Relatório Const. de Tempo em Circuito RC NOVO

Prévia do material em texto

Universidade Federal da Bahia
Instituto de Física
Departamento de Física do Estado Sólido
Física Geral e Experimental III FIS - 123
Prof. : Wilson
EXPERIÊNCIA 07
CONSTANTE DE TEMPO EM CIRCUITOS RC
 Elinaldo F. Sales
 Marcio de Jesus Silva
José Elvir Soares Alves
Salvador, 28 de maio de 2007
1 - OBJETIVO
O objetivo de experimento consiste em medir o valor da constante de tempo em um circuito capacitivo e através desta constante, medir a resistência efetiva e a capacitância de um circuito.
Nos circuitos RC (resistor-capacitor) a tensão e a corrente variam com o tempo. Isso ocorre porque à medida que o tempo passa, a carga armazenada no capacitor aumenta e com isso cria-se uma ddp contrária ao sentido da corrente entre os pólos do capacitor. Assim ddp aumenta até seu valor que iguale ao da força eletromotriz anulando o seu efeito, ou seja, (-V tende a zero e com isso, a corrente também decresce. O inverso ocorre quando temos os pólos de um capacitor carregado ligados a uma resistência. O capacitor se descarregará no resistor e ddp decrescerá acarretando com isso o surgimento de uma corrente que, a partir de um valor máximo (dado por I=V/R), decairá juntamente com a ddp tendendo a zero para um tempo muito logo. Podemos ver isto com mais clareza analisando o circuito abaixo.
2 - INTRODUÇÃO
Em um sistema formado por duas placas paralelas (armaduras) de área A, de material condutor, separadas por uma distância d, ligamos suas armaduras a uma fonte de tensão, aparecendo em suas placas uma carga +Q e outra –Q.
Definimos a capacitância C de um capacitor como a relação entre a carga Q e a diferença de potencial V nos seus terminais.
 C = Q
 V
Sendo Q dado em Coulomb, V em volt e C expresso em Farad (F).
Para a estrutura acima, a capacitância foi calculada pela relação.
 C = ε0 . A 
 d 
Sendo ε0, uma característica do meio entre as armaduras, normalmente o vácuo.
 Quando ligamos um circuito com apenas uma resistência R, a tensão elevou-se instantaneamente ao seu valor máximo. Mas, quando inserimos um capacitor neste circuito, a tensão no capacitor demorou um certo tempo para assumir seu valor máximo Vo.
Montamos um circuito, o da figura abaixo, que continha uma fonte de tensão Vo, um resistor R, e um capacitor C, em série. 
Inicialmente, o capacitor encontrava-se descarregado; ligamos o circuito no instante t =0, a chave na posição 1. 
Observamos que a carga Q do capacitor não se estabeleceu de maneira instantânea. 
 I = dQ
		 dt
E pela lei de Ohm: VR = R.I
Para carregar o capacitor, aplicamos a lei das malhas de Kirchhoff ao circuito da figura acima (chave na posição 1): 
V0 = VR + VC
Das equações C = Q e VR = R.I , podemos escrever: V0 = R.I + Q 
		 V								 C
E, tomando I = dQ e substituímos nesta última: V0 = R. dQ + Q
		 dt					 	 dt C
Logo a solução para esta equação diferencial usamos: 
Q = C . V0(1 – e -t/RC) = C . V0(1 – e -1/t)
E, para quando t = RC:
Q = C . V0[1 – (1/e)] = 63 % C . V0 = 63 % Q0
onde Q0 é a carga máxima do capacitor.
A grandeza RC, que tem dimensão de tempo, a chamamos de constante de tempo capacitiva. Ela representou o tempo necessário para que a carga ou a tensão atingisse, no capacitor, um valor igual a 63% do seu valor máximo.
O comportamento da tensão V foi obtido a partir do comportamento de Q (C=Q/V), ficando: 
VC = Q = V0(1 – e -t/RC)
				 C
	 Para descarregar o capacitor mudamos a chave para a posição 1 por um longo período de tempo, de modo que o capacitor ficasse completamente carregado. Levando a chave para a posição 3, ele começou a ser descarregado através do resistor R.
	Aplicamos, novamente, a equação das malhas de Kirchhoff para esse circuito, com a chave em 3, temos:
VR + VC = 0
R.I + 1 . Q = 0
 C
Ou, ainda I = dQ
 dt								 
					
 R. dQ + 1 . Q = 0
 dt C
Obtemos:
					dQ = - 1 . dt 
 					 Q 	R . C
Logo, a solução para esta equação diferencial
Q = Q0 . e -t/RC
Onde, Q0 é a carga inicial ou carga máxima do capacitor.
3 - MEDIDAS DA CONSTANTE DE TEMPO
Com a chave em 1 e o voltímetro ligado entre os pontos E e D, mediu-se o valor máximo da tensão nesses pontos (após esperar um tempo suficiente para a tensão se estabilizar). O valor encontrado foi Vmáx=8,0V.
No momento em que se coloca a chave em 3, o capacitor começa a ser descarregado e o cronômetro iniciado. Foi medido o tempo (t3) necessário para a tensão cair para 37% do seu valor máximo ( 2,6V), no caso, volts. Ao término da medida, esperamos o capacitor descarregar completamente.
Selecionando a chave novamente no ponto 1, medimos o tempo (t1) necessário para a tensão se elevar até 63% do seu valor máximo (4,2V). Esperamos então o capacitor se carregar (ou a tensão se estabilizar).
Com a chave em 2, medimos o tempo (t2) necessário para a tensão cair até 37% do seu valor máximo (4,2V) que é diferente de t3, pois a descarga do capacitor ocorre somente sobre o a resistência interna do voltímetro.
O 1º e o 3º procedimento foram repetidos mais duas vezes e com estes dados construímos a tabela abaixo:
	
	1ª medida 
	2ª medida
	3ª medida
	t1 (tempo p/ tensão se elevar até 63% de Vo)
	22s
	24s
	24s
	t2 (tempo p/ tensão cair até 37% de Vo, sobre Rv)
	294s
	-
	-
	t3 (tempo p/ tensão cair até 37% de Vo)
	25s
	24s
	24s
Após isso, com a chave em 1, esperou-se um tempo suficiente para o capacitor se carregar completamente (ou a tensão se estabilizar). A chave então foi colocada em 2 para que o capacitor se descarregasse apenas sobre Rv e, em intervalos de 30 segundos, foram feitas medidas da tensão até que o tempo total fosse, no mínimo, 3 vezes RC o que corresponde a aproximadamente 30 minutos,. Este intervalo de tempo foi escolhido, pois em 600s poderíamos obter 25 medidas que é um número acima do número de medidas recomendado ( 20 ) para que o gráfico seja mais representativo. Com estes dados construímos a tabela abaixo e o gráfico.
4 -TEORIA DA MEDIDA
	Nesta parte as medidas foram referentes à constante de tempo capacitiva, com um multímetro, usado como voltímetro, em tensão contínua. O voltímetro não era ideal, ou seja, a sua resistência interna RV não era infinita, apesar de grande, assim, podemos observar o quanto ela pôde interferir nas medidas.
	Abaixo, o circuito com um voltímetro ideal e uma resistência Rv em paralelo, no qual fizemos o estudo.
		 
	Para a constante de tempo:
					t3 = R . RV . C = RTh . C
					 R + RV
Com a chave na posição 1, carga do capacitor, o circuito abaixo à esquerda era equivalente ao da direita.
Para este circuito, tivemos a constante de tempo t1 dada por:
t1 = R . RV . C = RTh . C
					 R + RV
Observamos que a constante de tempo t1 = t3.
	 
	1
	2
	3
	4
	5
	6
	7
	8
	9
	10
	11
	12
	13
	14
	15
	16
	17
	18
	19
	20
	21
	t(s)
	0
	30
	60
	90
	120
	150
	180
	210
	240
	270
	300
	330
	360
	390
	420
	450
	480
	510
	540
	570
	600
	VRv
	4,2
	3,1
	2,7
	2,4
	2,1
	1,9
	1,8
	1,6
	1,4
	1,3
	1,2
	1,1
	1
	0,9
	0,8
	0,7
	0,6
	0,6
	0,6
	0,5
	0,5
Descarga do Capacitor Sobre a Resistência Interna do Voltímetro
Com a chave na posição 2 (chave aberta), o capacitor descarregou-se somente sobre RV, resistência interna do voltímetro, e a constante de tempo foi dada por: 
 
t2 = RV . C
5 - PARTE EXPERIMENTAL
5.1 – LISTA DE MATERIALFonte de Tensão (V0 = 8V)
Voltímetro (Fundo de Escala de 50 V ; ΔV = 0,5 V)
Capacitor de valor desconhecido
Resistor (R = 15 kΩ) desvio de R = 5%
Placa de Ligação
Cronômetro Digital
Chave liga-desliga de 2 posições
Fios
RV = 200 kΩ desvio avaliado do voltímetro ΔV = 0,1
Com 
Tensão Máxima (entre E e D – no capacitor): 11 V
Chave – posição 3 - t3 = 18,44s
Chave – posição 1 - t1 = 9,65s
Chave – posição 2 - t2 = 225s (tempo de descarga t2) 
 
 t1​ = 9,65 s 
 t3 18,44s 
 t2​ = 225 s 
 t3 18,44 s 
Descarga do Capacitor sobre a Resistência Interna do Voltimetro
	
	T
	T’
	T”
	 (t2)
	227
	223
	225
 
6 - DISCUSSÃO DAS QUESTÕES DO ROTEIRO
6.1 - Cálculo do valor de RV, a partir das medidas das constantes de tempo t2 e t3
Montamos o circuito de acordo com o esquema do roteiro. Para R = 15.000 Ώ e Rv = 200 Ώ, e com a chave em 3, medimos a tensão entre os pontos 1 e D, que é a tensão na saída da fonte, nesse caso temos:
Vo = 8,0 V
Com a chave em 1, e o Voltímetro ligado entre os pontos E e D, medimos o valor máximo da tensão nesses pontos, esperando o tempo suficiente para a tensão estabilizar, neste caso, temos:
V = 7,9V
 podemos calcular o valor da resistência interna do voltímetro (RV).
	VC = Rv/(R + Rv) x Vo		 	
	7,9 = 8,0xRv/15000+Rv 
	Rv = 118,5 K Ώ	
						
Uma vez conhecido os valores médios de T2 e T3 , também podemos determinar RV.
		T2m = 225s		 T3m = 17,93s
		T2m = RV. C		 T3m = R.RV.C
					 	 (R+RV)
			 RV = R(T2m - T3m)
			 T3m
			 RV = 168x 103 (
 (Tempo de Descarga sobre RV)
 [Tempo de Descarga sobre (R. RV)/ (R+RV)]
como R >>> RV, podemos considerar R.RV ≈ R e t3 o tempo de descarga sobre R). R+ RV
RV = 168,0 k( para 200 k(, desvio relativo: 16 %.
Os valores encontrados para Rv estão bem distantes, porem, Rv encontrado através do tempo se aproxima do valor verdadeiro
Para um circuito com as mesmas condições, conclui-se que t1 = t3, pois:
t1= R x Rv / R + Rv x C e t2= RxRv / R + Rv x C
temos que t1 = 9,65 e t2 = 18,44, então,
D = discrepância 
D=(18,44 - 6,54) / 10,44 = 0,91 (Valor não aceito)
Os erros sobre as medidas efetuadas foram basicamente:
Erro na marcação do tempo no cronômetro;
Erro na leitura das tensões no voltímetro.
Suspeitamos de problemas com o nosso Capacitor
Analisando o gráfico de V x t, verificamos que quando t →∞ , V → 0. A teoria nos diz que na descarga do Capacitor, a tensão gradativamente num intervalo de tempo infinitesimal até chegar a zero. 
Podemos mostrar que RC tem dimensão de tempo da seguinte forma: C = Q / V
Como Q = I. dt e V = I. R temos: C = dt / R. Logo, RC = dt ou [RC] = [ t ].
Cálculo do erro na determinação de Rv:
Rv = R (t2- t3) / t3
∆Rv = ∂Rv / ∂t2 . ∆t2 + ∂Rv / ∂t3 .∆t3
∆Rv =( Rv / t3) . ∆t2 + (Rv . (t2 / .t3) .∆t3 Como ∆t2 = ∆t3 =0,005s, R = 15.000Ω, t2 = 225s 
T3 = 18,44, temos:
∆Rv = 53,6 Ω
A equação 14 é uma equação diferencial: dQ / Q = -(1 / R . C) dt. Podemos obter sua solução por integração:
⌡fdQ / Q = ⌡- (t / R .C) dt.
ln Q - ln Qo = - t / R . C
ln (Q / Qo) = -t / R. C
Q / Qo = e-t/ R c 
Q=Qo.e-t / RC
logo, a solução da equação 14 é igual a equação 15.
Cálculo de C
A função relacionando V e t é uma função exponencial dada pela expressão
 V = K .ebt, (b < 0). Logo, no papel nono log, o gráfico dessa função resulta numa reta e o valor de b pode ser calculado pela expressão:
b = c. (log V2- logV1) /(t2- t1) =e . (log 1,2- log 2,1) /(300-120) = - 0,00135
b=1/ R . C → C = 1/ R .b
C = 1/ (15.000.(-0,00135))
C = 0,05 F
Para achar o valor de K, temos que: V = K .ebt → K = V / ebt → k = 1,2 / e(-0,00135. 300) 
K = 1,799. Logo , a equação de V em função de t é : V = 1,799. e- 0,00135.
Cálculo do erro na determinação de C
∆C = ∂C / ∂b ∆b. Sendo. ∆b = ∆V + ∆t, temos: ∆C =( 1/R . b. 2). (∆V + ∆t)
∆C = [ 1/15.000x (-0,00135x 2)] x ( 0,005 x 0,1)
∆C = 1,1 F
6.2 - Relação Entre o Tempo de Carga e o Tempo de Descarga de um Capacitor
t1 = tempo de carga ; t3 = tempo de descarga
 ; 
 ( t1 = t3
 
Tabela de V versus tempo t2 (Tempo de Descarga sobre RV) versus V
	Tempo (s)
	0
	30
	60
	90
	120
	150
	180
	210
	240
	270
	300
	Tensão (V)
	4,2
	3,1
	2,7
	2,4
	2,1
	1,9
	1,8
	1,6
	1,4
	1,3
	1,2
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	Tempo (s)
	330
	360
	390
	420
	450
	480
	510
	540
	570
	600
	
	Tensão (V)
	1,1
	1,0
	0,9
	0,8
	0,7
	0,6
	0,6
	0,6
	0,5
	0,5
	
Para V = 37 % V0
t = 600 s
Do gráfico V x T, C = ΔV = log 1,2 – log 2,1 →C = 13,50 x 10-4 
			 ΔT 300 – 120
Gráfico 1 - Tensão no Capacitor x Tempo 
7 - DISCUSSÃO E AVALIAÇÃO ACERCA DOS ERROS DAS MEDIDAS EFETUADAS
Dentre os vários erros possíveis que pudemos identificar, o principal foi o mau contato entre os fios, borne de ligações e na chave liga-desliga.
Outro erro que também podemos ressaltar foi a leitura errada feita no voltímetro ou quando a leitura foi feita sem o capacitor totalmente carregado; ou totalmente descarregado na outra parte do experimento, porém o mais evidente foi a medição do tempo, no momento em que liga e desliga o cronômetro.
7.1 - ANÁLISE ACERCA DE t → ∞
Da análise do gráfico T (de descarga sobre RV) versus V, chegamos à conclusão de que quando t → ∞, V → 0, o que condiz com a teoria, pois
lim V = lim V0 .e-t/RC = lim V0 = 0
t→∞ t→∞		 t→∞ .e-t/RC
 
7.2 - AVALIAÇÃO DA DIMENSÃO DE RC
[R].[C] = [V] . [Q] = [Q] = [T]
 [I] [V]	[Q]/[T]
Com isso, afirmamos que RC tem dimensão de tempo.
7.3 - DEMONSTRAÇÃO DA RELAÇÃO ENTRE
 V0 = R. dQ + Q e Q = C . V0(1 – e -t/RC) = C . V0(1 – e -1/t)
 dt C
dQ = - 1 . dt 	e Q = Q0 . e -t/RC
 Q R . C
Q = C . V0(1 – e -t/RC) = C . V0(1 – e -1/t)
Q = C . V0 – C . V0 e -t/RC
dQ = - C . V0 e -t/RC . - 1 . 
 dt			 R . C
dQ = V0 e -t/RC substituindo em V0, temos:
 dt	 R 
V0 = R. dQ + Q 
 dt C
V0 = R. V0.e -t/RC + C. V0 . (1 – e -t/RC) 
 R		 C
V0 = V0.e -t/RC + V0(1 – e -t/RC) 
 		
V0 = V0.e -t/RC + V0 – V0 .e -t/RC
V0 = V0
				 Q		 t
dQ = - 1 . dt 	 ↔ ∫ dQ = - ∫ 1 dt 
 Q 	R . C			 Q0 Q	 0 RC
ln (Q/Q0) = - t . ( 
		 RC
8 - CONCLUSÕES
Para a resistência Rv do voltímetro encontrou-se um valor experimental diferente do valor fornecido pelo fabricante, acreditamos que houve erro experimental de algum componente ou do operador. Já que a discrepância dos valores deveriam estar dentro da margem de erro recomendada de 5%.
Nas medidas feitas encontra-se alguns erros provenientes da leitura do voltímetro, erro na década de resistores (5%), além da medida dos tempos nos cronômetros.
Todavia pode-se concluir que o experimento de uma forma geral foi satisfatório.
Podemos concluir também com o experimento, que o valor de V pode ser encontrado através do valor de Q, e que a grandeza RC, chamada de constante de tempo capacitiva, representa o tempo necessário para a carga ou a tensão atingir, no capacitor, um valor igual a 63 % do seu valor total, pois a tensão demora um tempo infinito para chegar ao seuvalor Maximo.
OBS: Estes erros foram comunicados ao professor no momento do experimento e foi recomendado prosseguir o experimento.
Q = Q0 . e -t/RC
t3 = 0,52 t1
t3 = 12,2 t2
_1082410816/ole-[42, 4D, 56, 1E, 05, 00, 00, 00]
_1082434807.unknown
_1082436130.unknown
_1131222081.unknown
_1082436014.unknown
_1082413407/ole-[42, 4D, 16, 92, 06, 00, 00, 00]
_1082404495/ole-[42, 4D, 36, 9C, 03, 00, 00, 00]