Variância e Invariância da equação de onda unidimensional: Transformações de Galileu e Transformadas de Lorentz

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Fundamentos da Teoria da Relatividade Restrita • 04/10/2016
Variaˆncia e Invariaˆncia da equac¸a˜o de onda
unidimensional: Transformac¸o˜es de Galileu e
Transformadas de Lorentz
Daniel Rocha Ferreira*
Instituto de F´ısica, Universidade Federal de Goia´s
Curso de F´ısica - Licenciatura
Resumo
O presente trabalho tem apenas a finalidade de demonstrar por meio da resoluc¸a˜o de
dois exerc´ıcios a variaˆncia e invariaˆncia da equac¸a˜o de uma onda unidimensional que
propaga-se com velocidade c. Para tais fins utilizou-se as equac¸o˜es de Transformac¸a˜o de
Galileu e as equac¸o˜es de Transformac¸a˜o de Lorentz.
Variaˆncia da equac¸a˜o de onda unidimensional por trans-
formac¸a˜o de Galileu
ˆ Considere a equac¸a˜o (1) de uma onda que se propaga na direc¸a˜o +z com velocidade em
S ′ dada por V ′ = c, em que o referencial S ′ se move com velocidade v em relac¸a˜o a outro
referencial S, conforme ilustrado na Figura (1). Usando as transformac¸o˜es de Galileu,
mostre que essa equac¸a˜o muda de forma em um referencial S, isto e´, mostre que a equac¸a˜o
da onda na˜o e´ invariante por transformac¸a˜o de Galileu.
∂2φ(z′, t′)
∂z′2
=
1
c2
∂2φ(z′, t′)
∂t′2
(1)
Figura 1: Referencial S ′ se movendo com velocidade v na direc¸a˜o (+z) com relac¸a˜o ao referen-
cial S em repouso.
*Aluno do curso de Licenciatura em F´ısica do Instituto de F´ısica da Universidade Federal de Goia´s - e-mail:
daniel.rf ufg@hotmail.com
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Soluc¸a˜o:
As equac¸o˜es de transformac¸a˜o de Galileu:

z = z′ + vt
x = x′
y = y′
t = t′
(2)
A inversa:

z′ = z − vt
x′ = x
y′ = y
t′ = t
(3)
Reescrevendo a Equac¸a˜o (1),
[
∂2
∂z′2
− 1
c2
∂2
∂t′2
]
φ(z′, t′) = 0, φ(z′, t′) −→ φ(z, t) (4)
trabalhando com z inicialmente,
∂
∂z′
−→ ∂
∂z
, (5)
usando a regra da cadeia;
∂
∂z′
=
∂z
∂z′
∂
∂z
+
∂t
∂z′
∂
∂t
, (6)
usando a Equac¸a˜o (2) podemos escrever;
∂z
∂z′
=
∂(z′ + vt)
∂z′
= 1 e
∂t
∂z′
= 0. Substituindo esses
resuldos na Equac¸a˜o (6), ficamos com
∂
∂z′
=
∂
∂z
→ ∂
2
∂z′2
=
∂2
∂z2
(7)
Para t, temos;
∂
∂t′
−→ ∂
∂t
, (8)
usando a regra da cadeia;
∂
∂t′
=
∂z
∂t′
∂
∂z
+
∂t
∂t′
∂
∂t
(9)
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Fundamentos da Teoria da Relatividade Restrita • 04/10/2016
usando novamente a Equac¸a˜o (2) podemos escrever;
∂z
∂t′
=
∂(z′ + vt)
∂t′
, como t′ = t, logo
∂z
∂t′
= v
e
∂t
∂t′
=
∂t′
∂t′
= 1. Substituindo esses resultados na Equac¸a˜o (9), ficaremos com
∂
∂t′
= v
∂
∂z
+
∂
∂t
∂2
∂t′2
=
(
v
∂
∂z
+
∂
∂t
)2 (10)
∂2
∂t′2
= v2
∂2
∂z′2
+
∂2
∂t2
+ 2v
∂2
∂z∂t
(11)
Usando as equac¸a˜os (7) e (11) podemos reescrever a equac¸a˜o de onda unidimensional para
o referencial S:
[
∂2
∂z2
− 1
c2
(
v2
∂2
∂z2
+
∂2
∂t2
+ 2v
∂2
∂z∂t
)]
φ(z, t) = 0 , (12)
ou ainda
∂2φ(z, t)
∂z2
=
1
c2
[
v2
∂2φ(z, t)
∂z2
+
∂2φ(z, t)
∂t2
+ 2v
∂2φ(z, t)
∂z∂t
]
(13)
esse resultado Eq.(13) nos mostra que a equac¸a˜o de onda unidimensional muda de formal
quando utilizamos as Transformac¸o˜es de Galileu passando de um referencial S ′ que se move
com velocidade v para um referencial S em repouso. Em outras palavras, a equac¸a˜o de onda
unidimensional na˜o e´ invariante por transformac¸o˜es de Galileu.
Invariaˆncia da equac¸a˜o de onda unidimensional por trans-
formac¸o˜s de Lorentz
ˆ Considere novamente a Equac¸a˜o (1) de uma onda unidimensional que se propaga na
direc¸a˜o +z com velocidade em S ′ dada por V ′ = c, com o referencial S ′ se movendo
em relac¸a˜o a outro referencial S com velocidade v, conforme ilustrado na Figura (1).
Usando as transformac¸o˜es de Lorentz, mostre que essa equac¸a˜o na˜o muda de forma em
um referencial S, isto e´, mostre que a equac¸a˜o da onda unidimensional e´ invariante por
transformac¸a˜o de Lorentz.
Soluc¸a˜o:
As equac¸o˜es de transformac¸a˜o de Lorentz:
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
z = γ(z′ + vt′)
x = x′
y = y′
t = γ(t′ +
v
c2
z′)
(14)
A inversa:

z′ = γ(z − vt)
x′ = x
y′ = y
t′ = γ(t− v
c2
z)
(15)
lembrando que γ =
1√
1− v
2
c2
.
Passaremos do referencial S ′ para o referencial S; φ(z′, t′) −→ φ(z, t), ∂
∂z′
−→ ∂
∂z
e
∂
∂t′
−→
∂
∂t
.
Usando a regra da cadeia para z inicialmente,
∂
∂z′
=
∂z
∂z′
∂
∂z
+
∂t
∂z′
∂
∂t
, (16)
usando a Equac¸a˜o (14) podemos escrever;
∂z
∂z′
=
∂γ(z′ + vt′)
∂z′
= γ e
∂t
∂z′
=
∂γ(t′ +
v
c2
z′)
∂z′
= γ
v
c2
.
Substituindo esses resultados na Equac¸a˜o (16), ficaremos com
∂
∂z′
= γ
∂
∂z
+ γ
v
c2
∂
∂t
∂2
∂z′2
=
(
γ
∂
∂z
+ γ
v
c2
∂
∂t
)2 (17)
∂2
∂z′2
= γ2
∂2
∂z2
+ γ2
v2
c4
∂2
∂t2
+ 2γ2
v
c2
∂2
∂z∂t
(18)
Para t, temos;
∂
∂t′
=
∂z
∂t′
∂
∂z
+
∂t
∂t′
∂
∂t
(19)
usanod novamente a Equac¸a˜o (14) podemos escrever;
∂z
∂t′
=
∂γ(z′ + vt′)
∂t′
= γv e
∂t
∂t′
=
∂γ(t′ +
v
c2
z′)
∂t′
= γ. Substituindo esses resultados na Equac¸a˜o (19), ficaremos com
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∂
∂t′
= γv
∂
∂z
+ γ
∂
∂t
∂2
∂t′2
=
(
γv
∂
∂z
+ γ
∂
∂t
)2 (20)
∂2
∂t′2
= γ2v2
∂2
∂z2
+ γ2
∂2
∂t2
+ 2γ2v
∂2
∂z∂t
(21)
Usando as equac¸a˜os (18) e (21) podemos reescrever a equac¸a˜o de onda unidimensional para
o referencial S:
[
γ2
∂2
∂z2
+ γ2
v2
c4
∂2
∂t2
+ 2γ2
v
c2
∂2
∂z∂t
− 1
c2
(
γ2v2
∂2
∂z2
+ γ2
∂2
∂t2
+ 2γ2v
∂2
∂z∂t
)]
φ(z, t) = 0
γ2
[
∂2
∂z2
(
1− v
2
c2
)
+
∂2
∂t2
(
v2
c4
− 1
c2
)]
φ(z, t) = 0
∂2φ(z, t)
∂z2
(
1− v
2
c2
)
+
1
c2
∂2φ(z, t)
∂t2
(
v2
c2
− 1
)
= 0
∂2φ(z, t)
∂z2
(
1− v
2
c2
)
− 1
c2
∂2φ(z, t)
∂t2
(
1− v
2
c2
)
= 0
(22)
ou ainda
∂2φ(z, t)
∂z2
=
1
c2
∂2φ(z, t)
∂t2
(23)
com esse resultado Eq.(23) verificamos que a equac¸a˜o de onda unidimensional na˜o mudou sua
formal quando utilizamos as Transformadas de Lorentz passando de um referencial S ′ que se
move com velocidade v para um referencial S em repouso. Em outras palavras, a equac¸a˜o de
onda unidimensional e´ invariante por transformac¸o˜es de Lorentz.
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Refereˆncias
[1] ACIOLI, J. L. Introduc¸a˜o a` cinema´tica relativ´ıstica. Bras´ılia: Editora Universidade
de Bras´ılia, 2004. 171 p.
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