Buscar

AD2 GP 2 2016 Gabarito

Faça como milhares de estudantes: teste grátis o Passei Direto

Esse e outros conteúdos desbloqueados

16 milhões de materiais de várias disciplinas

Impressão de materiais

Agora você pode testar o

Passei Direto grátis

Faça como milhares de estudantes: teste grátis o Passei Direto

Esse e outros conteúdos desbloqueados

16 milhões de materiais de várias disciplinas

Impressão de materiais

Agora você pode testar o

Passei Direto grátis

Faça como milhares de estudantes: teste grátis o Passei Direto

Esse e outros conteúdos desbloqueados

16 milhões de materiais de várias disciplinas

Impressão de materiais

Agora você pode testar o

Passei Direto grátis

Você viu 3, do total de 4 páginas

Faça como milhares de estudantes: teste grátis o Passei Direto

Esse e outros conteúdos desbloqueados

16 milhões de materiais de várias disciplinas

Impressão de materiais

Agora você pode testar o

Passei Direto grátis

Prévia do material em texto

Fundac¸a˜o Centro de Cieˆncias e Educac¸a˜o Superior a Distaˆncia do Estado do Rio de Janeiro
Centro de Educac¸a˜o Superior a Distaˆncia do Estado do Rio de Janeiro
Geometria Plana – AD2 – Gabarito – 2016.2
Questa˜o 1: [3,0 pts] P e´ um ponto qualquer sobre a circunfereˆncia de centro em M . Q e´ um
ponto arbitra´rio, sobre uma circunfereˆncia de centro em N . As circunfereˆncias encontram-se em A
e B. Dados que as medidas dos aˆngulos m(AM̂B) = 110◦ e m(AN̂B) = 150◦, determine todos os
valores poss´ıveis para a soma das medidas dos aˆngulos AP̂B e AQ̂B.
Os pontos P e Q sa˜o distintos de A e B.
Soluc¸a˜o: Considerando os dados do enunciado, observe que temos posic¸o˜es distintas para P e Q,
onde M ′ e N ′ sa˜o pontos sobre a circunfereˆncia de centros M e N , respectivamente, conforme
figura.
1) P e Q na˜o pertencem ao arco
_
AB no interior das duas circunfereˆncias,
2) P e Q sa˜o pontos pertencentes ao arco
_
AM ′B e
_
AN ′B, respectivamente.
3) P na˜o pertencente ao arco
_
AM ′B e Q pertencente ao arco
_
AN ′B,
4) P pertencente ao arco
_
AM ′B e Q na˜o pertencente ao arco
_
AN ′B.
Hipo´tese 1: Considere que os pontos P e Q na˜o pertencem ao menor arco
_
AB nas duas cir-
cunfereˆncias, onde M ′ e N ′ sa˜o pontos sobre a circunfereˆncia de centros M e N , respectivamente.
Usando aˆngulo inscrito e aˆngulo central:
m(AP̂B) =
m(
_
AM ′B)
2
=
m(AM̂B)
2
=
110◦
2
= 55◦.
m(AQ̂B) =
m(
_
AN ′B)
2
=
m(AN̂B)
2
=
150◦
2
= 75◦.
Portanto o valor pedido e´ : m(AP̂B) + m(AQ̂B) = 55◦ + 75◦ = 130◦.
Hipo´tese 2: Considere P e Q sa˜o pontos pertencentes ao arco
_
AM ′B e
_
AN ′B, respectivamente.
m(AP̂B) =
360◦ −m(
_
APB)
2
=
360◦ −m(AM̂B)
2
m(AP̂B) =
360◦ − 110◦
2
=
250◦
2
= 125◦.
m(AQ̂B) =
360◦ −m(
_
AQB)
2
=
360◦ −m(AN̂B)
2
m(AQ̂B) =
360◦ − 150◦
2
=
210◦
2
= 105◦.
Portanto o valor pedido e´ : m(AP̂B) + m(AQ̂B) = 125◦ + 105◦ = 230◦.
Geometria Plana– Gabarito AD2 2
Hipo´tese 3: Considere P na˜o pertencente ao arco
_
AM ′B e Q pertencente ao arco
_
ANB,
m(AP̂B) =
m(
_
AM ′B)
2
=
m(AM̂B)
2
=
110◦
2
= 55◦.
m(AQ̂B) =
360◦ −m(
_
AQB)
2
=
360◦ −m(AN̂B)
2
= 105◦.
Portanto o valor pedido e´ : m(AP̂B) + m(AQ̂B) = 55◦ + 105◦ = 160◦.
Hipo´tese 4: Seja P pertencente ao arco
_
AM ′B e Q na˜o pertencente ao arco
_
ANB.
m(AP̂B) =
360◦ −m(
_
APB
2
=
360◦ −m(AM̂B)
2
= 125◦.
m(AQ̂B) =
m(
_
AN ′B)
2
=
m(AN̂B)
2
=
150◦
2
= 75◦.
Portanto o valor pedido e´ : m(AP̂B) + m(AQ̂B) = 125◦ + 75◦ = 200◦.
Questa˜o 2 [2,0 pts]: Prolongam-se os lados AB e AD de um paralelogramo ABCD e segmentos
BM = AD e DN = AB. Mostre que os triaˆngulos DNC e BMC sa˜o iso´sceles e que os treˆs
pontos M,N e C esta˜o na mesma reta, ou seja, sa˜o colineares.
Soluc¸a˜o: Seja o paralelogramo ABCD e prolongue os lados AB e AD desse paralelogramo de
segmentos BM = AD e DN = AB, conforme figura:
Da propriedade do paralelogramo que lados opostos
sa˜o iguais, o triaˆngulo DNC e´ iso´sceles pois
DC = AB = DN assim como o triaˆngulo BMC
e´ iso´sceles pois BC = AD = BM .
Para mostrar que os pontos M,N e C
sa˜o colineares, denote:
m(AD̂C) = x e m(DÂB) = y,
enta˜o m(AB̂C) = x e m(BĈD) = y,
pela propriedade de paralelogramo.
Como ∆BMC e´ iso´sceles, BC = BM , enta˜o m(BĈM) = m(BM̂C) =
x
2
, ja´ que
x = m(BĈM) + m(BM̂C)(aˆngulo externo).
De maneira ana´loga, ∆DNC e´ iso´sceles, DC = DN , enta˜o m(DN̂C) = m(DĈN) =
x
2
,
ja´ que x = m(DN̂C) + m(DĈN).
Fundac¸a˜o CECIERJ Conso´rcio CEDERJ
Geometria Plana– Gabarito AD2 3
ND̂C = DÂB = y, pois os aˆngulos sa˜o correspondentes e AB//DC. Da´ı temos que x+y = 180◦,
ja´ que sa˜o aˆngulos consecutivos do paralelogramo.
Mas NĈM = NĈD + DĈB + BĈM =
x
2
+ y +
x
2
= x + y = 180◦.
Logo os pontos M,N e C esta˜o na mesma reta.
Questa˜o 3 [3,0 pts]: A,B e C sa˜o pontos em uma reta, nessa ordem, tais que AB = 6 cm
e BC = 3 cm. AX,BY e CZ sa˜o treˆs retas perpendiculares a reta AC, situadas num mesmo
semi-plano dos determinados por essa reta, e I e´ o ponto da semirreta BY tal que BI = 5 cm. A
reta AI intercepta CZ em N , a reta CI intercepta AX em M e a reta MN intercepta AC em P .
Calcule AM,CN e CP .
Soluc¸a˜o: Considere a figura com os dados do enunciado.
Os pontos A,B e C em uma reta, nessa ordem.
AB = 6 cm e BC = 3 cm.
Trace as perpendiculares AX,BY e CZ a reta AC,
situadas num mesmo semi-plano dos determinados
por essa reta. Seja I o ponto da semirreta BY
tal que BI = 5 cm.
A reta AI intercepta CZ em N ,
a reta CI intercepta AX em M e
a reta MN intercepta AC em P .
Vamos calcular AM .
Temos que ∆AMC ∼ ∆BIC ja´ que BI//AM ,
pelo Teorema Fundamental, logo
AM
AC
=
BI
BC
⇒ AM
9
=
5
3
⇒ AM = 9 · 5
3
= 15 cm
Vamos calcular CN .
Temos que ∆ANC ∼ ∆AIB ja´ que BI//CN , logo
CN
AC
=
BI
AB
⇒ CN
9
=
5
6
⇒ CN = 9 · 5
6
=
45
6
= 7, 5 cm
Vamos calcular CP .
Pelo Teorema fundamental, temos que ∆AMP ∼ ∆CNP ja´ que AM//CN , logo
AM
AP
=
CN
CP
⇒ 15
9 + CP
=
7, 5
CP
⇒ 15 · CP = 7, 5(9 + CP ) ⇒ CP = 9 cm
Fundac¸a˜o CECIERJ Conso´rcio CEDERJ
Geometria Plana– Gabarito AD2 4
Questa˜o 4 [2,0 pts]: Uma reta paralela ao lado AB de um triaˆngulo ABC intercepta os lados CA
e CB nos pontos M e N , respectivamente. Calcule CM em func¸a˜o dos lados do triaˆngulo ABC,
sabendo que o per´ımetro do triaˆngulo CMN e´ igual ao per´ımetro do trape´zio ABNM .
Soluc¸a˜o: Seja o triaˆngulo ABC de lados AB = c, BC = a e AC = b. A reta paralela AB
intercepta os lados CA e CB nos pontos M e N , respectivamente. Denote CM = x.
Do Teorema de Tales, temos que
CN
BN
=
CM
AM
⇒ CN
a− CN =
x
b− x ⇒ ax− xCN = bCN − xCN ⇒ CN =
ax
b
(1)
Como o per´ımetro do triaˆngulo CMN e´ igual ao per´ımetro do trape´zio ABNM
CN + MN + x = a− CN + MN + b− x + c ⇒ 2CN + 2x = a + b + c (2)
Substituindo (1) em (2), vem
2ax
b
+ 2x = a + b + c ⇒ 2ax + 2bx = b(a + b + c) ⇒ x(2a + 2b) = b(a + b + c)
Portanto CM =
b(a + b + c)
2(a + b)
.
Fundac¸a˜o CECIERJ Conso´rcio CEDERJ

Outros materiais