Determinantes de Matrizes Quadradas

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Associado a cada matriz quadrada A, existe um único escalar chamado de determinante da matriz A, representado por det(A).
O conceito de um número associado a uma matriz quadrada mostrou-se útil para caracterizar situações como uma matriz inversível, se um sistema admite ou não solução.
A definição rigorosa de determinante é razoavelmente complicada, contudo o economista não necessita entender a definição precisa ou suas implicações para usar os determinantes em muitas áreas da análise econômica.
Para construir uma definição pragmática do determinante, usaremos uma matriz quadrada de ordem 2, geral e estenderemos para o caso de matrizes de ordem maior.
Escreve-se det A ou |A| 
Considere uma matriz quadrada de ordem 2
 O determinante de A é o escalar:
Para matrizes quadradas de ordem maior que 2, o cálculo do determinante será feito pela expansão de um determinante pelos cofatores. Para isto necessitamos da definição de menor de um elemento.
Seja A uma matriz quadrada de ordem n e aij um elemento qualquer de A. O menor do elemento aij é o determinante da submatriz criada pela eliminação da linha i e da coluna j da matriz A. Tal determinante será denotado por Mij.
Para matrizes quadradas de ordem maior que 2, o cálculo do determinante será feito pela expansão de um determinante pelos cofatores. Para isto necessitamos da definição de menor de um elemento.
Para uma matriz 
O menor elemento a11 é o 
determinante M11 obtido de A pela eliminação da linha 1 e coluna 1.
O menor elemento a12 é o determinante M12 obtido de A pela eliminação da linha 1 e coluna 2.
 
O menor elemento a13 é o determinante M13 obtido de A pela eliminação da linha 1 e coluna 3.
 
O cofator Cij associado ao elemento aij é definido por: Cij = (-1)i+jMij. Portanto o cofator é um menor cujo sinal foi modificado, dependendo da posição do elemento aij ao qual foi associado.
O determinante de uma matriz quadrada A, de ordem n é igual a soma dos elementos de uma linha ( coluna), multiplicado pelo seu cofator.
Exemplo: Seja a matriz A
Propriedades:
Se todos os elementos de uma linha ou coluna de uma matriz são nulos então det (A)=0.
Det (A) = det (A)T
Multiplicando-se os elementos de uma linha ou coluna de uma matriz por uma constante, o determinante fica multiplicado por este valor.
Uma vez trocada a posição de duas linhas (ou colunas), o determinante troca de sinal.
Se uma matriz possui duas linhas (ou colunas) iguais o determinante é nulo.
 Em geral det (A+B) ≠ det(A) + det (B)
O determinante não se altera se somarmos uma linha a outra multiplicada por uma constante.
		Exemplo:
8. det (A.B) = det (A) . det (B)
...........................................................................................................................................................................................Desenvolvimento de Laplace
Caso Geral: Seja A uma matriz quadrada de ordem n
Determinante afetado pelo sinal da submatriz Aij obtida retirando-se a i-ésima linha e a j-ésima coluna do elemento aij,
...........................................................................................................................................................................................Desenvolvimento de Laplace
Caso Geral: Seja A uma matriz quadrada de ordem n
O cálculo do determinante utilizando o Cofator vale para a escolha de qualquer linha ou coluna, calculando-se os cofatores correspondentes aos elementos aij e somando-se, conforme indicado na equação.
Generalizando, Para uma determinada linha i o determinante da matriz Anxn pode ser calculado como:
Exemplo: Calcule o determinante da matriz abaixo utilizando o desenvolvimento dos cofatores
...........................................................................................................................................................................................Desenvolvimento de Laplace
= 1 (2-1) +2 (4-2) + 3 (-2+2) = 1+4 = 5
Exemplo2: Calculando o determinante da matriz acima utilizando-se a propriedade 7
=
L3=1.L2+L3
1
2
-2
1
= 1
= 1 (1+4) = 5
Exemplo3: Calcule o determinante da matriz:
2
4
0
2
3
-1
2
-1
-3
0
-4
0
5
2
3
1
2
0
0
2
3
-5
2
-5
-3
0
-4
0
5
-8
3
1
C1=C1+(-2)C2
=
=
3
-5
-5
-3
-4
0
-8
3
1
2
0
-10
-5
-3
-4
0
-13
0
1
2
=
L1=L1+L2
L3=L3+L2
=
=
-10
-4
-13
1
2.(-3)
=
-6 (-10-52) = -6 (-62) = 372
...........................................................................................................................................................................................Desenvolvimento de Laplace