12 Dias de Física B

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12 DIAS DE FÍSICA B
APRESENTAÇÃO
Olá, meu nome é Helder Guerreiro aluno do curso de Engenharia Química na Universidade Federal do Amazonas
(UFAM). Esta apostila é a junção de todas as aulas que foram ministradas na disciplina de Física B no 3° período do
meu curso, o livro base usado foi o Halliday 5° Edição. Não espere encontrar tudo aqui, temos somente alguns
tópicos selecionados que foram ministrados em aula. A novidade em usar esta apostila é que aqui são apresentadas
formas de resolução de exercícios de uma forma leiga, clara e concisa, então se você tem dificuldades em aprender
Física B não temas, procure o seu assunto aqui e repare como os exercícios são respondidos. Se você é um super-
nerd que veio de uma escola boa e está vendo esses assuntos pela 20° vez na sua vida, vá embora daqui e leia pegue
o Halliday para estudar.
Bons estudos, não garanto que você vai passar nem tirar notas boas. Faculdade se resume numa palavra: se vira.
2
SUMÁRIO
DIA 1: ELETROESTÁTICA DIA 7: ASSOCIAÇÃO DE CAPACITORES
DIA 2: CAMPO ELÉTRICO DIA 8: ELETROMAGNETISMO
DIA 3: CORRENTE ELÉTRICA DIA 9: EXEMPLO DE ELETROMAGNETISMO
DIA 4: EXEMPLO DE LEI DE KIRCHHOFF DIA 10: EXEMPLO DE ELETROMAGNETISMO
DIA 5: EXEMPLO DE LEI DE KIRCHHOFF DIA 11: ÚLTIMO EXEMPLO DE ELETROMAGNETISMO
DIA 6: ASSOCIAÇÃO DE RESISTORES DIA 12: EQUAÇÕES DE MAXWELL
LISTAS DE RESOLUÇÃO
3
DIA 1
ELETROSTÁTICA
Sumário
CARGA ELÉTRICA
É uma propriedade física fundamental que é responsável pelos fenômenos eletromagnéticos, as partículas elétrons e
prótons são dotadas de carga elétrica negativa e positiva respectivamente.
Duas cargas positivas se repelem e duas cargas negativas também se repelem. Existe uma atração mútua entre uma
carga positiva e uma carga negativa.
ELA É CONSERVADA
A soma algébrica de todas as cargas elétricas existentes em um sistema isolado permanece sempre constante.
5
LEI DE COULOMB
O módulo da força elétrica entre duas cargas puntiformes é diretamente proporcional ao produto das cargas e
inversamente proporcional ao quadrado da distância entre elas.
𝐹 = 𝑘
𝑞1𝑞2
𝑟2
𝑘 = 8,988 × 109
𝑁𝑚2
𝑐2
=
1
4𝜋𝜖0
𝐹 =
1
4𝜋𝜖0
𝑞1𝑞2
𝑟2
6
CAMPO ELÉTRICO
O campo elétrico é o campo de força provocado pela ação de cargas elétricas, (elétrons, prótons ou íons) ou 
por um sistemas delas. Cargas elétricas num campo elétrico estão sujeitas e provocam forças elétricas.
𝐸 =
1
4𝜋𝜖0
𝑞
𝑟2
Ԧ𝑥 𝑜𝑢 𝑑𝐸 =
1
4𝜋𝜖0
𝑑𝑄
𝑟2
Ԧ𝑥
Temos a equação comum e a equação infinitesimal, usamos a equação comum quando estamos nos relacionando 
diretamente a uma carga puntiforme (como um dipolo), usamos a equação infinitesimal quando estamos nos 
relacionando a uma distribuição de carga por um certo material.
7
DENSIDADES DE CARGA
As densidades de carga podem ser de três tipos diferentes, elas são usadas quando estamos trabalhando com uma
distribuição de carga em algum objeto. Essas três diferentes densidades se dá justamente por que o objeto pode ser linear,
planar e volumétrica.
Logo temos as relações das densidades:
𝜆 =
𝑄
𝑙
, 𝜎 =
𝑄
𝐴
, 𝜌 =
𝑄
𝑉
Ora, a densidade linear nos fala que temos uma certa quantidade de carga espalhada sobre um comprimento linear, 
A densidade planar nos fala que temos uma certa quantidade de carga espalhada sobre uma quantidade de área;
A densidade volumétrica nos fala que temos uma certa quantidade de carga espalhada sobre uma quantidade de volume.
Para descobrirmos a densidade no caso de cargas infinitesimais, usamos as derivadas das funções:
𝜆 =
𝑑𝑄
𝑑𝑙
, 𝜎 =
𝑑𝑄
𝑑𝐴
𝜌 =
𝑑𝑄
𝑑𝑉
8
CARGA INFINITESIMAL
Muitas das vezes precisamos encontrar o 𝑑𝑄 para continuarmos os nossos cálculos, nós devemos encontra-lo
através da sua relação com a densidade de carga. Mas como encontraríamos os corpos infinitesimais? Os corpos
infinitesimais são esse: 𝑑𝑙, 𝑑𝐴, 𝑑𝑉.
1° Passo: Procure uma equação que represente o objeto estudado (por exemplo uma circunferência)
𝑙 = 2𝜋𝑟
2° Passo: Transforme ângulos de qualquer tipo em variável (caso ele varie)
𝑙 = 𝜃𝑟
3° Passo: Derive, as função que variam no objeto se tornarão infinitesimais (na circunferência o raio é constante e o ângulo varia)
𝑑𝑙 = 𝑑𝜃𝑟
Para saber quem irá variar imagine o objeto de estudo sendo criado. 
Para criar uma circunferência devemos fixar um raio e gira-lo formando um ângulo de 360°, se o raio variar não será mais circunferência.
9
COMPONENTES
Aqui vamos adotar o método de resolução usando a trigonometria ao nosso favor e nisso precisamos analisar as
componentes dos vetores ligados ao ponto.As componentes podem ser duas, seno ou cosseno.
Se o ponto estiver no eixo (tanto x, y ou z) usa-se a componente que está no eixo em que está o ponto. Se o ponto
estiver fora dos eixos então usa-se as duas componentes para o cálculo. Aonde irão ficar essas componente?
𝑑𝐸 =
1
4𝜋𝜖0
𝑑𝑄
𝑟2
Ԧ𝑥
Caso tivermos que trabalhar com duas componente temos que:𝐸 = 𝐸𝑥 + 𝐸𝑦
𝑐𝑜𝑠
O “x” é a componente que 
multiplica todo o resto
10
EXEMPLO I
Determinar o campo elétrico no ponto P no anel de raio R e densidade uniforme 𝜆.
Análise Trigonométrica
Usando o raio e o ponto como referência, temos o triângulo retângulo:
𝑃 𝑥, 𝑦, 𝑎
𝑄, 𝜆
𝑅
Passo 1
𝑑𝑄 𝑃 𝑥, 𝑦, 𝑎
𝑐
𝑏
𝑟
→ ൞
𝑐 = 𝑎𝑘
𝑏 = 𝑥Ԧ𝑖 + 𝑦Ԧ𝑗
𝑟2 = 𝑎2 + 𝑏2 Temos esses valores porque:
“c” está exatamente em cima
do eixo ‘a’;
“b” está entre x e y;
“r” é encontrado por Pitágoras.
11
EXEMPLO I
Carga infinitesimal
𝑑𝑄 = 𝜆𝑑𝑙
Temos a função que representa o comprimento do anel
𝑙 = 2𝜋𝑟 → 𝑎𝑛𝑔𝑢𝑙𝑜 𝑞𝑢𝑎𝑙𝑞𝑢𝑒𝑟 → 𝑙 = 𝜃𝑟 → 𝑑𝑒𝑟𝑖𝑣𝑎𝑛𝑑𝑜 → 𝑑𝑙 = 𝑑𝜃𝑟
Numa circunferência o ângulo varia e o raio é fixo.
Sempre imagine como seria o objeto em estudo se formando: Para uma circunferência se formar uma reta deve 
percorrer um ângulo de 360º ou menor, mas o raio não pode variar se não estaríamos criando uma área dentro do 
anel, deixando de ser circunferência para círculo. Com isso temos:
𝑑𝑄 = 𝜆𝑑𝜃𝑟
Passo 2
12
EXEMPLO I
Componentes
Analisando o triângulo retângulo no anel e traçando os vetores nele, desenhamos suas componentes.
Passo 3
𝑃 𝑥, 𝑦, 𝑎
𝑐
𝑏
𝑟
Como o ângulo se abre
em relação ao eixo x
temos a componente
em outra perspectiva. 𝑐𝑜𝑠
Como o ponto está
exatamente em cima do eixo
então não faz sentido a
componente seno, porque é
a componente cosseno que
segue em direção ao ponto e
é exatamente aí que estamos
procurando uma resultante.
A componente a
ser usada será
cosseno, ou seja,
hipotenusa sobre
cateto adjacente.
13
EXEMPLO I
Reunir informações
Com todo esses dados temos que reuni-los e isso deve acontecer na equação do campo elétrico
𝑑𝐸 =
1
4𝜋𝜖0
𝑑𝑄
𝑟2
Ԧ𝑥
Encontramos a carga infinitesimal, o raio e o componente
𝑑𝐸 =
1
4𝜋𝜖0
𝜆𝑑𝜃𝑟
a2 + b2
𝑐
𝑎2 + 𝑏2
Esse valor de “c” sobre a raiz do raio é o componente que achamos: o cateto adjacente é o “c” e o raio é a 
hipotenusa
Passo 4
14
EXEMPLO I
Desenvolvendo
Hora de organizar os cálculos e integrar
𝑑𝐸 =
1
4𝜋𝜖0
𝜆𝑑𝜃𝑟
a2 + b2
𝑐
𝑎2 + 𝑏2
→
1
4𝜋𝜖0
𝜆𝑑𝜃𝑟𝑐
a2 + b2
3
2
1
4𝜋𝜖0
𝜆𝑟𝑐
a2 + b2
3
2
න
0
2𝜋
𝑑𝜃
1
4𝜋𝜖0
𝜆𝑟𝑐2𝜋
a2 + b2
3
2
→
1
4𝜋𝜖0
𝜆𝑟𝑐2𝜋
a2 + b2
3
2
→
𝜆𝑟𝑐
2𝜖0 a2 + b2
3
2
Passo 5
Os limites de integração são estabelecidos de acordo 
com o objeto de estudo.
Estamos analisando um anel não é mesmo? 
Quais os limites dele?
Como é uma volta completa então temos de 0 a 2π
15EXEMPLO II
Temos uma barra de comprimento 𝑙 e a densidade de carga uniforme 𝜆. Determine o campo no ponto P.
Análise Trigonométrica
Usando o raio e o ponto como referência, temos o triângulo 
retângulo:𝜆, 𝑄
𝑙
Passo 1
𝑃 𝑎, 𝑏
𝜆, 𝑄
𝑙
𝑃 𝑎, 𝑏𝑎
𝑐
𝑏
→ ቐ
𝑐 = 𝑎Ԧ𝑖 − 𝑏Ԧ𝑗
𝑏 = 𝑎Ԧ𝑖
𝑎2 = 𝑏2 + 𝑐2
16
EXEMPLO II
Carga infinitesimal
𝑑𝑄 = 𝜆𝑑𝑙
A única forma de representar um comprimento numa barra é simplesmente usando 𝑙
𝑙 → 𝑑𝑒𝑟𝑖𝑣𝑎𝑛𝑑𝑜 → 𝑑𝑙
Com isso temos:
𝑑𝑄 = 𝜆𝑑𝑙
Passo 2
17
EXEMPLO II
Componentes
Analisando o triângulo retângulo na barra e traçando os vetores nele, desenhamos suas componentes.
Passo 3
𝜆, 𝑄
𝑙
𝑃 𝑎, 𝑏𝑎
𝑐
𝑏
Como o ângulo se abre
em relação ao eixo x
temos a componente
em outra perspectiva.
𝑐𝑜𝑠
Como temos um ponto fora do eixo,
temos que calcular dois campo
elétricos: um em x (usando cosseno)
e outro em y (usando seno).
18
EXEMPLO II
Reunir informações
Com todo esses dados temos que reuni-los e isso deve acontecer na equação do campo elétrico
𝑑𝐸𝑥 =
1
4𝜋𝜖0
𝑑𝑄
𝑟2
Ԧ𝑥 , 𝑑𝐸𝑦 =
1
4𝜋𝜖0
𝑑𝑄
𝑟2
Ԧ𝑦
Encontramos a carga infinitesimal, o raio e o componente
𝑑𝐸𝑥 =
1
4𝜋𝜖0
𝜆𝑑𝑙
a2 + c2
𝑏
𝑎2 + 𝑐2
, 𝑑𝐸𝑦 =
1
4𝜋𝜖0
𝜆𝑑𝑙
a2 + c2
𝑐
𝑎2 + 𝑐2
Esse valor de “b” e “c” sobre a raiz do raio é o componente que achamos: o cateto adjacente é o “b”, cateto oposto 
é o “c” e o raio é a hipotenusa
Passo 4
19
EXEMPLO II
Desenvolvendo
Hora de organizar os cálculos e integrar
𝑑𝐸𝑥 =
1
4𝜋𝜖0
𝜆𝑑𝑙
a2 + c2
𝑏
𝑎2 + 𝑐2
→
1
4𝜋𝜖0
𝜆𝑑𝑙𝑏
a2 + c2
3
2
→
1
4𝜋𝜖0
𝜆𝑏
a2 + c2
3
2
න
0
𝑙
𝑑𝑙
𝑑𝐸𝑥 =
1
4𝜋𝜖0
𝜆𝑏𝑙
a2 + c2
3
2
𝐸𝑥 =
1
4𝜋𝜖0
𝜆𝑑𝑙
a2 + c2
𝑐
𝑎2 + 𝑐2
→
1
4𝜋𝜖0
𝜆𝑑𝑙𝑏
a2 + c2
3
2
→
1
4𝜋𝜖0
𝜆𝑐
a2 + c2
3
2
න
0
𝑙
𝑑𝑙
𝑑𝐸𝑥 =
1
4𝜋𝜖0
𝜆𝑐𝑙
a2 + c2
3
2
𝐸 = 𝐸𝑥 + 𝐸𝑦 →
1
4𝜋𝜖0
𝜆𝑏𝑙
a2 + c2
3
2
+
1
4𝜋𝜖0
𝜆𝑐𝑙
a2 + c2
3
2
→
1
4𝜋𝜖0
𝜆𝑙
a2 + c2
3
2
𝑏 + 𝑐
Passo 5
Uma barra qualquer só pode 
variar de zero até um valor 
qualquer que chamo de 𝑙.
20
DIA 2
CAMPO ELÉTRICO
Sumário
EXEMPLO I
Sendo a função densidade ρ 𝑟 = 𝑘
𝑒−𝑎𝑟
𝑟2
,
𝑘 = 𝑐𝑡𝑐
𝑎 = 𝑐𝑡𝑐
, para uma distribuição de carga esférica determine a carga total:
Relações
Nesta questão o objetivo não é encontrar o campo, somente a carga total,
que é a carga 𝑄, o enunciado nos deu a densidade e através dela podemos
encontrar o 𝑑𝑄.
𝜌 =
𝑑𝑄
𝑑𝑉
→ 𝑑𝑄 = 𝜌𝑑𝑉
Depois de encontrar o 𝑑𝑄 basta integrar:
𝑄 = න𝑑𝑄 → 𝑄 = න𝜌𝑑𝑉
(𝑑𝑄, 𝑑𝑣)
𝑃(𝑥, 𝑦𝑧)
𝑟
Passo 1
22
EXEMPLO I
Carga infinitesimal
𝑑𝑄 = 𝜌𝑑𝑉
Temos a função que representa o volume da esfera
𝑉 =
4
3
𝜋𝑟3
Cuidado com a pegadinha, em Cálculo II você aprendeu que a esfera não pode ser calculada por inteira, só podemos calcular a metade dela e aí sim 
multiplicamos por dois, então antes do procedimento dividimos tudo por dois
𝑉 =
2
3
𝜋𝑟3 → 𝑎𝑛𝑔𝑢𝑙𝑜 𝑞𝑢𝑎𝑙𝑞𝑢𝑒𝑟 → 𝑉 =
1
3
𝜃𝑟3 → 𝑑𝑒𝑟𝑖𝑣𝑎𝑛𝑑𝑜 → 𝑑𝑉 = 𝑟2𝑑𝜃𝑑𝑟
Tem algo errado não? Uma esfera deve variar o seu raio e dois ângulo de direções diferentes, mas cadê o segundo ângulo? Aqui teremos que usar uma 
visão de águia, por que esse ângulo ta escondido. Pesa comigo: se o ângulo não está em forma de 𝜋 então quer dizer que esse ângulo foi calculado, mas 
se ele foi calculado qual foi o resultado? Bom, seu eu não vejo nenhum outro número na equação do 𝑑𝑉 quer dizer que ele é igual a 1.
Passo 2
23
EXEMPLO I
Então já temos parte da charada, para uma função resultar em 1 seu ângulo está em uma das extremidades, ou seja, 
só pode ser: 
𝜋
2
,
3𝜋
2
, 𝜋, 2𝜋
MAS, lembre-se que não podemos passar de 𝜋 porque o cálculo da esfera é feito somente pela metade então nossas 
opções se reduzem: 
𝜋
2
, 𝜋
MAS, existe outra condição, o ângulo tem que percorrer toda a borda da esfera, não somente a metade dela, então o 
ângulo só pode ser 𝜋, pois o segundo ângulo deve percorrer de [0, 𝜋] e o primeiro 0,2𝜋
Qual é a função que quando calculado com 𝜋 resulta em 1? Pelo visto só existe uma:
−cos 𝜋 = 1 → â𝑛𝑔𝑢𝑙𝑜 𝑞𝑢𝑎𝑙𝑞𝑢𝑒𝑟 → − cos𝜙 → 𝑑𝑒𝑟𝑖𝑣𝑎𝑛𝑑𝑜 → 𝑠𝑒𝑛 𝜙 𝑑𝜙
No final de tudo temos:
𝑑𝑉 = 𝑟2𝑠𝑒𝑛 𝜙 𝑑𝜃𝑑𝑟𝑑𝜙
24
EXEMPLO I
Juntando toda a nossa inspeção temos
𝑑𝑄 = 𝜌𝑑𝑉 → 𝑑𝑄 = 𝑘
𝑒−𝑎𝑟
𝑟2
𝑟2𝑠𝑒𝑛 𝜙 𝑑𝜃𝑑𝑟𝑑𝜙
Mas ainda falta estabelecer o limites de integração para a nossa integral tripla que vem por aí, ela é tripla 
justamente por que temos três variantes aqui, podemos encontrar os limites com uma simples análise.
O raio não tem valor estabelecido, então só podemos fazer: 0, 𝑟
O ângulo 𝜃 se forma pela horizontal da esfera, na horizontal o ângulo deve fazer uma volta completa: 0,2𝜋
O ângulo 𝜙 está dentro do seno e está na vertical, na vertical ele só pode ir até a metade da esfera: 0, 𝜋
25
EXEMPLO I
Integrar
𝑄 = න
0
𝑟
න
0
2𝜋
න
0
𝜋
𝑘
𝑒−𝑎𝑟
𝑟2
𝑟2𝑠𝑒𝑛 𝜙 𝑑𝜃𝑑𝑟𝑑𝜙
Primeira integral
න
0
𝜋
𝑘
𝑒−𝑎𝑟
𝑟2
𝑟2𝑠𝑒𝑛 𝜙 𝑑𝜃𝑑𝑟𝑑𝜙 → 𝑘
𝑒−𝑎𝑟
𝑟2
𝑟2𝑑𝜃𝑑𝑟න
0
𝜋
𝑠𝑒𝑛 𝜙 𝑑𝜙 → 𝑘
𝑒−𝑎𝑟
𝑟2
𝑟2𝑑𝜃𝑑𝑟 − cos𝜋 → 𝑘𝑒−𝑎𝑟𝑑𝜃𝑑𝑟
Segunda integral
න
0
2𝜋
𝑘𝑒−𝑎𝑟𝑑𝜃𝑑𝑟 → 𝑘𝑒−𝑎𝑟𝑑𝑟න
0
2𝜋
𝑑𝜃 → 2𝜋𝑘𝑒−𝑎𝑟𝑑𝑟
Passo 3
26
EXEMPLO I
Terceira integral
න
0
𝑟
2𝜋𝑘𝑒−𝑎𝑟𝑑𝑟 → න
0
𝑟
𝑒−𝑎𝑟𝑑𝑟 → −
2𝜋𝑘𝑒−𝑎𝑟
𝑎
Temos a resposta final
𝑄 = −
2𝜋𝑘𝑒−𝑎𝑟
𝑎
27
EXEMPLO II
Seja o caso do cilindro carregado com carga total 𝑄, distribuído na superfície lateral. Determine o campo no ponto 
𝑃.
Análise Trigonométrica
Usando o raio e o ponto como referência, temos o triângulo retângulo:
𝑃 𝑥, 𝑦, 𝑧
𝑄, 𝜎
𝑎
𝑏
𝑟
𝑃 𝑥, 𝑦, 𝑧
→ ൞
𝑎 = 𝑧𝑘
𝑏 = 𝑥Ԧ𝑖 + 𝑦Ԧ𝑗
𝑟2 = 𝑎2 + 𝑏2
Passo 1
28
EXEMPLO II
Carga infinitesimal
𝑑𝑄 = 𝜎𝑑𝐴
Temos a função que representa a área lateral do cilindro
𝐴 = 2𝜋𝑟ℎ → 𝑎𝑛𝑔𝑢𝑙𝑜 𝑛ã𝑜 𝑣𝑎𝑟𝑖𝑎 → 𝐴 = 2𝜋𝑟ℎ → 𝑑𝑒𝑟𝑖𝑣𝑎𝑛𝑑𝑜 → 𝐴 = 2𝜋𝑟𝑑ℎ
Se estivéssemos tratando de um cilindro volumétrico aí sim o raio e o ângulo iriam variar, e aqui o ângulo não varia 
porque a área da base sempre será 2𝜋𝑟, se não seria um cilindro.
𝑑𝑄 = 𝜎2𝜋𝑟𝑑ℎ
Passo 2
29
EXEMPLO II
Componentes
Analisando o triângulo retângulo no anel e traçando os vetores nele, desenhamos suas componentes.
𝑎
𝑏
𝑟
𝑃 𝑥, 𝑦, 𝑧
Como o ângulo se abre
em relação ao eixo x
temos a componente
em outra perspectiva. 𝑐𝑜𝑠
Como o ponto está
exatamente em cima do eixo
então não faz sentido a
componente seno, porque é
a componente cosseno que
segue em direção ao ponto e
é exatamente aí que estamos
procurando uma resultante.
Passo 3
30
EXEMPLO II
Reunir informações
Com todo esses dados temos que reuni-los e isso deve acontecer na equação do campo elétrico
𝑑𝐸 =
1
4𝜋𝜖0
𝑑𝑄
𝑟2
Ԧ𝑥
Encontramos a carga infinitesimal, o raio e o componente
𝑑𝐸 =
1
4𝜋𝜖0
𝜎2𝜋𝑟𝑑ℎ
a2 + b2
𝑎
𝑎2 + 𝑏2
Esse valor de “a” sobre a raiz do raio é o componente que achamos: o cateto adjacente é o “a” e o raio é a 
hipotenusa
Passo 4
31
EXEMPLO II
Desenvolvendo
Hora de organizar os cálculos e integrar
𝑑𝐸 =
1
4𝜋𝜖0
𝜎2𝜋𝑟𝑑ℎ
a2 + b2
𝑎
𝑎2 + 𝑏2
→
1
4𝜋𝜖0
𝜎2𝜋𝑟𝑑ℎ𝑎
a2 + b2
3
2
1
4𝜋𝜖0
𝜎2𝜋𝑟𝑎
a2 + b2
3
2
න
0
ℎ𝑑ℎ
1
4𝜋𝜖0
𝜎2𝜋𝑟𝑎
a2 + b2
3
2
ℎ →
𝜎𝑟𝑎
2𝜖0 a2 + b2
3
2
ℎ
Passo 5
32
DIA 3
CORRENTE ELÉTRICA
Sumário
LEIS DE KIRCHHOFF 
Vamos a um passo a passo de um exemplo
𝜀1 ↑ 𝜀3 ↑
𝜀2 ↑
𝑅1 𝑅4
𝑅2
𝑅3
𝑅5
𝐴
𝐵
+
+
+
−
−
−
𝐷𝑎𝑑𝑜𝑠
ቐ
𝑅1 = 𝑅3 = 𝑅4 = 𝑅5 = 1,2 Ω
𝑅2 = 2,3 Ω
𝜀1 = 2,0 𝑉 ; 𝜀2 = 3,8 𝑉 ; 𝜀3 = 5,0 𝑉
34
LEIS DE KIRCHHOFF
Distinção de mallhas
Analise o sistema que foi mostrado no slide anterior, veja que temos três retângulos: um à direita e outro à esquerda
e o maior que engloba os outros dois. O primeiro passo é desmembrar todos esses blocos que se chamam malhas.
Passo 1
𝜀1 ↑
𝜀2 ↑
𝑅1
𝑅2
𝑅3
𝐴
𝐵
+
+
−
−
𝜀3 ↑
𝑅4
𝑅2
𝑅5
𝐴
𝐵
+
+
−
−
𝜀1 ↑ 𝜀3 ↑
𝑅1 𝑅4
𝑅3
𝑅5
+
+
−
−
MI MII
MIII
𝜀2 ↑
35
LEIS DE KIRCHHOFF
Lei das malhas
O segundo passo consisti em analisar o circuito por completo e definir quais as correntes que passam por cada etapa
de seu circuito. Mas antes dou algumas dicas para que se possa ter a análise crítica de correntes:
1. Fontes e resistores não mudam a corrente:
- A corrente que entra numa fonte ou resistor é a mesma que sai, não há distinções.
2. As correntes devem ter um sentido definido:
- As correntes são representadas como se fossem vetores, então precisamos de um sentido para elas, por 
exemplo, uma corrente pode subir o circuito ou desce-lo, para definir o sentido deve-se ter como referência uma 
fonte, a corrente terá o sentido de saída da fonte referência.
3. As fontes referências podem ser escolhidas de duas formas:
- Caso tenha somente duas fontes no circuito então escolhe-se a de maior tensão;
Caso tenha mais de uma então escolha qualquer uma e tome como referência.
Passo 2
36
LEIS DE KIRCHHOFF
4. Os nós mudam as correntes:
- Os nós são aqueles pontos representados por A e B no nosso circuito, ele tem por objetivo dividir as correntes, 
ou seja, quando uma corrente passa por um nó ela será mudada para uma outra corrente e se tiver um segundo 
caminho (como no caso do nosso circuito) a corrente será divida em duas.
𝜀1 ↑ 𝜀3 ↑
𝜀2 ↑
𝑅1 𝑅4
𝑅2
𝑅3
𝑅5
𝐴
𝐵
+
+
+
−
−
−
𝐼1
𝐼1 𝐼1
𝐼1 𝐼2
𝐼2
𝐼3
𝐼3
𝐼3
Temos mais de uma fonte, então
aconselho que: se na questão as
fontes estiverem enumeradas
então escolha a fonte número um.
Perceba, a corrente 𝐼1 só
muda após passar pelo nó A.
Veja que A está entre dois
caminhos e dividiu a 𝐼1 em 𝐼2 e 𝐼3.
Veja que B já tem função de unir as
correntes, mas se você analisar com
cuidado, no sentido reverso A também
uni as correntes, ou seja, nó separa e
também uni.
Não é difícil! Depois que você marca
a corrente saindo da fonte siga as
linhas e aonde tiver nó divida, e se as
correntes dividas se encontrarem, elas
se unirão e voltarão ao que eram
antes.
37
LEIS DE KIRCHHOFF
Análise de malhas
Você se lembra de álgebra? Eu não sou muito bom nisso não... Mas sem delongas, não vamos usar álgebra
necessariamente falando, mas... É parecido.
As malhas que você separou, agora você irá pegá-las de novo, só que dessa vez com as correntes já definidas. Bom
depois disso vamos dar uma volta (literalmente), como? Bom... A teoria diz que a soma das cargas elétricas deve ser
sempre nula, claro para provar o que Lavoisier disse: “na natureza nada se cria nem se destrói, tudo se transforma.”,
ou seja, não pode haver correntes aparecendo do nada dentro do circuito, ela veio de algum lugar.
Então para somar as cargas que são tensões nos resistores e fontes devemos escolher para qual lado somar, ou seja,
daremos uma voltinha.Você pode escolher o lado que você quiser sem problema.
Passo 3
38
LEIS DE KIRCHHOFF
Aqui estão nossas malhas com correntes e voltas definidas.
𝜀1 ↑
𝜀2 ↑
𝑅1
𝑅2
𝑅3
𝐴
𝐵
+
+
−
−
𝜀3 ↑
𝑅4
𝑅2
𝑅5
𝐴
𝐵
+
+
−
−
𝜀1 ↑ 𝜀3 ↑
𝑅1 𝑅4
𝑅3
𝑅5
+
+
−
−
MI
MII
MIII
𝐼1
𝐼1 𝐼1
𝐼1
𝐼2
𝐼2
𝐼2
𝐼3
𝐼3
𝐼3
𝐼1
𝐼1 𝐼1
𝐼1 𝐼3
𝐼3
𝐼3
𝜀2 ↑
39
LEIS DE KIRCHHOFF
Soma algébrica
Para somar você deve prestar atenção nos seguintes passos:
1. Somente são somadas as tensões dos resistores e das fontes, as correntes são somente referência;
2. Os passos abaixo servem tanto para tensões dos resistores e das fontes;
3. Se a corrente seguir o mesmo sentido da volta, a tensão será negativa;
4. Se a corrente seguir o sentido contrário ao da volta, a tensão será positiva;
5. A fonte referência sempre é positiva.
Passo 4
40
LEIS DE KIRCHHOFF
Vejas os resultados das somas algébricas
𝜀1 ↑
𝜀2 ↑
𝑅1
𝑅2
𝑅3
𝐴
𝐵
+
+
−
−
MI
𝐼1
𝐼1 𝐼1
𝐼1
𝐼2 𝜀1 − 𝑉𝑅1 − 𝑉𝑅2 − 𝜀2 − 𝑉𝑅3 = 0
Representamos as tensões dos resistores por 𝑉𝑅𝑛 .
Veja que os passos foram respeitados:
Toda as correntes seguem o mesmo sentido da
volta, então todas serão negativas, com exceção
da fonte referência que deve ser positiva.
𝜀3 ↑
𝑅4
𝑅2
𝑅5
𝐴
𝐵
+
+
−
−MII
𝐼2
𝐼2
𝐼3
𝐼3
𝐼3
𝜀2 + 𝑉𝑅2 − 𝑉𝑅4 − 𝜀3 − 𝑉𝑅5 = 0
Perceba que a fonte referência escolhida é a dois.
Ao fazer a soma algébrica, se
a maioria dos valores der
positivo, seria interessante
trocar o sentido da volta,
não que isso signifique que
ta tudo errado, é só para
ficar organizado mesmo.
𝜀2 ↑ 41
LEIS DE KIRCHHOFF
𝜀1 ↑ 𝜀3 ↑
𝑅1 𝑅4
𝑅3
𝑅5
+
+
−
−
MIII
𝐼1
𝐼1 𝐼1
𝐼1 𝐼3
𝐼3
𝐼3
𝜀1 − 𝑉𝑅1 − 𝑉𝑅4 − 𝜀3 − 𝑉𝑅5 − 𝑉𝑅3 = 0
Não é difícil, basta começar a somar a
partir da fonte referência e seguir a linha
até completar a volta.
42
LEIS DE KIRCHHOFF
Lei dos nós
Bom, nos baseando na conservação da carga, tudo que entra em um nó deve ser igual a tudo que sai de um nó
não é mesmo? Então, se uma corrente passa por um nó e esse nó a divide em duas correntes então a corrente mãe é
igual as duas correntes juntas, ou seja, somadas. Nesse pensamento chegamos ao fato de que:
෍𝑐𝑜𝑟𝑟𝑒𝑛𝑡𝑒𝑠 𝑞𝑢𝑒 𝑐ℎ𝑒𝑔𝑎𝑚 =෍𝑐𝑜𝑟𝑟𝑒𝑛𝑡𝑒𝑠 𝑞𝑢𝑒 𝑠𝑎𝑒𝑚
Isso aí em cima é só para generalizar mesmo, mas a lei dos nós é simplesmente o fato de que a corrente mãe
que foi dividida deve ser igual a soma das suas correntes filhas, e a soma das correntes filhas deve ser igual a sua
corrente mãe.
Passo 5
43
LEIS DE KIRCHHOFF
Vamos olhar nosso circuito de novo para entender.
𝜀1 ↑ 𝜀3 ↑
𝜀2 ↑
𝑅1 𝑅4
𝑅2
𝑅3
𝑅5
𝐴
𝐵
+
+
+
−
−
−
𝐼1
𝐼1 𝐼1
𝐼1 𝐼2
𝐼2
𝐼3
𝐼3
𝐼3
Vamos analisar com cuidado, primeiro o nó A, 
então temos a corrente um que vem até o nó 
A e se divide em corrente dois e três.
A corrente mãe é a um e as correntes filhas é 
a dois e três. Logo:
𝑖1 = 𝑖2 + 𝑖3
Nó B é o contrário. As correntes dois e três 
vem até o nó e então se juntam e formam 
novamente a corrente um.
As correntes filhas são dois e três.
A corrente mãe é a um. Logo:
𝑖2 + 𝑖3 = 𝑖1
O valores dos nós foram iguais, não tem problema, vamos usar 
somente uma das equações.
A lei dos nós serve para você encontrar o valor das correntes que 
ainda não foram encontradas pelo próximo passo, se os nós derem 
resultados diferentes fique com as duas equações e caso você 
precisar pegue a que for te ajudar a encontrar alguma corrente 
ainda não achada.
44
LEIS DE KIRCHHOFF
Sistema
Aqui ajunta-se todas as equações que encontramos até agora, elas estão logo abaixo:
Mas antes de partirmos para resolver isso, deve-se substituir as tensões usando a lei de Ohm:𝑉𝑟𝑛 = 𝑖𝑟𝑅𝑛
Passo 6
𝜀1 − 𝑉𝑅1 − 𝑉𝑅2 − 𝜀2 − 𝑉𝑅3 = 0
𝜀2 + 𝑉𝑅2 − 𝑉𝑅4 − 𝜀3 − 𝑉𝑅5 = 0
𝜀1 − 𝑉𝑅1 − 𝑉𝑅4 − 𝜀3 − 𝑉𝑅5 − 𝑉𝑅3 = 0
𝑖1 = 𝑖2 + 𝑖3
ቊ
𝜀1 − 𝑖1𝑅1 − 𝑖2𝑅2 − 𝜀2 − 𝑖1𝑅3 = 0
𝜀2 + 𝑖2𝑅2 − 𝑖3𝑅4 − 𝜀3 − 𝑖3𝑅5 = 0
No início da questão os dados nos
informam que 𝑅1 = 𝑅3 = 𝑅4 = 𝑅5
Logo podemos ajeitar isso aí.
Vamos chama-lo de 𝑅𝑥
ቊ
𝜀1 − 2𝑖1𝑅𝑥 − 𝑖2𝑅2 − 𝜀2 = 0
𝜀2 + 𝑖2𝑅2 − 2𝑖3𝑅𝑥 − 𝜀3 = 0
Quando organizar equações analise quais delas juntas
podem carregar todas as variáveis possíveis, veja as
duas primeiras, elas juntas têm todas as variáveis
possíveis então a terceira que é da malha três pode ser
desconsiderada.
Não há necessidade de
representar a lei dos nós aqui.
Essas correntes que foram inseridas
pela lei de Ohm são as mesmas que
passam pelos resistores no desenho
do circuito.
45
LEIS DE KIRCHHOFF
Para tentarmos encontrar alguma solução vamos substituir a lei dos nós para deixarmos tudo em função de somente 
duas correntes, assim podemos encontra-las.
ቊ
𝜀1 − 2𝑖1𝑅𝑥 − 𝑖2𝑅2 − 𝜀2 = 0
𝜀2 + 𝑖2𝑅2 − 2𝑖3𝑅𝑥 − 𝜀3 = 0
→ ቊ
𝜀1 − 2(𝑖2 + 𝑖3)𝑅𝑥 − 𝑖2𝑅2 − 𝜀2 = 0
𝜀2 + 𝑖2𝑅2 − 2𝑖3𝑅𝑥 − 𝜀3 = 0
→ ቊ
𝜀1 + −2𝑅𝑥 − 𝑅2 𝑖2 − 2𝑖3𝑅𝑥 − 𝜀2 = 0
𝜀2 + 𝑖2𝑅2 − 2𝑖3𝑅𝑥 − 𝜀3 = 0
Vamos tentar isolar uma das duas correntes, começamos pela dois na segunda equação por que é a menos 
complicadinha:
𝜀2 + 𝑖2𝑅2 − 2𝑖3𝑅𝑥 − 𝜀3 = 0 → 𝑖2 =
𝜀3 − 𝜀2 + 2𝑖3𝑅𝑥
𝑅2
Como temos duas incógnitas então não podemos resolve-la, mas podemos substitui-la na primeira equação e assim 
deixar tudo em função de somente uma incógnita.
46
LEIS DE KIRCHHOFF
𝜀1 + −2𝑅𝑥 − 𝑅2 𝑖2 − 2𝑖3𝑅𝑥 − 𝜀2 = 0 → 𝜀1 + −2𝑅𝑥 − 𝑅2
𝜀3 − 𝜀2 + 2𝑖3𝑅𝑥
𝑅2
− 2𝑖3𝑅𝑥 − 𝜀2 = 0
𝑖3 =
𝑅2 𝜀1 − 𝜀2 + −2𝑅𝑥 − 𝑅2 𝜀3 − 𝜀2
−2𝑅𝑥 − 𝑅2 2𝑅𝑥 − 2𝑅𝑥𝑅2
= 0,58 𝐴
Voltando à corrente dois, substituímos:
𝑖2 =
𝜀3 − 𝜀2 + 2𝑖3𝑅𝑥
𝑅2
= 1,13 𝐴
Por fim pela lei dos nós:
𝑖1 = 𝑖2 + 𝑖3 = 1,71 𝐴
47
LEIS DE KIRCHHOFF
Se você quiser substituir os dados para evitar toda a álgebra e tornar tudo mais simples não tem problema pode 
fazer isso também, na verdade é mais simples assim, só mostrei o modo algébrico por que é a primeira vez que 
demonstro isso.
Se por um acaso no final dos cálculos sua corrente for negativa, calma não é o fim do mundo, isso quer dizer que o 
desenho da corrente que você fez lá no circuito na lei das malhas está no sentido contrário, então basta você voltar 
no seu esquema, apagar a seta e faze-la de novo agora no lado certo, então volte aos seus cálculos e mude o sinal em 
todas as partes em que essa corrente apareceu.
48
DIA 4
EXEMPLO DE LEI DE KIRCHHOFF
Sumário
EXEMPLO
Determinar as correntes elétricas no circuito. Determine também as tensões elétricas sobre 𝑅1 e 𝑅2.
𝑅1
𝑅2
𝐴 𝐵
𝜀1
+ −
𝜀2
+ −
𝜀3
+ −
𝐷𝑎𝑑𝑜𝑠
ቐ
𝑅1 = 100 Ω
𝑅2 = 50 Ω
𝜀1 = 6,0 𝑉 ; 𝜀2 = 5,0 𝑉 ; 𝜀3 = 4,0 𝑉
50
EXEMPLO
Distinção de malhasPasso 1
𝑅2
𝐴 𝐵
𝜀1
+ −
+ − + −
MI
𝑅1
𝐴
𝜀2
+ −
𝜀2 𝜀3
MII
51
EXEMPLO
Lei das malhasPasso 2
𝑅1
𝑅2
𝐴 𝐵
𝜀1
+ −
𝜀2
+ −
𝜀3
+ −
𝐼1
𝐼3
𝐼1 𝐼1
𝐼2 𝐼1
𝐼3 𝐼3
𝐼1
𝐼1
𝐼3
Lembre-se, quando a
corrente mãe chega em
um nó, ela é dividida,
quando as correntes
filhas se encontram, elas
formam a corrente mãe. Veja esse B, ele está
representado como um nó,
mas não há nenhum outro
lugar para a corrente dividir,
então esse nó não fará efeito
sobre a corrente, por que
ela não pode ser dividida. 52
EXEMPLO
Análise de malhasPasso 3
𝑅2
𝐴 𝐵
𝜀1
+ −
𝜀2
+ −
𝜀3
+ −
𝐼1
𝐼1 𝐼1
𝐼2 𝐼1
𝐼1
𝐼1 𝑅1
𝜀2
+ −
𝐼3
𝐼2
𝐼3 𝐼3
𝐼3
MI MII
𝜀1 − 𝜀2 − 𝜀3 − 𝑉𝑅2 = 0 𝜀2 − 𝑉𝑅1 = 0
Perceba que se adotarmos
a volta para direita
estaremos colocando
todos os dados em
positivos, cuidado que isso
pode resultar em tensões
negativas, é melhor adotar
o lado opostos
Soma algébricaPasso 4
53
EXEMPLO
Lei dos nósPasso 5
𝑅1
𝑅2
𝐴 𝐵
𝜀1
+ −
𝜀2
+ −
𝜀3
+ −
𝐼1
𝐼3
𝐼1 𝐼1
𝐼2 𝐼1
𝐼3 𝐼3
𝐼1
𝐼1
𝐼3
Veja que somente vamos analisar o nó
A, já tinha comentado antes que o nó B
não exerce sua função aqui por que não
há outro caminho ligado a ele, não há
por que dividir a corrente.
𝑖1 = 𝑖2 + 𝑖3
54
EXEMPLO
Sistema
Vamos do jeito mais fácil agora.
൞
𝜀1 − 𝜀2 − 𝜀3 − 𝑉𝑅2 = 0
𝜀2 − 𝑉𝑅1 = 0
𝑖1 = 𝑖2 + 𝑖3
→ 𝐿𝑒𝑖 𝑑𝑒 𝑂ℎ𝑚 → ቐ
𝜀1 − 𝜀2 − 𝜀3 − 𝐼1𝑅2 = 0
𝜀2 − 𝐼3𝑅1 = 0
𝑖1 = 𝑖2 + 𝑖3
Perceba que não precisamos fazer muito esforço, a primeira e a segunda equação têm somente uma incógnita.
𝜀1 − 𝜀2 − 𝜀3 − 𝐼1𝑅2 = 0 → 6,0 𝑉 − 5,0 𝑉 − 4,0 𝑉 − 𝐼1 50 Ω = 0 → −𝐼1 =
3, 0 𝑉
50 Ω
= −0,06 𝐴
𝜀2 − 𝐼3𝑅1 = 0 → 5,0 𝑉 − 𝐼3 100 Ω = 0 → 𝐼3 =
5,0 𝑉
100 Ω
= 0,05 𝐴
𝑖1 = 𝑖2 + 𝑖3 → 𝑖2 = 0,06 𝐴 − 0,05 𝐴 = −0,11 𝐴
Passo 6
Temos duas correntes com
resultados negativos, o que
isso significa? Não está
errado mas suas correntes
estão em sentidos opostos.
55
EXEMPLO
Lei das malhasPasso 2
𝑅1
𝑅2
𝐴 𝐵
𝜀1
+ −
𝜀2
+ −
𝜀3
+ −
𝐼1
𝐼3
𝐼1 𝐼1
𝐼2 𝐼1
𝐼3 𝐼3
𝐼1
𝐼1
𝐼3
𝑅1
𝑅2
𝐴 𝐵
𝜀1
+ −
𝜀2
+ −
𝜀3
+ −
𝐼1
𝐼3
𝐼1 𝐼1
𝐼2 𝐼1
𝐼3 𝐼3
𝐼1
𝐼1
𝐼3
As correntes que deram negativos foram, 𝐼1 e 𝐼2
Se tentarmos só mudar a volta
não conseguiremos consertar 56
EXEMPLO
Análise de malhasPasso 3
𝑅2
𝐴 𝐵
𝜀1
+ −
𝜀2
+ −
𝜀3
+ −
𝐼1
𝐼1 𝐼1
𝐼2 𝐼1
𝐼1
𝐼1 𝑅1
𝜀2
+ −
𝐼3
𝐼2
𝐼3 𝐼3
𝐼3
MI MII
𝜀1 − 𝜀2 − 𝜀3 + 𝑉𝑅2 = 0 𝜀2 − 𝑉𝑅1 = 0
A fonte age de forma
diferente dos resistores, a
fonte tem seu sentido do
negativo para o positivo,
quando a volta segue o
mesmo sentido ela é
positiva, quando a volta
segue o sentido oposto ela
é negativa Soma algébricaPasso 4
57
EXEMPLO
Lei dos nósPasso 5
Veja que com as correntes mudadas
temos que o jogo virou, agora a
corrente mãe é a 𝑖2 por que é ela que
está sendo dividia. Com isso temos:
𝑖2 = 𝑖1 + 𝑖3
𝑅1
𝑅2
𝐴 𝐵
𝜀1
+ −
𝜀2
+ −
𝜀3
+ −
𝐼1
𝐼3
𝐼1 𝐼1
𝐼2 𝐼1
𝐼3 𝐼3
𝐼1
𝐼1
𝐼3
Cuidado com a ilusão, você está vendo esse encontro
entre a corrente 𝑖3 e 𝑖1?
Não confunda isso com um nó, não há nenhum nó lá,
então não vai haver junção de correntes nem
separação. Simplesmente ignore. 58
EXEMPLO
Sistema
൞
𝜀1 − 𝜀2 − 𝜀3 + 𝑉𝑅2 = 0
𝜀2 − 𝑉𝑅1 = 0
𝑖2 = 𝑖1 + 𝑖3
→ 𝐿𝑒𝑖 𝑑𝑒 𝑂ℎ𝑚 → ቐ
𝜀1 − 𝜀2 − 𝜀3 + 𝐼1𝑅2 = 0
𝜀2 − 𝐼3𝑅1 = 0
𝑖2 = 𝑖1 + 𝑖3
Perceba que não precisamos fazer muito esforço, a primeira e a segunda equação têm somente uma incógnita.
𝜀1 − 𝜀2 − 𝜀3 + 𝐼1𝑅2 = 0 → 6,0 𝑉 − 5,0 𝑉 − 4,0 𝑉 + 𝐼1 50 Ω = 0 → 𝐼1 =
3, 0 𝑉
50 Ω
= 0,06 𝐴
𝜀2 − 𝐼3𝑅1 = 0 → 5,0 𝑉 − 𝐼3 100 Ω = 0 → 𝐼3 =
5,0 𝑉
100 Ω
= 0,05 𝐴
𝑖2 = 𝑖1 + 𝑖3 → 𝑖2 = 0,06 𝐴 + 0,05 𝐴 = 0,11 𝐴
Passo 6
Veja que com a mudança
dos sentidos das correntes
os valores retornaram a
valores positivos.
59
EXEMPLO
Tensões nos resistores
No início da questão o enunciado pede para encontrarmos as tensões nos resistores 1 e 2. A lei de Ohm faz isso
tranquilamente.
𝑉𝑅1 = 𝐼3𝑅1 = 0,05
𝑉
Ω
100 Ω = 5,0 𝑉
𝑉𝑅2 = 𝐼1𝑅2 = 0,06
𝑉
Ω
50 Ω = 3,0 𝑉
Existem muitas formas de se resolver um exercício como esse, você pode simplesmente mudar as correntes de 
direção e do mesmo jeito mudando a volta da soma algébrica, o porém é: variasformas de se resolver, mas deve 
haver os mesmo resultados se o resultado der diferente está errado, se a corrente der negativo a direção da sua 
corrente está errada, você pode optar por trocar as setas de sentido ou trocar a sua volta da soma.
Passo 7
60
DIA 5
EXEMPLO LEIS DE KIRCHHOFF
Sumário
EXEMPLO
Determinar as correntes elétricas no circuito. Determine também as tensões elétricas sobre 𝑅1 e 𝑅2.
𝑅5
𝐶
𝐵
𝜀1
+ −
𝐷𝑎𝑑𝑜𝑠
ቐ
𝑅𝑛 = 10 Ω
𝜀1 = 10,0 𝑉 ; 𝜀2 = 6,0 𝑉 ; 𝜀3 = 5,0 𝑉
𝜀4 = 2,0 𝑉 ; 𝜀5 = 3,0 𝑉
𝜀2
+ −
𝑅1 𝑅3
𝑅2
𝑅6 𝑅4
𝜀3
+
−
𝜀5
+
−𝜀4
+
−
𝐴
𝐷
62
EXEMPLO
Distinção de malhasPasso 1
𝐶
𝜀1
+ −
𝜀2
+ −
𝑅1
𝑅2
𝑅6
𝐴
𝐷
𝐵 𝐵
𝑅3
𝑅2
𝑅4
𝜀3
+
−
𝐴
𝑅5
𝐶 𝑅6
𝜀5
+
−𝜀4
+
−
𝐷
MI MII
MIII
63
EXEMPLO
Lei das malhas
𝑅5
𝐶
𝐵
𝜀1
+ −
𝜀2
+ −
𝑅1 𝑅3
𝑅2
𝑅6 𝑅4
𝜀3
+
−
𝜀5
+
−𝜀4
+
−
𝐴
𝐷
𝐼1
𝐼1
𝐼3 𝐼3
𝐼2 𝐼2 𝐼1
𝐼4
𝐼4
𝐼5
𝐼5
𝐼5
Passo 2
64
EXEMPLO
Análise de malhasPasso 3
𝐶
𝜀1
+ −
𝜀2
+ −
𝑅1
𝑅2
𝑅6
𝐴
𝐷
𝐵 𝐵
𝑅3
𝑅2
𝑅4
𝜀3
+
−
𝐴
𝑅5
𝐶 𝑅6
𝜀5
+
−𝜀4
+
−
𝐷
MI MII
MIII𝐼1
𝐼1
𝐼2 𝐼2 𝐼1
𝐼4
𝐼4
𝐼4
𝐼4
𝐼5
𝐼5
𝐼5
𝐼3 𝐼3
𝐼2 𝐼2
𝜀1 + 𝜀2 − 𝑉𝑅1 − 𝑉𝑅6 − 𝑉𝑅2 = 0 𝜀3 − 𝑉𝑅3 − 𝑉𝑅4 + 𝑉𝑅2 = 0 𝜀5 − 𝜀4 − 𝑉5 + 𝑉𝑅6 = 0
Soma algébricaPasso 4
65
EXEMPLO
Lei dos nósPasso 5
𝑅5
𝐶
𝐵
𝜀1
+ −
𝜀2
+ −
𝑅1 𝑅3
𝑅2
𝑅6 𝑅4
𝜀3
+
−
𝜀5
+
−𝜀4
+
−
𝐴
𝐷
𝐼1
𝐼1
𝐼3 𝐼3
𝐼2 𝐼2 𝐼1
𝐼4
𝐼4
𝐼5
𝐼5
𝐼5
𝐴: 𝑖1 = 𝑖4 + 𝑖5
𝐵: 𝑖1 = 𝑖4 + 𝑖5
𝐶: 𝑖1 = 𝑖2 + 𝑖3
𝐷: 𝑖1 = 𝑖2 + 𝑖3
66
EXEMPLO
Sistema
𝜀1 + 𝜀2 − 𝑉𝑅1 − 𝑉𝑅6 − 𝑉𝑅2 = 0
𝜀3 − 𝑉𝑅3 − 𝑉𝑅4 + 𝑉𝑅2 = 0
𝜀5 − 𝜀4 − 𝑉5 + 𝑉𝑅6 = 0
𝑖1 = 𝑖4 + 𝑖5
𝑖1 = 𝑖2 + 𝑖3
→ 𝐿𝑒𝑖 𝑑𝑒 𝑂ℎ𝑚 →
𝜀1 + 𝜀2 − 𝐼1𝑅1 − 𝐼2𝑅6 − 𝐼4𝑅2 = 0
𝜀3 − 𝐼5𝑅3 − 𝐼5𝑅4 + 𝐼4𝑅2 = 0
𝜀5 − 𝜀4 − 𝐼3𝑅5 + 𝐼2𝑅6 = 0
𝑖1 = 𝑖4 + 𝑖5
𝑖1 = 𝑖2 + 𝑖3
Substituindo valores para facilitar nossa vida
10 𝑉 + 6 𝑉 − 𝐼1 10 Ω − 𝐼2 10 Ω − 𝐼4 10 Ω = 0
5 𝑉 − 𝐼5 10 Ω − 𝐼5 10 Ω + 𝐼4 10 Ω = 0
3 𝑉 − 2 𝑉 − 𝐼3 10 Ω + 𝐼2 10 Ω = 0
𝑖1 = 𝑖4 + 𝑖5
𝑖1 = 𝑖2 + 𝑖3
→
𝐼1 10 Ω + 𝐼2 10 Ω + 𝐼4 10 Ω = 16 V
𝐼4 10 Ω − 𝐼5 20 Ω = −5 𝑉
𝐼2 10 Ω − 𝐼3 10 Ω = −1 𝑉
𝑖1 = 𝑖4 + 𝑖5
𝑖1 = 𝑖2 + 𝑖3
Passo 6
67
EXEMPLO
Antes vamos desenvolver a lei dos nós:
ቊ
𝑖1 = 𝑖4 + 𝑖5
𝑖1 = 𝑖2 + 𝑖3
→
𝑖2 = 𝑖1 − 𝑖3
𝑖3 = 𝑖1 − 𝑖2
𝑖4 = 𝑖1 − 𝑖5
𝑖5 = 𝑖1 − 𝑖4
Brincando de isolar começamos pela terceira equação: lembrando que você pode fazer do jeito que quiser
𝐼2 10 Ω − 𝐼3 10 Ω = −1 𝑉 → 𝑙𝑒𝑖 𝑑𝑜𝑠 𝑛ó𝑠 → 𝐼2 10 Ω − 𝑖1 − 𝑖2 10 Ω = −1 𝑉 → 𝑖1 =
𝐼2 20 Ω + 1 𝑉
10 Ω
Agora vamos para a segunda equação:
𝐼4 10 Ω − 𝐼5 20 Ω = −5 𝑉 → 𝑙𝑒𝑖 𝑑𝑜𝑠 𝑛ó𝑠 → 𝑖1 − 𝑖5 10 Ω − 𝐼5 20 Ω = −5 𝑉 → 𝑖5 =
𝐼1 10 Ω + 5 𝑉
30 Ω
68
EXEMPLO
Com essas duas equações temos condições suficientes para encontrar o valor de uma corrente, vamos usar a primeira 
equação:
𝐼1 10 Ω + 𝐼2 10 Ω + 𝐼4 10 Ω = 16 V → 𝑙𝑒𝑖 𝑑𝑜𝑠 𝑛ó𝑠 → 𝐼1 10 Ω + 𝐼2 10 Ω + 𝑖1 − 𝑖5 10 Ω = 16 V
𝐼1 10 Ω + 𝐼2 10 Ω + 𝑖1 10 Ω − 𝑖5 10 Ω = 16 V
𝐼1 20 Ω + 𝐼2 10 Ω − 𝑖5 10 Ω = 16 V → 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑑𝑒 𝑖5 → 𝐼1 20 Ω + 𝐼2 10 Ω −
𝐼1 10 Ω + 5 𝑉
30 Ω
10 Ω = 16 V
𝐼1 20 Ω + 𝐼2 10 Ω −
𝐼1 10 Ω + 5 𝑉
3
= 16 V → 𝐼1 20 Ω + 𝐼2 10 Ω −
𝐼1 10 Ω
3
−
5 𝑉
3
= 16 V
𝐼1 20 Ω −
10 Ω
3
+ 𝐼2 10 Ω = 16 V+
5 𝑉
3
→ 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑑𝑒 𝑖1 →
𝐼2 20 Ω + 1 𝑉
10 Ω
20 Ω −
10 Ω
3
+ 𝐼2 10 Ω = 16 V+
5 𝑉
3
69
EXEMPLO
𝐼2 20 Ω + 1 𝑉
10 Ω
20 Ω −
10 Ω
3
+ 𝐼2 10 Ω = 16 V+
5 𝑉
3
→
𝐼2 20 Ω + 1 𝑉
1 Ω
1,667 Ω + 𝐼2 10 Ω = 17,667 V
𝐼2 33,34 Ω + 1,667 Ω𝑉
1 Ω
+ 𝐼2 10 Ω = 17,667 V → 𝐼2 33,34 + 1,667 𝑉 + 𝐼2 10 Ω = 17,667 V
𝐼2 33,34 + 𝐼2 10 Ω = 16 V → 𝐼2 43,34 Ω = 16 V → 𝐼2 =
16 𝑉
43,34 Ω
= 0,36 𝐴
Usando esse valor vamos encontrar as próximas correntes
𝑖1 =
0,36
𝑉
Ω 20 Ω + 1 𝑉
10 Ω
= 0,82 𝐴
70
EXEMPLO
𝑖5 =
0,82
𝑉
Ω 10 Ω + 5 𝑉
30 Ω
= 0,44 𝐴
ቊ
𝑖3 = 𝑖1 − 𝑖2 = 0,82 𝐴 − 0,36 𝐴 = 0,46 𝐴
𝑖4 = 𝑖1 − 𝑖5 = 0,82 𝐴 − 0,44 𝐴 = 0,38 𝐴
71
DIA 6
ASSOCIAÇÃO DE RESISTORES
Sumário
EXEMPLO I
Exercício 19 do capítulo 31 (Halliday 5ª ed.)
𝑅1 𝑅2
𝜀1
+ −
𝑅5
𝑅4
𝑅3
𝐷𝑎𝑑𝑜𝑠
𝑅1 = 3,0 Ω
𝑅2 = 5,0 Ω
𝑅3 = 12 Ω
𝑅4 = 6,0 Ω
𝑅5 = 4,0 Ω
𝜀1 = 12,0 𝑉
73
EXEMPLO I
Por associação de resistores, resolvemos esse exercício:
- Nesta primeira etapa analisa-se cada um dos resistores que se encontram no circuito, os resistores podem ser 
simplificados por um resistor equivalente, essa simplificação ocorre pelas equações de resistores em série ou 
paralelo.
𝑅𝑒𝑞 = 𝑅1 + 𝑅2 +⋯+ 𝑅𝑛
(𝑠é𝑟𝑖𝑒)
,
1
𝑅𝑒𝑞
=
1
𝑅1
+
1
𝑅2
+⋯+
1
𝑅𝑛
(𝑝𝑎𝑟𝑎𝑙𝑒𝑙𝑜)
- Vamos analisar os resistores do circuito e identificar aqueles que estão em série ou paralelo para que possamos 
logo simplificarmos.
74
EXEMPLO I
𝑅1 𝑅2
𝜀1
+ −
𝑅5
𝑅4
𝑅3
Paralelo
Começando por cima temos
𝑅4 e 𝑅3 em paralelo,
podemos logo calculá-los
para um resistor equivalente. 1
𝑅𝐴
=
1
𝑅3
+
1
𝑅4
𝑃𝑟𝑜𝑑𝑢𝑡𝑜 𝑐𝑟𝑢𝑧𝑎𝑑𝑜
1
𝑅𝐴
=
𝑅4 + 𝑅3
𝑅3𝑅4
→ 𝐼𝑛𝑣𝑒𝑟𝑡𝑒𝑟 → 𝑅𝐴 =
𝑅3𝑅4
𝑅4 + 𝑅3
𝐿𝑜𝑔𝑜
𝑅𝐴 =
12.6
12 + 6
= 4 Ω
75
EXEMPLO I
𝑅1 𝑅2
𝜀1
+ −
𝑅5𝑅𝐴
Série
Série
Ao encontrar o resistor
equivalente faz-se a junção
das linhas que formavam os
resistores em paralelo
Dois casos de resistores
em série, podemos
calculá-los de uma vez
𝑅𝐵 = 𝑅𝐴 + 𝑅5 = 4 + 4 = 8 Ω
𝑅𝐶 = 𝑅1 + 𝑅2 = 3 + 5 = 8 Ω
+ −
𝑅𝐵
𝑅𝐶
Paralelo
Para simplificarmos o último par, basta 
usarmos novamente a equação de 
resistores paralelos.
𝑅𝐹𝑖𝑛𝑎𝑙 =
𝑅𝐵𝑅𝐶
𝑅𝐵 + 𝑅𝐶
=
8.8
8 + 8
= 4 Ω
𝜀1
76
EXEMPLO I
Com somente um resistor podemos encontrar sua corrente, e
através dela encontrar as outras para calcular as tensões.
A corrente pode ser encontrada pela lei de Ohm.
𝑉𝑟𝐹 = 𝑖𝑅𝐹
Nesse caso veja que a tensão é a fonte, pois a soma algébrica de
todas as tensões no circuito deve ser zero: 𝜀1 − 𝑉𝑅𝐹 = 0
+ −
𝑅𝐹
𝐼 𝐼
𝐼𝐼
𝐼 𝐼
𝜀1
𝜀1 = 𝑖𝑅𝐹 → 𝑖 =
𝜀1
𝑅𝐹
=
12 𝑉
4 Ω
= 3 𝐴
77
EXEMPLO I
Agora com a corrente descoberta é hora de fazer o caminho reverso, desfazendo as simplificações e analisando os 
caminhos das correntes, levando em consideração as divisões de correntes que podem acontecer no meio do 
caminho também.
Aqui devemos usar uma propriedade dos resistores em paralelo:
Quando os resistores estão em paralelo, eles tem a mesma tensão.
Qual é tensão de 𝑉𝑅𝐹? Ora, através de uma soma algébrica temos:
ε1 − 𝑉𝑅𝐹 = 0, ou seja, 𝜀1 = 𝑉𝑅𝐹, com isso calculamos.
+ −
𝑅𝐵
𝑅𝐶
𝜀1
𝐼 𝐼
𝐼𝐼
𝐼 𝐼𝐼1
𝐼2
𝐼1
𝐼2
𝑉𝑅𝐵 = 𝑖1𝑅𝐵 → 𝑖1 =
𝑉𝑅𝐵
𝑅𝐵
=
𝜀1
𝑅𝐵
=
12 𝑉
8 Ω
= 1,5 𝐴
𝑉𝑅𝐶 = 𝑖2𝑅𝐶 → 𝑖2 =
𝑉𝑅𝐶
𝑅𝐶
=
𝜀1
𝑅𝐶
=
12 𝑉
8 Ω
= 1,5 𝐴
78
EXEMPLO I
𝑅1 𝑅2
𝜀1
+ −
𝑅5𝑅𝐴
𝑅1 𝑅2
𝜀1
+ −
𝑅5
𝑅4
𝑅3
𝐼 𝐼
𝐼𝐼
𝐼 𝐼𝐼1
𝐼2 𝐼 𝐼
𝐼𝐼
𝐼 𝐼
𝐼1 𝐼1
𝐼2
𝐼4
𝐼3
𝑉𝑅𝐴 = 𝑖1𝑅𝐴 = 1,5 4 = 6 𝑉
𝑉𝑅5 = 𝑖1𝑅5 = 1,5 4 = 6 𝑉
𝑉𝑅1 = 𝑖2𝑅1 = 1,5 3 = 4,5 𝑉
𝑉𝑅2 = 𝑖2𝑅2 = 1,5 5 = 7,5 𝑉
Agora resta encontrar as correntes 𝐼3 e 𝐼4.
79
EXEMPLO I
Para encontrarmos as duas últimascorrentes devemos ter outro tipo de olhar
𝑅1 𝑅2
𝜀1
+ −
𝑅5
𝑅4
𝑅3
𝐼 𝐼
𝐼𝐼
𝐼 𝐼
𝐼1 𝐼1
𝐼2
𝐼4
𝐼3
Bom aqui de novo vamos usar o fato de que resistores em paralelo
tem a mesma tensão, veja que 𝑅4 e 𝑅3 que na verdade é o 𝑅𝐴 estão
em paralelo com 𝑅1 e 𝑅2 que na verdade é o 𝑅𝐵. No final de tudo
chegamos que.
𝜀1 = 𝑉𝑅𝐹 = 𝑉𝑅𝐵 = 𝑉𝑅𝐶 = 𝑉𝑅𝐴
Ta certo que vamos simplesmente pegar a tensão da fonte e dividi-la
pelo valor do respectivo resistor, MASSS é melhor que você não
nomeio como 𝜀1 e sim como 𝑉𝑅𝐶 , mas por que? Primeiro por que
olhando para o circuito usar a fonte como referência para esses dois
resistores não tem lógica, por que simplesmente não dá! Então pela
lógica 𝑅4 e 𝑅3 estão em paralelo com 𝑅𝐶 e não com a fonte.
Bom se você gosta de fazer de qualquer jeito me diga depois quanto
você tirou na prova.
𝑖3 =
𝑉𝑅𝐶
𝑅4
=
12 𝑉
6 Ω
= 2 𝐴
𝑖4 =
𝑉𝑅𝐶
𝑅3
=
12 𝑉
12 Ω
= 1 𝐴
80
EXEMPLO II
Exercício 11 do capítulo 31 (Halliday 5ª ed.)
- Encontre a corrente que passa pelo amperímetro A.
𝜀1 ↑
2𝑅
𝐴
𝐸
+
−
𝑅
𝑅
𝐵
𝐹
𝑅
A 𝐶𝐷
81
EXEMPLO II
Análise de resistores
- Aqui o amperímetro pode ser desconsiderado, ele é apenas um ponto de referencia para saber onde exatamente a 
questão quer que você encontre a corrente, pois esse amperímetro tem resistência zero, ou seja, não interfere na 
corrente.
𝜀1 ↑
2𝑅
𝐴
𝐸
+
−
𝑅
𝑅
𝐵
𝐹
𝑅
A 𝐶𝐷
Paralelo
Paralelo
𝜀1 ↑
𝑅𝐴
𝐴 = 𝐵
𝐸 = 𝐹
+
−
𝑅𝐵
A
𝑅𝐴 =
(2𝑅)(𝑅)
2𝑅 + 𝑅
=
2𝑅2
3𝑅
=
2
3
𝑅
𝑅𝐵 =
(𝑅)(𝑅)
𝑅 + 𝑅
=
𝑅2
2𝑅
=
1
2
𝑅
Passo 1
82
EXEMPLO II
Por fim uma última simplificação em série.
𝜀1 ↑
𝑅𝐴
𝐴 = 𝐵
𝐸 = 𝐹
+
−
𝑅𝐵
A
Sé
ri
e
𝑅𝐹𝑖𝑛𝑎𝑙 = 𝑅𝐴 + 𝑅𝐵 =
2
3
𝑅 +
1
2
𝑅 =
7
6
𝑅
𝜀1 ↑
𝑅𝐹
𝐴 = 𝐵
𝐸 = 𝐹
+
−
A
𝐼
𝐼
𝐼
𝐼
𝐿𝑒𝑖 𝑑𝑒 𝑂ℎ𝑚
𝑉𝑅𝐹 = 𝑖𝑅𝐹 → 𝜀1 = 𝑖𝑅𝐹
𝑖 =
𝜀1
𝑅𝐹
=
𝜀1
7
6𝑅
=
6
7
𝜀1
𝑅
CorrentesPasso 2
Ao encontrar essa corrente resultante já
temos o que a questão pede. Pois o
enunciado diz que devemos encontrar a
corrente que passa pelo amperímetro A.
83
EXEMPLO II
𝜀1 ↑
2𝑅
𝐴
𝐸
+
−
𝑅
𝑅
𝐵
𝐹
𝑅
A 𝐶𝐷
𝜀1 ↑
𝑅𝐴
𝐴 = 𝐵
𝐸 = 𝐹
+
−
𝑅𝐵
A
Sé
ri
e
Veja que com a junção do resistores em
paralelo a corrente que passa pelo
amperímetro sempre será a mesma. 𝜀1 ↑
𝑅𝐹
𝐴 = 𝐵
𝐸 = 𝐹
+
−
A
𝐼
𝐼
𝐼
𝐼
84
EXEMPLO III
Exercício 23 do capítulo 31 (Halliday 5ª ed.)
- Encontrar as tensões nos resistores
𝜀1 ↑
𝑅3
+
− 𝑅2
𝑅1
𝐷𝑎𝑑𝑜𝑠
𝑅1 = 112 Ω
𝑅2 = 42 Ω
𝑅3 = 61,6 Ω
𝑅4 = 75 Ω
𝜀1 = 6,22 𝑉
85
EXEMPLO III
Análise de resistores
- O diagonal também é classificado como paralelo.
𝜀1 ↑
𝑅3
+
− 𝑅2
𝑅1
Paralelo
𝜀1 ↑ +
− 𝑅2
𝑅1
𝜀1 ↑ +
− 𝑅𝐵
𝑅1
Série
𝑅𝐴 =
(𝑅4)(𝑅3)
𝑅4 + 𝑅3
=
(75)(61,6)
75 + 61,6
=
4620 Ω2
136,6 Ω
= 33,82 Ω 𝑅𝐵 =
(𝑅𝐴)(𝑅2)
𝑅𝐴 + 𝑅2
=
(33,82)(42)
33,82 + 42
=
1420,44 Ω2
75,82 Ω
= 18,73 Ω
Passo 1
86
EXEMPLO III
Por fim simplificando em série os últimos resistores.
Correntes
𝐿𝑒𝑖 𝑑𝑒 𝑂ℎ𝑚 → 𝑉𝑅𝐹 = 𝑖𝑅𝐹 → 𝑖 =
𝜀1
𝑅𝐹
=
6,22 𝑉
130,73 Ω
= 0,05 𝐴
𝜀1 ↑ +
− 𝑅𝐵
𝑅1
Série 𝑅𝐹𝑖𝑛𝑎𝑙 = 𝑅1 + 𝑅𝐵
𝑅𝐹 = 112 Ω + 18,73 Ω
𝑅𝐹 = 130,73 Ω
𝜀1 ↑ +
− 𝑅𝐹
𝐼
𝐼
𝐼
𝐼
𝐼
Passo 2
87
EXEMPLO III
𝜀1 ↑ +
− 𝑅𝐵
𝑅1
𝐼
𝐼
𝐼
𝐼
𝐼
൝
𝑉𝑅1 = 𝑖𝑅1 = 0,05 112 = 5,6 𝑉
𝑉𝑅𝐵 = 𝑖𝑅𝐵 = 0,05 18,73 = 0,94 𝑉
Sabemos que 𝑅𝐵 é a simplificação de 𝑅2 e
𝑅𝐴. E 𝑅𝐴 é a simplificação de 𝑅4 e 𝑅3.
Podemos encontrar o valor das outras
correntes usando a propriedade do
resistores em paralelo: mesma tensão.
𝑉𝑅2 = 𝑖1𝑅2 → 𝑖1 =
𝑉𝑅𝐵
𝑅2
=
0,94 𝑉
42 Ω
= 22,4 𝑚𝐴
𝑉𝑅3 = 𝑖4𝑅2 → 𝑖4 =
𝑉𝑅𝐵
𝑅3
=
0,94 𝑉
61,6 Ω
= 15,3 𝑚𝐴
𝑉𝑅4 = 𝑖3𝑅4 → 𝑖3 =
𝑉𝑅𝐵
𝑅4
=
0,94 𝑉
75 Ω
= 12,5 𝑚𝐴
𝜀1 ↑
𝑅3
+
− 𝑅2
𝑅1
𝐼
𝐼
𝐼
𝐼1
𝐼2
𝐼3
𝐼4
88
DIA 7
ASSOCIAÇÃO DE CAPACITORES
Sumário
ASSOCIAÇÃO DE CAPACITORES
Encontre a capacitância equivalente e a carga de cada capacitor.
𝐷𝑎𝑑𝑜𝑠
ቊ
𝑐𝑛 = 20 𝜇𝐹
𝜀 = 10 𝑉
90
Vamos simplificar quatro capacitores de uma vez, veja os quais:
- C8 e C3 são paralelos e C9 e C10 também.
𝑐𝐴 = 𝑐8 + 𝑐3 = 20 + 20 = 40 𝜇𝐹
𝑐𝐵 = 𝑐9 + 𝑐10 = 20 + 20 = 40 𝜇𝐹
Temos CA em série com CB
𝑐𝐶 =
𝑐𝐴𝑐𝐵
𝑐𝐴 + 𝑐𝐵
= 20 𝜇𝐹
91
Agora temos CC em série com C11
𝑐𝐷 =
𝑐𝐶𝑐11
𝑐𝐶 + 𝑐11
= 10 𝜇𝐹
Usando o CD, vemos que ele está em paralelo com C2
𝑐𝐸 = 𝑐𝐷 + 𝑐2 = 20 + 10 = 30 𝜇𝐹
92
Mais dois em série com CE e C7
𝑐𝐹 =
𝑐𝐸𝑐7
𝑐𝐸 + 𝑐7
= 12 𝜇𝐹
E então simplificamos C1 e CF em paralelo
𝑐𝐺 = 𝑐1 + 𝑐𝐹 = 20 + 12 = 32 𝜇𝐹
93
No bloco debaixo podemos juntar dois que estão em série
𝑐𝐻 =
𝑐5𝑐6
𝑐5 + 𝑐6
= 10 𝜇𝐹
Juntamos logo o paralelo que existe entre CH e C4
𝑐𝐼 = 𝑐𝐻 + 𝑐4 = 10 + 20 = 30 𝜇𝐹 94
No final de tudo vemos que está todo mundo em série, vamos juntá-los e encontrar a capacitância equivalente
𝑐𝐽 =
𝑐𝐼𝑐𝐺
𝑐𝐼 + 𝑐𝐺
= 15,5 𝜇𝐹 𝑐𝐾 =
𝑐𝐽𝑐12
𝑐𝐽 + 𝑐12
= 8,73 𝜇𝐹
Como chegamos até aqui então nos
lembramos que quando temos
capacitores em paralelo todos
compartilham da mesma tensão, ou
quando temos somente um capacitor
a tensão dele é a única tensão que
existe em todo o circuito.
𝑞𝐾 = 𝑐∆𝑉
𝑞𝐾 = 8,73 𝜇𝐹 10 𝑉 = 87 𝜇𝐶
95
Hora de retroceder, usando as propriedades de capacitores, vemos que quando resistores estão em série eles 
compartilham da mesma carga então C12, CG e CI têm a mesma carga.
Temos que ter ciência de uma coisa, a carga será a mesma mas não a tensão,
então vamos encontrar a nova tensão.
𝑞 = 𝑐∆𝑉 →
∆𝑉 =
𝑞
𝑐12
=
87 𝜇𝐶
20 𝜇𝐹
= 4,35 𝑉
∆𝑉 =
𝑞
𝑐𝐺
=
87 𝜇𝐶
32 𝜇𝐹
= 2,72 𝑉
∆𝑉 =
𝑞
𝑐𝐼
=
87 𝜇𝐶
30 𝜇𝐹
= 2,9 𝑉
96
Agora abrindo o capacitor CI temos C4 e CH em paralelo, 
propriedade de capacitores: estando em paralelo, possui a mesma tensão.
ቊ
𝑞4 = 𝑐∆𝑉 = 20 𝜇𝐹 2,9 𝑉 = 58 𝜇𝐶
𝑞𝐻 = 𝑐∆𝑉 = 10 𝜇𝐹 2,9 𝑉 = 29 𝜇𝐶
CH é a simplificação de dois capacitores em série,
ou seja, mesma carga.
∆𝑉 =
𝑞
𝑐5
=
29 𝜇𝐶
20 𝜇𝐹
= 1,45 𝑉
∆𝑉 =
𝑞
𝑐6
=
29 𝜇𝐶
20 𝜇𝐹
= 1,45 𝑉
97
Agora expandindo para os lados temos C1 e CF em paralelo
ቊ
𝑞1 = 𝑐∆𝑉 = 20 𝜇𝐹 2,72 𝑉 = 54,4 𝜇𝐶
𝑞𝐹 = 𝑐∆𝑉 = 12 𝜇𝐹 2,72 𝑉 = 32,6 𝜇𝐶
CF leva a C7 e CE em série, logo:
∆𝑉 =
𝑞
𝑐7
=
32,6 𝜇𝐶
20 𝜇𝐹
= 1,63 𝑉
∆𝑉 =
𝑞
𝑐𝐸
=
32,6 𝜇𝐶
30 𝜇𝐹
= 1,08 𝑉
98
De CE seguimos para C2 e CD em paralelo
ቊ
𝑞2 = 𝑐∆𝑉 = 20 𝜇𝐹 1,08 𝑉 = 21,6 𝜇𝐶
𝑞𝐷 = 𝑐∆𝑉 = 10 𝜇𝐹 1,08 𝑉 = 10,8 𝜇𝐶
Logo após C11 e CC em série
∆𝑉 =
𝑞
𝑐11
=
10,8 𝜇𝐶
20 𝜇𝐹
= 0,54 𝑉
∆𝑉 =
𝑞
𝑐𝐶
=
10,8 𝜇𝐶
20 𝜇𝐹
= 0,54 𝑉 99
Finalmente os dois últimos CA e CB em série
Temos dois casos de séries seguidos, todos os casos
anteriores nós vimos capacitores em série e logo em
seguida capacitores em paralelo, mas dessa vez é diferente,
temos série seguido de série, nesse caso veja o que
acontece.
Quando estamos em série a carga é a mesma, só que a
mesma carga já foi tirada lá do CD e depois compartilhada
entre o C11 e CC, mas agora a mesma carga irá para CA e
CB, para você fazer isso deve-se dividir o valor da corrente
por 2.𝑞𝐴 =
10,8 𝜇𝐶
2
= 5,4 𝜇𝐶
𝑞𝐵 =
10,8 𝜇𝐶
2
= 5,4 𝜇𝐶
O mesmo acontece com a sua tensão
100
Fazemos C3 e C8 junto com C9 e C10 em paralelo
𝑞10 = 𝑐∆𝑉 = 20 𝜇𝐹 0,27 𝑉 = 5,4 𝜇𝐶
𝑞9 = 𝑐∆𝑉 = 20 𝜇𝐹 0,27 𝑉 = 5,4 𝜇𝐶
𝑞3 = 𝑐∆𝑉 = 20 𝜇𝐹 0,27 𝑉 = 5,4 𝜇𝐶
𝑞8 = 𝑐∆𝑉 = 20 𝜇𝐹 0,27 𝑉 = 5,4 𝜇𝐶
Temos esse valor de tensão por que em paralelo todos
compartilham da mesma tensão, e a tensão foi dividida por
dois lá atrás junto com as cargas quando calculamos CA e
CB.
101
Então, o veredito final!
𝑐𝐾 = 8,73 𝜇𝐹 &
𝑞1 = 54,4 𝜇𝐶
𝑞2 = 21,6 𝜇𝐶
𝑞3 = 5,4 𝜇𝐶
𝑞4 = 58 𝜇𝐶
𝑞5 = 29 𝜇𝐶
𝑞6 = 29 𝜇𝐶
𝑞7 = 32,6 𝜇𝐶
𝑞8 = 5,4 𝜇𝐶
𝑞9 = 5,4 𝜇𝐶
𝑞10 = 5,4 𝜇𝐶
𝑞11 = 10,8 𝜇𝐶
𝑞12 = 87 𝜇𝐶
102
DIA 8
ELETROMAGNETISMO
Sumário
EXEMPLO I
Seja o caso de uma barra de comprimento 𝑙, pelo qual passa uma corrente 𝑖 constante. Determine o campo
magnético induzido no ponto P(a,b).
Análise de situação
-Vamos agora analisar com qual situação estamos trabalhando.
𝑃 𝑎, 𝑏
𝑖
𝑙
Passo 1
−
𝑙
2
𝑙
2
Por simetria, dividimos o tamanho
do fio em duas partes.
104
−
𝑙
2
𝑙
2
𝑑𝑙
Temos uma partícula infinitesimal 𝑑𝑙.
−
𝑙
2
𝑙
2
𝑑𝑙
റ𝑟
𝑃 𝑎, 𝑏
𝑑𝐸
Temos o campo elétrico
perpendicular ao fio.
Mas o campo magnético não é
perpendicular ao fio, ele fura o
plano em terceira dimensão.
𝑙
2
𝑑𝑙
𝑃 𝑎, 𝑏
−
𝑙
2
𝑙
2
𝑑𝑙
𝑃 𝑎, 𝑏
𝑖
Olhando o sentido da corrente e usando a
regra da mão direita temos o sentido do
campo magnético
റ𝑟 റ𝑟
𝑑𝐵
105
Olhando numa perspectiva melhora para entender
𝑃 𝑎, 𝑏
𝑃 𝑎, 𝑏
𝑃 𝑎, 𝑏
Não necessitamos disso para fazermos nosso cálculo, isso é para que
você entenda o que está sendo feito aqui.
𝑑𝐸
𝑑𝐵
𝑑𝐸
𝑑𝐵
𝑑𝐸
𝑑𝐵
106
Passo 2 Elementos vetoriais
𝑑𝑙
𝑃 𝑎, 𝑏
റ𝑟
𝑟𝑝
𝑟𝑒
൞
𝑑റ𝑙 = 𝑑𝑥𝑖
𝑟 റ𝑝 = 𝑎𝑖 + 𝑏𝑗
𝑟 റ𝑒 = 𝑥𝑖
Precisamos nos localizar no espaço:
𝑑𝑥 é o tamanho infinitesimal em termos vetoriais;
𝑟 റ𝑝 é a distância da origem ao ponto;
𝑟 റ𝑒 é a distância da origem ao 𝑑𝑙.
𝑖
𝑗
Para saber o valor da distância de 𝑑𝑙 ao ponto usamos soma 
de vetores:
𝑟𝑒 + റ𝑟 𝑟𝑒 + റ𝑟 = 𝑟𝑝
റ𝑟 = 𝑟𝑝 − 𝑟𝑒
റ𝑟 = 𝑎𝑖 + 𝑏𝑗 − 𝑥𝑖
റ𝑟 = 𝑎 − 𝑥 𝑖 + 𝑏𝑗
𝑟 = 𝑎 − 𝑥 2 + 𝑏2
módulo
107
Passo 3 Desenvolvendo a equação
𝑑𝐵 =
𝜇0
4𝜋
𝑖𝑑റ𝑙 × റ𝑟
𝑟3
𝑑റ𝑙 × റ𝑟 = 𝑑𝑥𝑖 × 𝑎 − 𝑥 𝑖 + 𝑏𝑗
- Mesmas coordenadas é igual a zero: 𝑖 × 𝑖 = 0
- Siga este ciclo para resolver produto vetorial
- Se o produto seguir caminho contrário ao das setas, temos valor negativo.
Logo temos o resultado
𝑑റ𝑙 × റ𝑟 = 𝑏𝑑𝑥𝑘
Por fim
𝑑𝐵 =
𝑖𝜇0
4𝜋
𝑏𝑑𝑥
𝑎 − 𝑥 2 + 𝑏2
3
2
k
Produto vetorial
𝑘
റ𝑖 റ𝑗
108
Passo 4 Integrar
𝑑𝐵 =
𝑖𝜇0
4𝜋
𝑏𝑑𝑥
𝑎 − 𝑥 2 + 𝑏2
3
2
𝑘 → 𝐵 =
𝑖𝜇0𝑏
4𝜋
𝑘න
−
𝑙
2
𝑙
2 𝑑𝑥
𝑎 − 𝑥 2 + 𝑏2
3
2
𝐵 =
𝑖𝜇0𝑏
4𝜋
𝑘
𝑙
2
𝐴
−
𝑙
2
𝑥
𝑏2 𝑎 − 𝑥 2 + 𝑏2
𝐵 =
𝑖𝜇0𝑏
4𝜋
𝑙
2
𝑎 − 𝑥 2 + 𝑏2
−
−
𝑙
2
𝑎 − 𝑥 2 + 𝑏2
𝑘
109
DIA 9
EXEMPLO DE ELETROMAGNETISMO
Sumário
EXEMPLO I
Caso do campo magnético gerado por uma espira circular de raio r. Determine o campo 𝐵 no ponto 𝑝 0,0, 𝑎
Análise de situação
𝑃 0,0, 𝑎
𝑅
𝑖 𝑅
𝑖
𝑑𝑙
𝑑𝑙 é a parte infinitesimal da espira
contendo corrente.
Aqui é necessário analisar as partes infinitesimais
e todas as propriedades que envolvem a espira
Pois estamos trabalhando com coordenadas diferentes
das usuais, aqui não podemos usar coordenadas
em x, 𝑦 e sim coordenadas polares.
Passo 1
111
𝑖
𝑖𝑑𝑙
𝑃 0,0, 𝑎
Precisamos localizar o ponto
no espaço, usamos vetores para issoറ𝑟𝑟𝑝
𝑟𝑒
Perceba que 𝑅 foi trocado por 𝑟𝑒
isso acontece por que 𝑅 é um escalar
e não serve para indicar posições, mas
um vetor sim, então traçamos um vetor
𝑟𝑒 que tem a mesma medida que 𝑅, porém
com sentido e direções definidos.
𝑖
𝑖𝑑𝑙
റ𝑟𝑟𝑝
𝑟𝑒
𝑑𝐸 O campo elétrico é perpendicular
a direção da espira. 
Pela regra da mão direita temos o giro 
do campo magnético em sentido horário.
O campo magnético são
circunferências em ângulos
diferentes.
Temos a análise vetorial dos vetores utilizados para
localizar o ponto no espaço. Lembrando que utilizamos
as coordenadas em 𝑖, 𝑗 𝑒 𝑘 para dar a direção aos vetores.
൞
𝑟𝑝 = 𝑎𝑘
𝑟𝑒 = 𝑅ê𝑟
റ𝑟 = 𝑟𝑝 − 𝑟𝑒
..
.
.
→ റ𝑟 = 𝑎𝑘 − 𝑅ê𝑟
Veja que em vez de usar uma das coordenadas 𝑖, 𝑗 𝑒 𝑘 o
vetor 𝑟𝑒 está usando um versor ê𝑟. Isso se dá pelo fato de
estarmos trabalhando com coordenadas polares, isto é,
coordenadas circulares.
112
REVISÃO DE COORDENADAS POLARES
As coordenadas que usamos normalmente
são as coordenadas retangulares.
𝑦
𝑥
Não podemos usar essas coordenadas para representar um círculo,
isso por que para criarmos um círculo precisamos de ângulo, que é o que essa
coordenada usual não tem. Para isso temos as coordenadas polares.
Como não estamos trabalhando com números e sim com formas algébricas então não podemos simplesmente pegar os dados
e transformar da calculadora científica, usamos então o apoio do cálculo diferencial e integral.
113
Utilizando uma calculadora científica,
com a função 𝑃𝑜𝑙 𝑥, 𝑦 é possível transformar
coordenadas retangulares em coordenadas polares.
Veja o comportamento.
Usamos as coordenadas retangulares 0,1
Temos agora coordenadas polares de raio
1 e o ângulo de 90º.
114
Se uma reta for traçada do ponto 0 ao 1 e girar essa reta de 0 até 1temos a coordenada polar formada. 
Com o uso do cálculo diferencial e integral temos as coordenadas polares com a seguinte característica.
𝑓 𝑥, 𝑦 → 𝑓 𝑟 cos 𝜃 , 𝑟 sen 𝜃 → න𝑓 𝑟 cos 𝜃 , 𝑟 sen 𝜃 𝑟𝑑𝑟𝑑𝜃
115
Passo 2 Versores
O versor é o que garante a configuração do vetor em coordenadas polares, então temos o versor do raio:
ê𝑟 =
റ𝑟
𝑟
, o valor de റ𝑟 é um valor em coordenadas polares, pois não haveria uma circunferência se não fosse, logo,
റ𝑟 = 𝑟 cos 𝜃 𝑖 + 𝑟 sen 𝜃 𝑗 → 𝑟 = 𝑟2 cos2 𝜃 + 𝑟2 sen2 𝜃 = 𝑟2 = 𝑟
Com isso substituímos:
ê𝑟 =
റ𝑟
𝑟
=
𝑟 cos 𝜃 𝑖 + 𝑟 sen 𝜃 𝑗
𝑟
= cos 𝜃 𝑖 + sen 𝜃 𝑗
Um segundo versor que temos é o da partícula infinitesimal da espira, usando o
método rápido de encontrar uma parte infinitesimal temos:
𝑙 = 2𝜋𝑟 → 𝑎𝑛𝑔𝑢𝑙𝑜 𝑞𝑢𝑎𝑙𝑞𝑢𝑒𝑟 → 𝑙 = 𝜃𝑟 → 𝑑𝑒𝑟𝑖𝑣𝑎𝑛𝑑𝑜 → 𝑑𝑙 = 𝑑𝜃𝑟
Só que o raio não é o mesmo, estamos em terreno polar então temos um segundo versor, um versor do raio infinitesimal:
𝑑𝑙 = 𝑟𝑑𝜃ê𝜃
Como 𝑒𝜃 é um versor infinitesimal do raio então basta derivarmos o versor do raio:
ê𝜃 =
𝑑𝑟
𝑑𝜃
ê𝑟 =
𝑑𝑟
𝑑𝜃
cos 𝜃 𝑖 + sen 𝜃 𝑗 → −sen 𝜃 𝑖 + cos 𝜃 𝑗 116
Desta forma substituímos valores e encontramos os resultados dos vetores que localizam o ponto no espaço:
റ𝑟 = 𝑎𝑘 − 𝑅ê𝑟
റ𝑟 = 𝑎𝑘 − r cos 𝜃 𝑖 + sen 𝜃 𝑗
റ𝑟 = 𝑎𝑘 − r cos 𝜃 𝑖 − r sen𝜃 𝑗 → 𝑟 = 𝑎2 + r2 cos2 𝜃 + r2 sen2 𝜃 → 𝑟2 + 𝑎2
1
2
Agora encontramos o valor da partícula infinitesimal também:
𝑑𝑙 = r𝑑𝜃ê𝜃
𝑑𝑙 = 𝑟𝑑𝜃 − sen 𝜃 𝑖 + cos 𝜃 𝑗
117
Passo 3 Desenvolvendo a equação
𝑑𝐵 =
𝜇0
4𝜋
𝑖𝑑റ𝑙 × റ𝑟
𝑟3
→ 𝑑𝐵 =
𝜇0
4𝜋
𝑖𝑟𝑑𝜃ê𝜃 × റ𝑟
𝑟2 + 𝑎2
3
2
ê𝜃 × റ𝑟 = −sen 𝜃 𝑖 + cos 𝜃 𝑗 × −𝑟 cos 𝜃 𝑖 − 𝑟 sin 𝜃 𝑗 + 𝑎𝑘
Com esse ciclo temos os seguintes possíveis resultados:
𝑖 × 𝑖 = 0 𝑖 × 𝑗 = 𝑘 𝑖 × 𝑘 = −𝑗 𝑗 × 𝑖 = −𝑘 𝑗 × 𝑗 = 0 𝑗 × 𝑘 = 𝑖
Logo temos o resultado
ê𝜃 × റ𝑟 = 𝑟 sen
2 𝜃 𝑘 − 𝑎 sen 𝜃 −𝑗 − 𝑟 cos2 𝜃 −𝑘 + 𝑎 cos 𝜃 𝑖 → ê𝜃× റ𝑟 = 𝑎 cos 𝜃 𝑖 + 𝑎 sen 𝜃 𝑗 + 𝑟𝑘
Por fim
𝑑𝐵 =
𝑖𝜇0𝑟𝑑𝜃
4𝜋 𝑟2 + 𝑎2
3
2
𝑎 cos 𝜃 𝑖 + 𝑎 sen 𝜃 𝑗 + 𝑟𝑘
Produto vetorial
𝑘
റ𝑖 റ𝑗
Se o produto seguir a seta: resultado positivo
Se o produto ir contra a seta: resultado negativo
sen2 𝜃 + cos2 𝜃 = 1
118
Passo 4 Integrar
𝑑𝐵 =
𝑖𝜇0𝑟𝑑𝜃
4𝜋 𝑟2 + 𝑎2
3
2
𝑎 cos 𝜃 𝑖 + 𝑎 sen 𝜃 𝑗 + 𝑟𝑘 → 𝐵 =
𝑖𝜇0𝑟
4𝜋 𝑟2 + 𝑎2
3
2
න
0
2𝜋
𝑎 cos 𝜃 + 𝑎 sen 𝜃 + 𝑟 𝑑𝜃
න
0
2𝜋
𝑎 cos 𝜃 𝑑𝜃 = 𝑎 sen 𝜃 |
2𝜋
0
= 0
න
0
2𝜋
𝑎 sen𝜃 𝑑𝜃 = −𝑎 cos 𝜃 |
2𝜋
0
= 0
න
0
2𝜋
𝑟 𝑑𝜃 = 𝑟𝜃|
2𝜋
0
= 2𝜋𝑟𝑘
𝐵 =
𝑖𝜇0𝑟2𝜋𝑟
4𝜋 𝑟2 + 𝑎2
3
2
𝑘 → 𝐵 =
𝑖𝜇0𝑟
2
2 𝑟2 + 𝑎2
3
2
𝑘
Temos os limites de 0,2𝜋 por que estamos trabalhando
com uma circunferência completa.
k é a direção do vetor e não uma constante
119
𝑖
𝑖𝑑𝑙
റ𝑟𝑟𝑝
𝑟𝑒
𝑑𝐸
𝑑𝐵
Análise do resultado
Veja que no resultado final restou a direção 𝑘 no vetor,
logo o campo magnético é apontado para cima (direção de 𝑘)
𝐵 =
𝑖𝜇0𝑟
2
2 𝑟2 + 𝑎2
3
2
𝑘
120
DIA 10
EXEMPLO DE ELETROMAGNETISMO
Sumário
EXEMPLO 1
Seja o caso de dois fios muito grandes e equidistantes que são percorridos por correntes 𝑖 e 𝑖′, veja a figura. 
Determine o campo magnético 𝐵 resultante no ponto 𝑃.
Análise da situação
Temos o campo magnético afetado por dois fios com correntes
diferentes, como de costume pegamos uma parte infinitesimal do objeto
contendo a corrente, ou seja, pegaremos um 𝑑𝑙 e 𝑑𝑙′ e com eles iremos
localizar o ponto no espaço com vetores, lembre-se: para localizar
qualquer objeto no espaço, usa-se vetores, pois eles tem módulo, sentido
e direção, tudo que precisamos para uma perfeita localização.
𝑥
𝑦
𝑃 𝑥, 0
𝑖′
𝑖
← 𝑏 → ← 𝑏 →
⋮⋮
⋮ ⋮
∞ ∞
−∞−∞
Passo 1
122
𝑥
𝑦
𝑖′
𝑖
𝑑𝑙 𝑑𝑙′
Para localização do ponto no espaço precisamos
usar vetores para todas as distâncias possíveis.
Analise os fios com cuidado e veja quais são
essas distâncias:
• Distâncias das partes infinitesimais até o ponto; (റ𝑟)
• Distância da origem ao ponto; (𝑟𝑜)
• Distância do eixo x ás partes infinitesimais; (𝑟𝑖)
• Distância dos fios até o ponto. (𝑟𝑝)
𝑥
𝑦
𝑖′
𝑖 റ𝑟
𝑟′
𝑥
𝑦
𝑖′
𝑖
𝑟𝑜
123
𝑥
𝑦
𝑖′
𝑖
𝑟𝑖
𝑟𝑖
′
𝑥
𝑦
𝑖′
𝑖
𝑟𝑝 𝑟𝑝
′
Agora vamos analisar o valor de cada vetor, antes vamos
organizar todos os vetores que temos abaixo:
𝑑𝑙
𝑑𝑙′
റ𝑟
𝑟′
𝑟𝑜
𝑟𝑖
𝑟𝑖
′
𝑟𝑝
𝑟𝑝
′
Aos poucos vamos descobrindo cada um deles;
vamos começar pelo mais simples.
Passo 2 Vetores
Os mais simples vetores são as partes infinitesimais, veja que as
partes infinitesimais são pequenos pedaços dos fios, a nossa única
forma de usar uma referência para os fios é o eixo y no qual eles
estão em paralelo. Um vetor sempre é desmembrado a partir de
um escalar de referência (neste caso y) em produto com o sentido
do vetor representado pela base canônica 𝑖, 𝑗, 𝑘 .
Logo:
𝑑𝑙 = 𝑑𝑦 −𝑖 , 𝑑𝑙′ = 𝑑𝑦𝑖
Temos que o 𝑟𝑝 não passa pela origem,
por que não há necessidade de continuar,
o 𝑟𝑜 completa o resto do trajeto.
124
Agora o restante dos vetores estão todos interligados, por dois triângulos retângulos, veja:
Mas ainda podemos usar algumas variáveis para substituir no vetores, no início do enunciado vemos que os fios são
equidistantes por uma distância 𝑏. (se não lembra veja aqui )
Temos que 𝑏 tem a mesma medida que 𝑟𝑝, com isso podemos muito bem dizer que 𝑟𝑝 = 𝑏 −𝑖
Agora os vetores 𝑟𝑖 e 𝑟𝑖
′ tem suas medidas baseadas no eixo y, desta forma fazemos: 𝑟𝑖 = 𝑦𝑖 , 𝑟𝑖
′ = 𝑦𝑖.
O vetor 𝑟𝑜 pode ter sua referência na abscissa a qual ele está paralelo, dessa forma: 𝑟𝑜 = 𝑥𝑖
Agora que temos o vetor 𝑟𝑜 definido podemos analisar o vetor 𝑟𝑝
′ que também está em paralelo com a abscissa, mas se o
vetor 𝑟𝑜 já tomou o valor de 𝑥𝑖 então 𝑟𝑝
′ deve assumir outro valor por que certamente os dois não são iguais, mas
podemos muito bem ver que 𝑟𝑝
′ tem quase o tamanho de 𝑏 que é a distância do fio ao eixo y, mas se fizermos valor de
𝑟𝑜 menos o valor de 𝑏 teremos a medida perfeita do vetor que procuramos, então: 𝑟𝑝
′
= 𝑏 − 𝑥 −𝑖
Com esses dados podemos encontrar റ𝑟 e 𝑟′ através da soma de vetores:
125
Analisando soma de vetores, temos o seguinte caso:
റ𝑟 + 𝑟𝑖 = 𝑟𝑜 + −𝑟𝑝
Mesmo sendo uma soma, temos vetores subtraindo:
Ora, 𝑟𝑝 está no lado negativo da coordenada x (veja aqui o gráfico ), e como estamos tratando de vetores então temos que 
colocar os seus sentidos, dessa forma teríamos:
റ𝑟 + 𝑟𝑖 = 𝑟𝑜 − 𝑟𝑝
Que fica assim
റ𝑟 = 𝑟𝑜 − 𝑟𝑝 − 𝑟𝑖
Agora temos um caso mais simples, desta forma:
𝑟𝑝
′ = 𝑟′ + 𝑟𝑖
′
𝑟′ = 𝑟𝑝
′ − 𝑟𝑖
′
Agora com a somas completas, vamos substituir e encontrar seus valores.
Uma soma de vetores é feita com vetores
ligados cara e rabo e não rabo-rabo ou
cara-cara.
126
Primeira equação
Substituindo
റ𝑟 = 𝑟𝑜 − 𝑟𝑝 − 𝑟𝑖
റ𝑟 = 𝑥𝑖 − 𝑏 −𝑖 − 𝑦𝑖
റ𝑟 = 𝑥𝑖 + 𝑏𝑖 − 𝑦𝑖
റ𝑟 = 𝑥 + 𝑏 𝑖 − 𝑦𝑖
Módulo
𝑟 = 𝑥 + 𝑏 2 + 𝑦2
Segunda equação
Substituindo
𝑟′ = 𝑟𝑝
′ − 𝑟𝑖
′
𝑟′ = 𝑏 − 𝑥 −𝑖 − 𝑦𝑖
𝑟′ = 𝑥 − 𝑏 𝑖 − 𝑦𝑖
Módulo
𝑟 = 𝑥 − 𝑏 2 + 𝑦2
127
Produto vetorial
Como temos dois fios teremos dois campos magnéticos, devemos encontrar a resultante que é a soma dos dois campo:
𝑑𝐵𝑟 = 𝑑𝐵 =
𝜇0
4𝜋
𝑖𝑑റ𝑙 × റ𝑟
𝑟3
+ 𝑑𝐵′ =
𝜇0
4𝜋
𝑖′𝑑റ𝑙′ × റ𝑟′
𝑟′3
Dessa forma temos dois produtos vetoriais para resolver:
Primeiro produto
𝑑റ𝑙 × റ𝑟
−𝑑𝑦𝑗 × 𝑥 + 𝑏 𝑖 + 𝑦𝑗
Início da operação
− 𝑥 + 𝑏 𝑑𝑦 𝑗 × 𝑖 + 𝑦𝑑𝑦 𝑗 × 𝑗
− 𝑥 + 𝑏 𝑑𝑦 −𝑘
𝑑റ𝑙 × റ𝑟 = 𝑥 + 𝑏 𝑑𝑦𝑘
Segundo produto
𝑑റ𝑙′ × റ𝑟′
𝑑𝑦𝑗 × 𝑥 − 𝑏 𝑖 − 𝑦𝑗
Início da operação
𝑥 − 𝑏 𝑑𝑦 𝑗 × 𝑖 − 𝑦𝑑𝑦 𝑗 × 𝑗
𝑥 − 𝑏 𝑑𝑦 −𝑘
𝑖𝑑റ𝑙 × റ𝑟 = 𝑏 − 𝑥 𝑑𝑦𝑘
Passo 3
𝑘
റ𝑖 റ𝑗
Se o produto seguir a seta: resultado positivo
Se o produto ir contra a seta: resultado negativo
Fim
Fim
128
Integrar
Juntando todos os dados, integramos
Primeira integração
𝑑𝐵 =
𝜇0
4𝜋
𝑖𝑑റ𝑙 × റ𝑟
𝑟3
→ 𝐵 =
𝜇0𝑖
4𝜋
න
−∞
+∞ 𝑥 + 𝑏 𝑑𝑦
𝑥 + 𝑏 2 + 𝑦2 3/2
𝑘
𝐵 =
𝜇0𝑖 𝑥 + 𝑏
4𝜋
න
−∞
+∞ 𝑑𝑦
𝑥 + 𝑏 2 + 𝑦2 3/2
𝑘
Início á integração
𝜇0𝑖 𝑥 + 𝑏
4𝜋
න
−∞
+∞ 𝑑𝑦
𝑥 + 𝑏 2 + 𝑦2 3/2
𝑘 =
𝜇0𝑖 𝑥 + 𝑏
4𝜋
𝑦
𝑥 + 𝑏 2 𝑥 + 𝑏 2 + 𝑦2
|
+∞
−∞
𝜇0𝑖
4𝜋 𝑥 + 𝑏
𝑦
𝑥 + 𝑏 2 + 𝑦2
|
+∞
−∞
∞
𝑥 + 𝑏 2 +∞2
+
∞
𝑥 + 𝑏 2 +∞2
→ 2
∞
𝑥 + 𝑏 2 +∞2
Passo 4
Temos o limite de menos a
mais infinito por causa do
tamanho da barra.
Temos um breve caso de
limite tendendo ao infinito
Em calculo tem-se naturalmente a subtração do limite de cima pelo de baixo, como o limite
de baixo é −∞, temos que o sinal ficou positivo na segunda fração, e o outro 𝑦 que está
dentro da raiz está elevado ao quadrado, ou seja, o sinal será obrigatoriamente positivo.
129
Resolvendo o limite
lim
𝑦→∞
𝑦
𝑥 + 𝑏 2 + 𝑦2
→ lim
𝑦→∞
𝑦
𝑥2 + 2𝑥𝑏 + 𝑏2 + 𝑦2
Neste caso veja a propriedade de limites sendo usada:
lim
𝑦→∞
𝑦
lim
𝑦→∞
𝑥2 + lim
𝑦→∞
2𝑥𝑏 + lim
𝑦→∞
𝑏2 + lim
𝑦→∞
𝑦2
Limite de uma constante é igual a zero, a única variável aqui é o y
lim
𝑦→∞
𝑦
lim
𝑦→∞
𝑦2
→ lim
𝑦→∞
𝑦
𝑦2
→ lim
𝑦→∞
𝑦
𝑦
= 1
Com isso temos
𝜇0𝑖
4𝜋 𝑥 + 𝑏
න
−∞
+∞ 𝑑𝑦
𝑥 + 𝑏 2 + 𝑦2 3/2
𝑘 =
𝜇0𝑖
4𝜋 𝑥 + 𝑏
2𝑘 =
𝜇0𝑖
2𝜋 𝑥 + 𝑏
𝑘
130
A segunda integração é muito parecidacom a primeira, neste caso podemos resolve-la mais rápido:
Segunda integração
𝑑𝐵′ =
𝜇0
4𝜋
𝑖′𝑑റ𝑙′ × 𝑟′
𝑟′3
→ 𝐵 =
𝜇0𝑖
′
4𝜋
− න
−∞
+∞ 𝑥 − 𝑏 𝑑𝑦
𝑥 − 𝑏 2 + 𝑦2 3/2
𝑘
𝐵 =
𝜇0𝑖
′ 𝑥 − 𝑏
4𝜋
− න
−∞
+∞ 𝑑𝑦
𝑥 − 𝑏 2 + 𝑦2 3/2
𝑘
Início á integração
𝜇0𝑖
′ 𝑥 − 𝑏
4𝜋
− න
−∞
+∞ 𝑑𝑦
𝑥 − 𝑏 2 + 𝑦2 3/2
𝑘 =
𝜇0𝑖
′ 𝑥 − 𝑏
4𝜋
−
𝑦
𝑥 − 𝑏 2 𝑥 − 𝑏 2 + 𝑦2
|
+∞
−∞
𝜇0𝑖
′
4𝜋 𝑥 − 𝑏
−
𝑦
𝑥 − 𝑏 2 + 𝑦2
|
+∞
−∞
−
∞
𝑥 − 𝑏 2 +∞2
+
∞
𝑥 − 𝑏 2 +∞2
→ −2
∞
𝑥 − 𝑏 2 +∞2
= −2
Com isso temos
𝜇0𝑖
′
4𝜋 𝑥 − 𝑏
− න
−∞
+∞ 𝑑𝑦
𝑥 − 𝑏 2 + 𝑦2
3
2
𝑘 =
𝜇0𝑖
′
4𝜋 𝑥 − 𝑏
− 2𝑘 = −
𝜇0𝑖
′
2𝜋 𝑥 − 𝑏
𝑘
131
Campo resultante
Com o valor dos dois campos encontrados, hora de encontrar o campo resultante através da soma dos dois:
𝐵𝑟 = 𝐵 + 𝐵
′
𝐵𝑟 =
𝜇0𝑖
2𝜋 𝑥 + 𝑏
𝑘 −
𝜇0𝑖
2𝜋 𝑥 − 𝑏
𝑘
𝐵𝑟 =
𝜇0𝑖
2𝜋
𝑘
1
𝑥 + 𝑏
−
1
𝑥 − 𝑏
𝐵𝑟 =
𝜇0𝑖
2𝜋
𝑘
𝑥 − 𝑏 − 𝑥 + 𝑏
𝑥 + 𝑏 𝑥 − 𝑏
𝐵𝑟 =
𝜇0𝑖
2𝜋
𝑘
−2𝑏
𝑥2 − 𝑏2
𝐵𝑟 =
𝜇0𝑖
𝜋
𝑘
−𝑏
𝑥2 − 𝑏2
Passo 5
132
Em avermelhado, os campos magnéticos dos fios,
em azul, o campo magnético resultante.
O vetor do campo magnético 
resultante tem o sentido para 𝑘
O sentido do vetor campo magnético 
resultante é ante horário.
O sentidos dos campo magnéticos são: 
primeiro fio é ante horário, segundo fio 
é horário
133
DIA 11
ÚLTIMO EXEMPLO DE ELETROMAGNETISMO
Sumário
134
EXEMPLO I
Seja o conjunto de circuito dado na figura a seguir, determine a força magnética no ponto 𝑃 do circuito retangular.
Análise da situação
Bom, aqui não há nenhuma novidade, vamos calcular o campo magnético e
depois aí sim temos uma novidade, força magnética que é dada pelo seguinte
produto vetorial: 𝑑𝐹𝑚 = 𝑖𝑑𝑙 × 𝐵. Neste caso o primeiro passo é colocar
todo esse esquema num gráfico de coordenadas para que possamos localizar
esse ponto no espaço.
⋮
⋮
𝑖′
∞
−∞
𝑖
𝑖
𝑖 𝑖
← 𝑎 →
←
𝑏
→
← 𝑑 → 𝑃
Passo 1
135
𝑖′
𝑖
𝑖
𝑖 𝑖
← 𝑎 →
←
𝑏
→
← 𝑑 → 𝑃
𝑦
𝑥
Depois sempre pegamos as partes infinitesimais
dos objetos envolvidos no caso.
𝑖′
𝑃
𝑦
𝑥
𝑑𝑙′
𝑑𝑙
Agora vamos a análise dos vetores necessários para
localizarmos esse ponto no espaço, vamos prestar
atenção no gráfico:
• Distâncias da parte infinitesimal até o ponto; (റ𝑟)
• Distância da origem ao ponto; (𝑟𝑜)
• Distância do eixo x á parte infinitesimal: (𝑟𝑖)
Neste caso o campo será calculado no fio,
como a força magnética será calculada no
circuito então a parte infinitesimal do circuito
será responsável pelo cálculo da força
magnética no ponto 𝑃 : 𝑑𝐹𝑚 = 𝑖𝑑𝑙 × 𝐵.
𝑖′
𝑃
𝑦
𝑥
𝑑𝑙′
𝑑𝑙
റ𝑟
𝑟𝑜
𝑟𝑖
136
Vetores
Temos os mais simples dos vetores, as partes infinitesimais:
𝑑𝑙′ = 𝑑𝑦𝑗 , 𝑑𝑙 = 𝑏 −𝑗
Um vetor é sempre desmembrado por um escalar e uma direção da base canônica, nesse caso o escalar deve ser 
infinitesimal, e em 𝑑𝑙′ o sentido é para cima enquanto 𝑑𝑙 é para baixo.
O restante dos vetores estão interligados, mas vamos dar valores aqueles que podemos analisar.
𝑟𝑜 tem o mesmo tamanho da distância entre o fio e o circuito (imagem ) e 𝑟𝑖 está em paralelo com o eixo y,
dessa forma temos:
𝑟𝑜 = 𝑑𝑖 , 𝑟𝑖 = 𝑦𝑗
Agora temos a soma de vetores:
𝑟𝑜 = 𝑟𝑖 + റ𝑟
റ𝑟 = 𝑟𝑜 − 𝑟𝑖 = 𝑑𝑖 − 𝑦𝑗
Módulo
𝑟 = 𝑑2 + 𝑦2
Passo 2
137
Produto vetorial
Aqui temos um simples produto vetorial para podermos início a integração:
𝑑𝐵 =
𝜇0
4𝜋
𝑖𝑑റ𝑙′ × റ𝑟
𝑟3
Dessa forma o produto vetorial para resolver:
Primeiro produto
𝑑റ𝑙′ × റ𝑟
𝑑𝑦𝑗 × 𝑑𝑖 − 𝑦𝑗
Início da operação
𝑑𝑦𝑑 𝑗 × 𝑖 − 𝑦𝑑𝑦 𝑗 × 𝑗
𝑑𝑦𝑑 −𝑘
𝑑റ𝑙′ × റ𝑟 = −𝑑𝑑𝑦𝑘
Passo 3
𝑘
റ𝑖 റ𝑗
Se o produto seguir a seta: resultado positivo
Se o produto ir contra a seta: resultado negativo
Fim
138
Integrar
Juntando os dados para a integração
𝑑𝐵 =
𝜇0
4𝜋
𝑖′𝑑റ𝑙′ × റ𝑟
𝑟3
→ 𝐵 =
𝜇0𝑖
′𝑑
4𝜋
−න
−∞
+∞ 𝑑𝑦
𝑑2 + 𝑦2 3/2
𝑘
Início á integração
𝜇0𝑖
′𝑑
4𝜋
− න
−∞
+∞ 𝑑𝑦
𝑑2 + 𝑦2 3/2
𝑘 =
𝜇0𝑖
′𝑑
4𝜋
−
𝑦
𝑑2 𝑑2 + 𝑦2
|
+∞
−∞
𝜇0𝑖
′
4𝜋𝑑
−
𝑦
𝑑2 + 𝑦2
|
+∞
−∞
−
∞
𝑑2 +∞2
+
∞
𝑑2 +∞2
→ −2
∞
𝑑2 +∞2
= −2
Com isso temos
𝜇0𝑖
′
4𝜋𝑑
− න
−∞
+∞ 𝑑𝑦
𝑑2 + 𝑦2
3
2
𝑘 =
𝜇0𝑖
′
4𝜋𝑑
− 2𝑘 = −
𝜇0𝑖
′
2𝜋𝑑
𝑘
Passo 4
139
Força magnética
𝑑𝐹𝑚 = 𝑖𝑑𝑙 × 𝐵
Ainda não temos necessidade de substituir o campo magnético, só devemos expor seu sentido.
𝑑𝐹𝑚 = 𝑖𝑑𝑙 × 𝐵𝑘
𝑑𝑙 × 𝐵𝑘
−𝑑𝑦𝑗 × 𝐵𝑘
−𝑑𝑦𝐵 𝑗 × 𝑘
𝑑𝐹𝑚 = 𝑖 −𝑑𝑦𝐵റ𝑖
Agora integrando
𝐹𝑚 = න
0
𝑏
−𝑑𝑦𝑖 −
𝜇0𝑖
′
2𝜋𝑑
റ𝑖 → 𝑖
𝜇0𝑖
′
2𝜋𝑑
න
0
𝑏
𝑑𝑦റ𝑖 → 𝑖
𝜇0𝑖
′
2𝜋𝑑
𝑏റ𝑖
Passo 5
Temos o limite de integração de 0 a b por causa
do tamanho do circuito retangular.
140
𝐵 𝐹𝑚
O sentido de giro do campo magnético é
horário.
A força magnética aponta para o lado
oposto ao campo magnético, mostrando
uma força repulsiva.
O campo magnético aponta para o
sentido de k
141
DIA 12
AS EQUAÇÕES DE MAXWELL
Sumário
142
AS EQUAÇÕES DE MAXWELL
𝐼) 𝛻 ∙ 𝐸 =
𝜌
𝜀
(𝐿𝑒𝑖 𝑑𝑒 𝐺𝑎𝑢𝑠𝑠)
𝐼𝐼) 𝛻 ∙ 𝐵 = 0 (𝑚𝑜𝑛𝑜𝑝𝑜𝑙𝑜 𝑚𝑎𝑔𝑛é𝑡𝑖𝑐𝑜)
𝐼𝐼𝐼) 𝛻 × 𝐸 = −
𝜕𝐵
𝜕𝑡
𝐿𝑒𝑖 𝑑𝑒 𝐹𝑎𝑟𝑎𝑑𝑎𝑦
𝐼𝑉) 𝛻 × 𝐵 = 𝜇Ԧ𝐽 (𝐿𝑒𝑖 𝑑𝑒 𝐴𝑚𝑝é𝑟𝑒)
143
O DIVERGENTE
Temos que:
𝛻 ∙ Ԧ𝐶 é o divergente do vetor campo, sendo Ԧ𝐶 = 𝐸 𝑜𝑢 𝐵 e 𝛻 =
𝜕
𝜕𝑥
𝑖 +
𝜕
𝜕𝑦
𝑗 +
𝜕
𝜕𝑧
𝑘.
E temos também os vetores ቐ
𝐸 = 𝐸𝑥𝑖 + 𝐸𝑦𝑗 + 𝐸𝑧𝑘
𝐵 = 𝐵𝑥𝑖 + 𝐵𝑦𝑗 + 𝐵𝑧𝑘
, dessa forma temos o produto escalar:
𝛻 ∙ 𝐸 =
𝜕
𝜕𝑥
𝑖 +
𝜕
𝜕𝑦
𝑗 +
𝜕
𝜕𝑧
𝑘 𝐸𝑥𝑖 + 𝐸𝑦𝑗 + 𝐸𝑧𝑘 =
𝜕𝐸𝑥
𝜕𝑥
+
𝜕𝐸𝑦
𝜕𝑦
+
𝜕𝐸𝑧
𝜕𝑧
𝛻 ∙ 𝐵 =
𝜕
𝜕𝑥
𝑖 +
𝜕
𝜕𝑦
𝑗 +
𝜕
𝜕𝑧
𝑘 𝐵𝑥𝑖 + 𝐵𝑦𝑗 + 𝐵𝑧𝑘 =
𝜕𝐵𝑥
𝜕𝑥
+
𝜕𝐵𝑦
𝜕𝑦
+
𝜕𝐵𝑧
𝜕𝑧
144
O ROTACIONAL
Da mesma forma temos os produtos vetoriais calculados pelas leis de Faraday e Ampére:
𝛻 × 𝐸 =
𝑖 𝑗 𝑘
𝜕
𝜕𝑥
𝜕
𝜕𝑦
𝜕
𝜕𝑧
𝐸𝑥 𝐸𝑦 𝐸𝑧
𝛻 × 𝐵 =
𝑖 𝑗 𝑘
𝜕
𝜕𝑥
𝜕
𝜕𝑦
𝜕
𝜕𝑧
𝐵𝑥 𝐵𝑦 𝐵𝑧
O uso do triedro das coordenadas canônicas também é usual:
𝑘
റ𝑖 റ𝑗
145
LISTAS DE RESOLUÇÃO
HALLIDAY 5ª EDIÇÃO
Sumário
EXERCÍCIOS
147
EXERCÍCIO 10 DO CAPÍTULO 30
𝑐1 𝑐2
𝑐3
Δ𝑉
ቐ
𝑐1 = 10,3 𝜇𝐹
𝑐2 = 4,8 𝜇𝐹
𝑐3 = 3,9 𝜇𝐹
Resolvendo por associação de capacitores.
148
EXERCÍCIO 10 DO CAPÍTULO 30
𝑐𝐴
𝑐3
Δ𝑉
𝑐𝐴 = 𝑐1 + 𝑐2
𝑐𝐴 = 10,3 × 10
−6𝐹 4,8 × 10−6𝐹
𝑐𝐴 = 15,1 × 10
−6𝐹 → 𝑐𝐴 = 15,1 𝑚𝐴
𝑐𝐹Δ𝑉
1
𝑐𝐹
=
1
𝑐𝐴
+
1
𝑐3
1
𝑐𝐹
=
1
15,1 × 10−6𝐹
+
1
3,9 × 10−6𝐹
𝑐𝐹 =
15,1 × 10−6𝐹 3,9 × 10−6𝐹
15,1 × 10−6𝐹 + 3,9 × 10−6𝐹
= 3,1 × 10−6𝐹 → 3,1 𝑚𝐴 149
EXERCÍCIO 11 DO CAPÍTULO 30
𝑐3Δ𝑉
𝑐1
𝑐2
ቐ
𝑐1 = 10,3 𝜇𝐹
𝑐2 = 4,8 𝜇𝐹
𝑐3 = 3,9 𝜇𝐹
Resolvendo por associação de capacitores.
150
EXERCÍCIO 11 DO CAPÍTULO 30
𝑐3Δ𝑉 𝑐𝐴
1
𝑐𝐴
=
1
𝑐1
+
1
𝑐2
𝑐𝐴 =
𝑐1𝑐2
𝑐1 + 𝑐2
=
10,3 × 10−6𝐹 4,8 × 10−6𝐹
10,3 × 10−6𝐹 + 4,8 × 10−6𝐹
= 3,28 × 10−6𝐹
𝑐𝐹Δ𝑉
𝑐𝐹 = 𝑐𝐴 + 𝑐3
𝑐𝐹 = 3,28 × 10
−6𝐹 + 3,9 × 10−6𝐹 = 7,18 × 10−6𝐹
151
EXERCÍCIO 12 DO CAPÍTULO 30
𝑐4200 𝑉 𝑐𝑐
A
𝑠
ቊ
𝑐 = 25,0𝜇𝐹
∆𝑉 = 4200 𝑉
O cálculo da carga para somente um capacitor é:
𝑞 = 𝑐∆𝑉
Como são três capacitores de mesma capacitância
𝑞 = 3𝑐∆𝑉
𝑞 = 3 25,0 × 10−6𝐹 4200 𝑉
𝑞 = 3 0,105 𝐶
𝑞 = 0,315 𝐶
O interruptor é somente um objeto de análise, pois se ele estiver aberto
não há como ter um circuito, ou seja, qualquer operação é inválida,
152
EXERCÍCIO 13 DO CAPÍTULO 30
𝑐1
𝑐2
200 𝑉 ቊ
𝑐1 = 6,0 𝜇𝐹
𝑐2 = 4,0 𝜇𝐹
a) Capacidade equivalente 
1
𝑐𝐹
=
1
𝑐1
+
1
𝑐2
=
6,0 × 10−6𝐹 4,0 × 10−6𝐹
6,0 × 10−6𝐹 + 4,0 × 10−6𝐹
= 2,40 × 10−6𝐹 = 2,40 𝜇𝐹
153
EXERCÍCIO 13 DO CAPÍTULO 30
c) Diferença de potencial em cada resistor
∆𝑉 =
𝑞
𝑐1
=
0,48 × 10−3𝐶
6 × 10−6 𝐹
= 80 𝑉
∆𝑉 =
𝑞
𝑐2
=
0,48 × 10−3𝐶
4 × 10−6 𝐹
= 120 𝑉
b) Carga do capacitor 
൛𝑞 = 𝑐𝐹∆𝑉 = 2,4 × 10
−6𝐹 200 𝑉 = 0,48 𝑚𝐶 Quando os capacitores estão em série a carga é a mesma.
Este valor vale para os dois capacitores.
Veja que a soma das diferenças de potencial dos
capacitores 𝑐1 e 𝑐2 é igual a diferença de potencial do
capacitor resultante 𝑐𝐹 .
154
EXERCÍCIO 5 DO CAPÍTULO 31
𝑄
𝑃
ቐ
𝑅1 = 3,0 Ω
𝑅2 = 2,0 Ω
𝑃 = 100 𝑉
Para isso encontra-se primeiro a corrente, podemos
encontra-la através de uma soma algébrica.
155
EXERCÍCIO 5 DO CAPÍTULO 31
𝑄
𝑃
Através do sentido adotado para a esquerda temos a
seguinte soma algébrica:
150 𝑉 − 𝑅2 − 50 𝑉 − 𝑅1 = 0
100 𝑉 − 𝑖 5,0 Ω = 0
𝑖 = 20 𝐴𝐼
𝐼
156
EXERCÍCIO 5 DO CAPÍTULO 31
𝑄
𝑃
𝐼
𝐼
A análise dos pontos é feita como se fosse uma soma
algébrica também, só que a soma começa a partir do ponto que se
quer e termina no outro ponto (ou nele mesmo caso não aja
outro ponto) e também deve ser definido uma volta, essa volta
não tem nenhuma relação com a volta da soma com as fontes e
resistores, então não precisa ser a mesma volta soma algébrica
dos resistores e fontes, vamos simbolizar a volta dos pontos com
a cor azul.
Vou adotar a volta para a direita pelo motivo que já vou
dizer daqui a pouco.
A soma para o ponto Q é:
𝑉𝑄 + 𝑅1 + 50 𝑉 − 𝑉𝑃 = 0
Essa soma foi feita igual a uma soma normal pela lei de Kirchhoff
Logo
𝑉𝑄 = 100 𝑉 − 50 𝑉 − 20 𝐴 3,0 Ω = −10 𝑉
Veja fazendo essa soma para o ponto P:
𝑉𝑃 + 𝑅2 − 150 𝑉 − 𝑉𝑃 = 0
Essa soma foi feita igual a uma soma normal pela lei de Kirchhoff
Logo
𝑉𝑄 = 150 𝑉 − 10 𝑉 − 20 𝐴 2,0 Ω = 100 𝑉
157
EXERCÍCIO 5 DO CAPÍTULO 31
Veja que se a volta fosse adotada para o outro lado então não teríamos encontrado 100 𝑉 para o ponto 𝑃 e sim −100 𝑉
que vai contra a informação que o enunciado da questão nos deu, então se o valor encontrado fosse negativo então o sinal do
valor encontrado no ponto 𝑄 estaria oposto ao real.
158
EXERCÍCIO 6 DO CAPÍTULO 31
൞
𝑅𝑚 = 10 Ω
𝑅𝑇𝑉 = 140 Ω
𝑅𝑇𝐶 = 20 Ω
Resolve-se esta questão fazendo simples soma algébrica.
159
EXERCÍCIO 6 DO CAPÍTULO 31
a) Corrente do circuito com tanque vazio
12 𝑉 − 𝑅𝑚 − 𝑅𝑡 = 0
𝑖 150 Ω = 12 𝑉 → 𝑖 =
12 𝑉
150 Ω
= 0,080 𝐴
b) Corrente do circuito com tanque pela metade
- Quando pensamos em pela metade queremos logo dividir o 140 por 2, só que
não podemos fazer logo assim não. Veja que o valor mínimo que a resistência
atinge é 20 e não zero, se fosse zero tudo bem, a metade é 
140
2
= 70, mas o
valor mínimo é 20 então temos que a metade é 
140+20
2
= 80.
12 𝑉 − 𝑅𝑚 − 𝑅𝑡 = 0
𝑖 90 Ω = 12 𝑉 → 𝑖 =
12 𝑉
90 Ω
= 0,133 𝐴
160
EXERCÍCIO 6 DO CAPÍTULO 31
c) Corrente do circuito com o tanque cheio
12 𝑉 − 𝑅𝑚 − 𝑅𝑡 = 0
𝑖 30 Ω = 12 𝑉 → 𝑖 =
12 𝑉
30 Ω
= 0,400 𝐴
161
ATENÇÃO
Exercícios 11, 19 e 23 foram resolvidos por exemplos das aulas anteriores
162
EXERCÍCIO 12 DO CAPÍTULO 31
a)
b)
Ambas são resolvidas por Lei de Kirchhoff
𝐴 𝐵
163
EXERCÍCIO 12 DO CAPÍTULO 31
a) Neste caso temos duas malhas possíveis no qual pode ser dividida
MI MII
𝜀1 − 𝑉𝑅1 − 𝑉𝑅 = 0 𝜀2 + 𝑉𝑅2 − 𝑉𝑅 = 0
𝐼1
𝐼1
𝐼3 𝐼3 𝐼3
𝐼1
𝐼3 𝐼3
𝐼3
𝐼2
𝐿𝑒𝑖 𝑑𝑜𝑠 𝑛ó𝑠
ቊ
𝐴: 𝑖3 = 𝑖1 + 𝑖2
𝐵: 𝑖1 = 𝑖2 + 𝑖3
164
EXERCÍCIO 12 DO CAPÍTULO 31
Juntando em sistemas temos:
൞
𝜀1 − 𝑉𝑅1 − 𝑉𝑅 = 0
𝜀2 + 𝑉𝑅2 − 𝑉𝑅 = 0
𝑖3 = 𝑖1 + 𝑖2
→ 𝐿𝑒𝑖 𝑑𝑒 𝑂ℎ𝑚 → ൞
𝜀1 − 𝑖1 𝑅1 − 𝑖3 𝑅 = 0
𝜀2 + 𝑖2 𝑅2 − 𝑖3 𝑅 = 0
𝑖3 = 𝑖1 + 𝑖2 → 𝑖2 = 𝑖1 − 𝑖3
→ ቊ
𝜀1 − 𝑖1 𝑅1 − 𝑖3 𝑅 = 0
𝜀2 + 𝑖1 − 𝑖3 𝑅2 − 𝑖3 𝑅 = 0
ቊ
𝜀1 − 𝑖1 𝑅1 − 𝑖3 𝑅 = 0
𝜀2 + 𝑖1 − 𝑖3 𝑅2 − 𝑖3 𝑅 = 0
→ ቊ
𝑖1 𝑅1 + 𝑖3 𝑅 = 𝜀1
𝑖3 − 𝑖1 𝑅2 + 𝑖3 𝑅 = 𝜀2
ቊ
−𝑖1 𝑅1 − 𝑖3 𝑅 = −𝜀1 −1
𝑖3 − 𝑖1 𝑅2 + 𝑖3 𝑅 = 𝜀2
→ −𝑖1𝑅1 + 𝑖3 − 𝑖1 𝑅2 = 𝜀2 − 𝜀1 → 𝑖3 =
𝑅1 + 𝑅2 𝑖1 + 𝜀2 − 𝜀1
𝑅2
Veja que não há necessidade de usar a
equação do nó B, uma simples resolução
de sistema resolve.
165
EXERCÍCIO 12 DO CAPÍTULO 31
b) Neste caso é mais rápido, temos somente uma malha
𝐼 𝐼
𝐼
𝐼
𝐼 𝐼
𝜀1 + 𝜀2 − 𝑖𝑅1 − 𝑖𝑅2 − 𝑖𝑅 = 0
MI
𝜀1 + 𝜀2 − 𝑅1 + 𝑅2 + 𝑅 𝑖 = 0
𝜀1 + 𝜀2 = 𝑅1 + 𝑅2 + 𝑅 𝑖
𝑖 =
𝜀1 + 𝜀2
𝑅1 + 𝑅2 + 𝑅
166
PROBLEMAS
167
PROBLEMA 3 DO CAPÍTULO 30
𝑎 𝑏
Temos as distâncias a e b, mas para termos uma análise melhor
chamamos o espaço entre o limite do capacitor e a parte móvel
de d, então temos que:
𝑎 = 𝑏 + 𝑑 → 𝑎 − 𝑏 − 𝑑 = 0
Temos a equação geral de um capacitor
𝑐 =
𝜀0𝐴
𝑑
Logo:
𝑐1 =
𝜀0𝐴
𝑑
& 𝑐2 =
𝜀0𝐴
𝑎 − 𝑏 − 𝑑
Com isso temos:
1
𝑐𝐹
=
𝑑
𝜀0𝐴
+
𝑎 − 𝑏 − 𝑑
𝜀0𝐴
=
𝑎 − 𝑏
𝜀0𝐴
→ 𝑐𝐹 =
𝜀0𝐴
𝑎 − 𝑏
𝑐1
𝑐2
168
PROBLEMA 4 DO CAPÍTULO 30
Pela imagem percebe-se que nem todas as placas estão formando pares, está
faltando um, então como são 𝑛 placas temos na verdade 𝑛 − 1 placas. (se você
não consegue ver por que é 𝑛 − 1 veja a imagem colorida)
Como são 𝑛 − 1 placas temos então, 𝑞 𝑛 − 1 e consequentemente 𝑛 − 1 𝐴,
isso quer dizer que existem 𝑛 − 1 placas com área A.
Logo:
𝑐 =
𝑛 − 1 𝜀0𝐴
𝑑
𝑠𝑒𝑚 𝑝𝑎𝑟
169
PROBLEMA 5 DO CAPÍTULO 30
𝑐2
𝑠1
𝑐1
𝑎 𝑏
𝑐𝑑
𝑠2
𝑒
𝑓
Com os interruptores abertos temos uma diferença de potencial
inicial a qual foi dada pelo enunciado da questão, quando os
interruptores se fecham temos outra diferença já desconhecida.
Com os interruptores abertos temos as seguintes cargas:
𝑞1 = 𝑐1∆𝑉0 𝑒 𝑞2 = −𝑐2∆𝑉0
Temos o segundo capacitor negativo pela sua inversão de
polaridade isso tendo como base os pontos de cima, o ponto a
está em positivo com o primeiro e o ponto está em negativo com
o segundo.
Dessa forma temos pela lei da conservação de carga:
𝑞1 𝑖𝑛𝑖𝑐𝑖𝑎𝑙 + 𝑞2 𝑖𝑛𝑖𝑐𝑖𝑎𝑙 = 𝑞1 𝑓𝑖𝑛𝑎𝑙 + 𝑞2 𝑓𝑖𝑛𝑎𝑙
Temos os valores para as cargas iniciais, mas não para as finais
então usamos a seguinte expressão:
𝑐1∆𝑉0 − 𝑐2∆𝑉0 = 𝑐1∆𝑉1 + 𝑐2∆𝑉1
+
+−
−
ቐ
𝑐1 = 1,16 𝜇𝐹
𝑐2 = 3,22 𝜇𝐹
∆𝑉 = 96,6 𝑉
170
PROBLEMA 5 DO CAPÍTULO 30
Desenvolvendo a equação temos:
𝑐1 − 𝑐2 ∆𝑉0 = 𝑐1 + 𝑐2 ∆𝑉1 → ∆𝑉1 =
𝑐1 − 𝑐2
𝑐1 + 𝑐2
∆𝑉0 → 𝑎𝑝𝑙𝑖𝑐𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑜𝑠 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟𝑒𝑠 →
1,16 𝜇𝐹 − 3,22 𝜇𝐹
1,16 𝜇𝐹 + 3,22 𝜇𝐹
96,6 𝑉
∆𝑉1 = −45,4 𝑉
Perceba que no lado das cargas iniciais adotamos um valor negativo para o segundo capacitor e no lado das cargas
finais adotamos um valor positivo para o mesmo, isso não quer dizer que no final quem estava negativo vai ficar
positivo, isso quer dizer que não sabemos o valor das cargas no final, esse valor pode tanto ser positivo como
negativo.
O valor das cargas é calculado a seguir:
ቊ
𝑞1 = 𝑐1Δ𝑉1 = 1,16 𝜇𝐹 −45,4 𝑉 = −52,7 𝜇𝐶
𝑞2 = 𝑐2Δ𝑉1 = 3,22 𝜇𝐹 −45,4 𝑉 = −146 𝜇𝐶
171
PROBLEMA 6 DO CAPÍTULO 30
𝑐3