8.4 ASSIMETRIAS PARALELO (ou shunt) e SÉRIE

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-ASSIMETRIAS PARALELO (ou shunt) e SÉRIE (ou longitudinais)
-CIRCUITOS COM RETORNO POR NEUTRO, TERRA E CABOS-TERRA (CT)
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ASSIMETRIAS PARALELO
GERAL
a
b
c
a
b
c
 Va Vb Vc b Ybc c
Ib a Ia Ic
Yab Ya Yac
Yb Yc
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Em componentes a, b, c:
Em componentes 1,2,0:
Ya + Yb + Yc
+3(Yab + Ybc +Yca)
Ya + Yb + Yc
+3(Yab + Ybc + Yca)
Ya+Yb+Yc
Ya+Yb+a²Yc
Ya + aYb + a²Yc
Ya+a²Yb+aYc
Ya + a²Yb + aYc
Ya + a²Yb + aYc
-3(aYab + Ybc + a²Yca)
Ya + aYb + a²Yc
-3(a²Yab + Ybc + aYca)
1
3
= Y1,2,0
ADMITÂNCIAS a,b e c e 1,2 e 0
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Exemplo:
a
b
c
 Y
	 1 Y
 3
1 1 1
1 1 1
1 1 1
Y1,2,0 =
Sabendo que: I 1,2,0 = Y 1,2,0 x V 1,2,0
I1 = 1/3 Y (V1 + V2 + V0)
I2 = 1/3 Y (V1 + V2 + V0)  I1 = I2 = I0
I0 = 1/3 Y (V1 + V2 + V0)
1/3Y
Admitância Ya
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-Fazendo no esquema anterior, Y = , chega-se ao cálculo da falta fase – terra (fase a)
 Z1
 Z2
Z0
I1
I2
I0
V1
V2
V0
I1 = I2 = I0
I1 = 		Ea 
	 Z1 + Z2 + Z0
-As relações são válidas no ponto da assimetria, ou da falta.
Fase-Terra
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Rede de Sequência Positiva, Z1:
É a mesma do sistema de potência original, equilibrado, onde se faz a representação de uma só fase (fase a). Ela contém as fem dos diversos geradores e valores apropriados de Z1 para cada elemento: geradores, transformadores, LTs, bancos de capacitores, reatores, etc..
Rede de Sequência Negativa, Z2:
É semelhante à rede de sequência positiva, com os valores apropriados de Z2 para cada elemento do SEP.
Rede de Sequência Zero, Z0:
É bem diferente das outras duas redes. Como Iao, Ibo e Ic0, se existirem, têm mesmo módulo e fase, é necessário um passo de retorno para essas componentes. É indispensável conhecer a ligação dos geradores, transformadores trifásicos e bancos, valor da impedância do aterramento dos geradores e transformadores, além dos detalhes de montagem das LTs, Cabos Terra (CTs), inclusive resistência da terra, etc..
REDES SEQUENCIAIS
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Chega-se à falta fase-fase:
I1 = - I2 I1 = Ea	 
	 Z1 + Z2
 Y
Y
Chega-se à falta trifásica:
I1 = Ea		I2 = I0 = 0
 Z1
 Y
 Y
Chega-se à falta fase-fase-terra:
V1= V2 = V0	I1 = Ea
I1 = Z1 + ( Z0 x Z2 )
 Z0 + Z2
ASSIMETRIAS SHUNT
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a² a
a 1 a²
a² a 1
 Z1
 Z2
Z0
Y		 1/3 Y
1: a²
1: a
I1 = 1/3 Y (V1 + a²V2 + aV0)
I2 = 1/3 Y (aV1 + V2 + a²V0)  a²I1 = aI2 = I0
I0 = 1/3 Y (a²V1 + aV2 + V0)
-Há dificuldades, quando a fase assimétrica não é simétrica em relação à fase calculada a. Aparecem os transformadores ideais de relação 1/a e 1/a².
-Para assimetrias como essa, isso não é importante, mas para faltas simultâneas, sim.
 Assimetria Y na fase b
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 Zaa
 Zbb
 Zcc
Za,b,c =
Zaa Zab Zac
Zab Zbb Zbc
Zac Zbc Zcc
Aplicando Tv -¹ x Za,b,c x Ti
Z1,2,0 =
 Zaa + Zbb + Zcc Zaa + a²Zbb + aZcc Zaa + Zbb + Zcc
-(Zab + Zac +Zbc) 2(aZab + Zac +a²Zbc) -(a² Zab + aZac +Zbc 
Zaa + aZbb + a²Zcc Zaa + Zbb + Zcc Zaa + a²Zbb + aZcc 
2(a²Zab + aZac +Zbc) -(Zab + Zac +Zbc) -(aZab + a²Zac +Zbc)
Zaa + a²Zbb + aZcc Zaa + aZbb + a²Zcc Zaa + Zbb + Zcc
-(aZab + a²Zac +Zbc) -(a²Zab + Zbc +aZac) 2(Zab + Zac +Zbc)
P				 Q
ASSIMETRIAS SÉRIE
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 Z
Z1, 2, 0 = 1/3 Z
1 1
1 1 1
1 1 1
Sendo, entre P e Q, 
V 1,2,0 = Z 1,2,0 x I 1, 2, 0
V1 = 1/3 Z ( I1 + I2 + I0)		V1 = V2 = V0
V2 = 1/3 Z ( I1 + I2 + I0)		V1 = 1/3 Z ( I1 + I2 + I0)
V0 = 1/3 Z ( I1 + I2 + I0) 
Z1
Z2
Z0
P
Q
P
Q
P Z/3
Q
Se Z = , o estudo corresponde a uma fase aberta
Za
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a
b
c
P				 Q
 Z
 Z
Z1, 2, 0 = 1/3 Z
-1 -1
-1 2 -1
-1 -1 2
Z1
Z2
Z0
P
Q Z/3 Z/3
P
Q Z/3		
P 
Q
Se Z = , o estudo corresponde a duas fases abertas
Zb e Zc
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LINHAS DE TRANSMISSÃO: Z1, Z2, Z0
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LINHAS DE TRANSMISSÃO: Z1, Z2, Z0
Para a fase a:
Va – V´a = ZaaIa + ZabIb + ZacIc + Zan In – InZnn –IaZan –Ib Zbn – Ic Zcn 
Sendo: In = - (Ia + Ib + Ic) e LT trifásica simétrica, ou com transposição: Zab = Zca, Zan = Zbn =Zcn
Va – V´a = (Zaa + Znn – 2Zan) Ia + (Zab + Znn – 2Zan) (Ib + Ic)
Por definição:
Zaap = Zaa + Znn – 2Zan Auto-impedância completa 
Zabp = Zab + Znn – 2Zan Impedância mútua completa		
Escreve-se: Va - V´a = Zaap Ia + Zabp (Ib + Ic)
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PARA SEQUÊNCIA POSITIVA UNITÁRIA: Ia1 = 1; Ib1= a²; Ic1 = a
que, sendo aplicadas na equação anterior:
Va1 - V´a1 = Zaap Ia1 + Zabp (Ib1 + Ic1) = (Zaap- Zabp) Ia1= Z1Ia1
Z1 = (Zaap- Zabp)	 Znn e Zan não afetam Z1
PARA SEQUÊNCIA NEGATIVA UNITÁRIA: Ia2 = 1; Ib2= a; Ic2= a²
Va2 - V´a2 = Zaap Ia2 + Zabp (a + a²)Ia2 = (Zaap- Zabp) Ia2= Z2Ia2
Z2 = (Zaap- Zabp)	 Znn e Zan não afetam Z2
Z1 = Z2, para as condições impostas à figura da Linha de Transmissão Trifásica
PARA SEQUÊNCIA ZERO UNITÁRIA: Ia0 = 1; Ib0 = 1; Ic0 = 1
Va0 - V´a0 = (Zaap Ia1 + Zabp) Ia0 = (Zaap- Zabp) Ia0= Z0Ia0
Z0 = Zaap + Zabp 	 Znn e Zan afetam Z0
CONSIDERAÇÕES
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Zab
Zbc
Zca
a
b
c
 Iw
Ia
Ib
Ic
In
 Va Vb Vc			 V´c V´b V´a
Znn
Zaa
Zbb
Zcc
Para a fase a:
Va - V´a = ZaaIa + Zab(Ib + Ic) + Zan In +ZawIw–ZnnIn –IaZan –Zan(Ia +Ib + Ic) - ZwnIw
Sendo In = - ( Ia + Ib + Ic) - Iw
Va-V´a = (Zaa+Znn-2Zan)Ia + (Zab+Znn -2Zan)(Ib + Ic) + (Zaw -Zan+Znn-Zwn)Iw
FIO TERRA W
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SOBRE O FIO TERRA w: O fio terra diminui Z0, sem influência em Z1 e Z2:
0 = ZwwIw + Zaw (Ia + Ib + Ic) + ZnwIn - ZnnIn - Zan (Ia + Ib + Ic) - Znw Iw, ou:
0 = (Zww + Znn –2Znw) Iw + (Zaw +Znn – Zan –2Znw) (Ia + Ib + Ic)
Levando em conta as definições precedentes de Zaap e Zabp e, fazendo: 
Zwwp = Zww + Znn –2Znw e Zawp = Zaw +Znn – Zan –Znw vem:
Va -V´a = Zaap Ia + Zabp (Ib + Ic) + Zawp Iw: 
0 = Zwwp Iw + Zawp (Ia+Ib+Ic)
Iw =-(Zawp / Zwwp)(Ia + Ib + Ic) = - (Zawp) / (Zwwp) (3Ia0) Ia1 e Ia2 =0 em Iw
Va - V´a = (Zaap – Z²awp / Zwwp) Ia + (Zabp-Z²awp / Zwwp) (Ib + Ic)
(Zaap)w = (Zaap - Z²awp / Zwwp): auto-impedância completa de um circuito trifásico com fio neutro n e fio terra w
(Zabp)w = (Zabp - Z²awp / Zwwp): impedância mútua completa de um circuito trifásico com fio neutro n e fio terra w.
Para Z1 e Z2: Z1= Z2 = (Zaap)w – (Zabp)w = Zaap – Zabp
Para Z0: Z0 = (Zaap)w + 2 (Zabp)w = Zaap + 2Zabp - (3 Z²awp) / (Zwwp)
In = -(Ia + Ib + Ic + Iw) = -3 (1 – Zawp / Zwwp) Ia0
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Stevenson, William D.- ¨Elementos de Análise de Sistemas de Potência¨, Ed.McGraw-Hill, S.Paulo, 1986. Cálculos de R + jXL e de XC
Como Ia0 = Ib0 = Ic0, essas correntes necessitam de caminho de retorno (terra, neutro, cabos-terra, ou qualquer combinação desses condutores). Deve-se levar em conta a resistividade da terra, assim como a distribuição da corrente, nela. A resistência e a reatância são afetadas por esses fatores.
 Ia		 dab	Ib
O condutor a constitui um circuito monofásico, cujo retorno é a terra. O condutor b é mostrado para ilustrar os efeitos mútuos produzidos por uma corrente fluindo em a, mais retorno pela terra. Vários autores desenvolveram fórmulas para o cálculo de Z0. Sobretudo Carson. 02 partes: Impedância Zg do condutor a, com retorno pela terra e impedância Zgm, entre condutores a e b, distantes dab, ambos com retorno pela terra.
a			 b
Va			 Vb		 Terra
FIGURA
Cálculos Práticos de Z0
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Usando os valores médios da altura dos condutores
sobre a terra, escreve-se para Zg e Zgm:
Zg = rc + 0,00159 f +j 0,004657 f log10 2160 (/f) /milha
			 GMR
Zgm = 0,00159 f +j 0,004657 f log10 2160 (/f) /milha
				 dab
onde: rc = resistência do condutor a por milha; f = frequência em Hertz
  = resistividade da terra em /m³
 GMR = raio médio geométrico do condutor a em pés
 dab = distância entre condutores a e b em pés
2160 (/f) pés = De = profundidade equivalente de retorno
CIRCUITOS TRIFÁSICOS: 1 A de sequência zero corresponde a 1A em cada fase e 3A no circuito de retorno pela terra. Para se usar as fórmulas de Zg e Zm, os três condutores devem ser substituídos por um condutor equivalente, no qual 3A fluem para cada 1A de sequência zero. Representando Zg por Z0 e Zm Z0(m) vem: 
Z0 = 3rc+0,00477 f + j0,01397 f log10 (De/GMR); 
Z0(m) = 0,00477 + j 0,0,01397 f log10 (De/dab).
Carlson
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1 CT: para 01cabo-terra a equação de Z0 dá a impedância própria Z0 desse cabo;
2 CT: para 02 cabos-terra, a equação de Z0(m) dá a impedância mútua entre eles.
Considerando a FIGURA, pode-se escrever:
Ea = Ia Zaa + Ib Zm		Eb = Ia Zm + Ib Zbb
Considerando o condutor b como terra: Eb = 0
Ea = Ia (Zaa - Ib Z²m ) = Ia Za; 	 ou Za = Zaa - Z²m 		
 Zbb	 Zbb
A impedância de sequência zero de um circuito monofásico com um CT e retorno pela terra seria:
Z0 = Z0(a) - Z²0(ag) / Z0(g), que pode ser expandida para a impedância de sequência zero de um circuito trifásico com retorno pela terra e n cabos terra. De uma maneira geral:
Z0: impedância de sequência Zero de um circuito com n cabos terra e retorno pela terra;
Z0(a): impedância de sequência Zero própria de um circuito trifásico;
Z0(g): impedância de sequência Zero própria de n cabos terra
Z0(ag): impedância sequência Zero mútua entre os condutores faz, considerados como um grupo e os cabos terra considerados como um outro grupo
LTs com 1 e 2 Cabos-terra
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Definindo: re = 0,00477 f /fase/milha; xe = 0,006985 f log10 4,655510³.10³ (/f) /fase/milha, pode-se definira a TABELA. CT = Cabo-Terra ou Pára-raios
Cálculos Práticos de Z0
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 g
A
 C
B
3,00 6,10 4,25 
 
Condutores ACSR 4/0, 6/1:
ra = 0,5920 /fase/milha; xa = 0,581 /fase/milha
Pára-raios aço galvanizado, 7 fios: 5/16´´ H.S.:
Ra = 5,94 /milha; xa = 0,9590 /milha
Fator de resistência de sequência zero: re = 0,2860 /milha
Fator de reatância de sequência zero: xe = 2,888 /milha
re e xe, valores recomendados pelo Transmission and Distribution Reference Book – Westinghouse-
A 3,50		 4,65
C
B		 4,25 m 
Exemplo 69 kV
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Cálculo de Z0(a):	Z0(a) = ra + re + j (xa + xe –2xd)
DMG dos condutores fase: ³4,25 x 4,25 x 3,0 = 3,78 m = 12,40 pés
Xd (a) = 0,3054 /milha  Z0(a) = 0,592 + 0,286 + j (0,581 + 2,888 2 x 0,3054)
= 0,878 + j 2,858 /milha
Cálculo de Z0(g):	Z0(g) = 3 ra +re + j(3xa + xe)
Z0(g) = 3x 5,940 + 0,286 + j (3x0,959 + 2,888) = 18,606 + j 5,765 /milha
Cálculo de Z0(ag):	Z(ag) = re + j (xe – 3xd)
DMG entre fases e CT:	 ³3,50 x 4,65 x 6,10 = 4,65 m = 15,2 pés
Xd (ag) = 0,3302 /milha: Z0(ag) = 0,286 + j (2,888)-3x 0,3302) = 0,286 + j 1,897
Cálculo de Z0: 		Z0 = Z0(a) – Z²0(ag)/Z0(g)
Z0 = 1,037 + j 2,747 /milha = 0,644 + j 1,707 /km = 1,825 /69,3 0 /km 
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EXEMPLO 2, 345 kV: FASES - A, B e C e 02 CTs – g e g´
 A				 B				 C
g 0,45 m			g´
5,20
3,60
19,60
15,20 
 19,50
 10,00
10,60
7,40