AD2 Q3 Gabarito

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ME´TODOS ESTATI´STICOS I
2a AVALIAC¸A˜O A` DISTAˆNCIA - QUESTA˜O 3
2o Semestre de 2016
Prof. Moise´s Lima de Menezes
Gabarito
1. (AD2 - Questa˜o 3)* - (2,5 pontos) Pedro e Jose´ sa˜o pastores de cabras. Pedro tem 3 vezes
mais cabras do que Jose´. No rebanho de Pedro, 20% das cabras sa˜o malhadas e, no rebanho de
Jose´, 10% das cabras sa˜o malhadas. Encontrou-se uma cabra desgarrada:
(a) Sem saber nada sobre essa cabra, qual e´ a probabilidade de que ela pertena a Jose´?
(b) Sabendo-se que a cabra desgarrada e´ malhada, qual e´ a probabilidade de que ela pertenc¸a
a Jose´?
Soluc¸a˜o:
Considere os eventos:
• P : A cabra pertence a` Pedro;
• J : A cabra pertence a` Jose´;
• M : A cabra e´ malhada.
Segundo o enunciado, as seguintes probabilidades sa˜o dadas:
P (M |P ) = 0, 20 = 1
5
; P (M |J) = 0, 10 = 1
10
.
Com a informac¸a˜o de que Pedro tem treˆs vezes mais cabras que Jose´, podemos encontrar as proba-
bilidades de cada pastor.
P (P ) = 3P (J) (1)
Como as cabras pertencem a Jose´ ou Pedro, enta˜o:
P (P ) + P (J) = 1 (2)
Substituindo (1) em (2) , teremos:
3P (J) + P (J) = 1
⇒ 4P (J) = 1
⇒ P (J) = 1
4
Consequentemente:
P (P ) =
3
4
1
a)
P(J) =
1
4
b) Pelo Teorema de Bayes,
P (J |M) = P (J)P (M |J)
P (M)
Para calcular P (M) , usaremos o Teorema da Probabilidade Total:
P (M) = P (J)P (M |J) + P (P )P (M |P )
=
(
1
4
× 1
10
)
+
(
3
4
× 1
5
)
=
1
40
+
3
20
=
1
40
+
6
40
=
7
40
.
Logo:
P(J|M) = P (J)P (M |J)
P (M)
=
1/40
7/40
=
1
7
2