
(
sen(bx)
bx
) =
=
(a
b
) limx→0 ( sen(ax)ax )
limx→0
(
sen(bx)
bx
) (∗)= (a
b
) limu→0 ( sen(u)u )
limv→0
(
sen(v)
v
) Usar o Limite Fundamental============ (a
b
)(1
1
)
=
a
b
Portanto, lim
x→0
sen(ax)
sen(bx)
=
a
b
3
Janela de Explicac¸o˜es
(∗) Para o calculo do Limite lim
x→0
sen(ax)
ax
, basta utilizar a substituic¸a˜o
u = u(x) = ax. Enta˜o, lim
x→0
u = lim
x→0
ax = 0. Portanto, x→ 0⇒ u→ 0.
Assim, lim
x→0
sen(ax)
ax
u=ax;x→0⇒u→0
======= lim
u→0
sen(u)
u
Usar Limite Fundamental
=========== 1
Para o calculo do Limite lim
x→0
sen(bx)
bx
, basta utilizar a substituic¸a˜o
v = v(x) = bx. Enta˜o, lim
x→0
v = lim
x→0
bx = 0. Portanto, x→ 0⇒ v → 0.
Assim, lim
x→0
sen(bx)
bx
v=bx;x→0⇒v→0
======= lim
v→0
sen(v)
v
Usar Limite Fundamental
=========== 1
Exerc´ıcio 2 Calcule lim
x→1
sen(x2 − 1)
x− 1
Soluc¸a˜o:
Considerac¸o˜es Inciais
Temos que,
• lim
x→1
sen(x2 − 1)
x− 1 =
limx→1 sen(x2 − 1)
limx→0 x− 1 =
sen (limx→1 x2 − 1)
sen (limx→1 x− 1) =
sen((1)2 − 1)
1− 1 =
sen(0)
0
=
0
0
Portanto, lim
x→1
sen(x2 − 1)
x− 1 gera uma indeterminac¸a˜o do tipo 0/0, e o Limite tem uma expressa˜o que
envolve uma func¸a˜o trigonome´trica. Enta˜o a ideia e´ fazer alguma manipulac¸a˜o alge´brica, a fim de
utilizar o Limite Fundamental.
O objetivo e´ manipular alge´bricamente a expressa˜o
sen(x2 − 1)
x− 1 , com foco em fazer surgir a expressa˜o
sen(x2 − 1)
(x2 − 1) , pois, para poder aplicar o Limite Fundamental, a expressa˜o que ocorre no denominador tem
que ser igual a expressa˜o que aparece como argumento da func¸a˜o Seno.
Note que
lim
x→1
sen(x2 − 1)
x− 1
Multp. e Dividir por x+1. Note que x→1⇒x+1→2⇒x+16=0
========================== lim
x→1
[
sen(x2 − 1)
x− 1
] [
x + 1
x + 1
]
=
lim
x→1
[
sen(x2 − 1)
(x− 1)(x + 1)
]
(x + 1) = lim
x→1
[
sen(x2 − 1)
(x2 − 1)
]
(x + 1)
Ver Janela de Explicac¸o˜es
=========== (1).(2) = 2
4
Portanto, lim
x→1
sen(x2 − 1)
x− 1 = 2
Janela de Explicac¸o˜es
(∗) O Limite lim
x→1
[
sen(x2 − 1)
(x2 − 1)
]
(x + 1), sera´ encarado como os dois Limites a seguir
•lim
x→1
[
sen(x2 − 1)
(x2 − 1)
]
•lim
x→1
(x + 1).
Temos que, lim
x→1
(x + 1) = 1 + 1 = 2
Para o ca´lculo de lim
x→1
[
sen(x2 − 1)
(x2 − 1)
]
deve-se usar a substituic¸a˜o u = u(x) = x2 − 1.
Neste caso, lim
x→1
u = lim
x→1
(x2 − 1) = (1)2 − 1 = 0⇒ x→ 1⇒ u→ 0
Enta˜o,
lim
x→1
[
sen(x2 − 1)
(x2 − 1)
]
Subst. u=x2−1, x→1⇒u→0
============= lim
u→0
sen(u)
u
Limite Fundamental
========= 1
Exerc´ıcio 3 Calcule lim
x→0+
x√
1− cos(x)
Soluc¸a˜o:
Considerac¸o˜es Inciais
Temos que,
• lim
x→0+
x√
1− cos(x) =
limx→0+(x)
limx→0+
[√
1− cos(x)
] = limx→0+ x√
limx→0+ [1− cos(x)]
=
limx→0+ x√
1− cos(limx→0+ x)
=
=
0√
1− cos(0) =
0√
1− 1 =
0
0
Portanto, lim
x→0+
x√
1− cos(x) gera uma indeterminac¸a˜o do tipo 0/0, e o Limite tem uma expressa˜o que
envolve uma func¸a˜o trigonome´trica. Enta˜o a ideia e´ fazer alguma manipulac¸a˜o alge´brica, a fim de
utilizar o Limite Fundamental.
5
O objetivo e´ manipular alge´bricamente a expressa˜o
x√
1− cos(x) , com foco em fazer surgir a expressa˜o
x
sen(x)
, para aplicar o Limite Fundamental.
Note que
lim
x→0+
x√
1− cos(x)
Multp. e dividir por
√
1+cos(x)=
√
2, qdo x→0
==================== lim
x→0+
[
x√
1− cos(x)
][√
1 + cos(x)√
1 + cos(x)
]
=
= lim
x→0+
[
x√
1− cos(x)√1 + cos(x)
]√
1 + cos(x) = lim
x→0+
[
x√
[1− cos(x)] [1 + cos(x)]
]√
1 + cos(x) =
= lim
x→0+
[
x√
1− cos2(x)
]√
1 + cos(x)
1−cos2(x)=sen2(x)
======== lim
x→0+
[
x√
sen2(x)
]√
1 + cos(x)
√
sen2(x)=|sen(x)|
========
= lim
x→0+
[
x
|sen(x)|
]√
1 + cos(x)
x→0+⇒sen(x)>0⇒|sen(x)|=sen(x)
=============== lim
x→0+
[
x
sen(x)]√
1 + cos(x) =
= lim
x→0+
[
1
sen(x)
x
]√
1 + cos(x) =
 1
limx→0+
(
sen(x)
x
)
√ lim
x→0+
[1 + cos(x)] =
=
 1
limx→0+
(
sen(x)
x
)
√1 + cos( lim
x→0+
x
)
Lim. Fund.
=====
[
1
1
]√
1 + cos(0) =
√
1 + 1 =
√
2
Portanto, lim
x→0+
x√
1− cos(x) =
√
2
6
Exerc´ıcio 4 Calcule lim
x→0
tg(x)− sen(x)
x3
Soluc¸a˜o:
Considerac¸o˜es Inciais
Temos que,
• lim
x→0
tg(x)− sen(x)
x3
=
limx→0 tg(x)− limx→0 sen(x)
limx→0(x3)
=
tg(limx→0(x))− sen(limx→0(x))
(limx→0 x)3
=
=
tg(0)− sen(0)
03
=
0− 0
0
=
0
0
Portanto, lim
x→0
tg(x)− sen(x)
x3
gera uma indeterminac¸a˜o do tipo 0/0, e o Limite tem uma expressa˜o que
envolve uma func¸a˜o trigonome´trica. Enta˜o a ideia e´ fazer alguma manipulac¸a˜o alge´brica, a fim de
utilizar o Limite Fundamental.
O objetivo e´ manipular alge´bricamente a expressa˜o
tg(x)− sen(x)
x3
, com foco em fazer surgir a expressa˜o
sen(x)
x
, para aplicar o Limite Fundamental.
Temos que,
lim
x→0
tg(x)− sen(x)
x3
Usar que tg(x)=sen(x)/ cos(x)
============= lim
x→0
sen(x)
cos(x)
− sen(x)
x3
Tirar o mı´nimo no numerador
============= lim
x→0
sen(x)−cos(x) sen(x)
cos(x)
x3
=
= lim
x→0
[
sen(x)− cos(x) sen(x)
cos(x)
] [
1
x3
]
Colocar o Seno em evideˆncia
============ lim
x→0
[
sen(x)[1− cos(x)]
cos(x)
] [
1
x3
]
=
Multp. e dividir por [1+cos(x)]=2, qdo x→0
=================== lim
x→0
[
sen(x)[1− cos(x)]
cos(x)
[
1 + cos(x)
1 + cos(x)
]] [
1
x3
]
=
= lim
x→0
[
sen(x)[1− cos(x)][1 + cos(x)]
cos(x)
] [
1
1 + cos(x)
] [
1
x3
]
= lim
x→0
[
sen(x)[1− cos2(x)]
cos(x)
] [
1
1 + cos(x)
] [
1
x3
]
=
Usar que 1−cos2(x)=sen2(x)
============ lim
x→0
[
sen(x)sen2(x)
cos(x)
] [
1
1 + cos(x)
] [
1
x3
]
= lim
x→0
[
sen3(x)
cos(x)
] [
1
x3
] [
1
1 + cos(x)
]
=
= lim
x→0
[
sen3(x)
x3
] [
1
cos(x)
] [
1
1 + cos(x)
]
= lim
x→0
[
sen(x)
x
]3 [
1
cos(x) + cos2(x)
]
=
=
[
lim
x→0
sen(x)
x
]3 [
lim
x→0
(
1
cos(x) + cos2(x)
)]
=
[
lim
x→0
sen(x)
x
]3 [
1
limx→0(cos(x) + cos2(x))
]
=
7
=
[
lim
x→0
sen(x)
x
]3 [
1
cos(limx→0(x)) + cos2(limx→0(x))
]
Lim. Fund.
===== [1]3
[
1
cos(0) + cos2(0)
]
=
1
1 + (1)2
=
1
2
Portanto, lim
x→0
tg(x)− sen(x)
x3
=
1
2
Bons Estudos!
8