Centro-de-Gravidade-e-Centroide-2-a

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Prof. André Luis Christoforo
O centro de gravidade G é um ponto no qual se localiza o peso resultante de um 
sistema de pontos materiais. 
O centro de gravidade G é um ponto no qual se localiza o peso resultante de um 
sistema de pontos materiais. 
O centro de gravidade G é um ponto no qual se localiza o peso resultante de um 
sistema de pontos materiais. 
 WWR
O centro de gravidade G é um ponto no qual se localiza o peso resultante de um 
sistema de pontos materiais. 
 WWR
A soma dos momentos dos pesos de todos os pontos materiais em relação aos eixos
x, y, z é então igual ao momento do peso resultante em relação a esses eixos.
Para determinar a coordenada de G, podemos somar os momentos em relação 
ao eixo y. 
x
Para determinar a coordenada de G, podemos somar os momentos em relação 
ao eixo y. 
x
nnR WxWxWxWx
~...~~ 2211 
Para determinar a coordenada de G, podemos somar os momentos em relação 
ao eixo y. 
x
nnR WxWxWxWx
~...~~ 2211 
De maneira semelhante, efetuando o somatório dos momentos em relação ao 
eixo x obtemos a coordenada ,isto é:
y
Para determinar a coordenada de G, podemos somar os momentos em relação 
ao eixo y. 
x
nnR WxWxWxWx
~...~~ 2211 
De maneira semelhante, efetuando o somatório dos momentos em relação ao 
eixo x obtemos a coordenada ,isto é:
y
nnR WyWyWyWy
~...~~ 2211 
Embora os pesos não produzam um momento em relação ao eixo z, podemos obter
a coordenada de G imaginando que o sistema de coordenadas, com os pontos
materiais fixos, sofre uma rotação de 90° em torno do eixo x (ou y).Efetuando o
somatório dos momentos em relação ao eixo x, temos:
z
Embora os pesos não produzam um momento em relação ao eixo z, podemos obter
a coordenada de G imaginando que o sistema de coordenadas, com os pontos
materiais fixos, sofre uma rotação de 90° em torno do eixo x (ou y).Efetuando o
somatório dos momentos em relação ao eixo x, temos:
z
Efetuando o somatório dos momentos em relação ao
eixo x, temos:
nnR WzWzWzWz
~...~~ 2211 
nnR WzWzWzWz
~...~~ 2211 
nnR WxWxWxWx
~...~~ 2211 
nnR WyWyWyWy
~...~~ 2211 
Generalizando:
nnR WzWzWzWz
~...~~ 2211 
nnR WxWxWxWx
~...~~ 2211 
nnR WyWyWyWy
~...~~ 2211 
Generalizando:



W
Wx
x
~



W
Wy
y
~



W
Wz
z
~
nnR WzWzWzWz
~...~~ 2211 
nnR WxWxWxWx
~...~~ 2211 
nnR WyWyWyWy
~...~~ 2211 
Generalizando:



W
Wx
x
~



W
Wy
y
~



W
Wz
z
~
zyx ,,
Representam as coordenadas do centro de gravidade G do sistema de
pontos materiais.
zyx ~,~,~
Representam as coordenadas de cada ponto material no sistema.
W
É a soma resultante dos pesos de todos os pontos materiais no sistema.
Para o estudo de problemas que dizem respeito ao movimento da matéria sob a
influência de forças, isto é, problemas de dinâmica, é necessário localizar um
ponto denominado centro de massa. Como a aceleração da gravidade g para cada
ponto material é constante, então:
Para o estudo de problemas que dizem respeito ao movimento da matéria sob a
influência de forças, isto é, problemas de dinâmica, é necessário localizar um
ponto denominado centro de massa. Como a aceleração da gravidade g para cada
ponto material é constante, então:
W = mg. 
Substituindo nas equações e cancelando g no numerador e no denominador,
obtemos:
Para o estudo de problemas que dizem respeito ao movimento da matéria sob a
influência de forças, isto é, problemas de dinâmica, é necessário localizar um
ponto denominado centro de massa. Como a aceleração da gravidade g para cada
ponto material é constante, então:
W = mg. 
Substituindo nas equações e cancelando g no numerador e no denominador,
obtemos:



W
Wx
x
~



W
Wy
y
~



W
Wz
z
~



m
mx
x
~



m
my
y
~



m
mz
z
~
Um corpo rígido é composto de um infinito número de partículas. Dessa maneira,
se os princípios utilizados anteriormente são aplicados ao sistema de partículas que
compõem esse corpo, torna-se necessário usar a operação de integração.
Um corpo rígido é composto de um infinito número de partículas. Dessa maneira,
se os princípios utilizados anteriormente são aplicados ao sistema de partículas que
compõem esse corpo, torna-se necessário usar a operação de integração.



dW
dWx
x
~



dW
dWy
y
~



dW
dWz
z
~
dVdW 
Um corpo rígido é composto de um infinito número de partículas. Dessa maneira,
se os princípios utilizados anteriormente são aplicados ao sistema de partículas que
compõem esse corpo, torna-se necessário usar a operação de integração.



dW
dWx
x
~



dW
dWy
y
~



dW
dWz
z
~
dVdW 



V
V
dV
dVx
x

~



V
V
dV
dVy
y

~



V
V
dV
dVz
z

~
A densidade  se relaciona com  pela equação  .g, onde g é a aceleração
gravitacional.
A densidade  se relaciona com  pela equação  .g, onde g é a aceleração
gravitacional.



V
V
dV
dVx
x

~



V
V
dV
dVy
y

~



V
V
dV
dVz
z

~
A densidade  se relaciona com  pela equação  .g, onde g é a aceleração
gravitacional.



V
V
dV
dVx
x

~



V
V
dV
dVy
y

~



V
V
dV
dVz
z

~



V
V
dV
dVx
x

~



V
V
dV
dVy
y

~



V
V
dV
dVz
z

~
 É um ponto que define o centro geométrico de um objeto. Sua localização pode
ser determinada a partir de fórmulas semelhantes àquelas utilizadas para obter o
centro de gravidade ou o centro de massa de um corpo.
 Se o material que compõe o corpo for uniforme ou homogêneo, a densidade ou
peso específico será constante por todo o corpo e, conseqüentemente, esse termo
poderá sair da chave de integração e ser cancelado nos numeradores e
denominadores das equações.
 As fórmulas resultantes que definem o centróide de um corpo são
independentes do peso dele, dependendo apenas de sua geometria.
VOLUME ÁREA LINHA
Se um objeto é subdividido em elementos de volumes infinitesimais dV (Figura
abaixo), a localização do centróide C( , , ) para o volume do objeto pode
ser determinado pelo cálculo dos ‘momentos’ dos elementos infinitesimais em
relação a cada eixo de coordenadas. As fórmulas resultantes são:
VOLUME
x
y z
Se um objeto é subdividido em elementos de volumes infinitesimais dV (Figura
abaixo), a localização do centróide C( , , ) para o volume do objeto pode
ser determinado pelo cálculo dos ‘momentos’ dos elementos infinitesimais em
relação a cada eixo de coordenadas. As fórmulas resultantes são:
VOLUME
x
y z



V
V
dV
dVx
x
~



V
V
dV
dVy
y
~



V
V
dV
dVz
z
~
De forma análoga, o centróide para a área da superfície de um objeto, como uma
placa ou uma concha, pode ser obtido subdividindo-se a área do objeto em
elementos de áreas infinitesimais dA e calculando-se os ‘momentos’ dessas áreas
elementares em relação a cada eixo de coordenadas, isto é:
ÁREA
De forma análoga, o centróide para a área da superfície de um objeto, como uma
placa ou uma concha, pode ser obtido subdividindo-se a área do objeto em
elementos de áreas infinitesimais dA e calculando-seos ‘momentos’ dessas áreas
elementares em relação a cada eixo de coordenadas, isto é:
ÁREA



A
A
dA
dAx
x
~



A
A
dA
dAy
y
~



A
A
dA
dAz
z
~
Se a geometria do objeto, tal como uma barra fina ou um fio, tem o formato de um
fio, o cálculo dos momentos dos elementos infinitesimais dL em relação a cada um
dos eixos de coordenadas fornece:
LINHA
Se a geometria do objeto, tal como uma barra fina ou um fio, tem o formato de um
fio, o cálculo dos momentos dos elementos infinitesimais dL em relação a cada um
dos eixos de coordenadas fornece:
LINHA



L
L
dL
dLx
x
~



L
L
dL
dLy
y
~



L
L
dL
dLz
z
~
Os centróides de algumas formas geométricas devem ser parcial ou completamente
especificados por meio das condições de simetria. Nos casos em que a forma geométrica
tem um eixo de simetria, o centróide dela ficará sobre esse eixo.
Nos casos em que uma forma tem dois ou três eixos de simetria, o centróide se localizará na
intersecção desses eixos.
Localize o centróide da barra curvada no formato de um arco parabólico, como
mostrado na figura :
Localize o centróide da barra curvada no formato de um arco parabólico, como
mostrado na figura :
    dy
dy
dx
dydxdL 1
2
22







SOLUÇÃO
Localize o centróide da barra curvada no formato de um arco parabólico, como
mostrado na figura :
    dy
dy
dx
dydxdL 1
2
22







Como , . Conseqüentemente, 
expressando dL em função de y e dy , temos: 
2yx  ydydx 2/ 
SOLUÇÃO
Localize o centróide da barra curvada no formato de um arco parabólico, como
mostrado na figura :
    dy
dy
dx
dydxdL 1
2
22







Como , . Conseqüentemente, 
expressando dL em função de y e dy , temos: 
2yx  ydydx 2/ 
  dyydL 12 2 
SOLUÇÃO
Localize o centróide da barra curvada no formato de um arco parabólico, como
mostrado na figura :
    dy
dy
dx
dydxdL 1
2
22







Como , . Conseqüentemente, 
expressando dL em função de y e dy , temos: 
2yx  ydydx 2/ 
  dyydL 12 2 
O centróide está localizado em e
xx ~ yy 
~
SOLUÇÃO
O centróide está localizado em e
xx ~ yy ~
O centróide está localizado em e
xx ~ yy ~
m
dyy
dyyy
dyy
dyyx
dL
dLx
x
L
L 410,0
479,1
6063,0
14
14
14
14~
1
0
2
1
0
22
1
0
2
1
0
2













O centróide está localizado em e
xx ~ yy ~
m
dyy
dyyy
dyy
dyyx
dL
dLx
x
L
L 410,0
479,1
6063,0
14
14
14
14~
1
0
2
1
0
22
1
0
2
1
0
2













m
dyy
dyyy
dL
dLy
y
L
L 574,0
479,1
8484,0
14
14~
1
0
2
1
0
2








Localize o centróide do segmento circular do fio, conforme mostra a figura.
Localize o centróide do segmento circular do fio, conforme mostra a figura.
Como o arco é circula, serão usadas coordenadas
polares para resolver o problema.
SOLUÇÃO
Localize o centróide do segmento circular do fio, conforme mostra a figura.
Como o arco é circula, serão usadas coordenadas
polares para resolver o problema.
 








R
dR
dR
Rd
RdR
dL
dLx
x
L
L 2
coscos~
2/
0
2/
0
2
2/
0
2/
0 






SOLUÇÃO
Localize o centróide do segmento circular do fio, conforme mostra a figura.
Como o arco é circula, serão usadas coordenadas
polares para resolver o problema.
 








R
dR
dR
Rd
RdR
dL
dLx
x
L
L 2
coscos~
2/
0
2/
0
2
2/
0
2/
0 






 








R
dR
dsenR
Rd
RdRsen
dL
dLy
y
L
L 2
~
2/
0
2/
0
2
2/
0
2/
0 






SOLUÇÃO
Determine a distância do eixo x ao centróide da área do triângulo mostrado 
na figura.
y
Determine a distância do eixo x ao centróide da área do triângulo mostrado 
na figura.
A área do elemento é dA
y
dyyh
h
b
XDYdA )( 
SOLUÇÃO
Determine a distância do eixo x ao centróide da área do triângulo mostrado 
na figura.
A área do elemento é dA
y
dyyh
h
b
XDYdA )( 
 
  3
~
2
1
2
6
1
0
0 h
bh
bh
dyyh
h
b
dyyh
h
b
y
dA
dAy
y
h
h
A
A 







SOLUÇÃO
Localize o centróide para a área de um quarto de círculo mostrado na figura.
Localize o centróide para a área de um quarto de círculo mostrado na figura.
A área do elemento é dA
dyyh
h
b
XDYdA )( 
SOLUÇÃO
Localize o centróide para a área de um quarto de círculo mostrado na figura.
A área do elemento é dA
dyyh
h
b
XDYdA )( 
 
  3
~
2
1
2
6
1
0
0 h
bh
bh
dyyh
h
b
dyyh
h
b
y
dA
dAy
y
h
h
A
A 







SOLUÇÃO
A área do elemento infinitesimal é:
    dRRdRdA
2
2
2
1 
A área do elemento infinitesimal é:
    dRRdRdA
2
2
2
1 
O centróide do elemento triangular esta localizado em:
cos
3
2~ Rx 
Rseny
3
2~ 
A área do elemento infinitesimal é:
    dRRdRdA
2
2
2
1 
O centróide do elemento triangular esta localizado em:
cos
3
2~ Rx 
Rseny
3
2~ 








3
4
cos
3
2
2
2
cos
3
2
~
2/
0
2/
0
2/
0
2
2/
0
2
R
d
dR
d
R
d
R
R
dA
dAx
x
A
A 




















A área do elemento infinitesimal é:
    dRRdRdA
2
2
2
1 
O centróide do elemento triangular esta localizado em:
cos
3
2~ Rx 
Rseny
3
2~ 








3
4
cos
3
2
2
2
cos
3
2
~
2/
0
2/
0
2/
0
2
2/
0
2
R
d
dR
d
R
d
R
R
dA
dAx
x
A
A 




























3
43
2
2
23
2
~
2/
0
2/
0
2/
0
2
2/
0
2
R
d
dsenR
d
R
d
R
Rsen
dA
dAy
y
A
A 




















Localize o centróide da área mostrada na figura.
Localize o centróide da área mostrada na figura.
A área do elemento é :
ydxdA 
SOLUÇÃO
Localize o centróide da área mostrada na figura.
A área do elemento é :
ydxdA 
xx ~
2
~ yy 
Seu centróide esta localizado em:
SOLUÇÃO
Localize a coordenada do centróide da área sombreada limitada pelas duas 
curvas e , conforme a figura.
x
xy  2xy 
Localize a coordenada do centróide da área sombreada limitada pelas duas 
curvas e , conforme a figura.
x
xy  2xy 
SOLUÇÃO
A área do elemento é :
dyxxdA )( 21 
Localize a coordenada do centróide da área sombreada limitada pelas duascurvas e , conforme a figura.
x
xy  2xy 
SOLUÇÃO
A área do elemento é :
dyxxdA )( 21 
22
~ 2121
2
xxxx
xx




Seu centróide esta localizado em:
Localize a coordenada do centróide da área sombreada limitada pelas duas 
curvas e , conforme a figura.
x
xy  2xy 
SOLUÇÃO
A área do elemento é :
dyxxdA )( 21 
22
~ 2121
2
xxxx
xx




Seu centróide esta localizado em:
 
 
 
 
pé
dxxx
dxxxx
dxyy
dxyyx
dA
dAx
x
A
A 5,0
~
6
1
12
1
1
0
2
1
0
2
1
0
12
1
0
12













Determine o baricentro da área limitada pela curva e pela reta .
2
2x
y 
xy 
Determine o baricentro da área limitada pela curva e pela reta .
1º passo – Façamos o esboço gráfico:
2
2x
y 
xy 
SOLUÇÃO
Determine o baricentro da área limitada pela curva e pela reta .
1º passo – Façamos o esboço gráfico: 2º passo – Calculemos A:
2
2x
y 
xy 
  
2
0
2
0
dxyyydxA cr
2
0
32
2
0
2
622












 
xx
dx
x
x
2
3
2
3
4
2 u
SOLUÇÃO
3º passo – Calculemos e :
Multiplicamos a área pela distancia de seu baricentro ao eixo dos x.
Logo,
    crcr yydxyy 
2
1
dx
x
xdx
x
x
x
xM x  


















2
0
4
2
2
2
0
2
42
1
222
1
15
8
5
8
3
8
2
1
2032
1
2
0
53













xx
3º passo – Calculemos e :
Multiplicamos a área pela distancia de seu baricentro ao eixo dos x.
    crcr yydxyy 
2
1
Para calcular o My, multiplicamos a área pela distancia de seu baricentro ao eixo dos y.
Logo,
  xdxyy cr 
3
2
2
3
8
8322
2
0
43
2
0
3
2
2
0
2


















 
xx
dx
x
xxdx
x
xM y
4º passo – Calculemos e através das fórmulas:
x y
1
3
2
3
2

A
M
x
y
5
4
3
2
15
8

A
M
y x






5
4
,1G
Determine o baricentro da superfície D limitada pela curva e a reta , 
supondo-a de material homogêneo.
22xy 
8y
Determine o baricentro da superfície D limitada pela curva e a reta , 
supondo-a de material homogêneo.
22xy 
8y
1º passo – Façamos o esboço gráfico
SOLUÇÃO
Determine o baricentro da superfície D limitada pela curva e a reta , 
supondo-a de material homogêneo.
22xy 
8y
1º passo – Façamos o esboço gráfico
2º passo – Calculemos :  
 
2
2
2
3
2
2
2
2
2
8
2
2
2
8
2
3
64
3
32
32
3
16
16
3
16
16
3
2
828
2
2
u
x
xdxx
dxydydxA
x
x

























 
SOLUÇÃO
3º passo – Calculemos os momentos estáticos em relação aos eixos dos e dos :
x
y
     
    0816816
2
4
2828
2
2
4
2
2
2
3
2
2
2
2
2
8
2
2
2
8
2
2
2









  
x
x
dxxxdxxxdxyxxdydxxdydx
x
xD
3º passo – Calculemos os momentos estáticos em relação aos eixos dos e dos :
x
y
     
    0816816
2
4
2828
2
2
4
2
2
2
3
2
2
2
2
2
8
2
2
2
8
2
2
2









  
x
x
dxxxdxxxdxyxxdydxxdydx
x
xD
 
5
512
5
128
128
5
64
64
5
64
64
5
2
32232
2
2
2
5
2
2
4
2
2
8
2
2
2
2
8
2
2
2



























  
x
xdxxdx
y
xdydxydydx
x
xD
3º passo – Calculemos os momentos estáticos em relação aos eixos dos e dos :
x
y
     
    0816816
2
4
2828
2
2
4
2
2
2
3
2
2
2
2
2
8
2
2
2
8
2
2
2









  
x
x
dxxxdxxxdxyxxdydxxdydx
x
xD
 
5
512
5
128
128
5
64
64
5
64
64
5
2
32232
2
2
2
5
2
2
4
2
2
8
2
2
2
2
8
2
2
2



























  
x
xdxxdx
y
xdydxydydx
x
xD
Assim,
0
3
64
0
x 8,4
5
24
3
64
5
512
y
 8,4;0G
Localize a coordenada do centróide de um parabolóide de revolução que é 
gerado pela rotação da área sombreada mostrada na figura, em torno do eixo .
y
y
Localize a coordenada do centróide de um parabolóide de revolução que é 
gerado pela rotação da área sombreada mostrada na figura, em torno do eixo .
y
y
dyzdV 2O volume do elemento é :
SOLUÇÃO
Localize a coordenada do centróide de um parabolóide de revolução que é 
gerado pela rotação da área sombreada mostrada na figura, em torno do eixo .
y
y
dyzdV 2
yy ~
O volume do elemento é :
Seu centróide esta localizado em:
SOLUÇÃO
Localize a coordenada do centróide de um parabolóide de revolução que é 
gerado pela rotação da área sombreada mostrada na figura, em torno do eixo .
y
y
dyzdV 2
yy ~
O volume do elemento é :
Seu centróide esta localizado em:
 
 
m
ydy
dyy
dyz
dyzy
dV
dVy
y
V
V 7,66
100
100~
100
0
100
0
2
100
0
2
100
0
2











SOLUÇÃO
Determine a localização do centro de massa do cilindro mostrado na figura,
sabendo que sua densidade varia diretamente com sua distância a partir da base,
isto é, .
3/200 mzkg
Determine a localização do centro de massa do cilindro mostrado na figura,
sabendo que sua densidade varia diretamente com sua distância a partir da base,
isto é, .
3/200 mzkg
Por razões de simetria do material:
0 yx
SOLUÇÃO
Determine a localização do centro de massa do cilindro mostrado na figura,
sabendo que sua densidade varia diretamente com sua distância a partir da base,
isto é, .
dzdV 2)5,0(O volume do elemento é :
3/200 mzkg
Por razões de simetria do material:
0 yx
SOLUÇÃO
Determine a localização do centro de massa do cilindro mostrado na figura,
sabendo que sua densidade varia diretamente com sua distância a partir da base,
isto é, .
dzdV 2)5,0(
zz ~
O volume do elemento é :
Seu centróide esta localizado em:
3/200 mzkg
Por razões de simetria do material:
0 yx
SOLUÇÃO
Determine a localização do centro de massa do cilindro mostrado na figura,
sabendo que sua densidade varia diretamente com sua distância a partir da base,
isto é, .
dzdV 2)5,0(
zz ~
O volume do elemento é :
Seu centróide esta localizado em:
3/200 mzkg
Por razões de simetria do material:
0 yx
SOLUÇÃO
   
   
m
zdz
dzz
dzz
dzzz
dV
dVz
z
V
V 667,0
5,0200
5,0200~
1
0
1
0
2
1
0
2
1
0
2











Um corpo composto consisteem um conjunto de corpos de formatos mais simples que
podem ser retangulares, triangulares, semicirculares etc. esse corpo freqüentemente pode
ser segmentado ou dividido em suas partes constituintes e, contanto que o peso e a
localização do centro de gravidade de cada uma dessas partes sejam conhecidos, podemos
eliminar a necessidade de integração para obter o centro de gravidade do corpo como um
todo. Esse método para obtenção do centro de gravidade requer que cada uma das partes do
corpo seja tratada como uma partícula e que seja utilizado o procedimento apresentado
anteriormente para cálculo do mesmo . Uma vez que podemos considerar um número finito
de pesos, assim obtemos fórmulas semelhantes às equações anteriores.
Reescrevendo essas fórmulas, temos:



W
Wx
x
~



W
Wy
y
~



W
Wz
z
~
zyx ,,
Representam as coordenadas do centro de gravidade G do corpo
composto.
zyx ~,~,~
Representam as coordenadas do centro de gravidade de cada parte que
constitui o peso
W
É a soma resultante dos pesos de todas as partes que constituem o corpo
ou é simplesmente o peso total do corpo composto
Localize o centróide do fio mostrado na figura.
Localize o centróide do fio mostrado na figura.
O fio é dividido em 3 seguimentos:
SOLUÇÃO
mm
L
Lx
x 5,45
5,248
310.11
~



mm
L
Lx
x 5,45
5,248
310.11
~



mm
L
Ly
y 5,22
5,248
600.5
~





mm
L
Lx
x 5,45
5,248
310.11
~



mm
L
Ly
y 5,22
5,248
600.5
~





mm
L
Lz
z 805,0
5,248
200
~





Localize o centróide da área da placa mostrada na figura.
A placa é dividida em 3 seguimentos:
SOLUÇÃO
Assim,
pé
A
Ax
x 348,0
5,11
4
~





pé
A
Ay
y 22,1
5,11
14
~



Determine as coordenadas do centro de gravidade da área da superfície dada
na figura abaixo:
 yxG ,
Determine as coordenadas do centro de gravidade da área da superfície dada
na figura abaixo:
 yxG ,
A
M
x
y
 A
M
y x
2345.21.22.65.2 uA 
SOLUÇÃO
Determine as coordenadas do centro de gravidade da área da superfície dada
na figura abaixo:
 yxG ,
A
M
x
y
 A
M
y x
2345.21.22.65.2 uA 
      675,2.105,2.21.125,2.10 xM
SOLUÇÃO
Determine as coordenadas do centro de gravidade da área da superfície dada
na figura abaixo:
 yxG ,
A
M
x
y
 A
M
y x
2345.21.22.65.2 uA 
      675,2.105,2.21.125,2.10 xM
1709.105.25.121.10 yM
SOLUÇÃO
Determine as coordenadas do centro de gravidade da área da superfície dada
na figura abaixo:
 yxG ,
A
M
x
y
 A
M
y x
2345.21.22.65.2 uA 
      675,2.105,2.21.125,2.10 xM
1709.105.25.121.10 yM
5
34
170
x
34
67
y
SOLUÇÃO
Localize o centro de massa do conjunto composto mostrado na figura. O tronco
de cone tem densidade e o hemisfério tem densidade de . No
centro existe um furo cilíndrico de raio igual a 25 mm .
3/8 mtc 
3/4 mth 
Devido a Simetria
0 yx
mm
m
mz
z
6,14
141,3
815,45
~




SOLUÇÃO
Distribuição de Pressão sobre uma Superfície
Intensidade da Força Resultante
Para determinar a intensidade de FR , é necessário somar cada uma das forças diferenciais dF
que atuam sobre toda a superfície da placa A. Esse somatório pode ser expresso
matematicamente como uma integral:
 FFR     VAR dVdAyxpF ,
; 
Conseqüentemente, podemos ver que a linha de ação da força resultante
passa pelo centro geométrico ou centróide do volume sob o diagrama de carregamento
distribuído.
; 
Localização da Força Resultante
A 1oca1ização de FR pode ser determinada igualando-se os momentos de FR aos
momentos de todas as forças dF em relação a seus eixos x, y.
),( yx
    VAR dVdAyxpF ,
 
  




V
V
A
A
dV
xdV
dAyxp
dAyxxp
x
,
,  
  




V
V
A
A
dV
ydV
dAyxp
dAyxyp
y
,
,