Begona V1 2016 turma G1

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Equac¸o˜es Diferenciais
1a Verificac¸a˜o, Turma G1
GMA - UFF - 09/06/2016
Prof. Martin Andersson
Nome:
Instruc¸o˜es: A prova vale 10 pontos e tem durac¸a˜o de 1h50min. Na˜o e´ permitido sair da sala
durante a prova nem o uso de qualquer material eletroˆnico. Boa sorte!!
1. (3 pt) Determine quais das seguintes se´ries convergem e quais divergem. Justifique sua
resposta.
a)
∞∑
n=1
n(−1)n+1√
3n2 + 1
b) 1 +
1
9
+
1
25
+
1
49
+ . . . c)
∞∑
n=2
log(n)
n
√
n + 1
(1)
2. (2 pt.) Considera as seguintes sequeˆncias:
i) 32 ,
4
3 ,
5
4 ,
6
5 . . .
ii) 0, 1, 0, 2, 0, 3, 0, 4, 0, . . .
iii) 01, 0, 2, 1, 3, 2, 4, 3, 5, 4, . . .
iv) 1, 1 + 12 , 1 +
1
2 +
1
3 , . . .
Quais das sequeˆncias acima
(a) sa˜o limitadas?
(b) sa˜o mono´tonas?
(c) sa˜o crescentes?
(d) sa˜o convergentes?
(e) tendem ao infinito?
3. (1 pt.) Calcule
∞∑
n=3
3 · 2n−2 − 5n
32n+1
.
4. (1,5 pt.) Considere a se´rie de poteˆncias
∑∞
n=0
(x+5)2n+1
9n
√
n3+1
. Determine para quais valores
x ∈ R a se´rie
(a) diverge,
(b) converge condicionalmente,
(c) converge absolutamente.
5. (2,5 pt.) Considere a equac¸a˜o (1− x)2y′′ − 2y = 0.
(a) Determine se x = 0 e´ um ponto ordina´rio, singular regular ou singular irregular.
(b) Encontre duas soluc¸o˜es linearmente independentes da equac¸a˜o.