derivada função inversa

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Derivac¸a˜o da Func¸a˜o Inversa
Objetivo: O primeiro e´ fazer uma breve discussa˜o sobre func¸a˜o inversa. Em seguida, aplicar Regras de
Derivac¸a˜o para obter uma ‘Fo´rmula’ para calcular a Derivada da Func¸a˜o Inversa, ou seja, como calcular
(f−1)′.
Alguns Conceitos sobre Inversa de Func¸a˜o
Definic¸a˜o: Dizemos que a func¸a˜o f : A −→ B, com y = f(x) e´ Invers´ıvel, se existe uma func¸a˜o g : B −→
A, com x = g(y), tal que (f ◦ g)(y) = y = Id(y) e (g ◦ f)(x) = x = Id(x). Neste caso, a func¸a˜o g
recebe o nome de Inversa da func¸a˜o f, e, e´ denotada por f−1, ou seja, vale que (f ◦ f−1)(y) = y = Id(y) e
(f−1 ◦ f)(x) = x = Id(x).
Fo´rmula para Derivada da Func¸a˜o Inversa
Seja f uma func¸a˜o invers´ıvel, enta˜o existe func¸a˜o f−1, tal que, (f−1 ◦ f)(x) = x = Id(x). Utilizando a
Regra da Cadeia para derivar ambos os lados da equac¸a˜o anterior, obtemos que
(f−1 ◦ f)′(x) = [x]′ Usar Regra da Cadeia do lado esquerdo da equac¸a˜o======================⇒ [f−1]′(f(x)).f ′(x) = (1)x(1−1) x0=1==⇒
⇒ [f−1]′(f(x)).f ′(x) = 1 Trocar f(x) por y========⇒ (f−1)′(y).f ′(x) = 1⇒ (f−1)′(y) = 1
f ′(x)
Assim, a ‘Fo´rmula’ para derivar a func¸a˜o inversa e´ dada por (f−1)′(y) =
1
f ′(x)
O problema desta fo´rmula e´ a ‘mistura de varia´veis’. De fato, de acordo com lado esquerdo da fo´rmula, a
func¸a˜o (f−1)′ atua sobre a varia´vel y, enquanto que, o lado direito da igualdade apresenta uma expressa˜o
matema´tica que envolve a varia´vel x, a saber,
1
f ′(x)
.
Os exerc´ıcios/exemplos a seguir visam descrever te´cnicas, mecanismmos e procedimentos utilizando a
fo´rmula para derivar func¸a˜o inversa e resolver o problema de ‘mistura de varia´veis’.
Exemplo 1 Pagando Dı´vida
Utilize o processo de derivac¸a˜o de func¸a˜o inversa para calcular a derivada da func¸a˜o f(x) = ln(x).
Soluc¸a˜o:
Primeiramente, deve-se entender a func¸a˜o f(x) = ln(x) como inversa de alguma func¸a˜o.
Considere a func¸a˜o g : R −→ (0, +∞), dada por g(x) = ex, cujo o gra´fico e´ como ilustra a figura a
seguir. Obsservando a figura, verifica-se facilmente que rotacionando a curva que representa o gra´fico da
func¸a˜o g(x) = ex em relac¸a˜o a` Diagonal y = x, obtemos o gra´fico da func¸a˜o f(x) = ln(x), ou seja, a
func¸a˜o f(x) = ln(x) e´ inversa da func¸a˜o g(x) = ex. Logo, temos a func¸a˜o g : R −→ (0, +∞), dada por
y = g(x) = ex e sua inversa g : (0, +∞) −→ R, dada por x = f(y) = ln(y). De outra forma,
1
y = ex ⇐⇒ ln(y) = x, que equivale a dizer que ln(ex) = x = Id(x),
ou seja, as func¸o˜es exponencial e logar´ıtmica sa˜o uma inversa da outra
Assim, se g(x) = ex, enta˜o a func¸a˜o f(y) = ln(y) = g−1. Logo, para derivar a func¸a˜o ln devemmos utilizar
a derivada da func¸a˜o inversa. Pela fo´rmula para derivada de func¸a˜o inversa, temos que
[ln]′ = [g−1]′ =
1
g′(x)
g(x)=ex⇒g′(x)=ex
========⇒ [ln]′(y) = 1
ex
Usar que y=ex
======⇒ [ln]′(y) = 1
y
Exemplo 2 Derivada da func¸a˜o arcoseno, inversa da func¸a˜o seno
Utilize o processo de derivac¸a˜o de func¸a˜o inversa para calcular a derivada da func¸a˜o f(x) = arcsen(x).
Soluc¸a˜o:
Considere a func¸a˜o f˜ : R −→ R, dada por f˜(x) = sen(x). Observando a figura a seguir, verifica-se fa-
cilmente que f˜ na˜o e´ injetora e na˜o e´ sobrejetora. Para que f˜ torne-se invers´ıvel e´ necessa´rio fazer
uma restric¸a˜o no domı´nio, a fim de torna´-la injetora, e uma restric¸a˜o no contra-domı´nio, a fim de torna´-la
sobrejetora.
2
Restric¸o˜es
•Dom(f) =
[
−pi
2
,
pi
2
]
• Im(f) = [−1, 1]
A figura a seguir descreve o comportamento do gra´fico da func¸a˜o f :
[
−pi
2
,
pi
2
]
−→ [−1, 1], dada por
y = f(x) = sen(x). Observando a figura, verifica-se facilmente que f e´ injetora e sobrejetora. Logo,
f e´ invers´ıvel, e sua inversa e´ f−1 : [−1, 1] −→
[
−pi
2
,
pi
2
]
, dada por x = f−1(y) = arcsen(y), ou seja,
x = arcsen(y) quer dizer que x e´ o arco cujo o seno e´ y, isto e´, calculando o seno de x vamos obter o valor
y.
y = sen(x)⇔ arcsen(y) = x
A figura a seguir descreve o comportamento do gra´fico da func¸a˜o arcsen.
3
Como a func¸a˜o arcsen = (sen)−1, para calcular a derivada da func¸a˜o arcsen(y) deve-se utilizar a fo´rmula
da derivada da func¸a˜o inversa. Neste caso, arcsen′(y) =
1
sen′(x)
=
1
cos(x)
⇒ arcsen′(y) = 1
cos(x)
O pro´ximo passo e´ resolver o problema de ‘mistura de varia´veis’. Para tanto deve-se escrever cos(x) em
func¸a˜o da varia´vel y.
Note que cos2(x) = 1 − sen2(x) ⇒ cos(x) = ±√1− sen2(x). Como x ∈ [−pi
2
,
pi
2
]
⇒ cos(x) ≥ 0 ⇒
cos(x) = +
√
1− sen2(x). Sendo y = sen(x), temos que cos(x) = √1− y2.
Assim, arcsen
′(y) =
1√
1− y2 .
Fazer em casa: Mostre que arccos′(y) = − 1√
1− y2 .
Exemplo 3 Derivada da func¸a˜o arcotangente, inversa da func¸a˜o tangente
Utilize o processo de derivac¸a˜o de func¸a˜o inversa para calcular a derivada da func¸a˜o f(x) = arctg(x).
Soluc¸a˜o:
Considere a func¸a˜o f˜ : R −→ R, dada por f˜(x) = tg(x). Observando a figura a seguir, verifica-se facilmente
que f˜ na˜o e´ injetora. Para que f˜ torne-se invers´ıvel e´ necessa´rio fazer uma restric¸a˜o no domı´nio, a fim
de torna´-la injetora.
Restric¸o˜es
•Dom(f) =
(
−pi
2
,
pi
2
)
A figura a seguir descreve o comportamento do gra´fico da func¸a˜o f :
(
−pi
2
,
pi
2
)
−→ R, dada por y = f(x) =
tg(x). Observando a figura, verifica-se facilmente que f e´ injetora e sobrejetora. Logo, f e´ invers´ıvel, e
sua inversa e´ f−1 : R −→
(
−pi
2
,
pi
2
)
, dada por x = f−1(y) = arctg(y), ou seja, x = arctg(y) quer dizer que
4
x e´ o arco cuja tangente e´ y, isto e´, calculando o tangente de x vamos obter o valor y.
y = tg(x)⇔ arctg(y) = x
A figura a seguir descreve o comportamento do gra´fico da func¸a˜o arctg.
Como a func¸a˜o arctg = (tg)−1, para calcular a derivada da func¸a˜o arctg(y) deve-se utilizar a fo´rmula da
derivada da func¸a˜o inversa. Neste caso, arctg′(y) =
1
tg′(x)
=
1
sec2(x)
⇒ arctg′(y) = 1
sec2(x)
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O pro´ximo passo e´ resolver o problema de ‘mistura de varia´veis’. Para tanto deve-se escrever sec2(x) em
func¸a˜o da varia´vel y.
Note que sec2(x)− tg2(x) = 1⇒ sec2(x) = 1 + tg2(x). Como y = tg(x), temos que sec2(x) = 1 + y2.
Assim, arctg′(y) =
1
1 + y2
.
Fazer em casa:
• Mostre que arccotg′(y) = − 1
1 + y2
.
• Mostre que arcsec′(y) = 1|y|√y2 − 1.
• Mostre que arccosec′(y) = − 1|y|√y2 − 1.
Bons Estudos!
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