Cap_3_Cinematica_dos__fluidos_e_4_Equacoes_fundamentais

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3
Capítulo 3
Introdução ao Movimento 
dos Fluidos
3-2
3.1 – Descrição do Movimento dos Fluidos
• O método de Lagrange descreve o movimento de cada partícula, 
acompanhando-a em sua trajetória total.
• O observador desloca-se simultaneamente como a partícula.
• As partículas individuais são observadas como uma função do tempo.
• A posição, a velocidade e a aceleração de cada partícula são 
apresentadas como:
),,,(
),,,(
),,,(
tzyxa
tzyxV
tzyxr
ooo
ooo
ooo
3.1.1 – Descrição Lagrangeana e Euleriana do Movimento dos 
Fluidos
3-3
3.1 – Descrição do Movimento dos Fluidos
• O método de Euler consiste em adotar um intervalo de tempo, 
escolher uma seção ou um volume de controle no espaço e considerar 
todas as partículas que passem por esse local.
• Na descrição Euleriana do movimento, as propriedades do 
escoamento são função do espaço (pontos de observação) e do 
tempo:
),,,(
),,,(
),,,(
tzyxa
tzyxV
tzyxr
3.1.1 – Descrição Lagrangeana e Euleriana do Movimento dos 
Fluidos
3-4
3.1 – Descrição do Movimento dos Fluidos
• A aceleração na descrição Euleriana é dada por:
3.1.2 – A aceleração na descrição Euleriana do movimento dos 
fluidos
dt
Vda =
• O vetor velocidade é dado por: kwjviuV

⋅+⋅+⋅=
dt
t
Vdz
z
Vdy
y
Vdx
x
VVd
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
=


• A derivada de V é dada 
por:
• A aceleração será, 
portanto:
t
V
z
Vw
y
Vv
x
Vua
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
=


3-5
3.1 – Descrição do Movimento dos Fluidos
• As equações escalares dos componentes da equação vetorial da 
aceleração na descrição Euleriana é dada por:
z
ww
y
wv
x
wu
t
wa
z
vw
y
vv
x
vu
t
va
z
uw
y
uv
x
uu
t
ua
z
y
x
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
=
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
=
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
=
3.1.2 – A aceleração na descrição Euleriana do movimento dos 
fluidos
3-6
3.1 – Descrição do Movimento dos Fluidos
3.1.2 – A aceleração na descrição Euleriana do movimento dos 
fluidos
• O termo da derivada parcial no tempo é chamado de aceleração local:
t
V
z
Vw
y
Vv
x
Vua
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
=


t
VaL ∂
∂
=


 • A soma dos termos da derivada parcial no espaço é chamada de 
aceleração convectiva:
z
Vw
y
Vv
x
VuaC ∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
=


3-7
3.1 – Descrição do Movimento dos Fluidos
• Linha de Trajetória é o lugar geométrico dos pontos ocupados 
por uma partícula em instantes sucessivos. É a linha traçada 
por dada partícula ao longo de seu deslocamento.
3.1.3 – Linhas de Trajetória e Linhas de Corrente 
3-8
3.1 – Descrição do Movimento dos Fluidos
• Linha de Corrente é a linha tangente aos vetores velocidades 
de diferentes partículas no mesmo instante. Note-se que, na 
equação de uma linha de corrente, o tempo não é uma 
variável, já que a noção se refere a um certo instante.
3.1.3 – Linhas de Trajetória e Linhas de Corrente
• Desse conceito decorre que duas linhas de corrente não 
podem interceptar-se.
3-9
3.1 – Descrição do Movimento dos Fluidos
• No interior de um fluido em escoamento existem infinitas linhas 
de corrente, definidas por suas partículas fluidas.
• Se considerarmos uma curva fechada, que não seja linha de 
corrente, no interior desse fluido, a superfície constituídas 
pelas linhas de corrente por ela interceptadas definirá o 
denominado tubo de corrente, ou veia líquida.
3.1.3 – Linhas de Trajetória e Linhas de Corrente
3-10
3.2 – Classif icação de Escoamentos
• Um escoamento se processa em regime permanente (ou estacionário) 
quando, ao observarmos, ao longo do tempo, um volume de controle 
previamente escolhido, as propriedades médias das partículas fluidas 
contidas nesse volume permanecerem constantes.
• No regime permanente a aceleração local é nula.
• Nesse caso, as linhas de corrente e as trajetórias coincidem.
3.2.1 – E scoamentos em R egime Permanente e Não-Permanente
0=
∂
∂
=
t
VaL


3-11
3.2 – Classif icação de Escoamentos
• Exemplo prático de escoamento em regime permanente:
3.2.1 – E scoamentos em R egime Permanente e Não-Permanente 
3-12
3.2 – Classif icação de Escoamentos
• Exemplo prático de escoamento em regime não-permanente:
3.2.1 – E scoamentos em R egime Permanente e Não-Permanente
3-13
3.2 – Classif icação de Escoamentos
Escoamentos Tridimensionais:
• Todos os escoamentos que ocorrem na natureza são tridimensionais. 
As grandezas que nele interferem, em cada seção transversal de um 
filamento ou tubo de corrente, variam em três dimensões.
3.2.2 – E scoamentos Uni, Bi e Tridimensionais
3-14
3.2 – Classif icação de Escoamentos
3.2.2 – E scoamentos Uni, Bi e Tridimensionais
Escoamentos Bidimensionais:
• Se as grandezas do escoamento variarem em 2 dimensões, isto é, se 
o escoamento puder definir-se, completamente, por linhas de corrente 
contidas em um plano, o escoamento será bidimensional.
• É o caso de um vertedor de uma barragem.
3-15
3.2 – Classif icação de Escoamentos
Escoamentos Unidimensionais:
• O escoamento é dito unidimensional quando uma única coordenada é 
suficiente para descrever as propriedades do fluido.
• Para que isso aconteça é necessário que as propriedades sejam 
constantes em cada seção. 
3.2.2 – E scoamentos Uni, Bi e Tridimensionais
3-16
3.2 – Classif icação de Escoamentos
• Um escoamento não-viscoso é aquele no qual os efeitos da 
viscosidade não influenciam significativamente o escoamento e são, 
portanto, desprezados.
• Pode ser também chamado de escoamento de fluido ideal ou perfeito.
3.2.3 – E scoamentos Viscosos e Não-viscosos
• Um escoamento viscoso é aquele no qual os efeitos da viscosidade 
são importantes e não podem ser desprezados.
• Pode ser chamado também de escoamento de fluido real.
3-17
3.2 – Classif icação de Escoamentos
EXPERIÊNCIAS DE REYNOLDS
3.2.4 – E scoamentos Laminares e Turbulentos
3-18
3.2 – Classif icação de Escoamentos
EXPERIÊNCIAS DE REYNOLDS
3.2.4 – E scoamentos Laminares e Turbulentos
νµ
ρ DVDV ⋅
=
⋅⋅
=Re
Re < 2000 : ESCOAMENTO LAMINAR
2000 < Re < 2400(*) : Escoamento de Transição
Re > 2400 : ESCOAMENTO TURBULENTO
3-19
3.2 – Classif icação de Escoamentos
• Um escoamento incompressível existe se a massa específica 
de cada partícula de fluido permanece relativamente constante 
enquanto a partícula se move através do campo de 
escoamento:
0=
Dt
Dρ
• Isso não exige que a massa específica seja constante em todo lugar. 
Se a massa específica é constante em todo lugar, então, obviamente, 
o escoamento é incompressível, mas isso seria uma condição mais 
restrita.
• O escoamento atmosférico, no qual ρ = ρ(z), em que z é vertical, 
assim como os escoamentos que envolvem camadas adjacentes de 
água doce e salgada, são exemplos de escoamentos incompressíveis 
nos quais a massa específica varia.
3.2.5 – E scoamentos de Fluidos Compress íveis e 
Incompress íveis
3-20
3.2 – Classif icação de Escoamentos
• Além de escoamentos de líquidos, escoamentos de gás com baixa 
velocidade, tais como o escoamento atmosférico mencionado 
anteriormente, são também considerados como escoamentos 
incompressíveis.
• O Número de Mach é definido como:
c
VM =
• Onde: V é a velocidade do gás e c = (k.R.T)1/2 é a velocidade do 
som.
3.2.5 – E scoamentos de Fluidos Compress íveis e 
Incompress íveis
3-21
3.2 – Classif icação de Escoamentos
• O número de Mach é útil para decidir se determinado escoamento de 
gáspode ou não ser estudado como um escoamento incompressível. 
Se M < 0,3, as variações de massa específica são no máximo de 3% e 
o escoamento é assumido como incompressível. Para o ar padrão, isso 
corresponde a uma velocidade abaixo de 100 m/s.
• Escoamentos incompressíveis de gases incluem: escoamentos 
atmosféricos, a aerodinâmica de aterrissagem e decolagem de aviões 
comerciais, os escoamentos de ar em sistemas de ar condicionado e 
de aquecimento, os escoamentos em torno de automóveis e através 
de radiadores e ventiladores, e o escoamento de ar em volta de 
edifícios, por exemplo.
• Escoamentos compressíveis incluem: a aerodinâmica de aeronaves de 
alta velocidade, o escoamento de ar através de turbinas de jatos, o 
escoamento de vapor através de turbina em usinas termoelétricas, o 
escoamento de ar em um compressor, e o escoamento de mistura de 
ar-gasolina no motor de combustão interna.
3.2.5 – E scoamentos de Fluidos Compress íveis e 
Incompress íveis
3-22
3.2 – Classif icação de Escoamentos
• Um escoamento de um fluido é UNIFORME, do ponto de vista cinemático, quando 
o campo de vetores velocidade, no instante considerado, é constante ao longo 
do escoamento.
• No escoamento uniforme as trajetórias são retas paralelas e, ao longo de cada 
trajetória, no mesmo instante, todas as partículas têm igual velocidade.
• A definição de escoamento uniforme obriga a constância da velocidade ao longo 
do escoamento, e não transversalmente, isto é, as velocidades em trajetórias 
distintas, no mesmo instante, podem diferir.
• Nos escoamentos uniformes, em virtudes das trajetórias serem retilíneas, 
coincidem as trajetórias e as linhas de corrente.
• A velocidade média torna o escoamento uniforme na seção:
3.2.6 – E scoamentos em R egime Uniforme e Variado
3-23
3.2 – Classif icação de Escoamentos
• Escoamentos variados:
3.2.6 – E scoamentos em R egime Uniforme e Variado
3-24
3.2 – Classif icação de Escoamentos
• Um escoamento de um fluido é CONSERVATIVO, quando a massa 
permanece constante ao longo do escoamento do fluido.
• Este caso, de ocorrência freqüente, verifica-se nos encanamentos 
onde não há adição nem subtração de matéria ao longo da parede 
sólida que contorna o fluido em movimento.
• Quando houver acréscimo (fontes) ou subtração de massa (poços) à 
corrente de matéria, o escoamento é dito NÃO-CONSERVATIVO.
3.2.7 – E scoamentos Conservativos e Não-Conservativos
3
Capítulo 4
EQUAÇÕES 
FUNDAMENTAIS
3-26
4.1 – As Leis Básicas
• EQUAÇÃO DA CONSERVAÇÃO DA MASSA: a massa de um sistema 
deve ser conservada, isto é, permanecer constante.
• EQUAÇÃO DA QUANTIDADE DE MOVIMENTO: a força resultante 
agindo sobre um sistema é igual à taxa com a qual a quantidade de 
movimento do sistema está mudando. É a segunda lei de Newton.
• PRIMEIRA LEI DA TERMODINÂMICA: A taxa de transmissão de calor 
para um sistema menos a taxa com a qual o sistema realiza trabalho é 
igual à taxa pela qual a energia do sistema está variando. É a lei que 
relaciona taxa de transmissão de calor, a taxa de realização de 
trabalho e a taxa de variação da energia de um sistema.
3-27
4.2 – Equação da Conservação de Massa 
(ou Equação da Continuidade) para Regime 
Permanente
• Seja o escoamento de um fluido por um tubo de corrente:
• Seja a vazão em massa na seção de entrada do sistema Qm1 e na 
saída Qm2.
3-28
4.2 – Equação da Conservação de Massa 
(ou Equação da Continuidade) para Regime 
Permanente
• Para que o regime seja permanente é necessário que não haja variação 
de propriedades, em nenhum ponto do fluido, com o tempo.
• Se, por absurdo, Qm1 ≠ Qm2 , então em algum ponto interno ao tubo de 
corrente haveria ou acúmulo ou redução de massa. Dessa forma, a 
massa específica nesse ponto variaria com o tempo, o que iria contrariar 
a hipótese de regime permanente.
3-29
4.2 – Equação da Conservação de Massa 
(ou Equação da Continuidade) para Regime 
Permanente
Assim:
Qm1 = Qm2 ou ρ1Q1 = ρ2Q2 ou ρ1A1V1 = ρ2A2V2
• Então a EQUAÇÃO DA CONTINUIDADE PARA UM FLUIDO QUALQUER 
EM REGIME PERMANENTE pode ser resumida como:
Qm = ρQ = ρ . A . V = constante 
3-30
4.2 – Equação da Conservação de Massa 
(ou Equação da Continuidade) para Regime 
Permanente
• Se o fluido for incompressível, então a massa específica na entrada e na 
saída do volume de controle deverá ser a mesma. Então:
 ρQ1 = ρQ2 ou Q1 = Q2 ou A1V1 = A2V2
• Logo, a vazão de fluido incompressível é a mesma em qualquer seção 
do escoamento. 
• A EQUAÇÃO DA CONTINUIDADE PARA UM FLUIDO 
INCOMPRESSÍVEL EM REGIME PERMANENTE é:
Q = A . V = constante
3-31
4.2 – Equação da Conservação de Massa 
(ou Equação da Continuidade) para Regime 
Permanente
• Para o caso de diversas entradas (e) e saídas (s) de fluido do 
sistema, a equação da continuidade pode ser generalizada por 
uma somatória de vazões na entrada e outra na saída, isto é:
para fluidos quaisquer.∑∑ =
s
m
e
m QQ
∑∑ =
se
QQ para fluidos incompressíveis.