Matematica e Raciocinio Lógico.02.

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MATEMÁTICA E RACIOCÍNIO LÓGICO PARA TRF DA 1ª REGIÃO
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Aula 2 – TRF 1ª Região
CONJUNTOS NUMÉRICOS . .......................................................................................................... 2 
CONJUNTO DOS NÚMEROS NATURAIS . ...................................................................................... 2 
OPERAÇÕES COM NÚMEROS NATURAIS . .................................................................................... 3
Propriedade comutativa da adição . ........................................................................................ 4 
Propriedade associativa da adição. ......................................................................................... 4 
Existência do elemento neutro da adição. .............................................................................. 4 
Propriedade do fechamento da adição. .................................................................................. 5 
Propriedade comutativa da multiplicação . ............................................................................. 6 
Propriedade associativa da multiplicação. .............................................................................. 6 
Existência do elemento neutro da multiplicação. ................................................................... 6 
Propriedade do fechamento da multiplicação. ....................................................................... 7 
Propriedade Distributiva . ......................................................................................................... 7
CONJUNTO DOS NÚMEROS INTEIROS. . ..................................................................................... 11
REGRAS DOS SINAIS NAS OPERAÇÕES COM NÚMEROS INTEIROS . ...................................... 12 
CONJUNTO DOS NÚMEROS RACIONAIS. ................................................................................... 14 
Potências . .................................................................................................................................. 38 
Problemas envolvendo múltiplos e divisores. ........................................................................... 43 
Relação das questões comentadas nesta aula. ......................................................................... 53 
Gabaritos . .................................................................................................................................. 63 
 
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CONJUNTOS NUMÉRICOS
Não podemos ministrar um curso de Matemática sem falar sobre números. O
engraçado é que definir o que é um número está fora do escopo deste curso.
Para falar a verdade, é bem complicado definir o que são números... 
O professor Giuseppe Peano (1858-1932) era um matemático notável. 
Na introdução de seu trabalho intitulado Sul concetto de numero (1891),
escreveu: Uma criança, desde tenra idade, usa as palavras um, dois, três, etc.,
posteriormente usa a palavra número; somente muito mais tarde a palavra
agregado aparece em seu vocabulário. E como a filologia nos ensina, o
desenvolvimento dessas palavras ocorre na mesma ordem nas línguas indo-
européias. Portanto, do ponto de vista prático, a questão me parece resolvida;
ou seja, não há vantagem, no ensino, definir número. Esta ideia é muito clara
para os alunos e qualquer definição iria somente confundi-los. 
Por outro lado, mesmo sem definir os “números”, todos nós temos uma noção
bem definida sobre esses objetos matemáticos. E não precisamos falar que os
números estão ao nosso redor como bem disse Pitágoras: 
“Os números governam o mundo”. 
Nesta primeira parte da aula, apresentaremos os chamados conjuntos
numéricos e suas propriedades. 
CONJUNTO DOS NÚMEROS NATURAIS
A noção de um número natural surge com a pura contagem de objetos. Ao
contar, por exemplo, os livros de uma estante, temos como resultado um
número do tipo: 
Գ ൌ ሼ0,1,2,3… ሽ
Obviamente não poderíamos ter um número negativo de livros. Também não
poderíamos imaginar alguém falando: “Tenho 3,4231 livros na minha estante”. 
A este conjunto denominamos conjunto dos números naturais. 
Se por acaso houver a necessidade de excluir o número 0 (zero), indicaremos
com um asterisco sobrescrito à letra N. 
ܰכ ൌ ሼ1,2,3,4… ሽ
Este conjunto é chamado conjunto dos números naturais não-nulos.
No conjunto dos números naturais, podemos definir apenas duas operações
básicas: adição e multiplicação. 
 
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Você deve estar se perguntando: “E por que não subtração e divisão?” 
A questão é a seguinte: dizemos que uma operação está bem definida quando
sempre podemos operar naquele conjunto. Por exemplo: Será que é sempre
possível somar dois números naturais? É claro que sim!! 
Podemos efetuar 2+3=5, 3+0=3 e assim por diante. 
Ou seja, a soma de dois números naturais também é um número natural. Por
isso, dizemos que o conjunto dos números naturais é FECHADO em relação à
adição. 
Será que é sempre possível multiplicar dois números naturais? É claro que
sim!! 
Podemos efetuar 3 x 5 = 15, 4 x 1 = 4, 8 x 0 = 0... 
Podemos então concluir que o produto de dois números naturais é também um
número natural. Ou seja, o conjunto dos números naturais é FECHADO em
relação à multiplicação. 
Será que é sempre possível subtrair dois números naturais? Agora
respondemos em alto e bom tom... NÃO!!! 
Podemos efetuar 5 – 3 = 2. Por outro lado, não podemos efetuar (no conjunto
dos números naturais) 3 – 5. Isto porque o resultado desta operação é um
número negativo. Podemos então dizer que o conjunto dos números naturais
NÂO É FECHADO em relação à subtração. 
Da mesma maneira sabemos que o conjunto dos números naturais NÃO É
FECHADO em relação à divisão. Podemos efetuar 8 : 2 = 4, mas não podemos
efetuar 2 : 8 (o resultado desta operação, como iremos ver adiante, é uma
fração que não é um número natural). 
Observe que falamos algumas expressões tipicamente matemáticas como
soma, adição, multiplicação, produto, etc. 
Qual é a diferença entre soma e adição? É a mesma coisa? Vejamos... 
OPERAÇÕES COM NÚMEROS NATURAIS
Como bem já dissemos, podemos definir apenas duas operações no conjunto
dos números naturais: adição e multiplicação. 
Vamos aprender detalhadamente cada uma dessas operações.
Considere o seguinte cálculo: 3 + 5 = 8. 
 
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O símbolo “+” representa a operação de adição. O resultado da adição é
chamado de soma. 
Portanto “adição” e “soma” não têm o mesmo significado. Adição é o nome da
operação. Soma é o resultado da adição. 
Definimos então a operação de adição: 
a,b parcelas
c soma
a b c
→⎡+ = ⎢ →⎣
No nosso exemplo, os números 3 e 5 são as parcelas e 8 é a soma. 
Vejamos algumas propriedades importantes da adição. 
Propriedade comutativa da adição
Esta propriedade afirma que alterar a ordem das parcelas não altera a soma.
Em símbolos: 
para todos a,b Na b b a+ = + ∈ 
Obviamente sabemos que 3 + 5 = 8 e 5 +3 = 8, portanto 3 + 5 = 5 + 3. 
Ex.: 4554945
954 +=+
⎭⎬
⎫
=+
=+
Propriedade associativa da adição
A adição de três números naturais pode ser feita associando-se as duas
primeiras ou as duas últimas parcelas. Aqui, devemos obedecer à regra de que
devemos primeiro efetuar as operações que se encontram dentro dos
parêntesis. 
5)(3253)(2
10825)(32
105553)2( ++=++
⎭⎬
⎫
=+=++
=+=++
Existência do elemento neutro da adição
Existe o número 0 (zero) que possui a seguinte propriedade. 
ܽ ൅ 0 ൌ 0 ൅ ܽ ൌ ܽ
Desta forma, 5 + 0 = 0 + 5 = 5. Por esta razão, o número zero é chamado de
elemento neutro da adição.MATEMÁTICA E RACIOCÍNIO LÓGICO PARA TRF DA 1ª REGIÃO
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Propriedade do fechamento da adição
A soma de dois números naturais é um número natural. 
Como bem já explicamos acima, é por esta razão que dizemos que a adição é
uma operação bem definida no conjunto dos números naturais. Vai adicionar
dois números naturais? Com certeza o resultado (a soma) será um número
natural!! Não tem como a soma ser um número negativo, um número irracional,
etc. 
Vamos falar um pouquinho agora sobre a multiplicação. Observe o seguinte
cálculo: 
3 ൈ 4 ൌ 12
Podemos representar a operação da multiplicação por dois símbolos (ou
nenhum como veremos adiante). Usualmente, utilizamos o ൈ ݋ݑ ·. 
Assim, 3 ൈ 4 ൌ 3 · 4 ൌ 12.
Quando estamos trabalhando com letras ou com expressões dentro de
parêntesis é muito comum não utilizamos símbolo algum para representar a
multiplicação. Assim, 
3ܽ ݏ݂݅݃݊݅݅ܿܽ 3 ݒ݁ݖ݁ݏ ܽ.
Ou seja, 3ܽ ൌ 3 · ܽ ൌ 3 ൈ ܽ. 
Vamos nos deparar muitas vezes com expressões do tipo: ሺݔ ൅ 2ሻሺݔ െ 1ሻ.
Observe que não há símbolo algum entre os parêntesis do meio. Esta
expressão significa que devemos multiplicar as expressões que estão nos
parêntesis. 
Daqui por diante usaremos indistintamente os símbolos
ሺݔ ൅ 2ሻሺݔ െ 1ሻ ൌ ሺݔ ൅ 2ሻ · ሺݔ െ 1ሻ ൌ ሺݔ ൅ 2ሻ ൈ ሺݔ െ 1ሻ
ൈ ݁ ·. Normalmente 
utilizaremos quando estivermos trabalhando exclusivamente com números e
utilizaremos quando houver letras na expressão. Mas não se preocupe... Você
pode utilizar qualquer um dos dois símbolos. Veja o que fica melhor 
esteticamente e utilize... Ok? 
Podemos agora definir a operação da multiplicação, suas propriedades e
nomenclaturas. 
a,b fatores
c produto
a b c
→⎡× = ⎢ →⎣
 
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Da mesma maneira que foi comentado na operação de adição, convém
observar a diferença entre “multiplicação” e “produto”. Multiplicação é o nome
da operação e produto é o resultado da multiplicação. 
Propriedade comutativa da multiplicação
A ordem dos fatores não altera o produto. 
É-me indiferente efetuar 3 x 4 ou efetuar 4 x 3. O resultado (produto) será o
mesmo 12. 
Desta forma, podemos afirmar que para todos a,bab ba N= ∈ . 
Lembre-se que ܾܽ significa a vezes b. Ou seja, 
ܾܽ ൌ ܾܽ ൌ ܽ · ܾ ൌ ܾ · ܽ ൌ ܽ ൈ ܾ ൌ ܾ ൈ ܽ
2772
1427
1472 ⋅=⋅
⎭⎬
⎫
=⋅
=⋅
Propriedade associativa da multiplicação
A multiplicação de três números naturais pode ser feita associando-se os dois
primeiros ou os dois últimos fatores. 
5)(4354)(3
602035)(43
6051254)3( ⋅⋅=⋅⋅⎭⎬
⎫
=⋅=⋅⋅
=⋅=⋅⋅
Existência do elemento neutro da multiplicação
Existe o número 1 (um) que possui a seguinte propriedade: 
ܽ · 1 ൌ 1 · ܽ ൌ ܽ
Ou seja, tanto faz efetuar 4 vezes 1 ou 1 vezes 4: o resultado é igual a 4. 
Por essa razão, o número 1 é chamado elemento neutro da multiplicação. 
 
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Propriedade do fechamento da multiplicação
O produto de dois números naturais é um número natural. 
Como bem já explicamos acima, é por esta razão que dizemos que a
multiplicação é uma operação bem definida no conjunto dos números naturais.
Vai multiplicar dois números naturais? Com certeza o resultado (o produto)
será um número natural!! Não tem como o produto ser um número negativo,
um número irracional, etc. 
Temos ainda uma propriedade que relaciona a multiplicação e a adição. É a
chamada propriedade distributiva da multiplicação em relação à adição ou
simplesmente propriedade distributiva. 
Propriedade Distributiva
Antes de enunciar a propriedade seja com palavras seja com símbolos,
vejamos um exemplo. Efetue 2 · ሺ3 ൅ 5ሻ.
Existe uma hierarquia entre as operações matemáticas. Se não estivessem
escritos os parêntesis, no caso, 2 · 3 ൅ 5, deveríamos efetuar primeiramente 
2 · 3 ൌ 6 e em seguida adicionar o 5. No caso, 2 · 3 ൅ 5 ൌ 6 ൅ 5 ൌ 11.
Mas no nosso caso há os parêntesis. Devemos, portanto, ignorar a hierarquia
das operações, pois devemos efetuar obrigatoriamente as operações que estão
dentro dos parêntesis. 
2 · ሺ3 ൅ 5ሻ ൌ 2 · 8 ൌ 16
A propriedade distributiva nos diz que na multiplicação de uma soma por um
número natural, multiplicam-se cada um dos termos por esse número e em
seguida somamos os resultados. No caso, para efetuar 2 · ሺ3 ൅ 5ሻ podemos
multiplicar 2 por 3, multiplicar 2 por 5 e finalmente somar os dois resultados. 
2 · ሺ3 ൅ 5ሻ ൌ 2 · 3 ൅ 2 · 5 ൌ 6 ൅ 10 ൌ 16
Utilizaremos bastante este fato ao trabalhar com “letras”... Por exemplo, a
expressão 2 · ሺݔ ൅ 3ሻ pode ser desenvolvida da seguinte maneira: 
2 · ሺݔ ൅ 3ሻ ൌ 2 · ݔ ൅ 2 · 3 ൌ 2 · ݔ ൅ 6
Ou simplesmente: 
2 · ሺݔ ൅ 3ሻ ൌ 2ݔ ൅ 6
 
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01. (TCE/PB/2006/FCC) Perguntado sobre a quantidade de livros do acervo de
uma biblioteca do Tribunal de Contas do Estado da Paraíba, o funcionário
responsável pelo setor, que era aficionado em matemática, deu a seguinte
resposta: “O total de livros do acervo é o resultado da adição de dois números
naturais que, no esquema abaixo, comparecem com seus algarismos
substituídos por letras.” 
 M A R R A 
 + M A R R A
 T O R T A 
Considerando que letras distintas correspondem a algarismos distintos, então,
ao ser decifrado corretamente, o código permitirá concluir que o total de livros
do acervo dessa biblioteca é um número 
a) menor que 70000. 
b) compreendido entre 70000 e 75000. 
c) compreendido entre 75000 e 80000. 
d) compreendido entre 80000 e 85000. 
e) maior que 85000. 
Resolução 
Vamos entender o enunciado. Ele simplesmente efetuou uma adição e trocou
os algarismos por letras. Letras iguais correspondem a números iguais e letras
distintas correspondem a algarismos distintos. 
Olhemos inicialmente para os algarismos das unidades. Devemos descobrir um
número tal que A A A+ = . Ou seja, qual é o número que somado com ele
mesmo, é igual a ele mesmo?? Só pode ser o número zero!! Tem-se, então,
que 0A = . Observe que 0 + 0 = 0 (lembre-se que o número zero é o elemento
neutro da adição). Já podemos substituir as letras A por 0. 
M 0 R R 0
M 0 R R 0
T O R T 0
Observe os algarismos das dezenas e das centenas. Aparentemente
realizamos a mesma operação R R+ e obtemos dois resultados distintos. Isso
se deve ao fato de a soma ser maior do que 10 e somos obrigados a
acrescentar uma unidade na casa das centenas. Devemos testar R para o
seguinte conjunto de valores: {5,6,7,8,9} (pois a soma deve ser maior do que 
10). 
Será que R = 5? Rapidamente concluímos que R não pode ser 5, pois ao
efetuar R + R = 10, temos que T = 0. Mas lembre-se que letras distintas 
 
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correspondem a algarismos distintos. E como A = 0, T não pode ser 0 e
consequentemente R não pode ser 5. 
Será que R = 6? Vejamos o que acontece... Lembre-se que 6 + 6 =12. 
M 0 R=6 R=6 0
M 0 R=6 R=6 0
T O=1 R=3 T=2 0
Observe o absurdo. Ao efetuarmos 6 + 6 obtemos 12. Escrevemos o algarismo
das unidades 2 no resultado e “subimos 1”. Na coluna do meio devemos
efetuar R + R + 1 (este 1 é aquele que “subiu”). Temos que 6 + 6 + 1 = 13,
então escrevemos o algarismo das unidades 3 e subimos 1. Temos agora que
R = 3. Absurdo, já que estávamos supondo que R = 6. 
Da mesma maneira, testando R = 7 e R = 8 chegamos a absurdos parecidos
com o caso R = 6. 
Chega-se a conclusão de que R=9.
 0 9 9 0
 0 9 9 0
 9 8 0
Desse modo, sabemos que T=8. Logo, a soma será escrita da seguinte forma: 
4 0 9 9 0
4 0 9 9 0
8 1 9 8 0
Logo, MARRA=81980. 
Letra D 
02. (Senado Federal/2008/FGV) Na operação de multiplicação abaixo,cada
letra representa um algarismo 
O valor de A+B+C é: 
 
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a) 10 
b) 11 
c) 12 
d) 13 
e) 14
Resolução 
3 1 3, 3 2 6, 3 3 9
3 4 12, 3 5 15, 3 6 18
3 7 21, 3 8 24, 3 9 27
× = × = × =
× = × = × =
× = × = × =
Ao multiplicarmos o algarismo C pelo número 3, obtemos um número cujo
algarismo das unidades é igual a 4. Logo, 8C = . Como 3 8 24× = , ao 
efetuarmos o produto do número 3 pelo algarismo B, devemos adicionar 2 ao
resultado. 
1 A B 8
 x 3
A B 8 4
O produto 3 B⋅ deverá ser um número cujo algarismo das unidades seja igual a
6, pois ao adicionarmos 2 teremos como resultado um número cujo algarismo
das unidades é igual a 8. Logo, B=2, pois 3 2 6× = . 
1 A 2 8
 X 3
A 2 8 4
Finalmente, o número A deve ser tal que 3 A⋅ termine em 2. Portanto, 4A = . 
1 4 2 8
 X 3
4 2 8 4
Como 4A = , 2B = e 8C = , temos que 14A B C+ + = . 
 
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Letra E 
CONJUNTO DOS NÚMEROS INTEIROS
Vimos anteriormente que o conjunto dos números naturais é fechado em
relação à adição e à multiplicação. Com o intuito de definir a operação
“subtração” ampliaremos o conjunto dos números naturais. 
Criamos, portanto, o conjunto dos números inteiros que é representado pela
letra Z (inicial de zahl - número em alemão). 
Chama-se conjunto dos números inteiros o conjunto
Z = {..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3,...} 
Dizemos que o número – ݔ é o simétrico ou oposto do número ݔ. 
Por exemplo, o número െ5 é o simétrico de 5 e reciprocamente: 5 é o simétrico 
de െ5. 
Neste conjunto ܼ destacam-se os seguintes subconjuntos: 
(1) Conjunto ܼכ dos inteiros não nulos (diferentes de zero): 
ܼכ ൌ ሼݔ א ܼ|ݔ ് 0ሽ ൌ ሼ…െ 3,െ2,െ1,1,2,3,… ሽ
(2) Conjunto ܼି dos inteiros não positivos (menores ou iguais a zero): 
ܼି ൌ ሼݔ א ܼ|ݔ ൑ 0ሽ ൌ ሼ…െ 3,െ2,െ1,0ሽ
(3) Conjunto ܼା dos inteiros não negativos (maiores ou iguais a zero): 
ܼା ൌ ሼݔ א ܼ|ݔ ൒ 0ሽ ൌ ሼ0,1,2,3,4… ሽ
(4) Conjunto ܼିכ dos inteiros negativos (menores que zero): 
ܼିכ ൌ ሼݔ א ܼ|ݔ ൏ 0ሽ ൌ ሼ…െ 3,െ2,െ1ሽ
(5) Conjunto ܼାכ dos inteiros positivos (maiores que zero): 
ܼାכ ൌ ሼݔ א ܼ|ݔ ൐ 0ሽ ൌ ሼ1,2,3,4… ሽ
Observe que o número 0 não pertence ao conjunto dos inteiros positivos
e não pertence ao conjunto dos inteiros negativos. Portanto, o número 0
(zero) não é positivo e não é negativo. Dizemos que zero é neutro. 
Observe que sempre que efetuarmos a adição de um número com o seu
oposto (simétrico) o resultado será igual a 0. Desta forma: 
 
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5 ൅ ሺെ5ሻ ൌ 0
2 ൅ ሺെ2ሻ ൌ 0
െ3 ൅ 3 ൌ 0
Podemos então definir a operação “subtração” da seguinte maneira: 
ܽ െ ܾ ൌ ܽ ൅ ሺെܾሻ
a minuendo
b subtraendo
c diferença
a b c
→⎡⎢− = →⎢⎢ →⎣
Rapidamente percebemos que a subtração não é uma operação comutativa.
Basta olhar, por exemplo, que 5 – 3 = 2 e 3 – 5 = - 2. A subtração também não
goza da propriedade associativa e não possui elemento neutro. 
Podemos afirmar que o conjunto dos números inteiros é FECHADO em relação
à subtração. Ou seja, se você vai calcular a diferença entre dois números
inteiros, com certeza o resultado será um número inteiro. 
Observe ainda que todos os números naturais são números inteiros, mas nem
todos os números inteiros são naturais. Dizemos que o conjunto dos números
naturais é subconjunto dos números inteiros. 
REGRAS DOS SINAIS NAS OPERAÇÕES COM NÚMEROS INTEIROS
( )a− a − = 
( ) ( ) ( )a b a b a b ab⋅ − = − ⋅ = − ⋅ = − 
( ) ( )a b− ab ⋅ − = 
As observações acima são conhecidas como “Regra dos sinais” para a
multiplicação (e divisão) de inteiros. 
Sinais dos números Resultado
iguais positivo 
diferentes negativo 
 
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Exemplos: 
ሺ൅2ሻ · ሺ൅3ሻ ൌ ൅6
ሺെ2ሻ · ሺെ3ሻ ൌ ൅6
ሺെ2ሻ · ሺ൅3ሻ ൌ െ6
ሺ൅2ሻ · ሺെ3ሻ ൌ െ6
Vejamos como operar a adição e a subtração com números inteiros. 
Se os números possuírem sinais iguais, devemos adicionar os números e
repetir o sinal. 
൅2 ൅ 3 ൌ ൅5
െ2 െ 3 ൌ െ5
Se os números possuírem sinais opostos, devemos subtrair os números e
repetir o sinal do maior. 
൅5 െ 2 ൌ ൅3
െ5 ൅ 2 ൌ െ3
03. (TRT/2006/FCC) O esquema abaixo representa a subtração de dois
números inteiros, na qual alguns algarismos foram substituídos pelas letras X,
Y, Z e T. 
Obtido o resultado correto, a soma X+Y+Z+T é igual a: 
a) 12 
b) 14 
c) 15 
d) 18 
e) 21 
Resolução 
Podemos reescrever o enunciado da seguinte maneira: 
Multiplicando (ou dividindo)
números de mesmo sinal
obtemos um resultado positivo.
Multiplicando (ou dividindo)
números de sinais opostos
obtemos um resultado negativo.
 
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Onde a primeira linha representa o minuendo, a segunda linha o subtraendo e
a terceira linha representa a diferença. 
Para descobrirmos o valor de Z, devemos perceber que 6 2 4− = . Portanto, 
2Z = . 
Para descobrirmos o valor de X, devemos perceber que 17 9 8− = . Portanto, 
7X = . 
Concluído esse raciocínio inicial, temos plenas condições de terminar a
subtração. 
7, 1, 2, 8
18
X Y Z T
X Y Z T
= = = =
+ + + = 
Letra D 
CONJUNTO DOS NÚMEROS RACIONAIS
Até o presente momento, conseguimos definir 3 operações básicas: adição,
multiplicação e subtração. Com os números expostos não temos condições de
definir a divisão. Isto porque com números inteiros podemos dividir 8 por 2,
mas não podemos dividir 2 por 8. Para resolver este impasse, vamos definir o
conjunto dos números racionais que é representado pela letra Q. 
Է ൌ ൜
݌
ݍ
ฬ݌ א Ժ ݁ ݍ א Ժכൠ
O número p é chamado numerador da fração e o número q é chamado
denominador da fração. 
O conjunto dos racionais é formado por todas as frações em que o numerador
é inteiro e o denominador é um inteiro não-nulo e também por todos os 
4 9 6 
 0 9 
3 8 4 
4 9 7 6 
0 9 2
3 8 4 
4 9 7 6
1 0 9 2 
3 8 8 4 
 
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números que podem ser representados desta forma. Todo número na forma de
decimal finito ou de dízima periódica pode ser convertido à forma de fração. 
Todos os números naturais são números racionais, pois todos podem ser
escritos na forma de fração. Basta colocar o denominador igual a 1. 
2 ൌ
2
1
Todos os números inteiros são números racionais, pois todos podem ser
escritos na forma de fração. Basta colocar o denominador igual a 1. 
െ2 ൌ
െ2
1
Observe que o sinal pode ser colocado em qualquer lugar da fração. Desta 
forma: 
െ2
1
ൌ
2
െ1
ൌ െ
2
1
ൌ െ2
Além dos números naturais e números inteiros, todos os números decimais
finitos e as dízimas periódicas também são números racionais. 
Números decimais finitos são números como 1,47 ; 2, 513 ; െ3,0154. 
Para transformar números decimais finitos na forma de fração devemos seguir
os seguintes passos: 
i) Colocar no numerador todo o número sem a vírgula. 
ii) Colocar no denominador o número 1 seguido de tantos zeros quantas forem
as casas decimais. 
1,47 ൌ
147
100
2,513 ൌ
2.513
1.000
െ3,0154 ൌ
െ30.154
10.000
Finalmente as dízimas periódicas. O que são dízimas periódicas? São números
decimais com infinitas casas decimais. Só isso? Não... 
É preciso que exista certo conjunto de números que se repitam periodicamente
infinitas vezes. Vejamos alguns exemplos: 
0,14141414141414141414141414141414141414141414….
Observe que o conjunto de dígitos 14 se repete infinitas vezes. 
 
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32,021૞૝૟૞૝૟૞૝૟૞૝૟૞૝૟૞૝૟૞૝૟૞૝૟૞૝૟૞૝૟૞૝૟૞૝૟૞૝૟૞૝૟૞૝૟૞૝૟૞૝૟૞૝૟…
Observe que o conjunto de dígitos 546 se repete infinitas vezes. 
Pense em uma raça preguiçosa... pensou? 
A raça mais preguiçosa que existe é a dos MATEMÁTICOS! 
Os Matemáticos são tão preguiçosos que adoram inventar abreviações,
notações e símbolos... Tudo para escrever pouco. 
Imagine se estivéssemos dando esta aula em um quadro...Teríamos uma
preguiça enorme de escrever 
32,021૞૝૟૞૝૟૞૝૟૞૝૟૞૝૟૞૝૟૞૝૟૞૝૟૞૝૟૞૝૟૞૝૟૞૝૟૞૝૟૞૝૟૞૝૟૞૝૟૞૝૟૞૝૟…
(Aqui no computador é muito fácil... Basta utilizar CTRL+C e CTRL+V!!) 
A notação é a seguinte: utiliza-se uma barra em cima dos dígitos que se
repetem, ou seja, do período. Portanto, 
തതതതത32,021546546546546546… ൌ 32,021546
Muito mais simples, não? 
A pergunta que surge é a seguinte: se afirmamos que as dízimas periódicas
são números racionais e os números racionais são representados por frações,
como transformamos as dízimas periódicas em frações? 
Existem diversos métodos para fazer esta transformação. Há livros que
costumam separar as dízimas periódicas em simples e compostas. Há livros
que fazem esta transformação utilizando sistemas de equações. Há outros que
utilizam P.G. (progressão geométrica). Pela experiência que temos, julgamos o
método abaixo como o mais simples por diversas razões. 
i) Qual a utilidade de separar as dízimas periódicas em simples e compostas? 
ii) Você gosta armar sistemas de equações e resolvê-los? Um pouco
trabalhoso para resolver uma simples questão de dízima periódica, não? 
iii) É realmente necessário aprender Progressão Geométrica para resolver uma
simples questão de dízima periódica? 
Vejamos um exemplo: transformar em fração o número 3,12851851851…
O primeiro passo é colocar naquela notação da barra que falamos
anteriormente. 
തതതതത3,12851851851… ൌ 3,12851
Denominaremos “Número Completo” e abreviaremos por NC o número da
dízima periódica sem a vírgula e sem a barra. No nosso exemplo, 
ܰܥ ൌ 312.851. 
 
MATEMÁTICA E RACIOCÍNIO LÓGICO PARA TRF DA 1ª REGIÃO
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Denominaremos “Número fora da barra” e abreviaremos por NFB os números
que estão fora da barra. No nosso exemplo, ܰܨܤ ൌ 312.
Meio caminho já foi andado. O numerador da fração é o número ܰܥ െ ܰܨܤ. 
Por enquanto, nossa fração está assim: 
3,12851തതതതത ൌ
312.851 െ 312
 
E como fica o denominador? 
Você deve contar quantos algarismos estão embaixo da barra. No nosso caso,
há 3 números embaixo da barra. A regra nos diz que devemos colocar no
denominador tantos 9’s (noves) quantos forem os números embaixo da barra.
Como são 3 números embaixo da barra, devemos colocar 3 noves no
denominador. 
3,12ૡ૞૚തതതതതത ൌ
312.851 െ 312
ૢૢૢ
Pronto? Ainda não!! Falta só uma coisinha para terminar... 
Vamos olhar agora para os números que estão “entre a vírgula e a barra”.
Quantos são eles? 2!!! 
A regra nos diz que devemos colocar tantos zeros quantos forem os algarismos
entre a vírgula e a barra. 
3, ૚૛ૡ૞૚തതതതതത ൌ
312.851 െ 312
ૢૢૢ૙૙
Pronto!!! 
3,12851തതതതത ൌ
312.851 െ 312
99.900
ൌ
312.539
Se você só acredita vendo... pegue uma calculadora e divida 312.539 por 
99.900
99.900. 
Muito fácil não?? 
E olhe que já colocamos como primeiro exemplo um número bem difícil.
Vamos praticar um pouco mais. 
Transforme em fração o número 0,666666…
Vamos colocar na notação da barra. 
0,666… ൌ 0, 6ത 
 
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ܰܥ ՜ ݊ú݉݁ݎ݋ ܿ݋݉݌݈݁ݐ݋ ൌ 6
ܰܨܤ ՜ ݊ú݉݁ݎ݋ ݂݋ݎܽ ݀ܽ ܾܽݎݎܽ ൌ 0
Quantos algarismos há na barra? Apenas um!! Portanto, colocamos apenas um
9 no denominador. 
Quantos algarismos há entre a barra e a vírgula? Nenhum!! Portanto, não
colocamos zeros no denominador. 
0,666… ൌ
6 െ 0
9
ൌ
6
9
ൌ
2
3
Transforme em fração o número 0,13434343434…
Vamos colocar na notação da barra. 
തതതത0,1343434… ൌ 0,134
ܰܥ ՜ ݊ú݉݁ݎ݋ ܿ݋݉݌݈݁ݐ݋ ൌ 134
ܰܨܤ ՜ ݊ú݉݁ݎ݋ ݂݋ݎܽ ݀ܽ ܾܽݎݎܽ ൌ 1
Quantos algarismos há na barra? Dois!! Portanto, colocamos dois 9’s no
denominador. 
Quantos algarismos há entre a barra e a vírgula? Apenas um!! Portanto,
colocamos um zero no denominador.. 
0,1343434… ൌ
134 െ 1
990
ൌ
133
990
Transforme em fração o número 0,999…
Vamos colocar na notação da barra. 
ത 0,999… ൌ 0, 9
ܰܥ ՜ ݊ú݉݁ݎ݋ ܿ݋݉݌݈݁ݐ݋ ൌ 9
ܰܨܤ ՜ ݊ú݉݁ݎ݋ ݂݋ݎܽ ݀ܽ ܾܽݎݎܽ ൌ 0
Quantos algarismos há na barra? Apenas um!! Portanto, colocamos apenas um
9 no denominador. 
Quantos algarismos há entre a barra e a vírgula? Nenhum!! Portanto, não
colocamos zeros no denominador. 
0,999… ൌ
9 െ 0
9
ൌ
9
9
ൌ 1
Portanto, 0,999… ൌ 1
 
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Observe que 0,99999999999... não é APROXIMADAMENTE 1!! É IGUAL a 1!! 
A bem da verdade, 0,999…݁ 1 representam o mesmo número. Apenas estão
escritos de maneiras diferentes. 
04. (CAERN 2010/FGV) Analise as afirmativas a seguir:
I - √6 é maior do que 5/2. 
II – 0,555... é um número racional. 
III – Todo número inteiro tem antecessor.
Assinale 
a) se somente as afirmativas I e III estiverem corretas. 
b) se somente a afirmativa II estiver correta. 
c) se somente as afirmativas I e II estiverem corretas. 
d) se somente a afirmativa I estiver correta. 
e) se somente as afirmativas II e III estiverem corretas. 
Resolução 
Vamos analisar cada uma das alternativas de per si. 
Queremos comparar o número √6 com 5/2. Vamos elevar os dois números ao
quadrado para compará-los. 
൫√6൯
ଶ
ൌ 6
൬
5
2
൰
ଶ
ൌ
25
4
ൌ 6,25
Como o quadrado do número 5/2 é maior que o quadrado do número √6, 
concluímos que 5/2 ൐ √6. A frase I está errada. 
II – O número 0,555... é uma dízima periódica e, portanto, é um número
racional. A frase II está correta. 
III – O conjunto dos números inteiros é ܼ ൌ ሼ… ,െ3,െ2,െ1, 0, 1, 2, 3… ሽ. Como o 
conjunto dos inteiros não é limitado à esquerda, concluímos que todo número
inteiro possui antecessor. A frase III está correta. 
Letra E 
05. (BNB 2003/ACEP) A expressão decimal 0,011363636... é uma dízima
periódica composta e representa um número racional x. Se a geratriz desta
dízima for escrita sob a forma de uma fração irredutível m/n, então m + n é
igual a: 
 
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A) 88 
B) 89 
C) 90 
D) 91 
E) 92 
Resolução 
Para transformar a expressão decimal 0,011363636... em uma fração o
primeiro passo é escrever na notação da barra. 
തതതത0,011363636… ൌ 0,01136
ܰܥ ՜ ݊ú݉݁ݎ݋ ܿ݋݉݌݈݁ݐ݋ ൌ 1.136
ܰܨܤ ՜ ݊ú݉݁ݎ݋ ݂݋ݎܽ ݀ܽ ܾܽݎݎܽ ൌ 11
Quantos algarismos há na barra? Dois!! Portanto, colocamos dois 9’s no
denominador. 
Quantos algarismos há entre a barra e a vírgula? Três!! Portanto, colocamos
três zeros no denominador. 
0,01136തതതത ൌ
1.136 െ 11
99.000
ൌ
1.125
99.000
A questão pede que coloquemos a resposta na forma de fração irredutível.
Fração irredutível é aquela que não pode mais ser simplificada. Claramente
podemos simplificar o numerador e o denominador por 5. 
1.125
99.000
ൌ
225
19.800
Na realidade, podemos simplificar o numerador e o denominador por 5 várias
vezes. 
225
19.800
ൌ
45
3.960
ൌ
9
792
Agora podemos simplificar o numerador e o denominador por 9. 
9
792
ൌ
1
88
Agora não dá para simplificar mais. Temos, portanto, uma fração irredutível. 
0,011363636… ൌ
1
88
A questão pede para efetuar ݉൅ ݊ onde ݉ ൌ 1 ݁ ݊ ൌ 88. 
 
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݉ ൅ ݊ ൌ 1 ൅ 88 ൌ 89
Letra B 
Agora que já definimos o conjunto dos números racionais, podemos falar na
divisão propriamente dita. 
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
→
→
→
→
+⋅=
restorquocienteq
divisord
dividendoD
 r qdD ou d | D 
 q r
Exemplo: 
38 | ___9__
2 4
Ou seja, 38 dividido por 9 é igual a 4 e resto 2. Isto porque 9 · 4 ൅ 2 ൌ 38.
Quando o resto de uma divisão é zero, dizemos que a divisão é exata. 
É importante frisar que é impossível dividir por 0. Ou seja, o divisor nunca pode 
ser 0. 
Assim, não há sentido na fração 5/0.
06. (ANVISA 2010/CETRO) Considere ܽ ൌ 0,00003 e ܾ ൌ 3.600.000. Desse 
modo, b/a vale 
a) cento e vinte trilhões. 
b) cento e vinte bilhões. 
c) um bilhão e duzentos milhões. 
d) cento e vinte milhões. 
e) um milhão, cento e vinte mil. 
Resolução 
Para efetuar a divisão, devemos igualar a quantidade de casas decimais e em
seguida “apagar as vírgulas”. 
ܾ
ܽ
ൌ
3.600.000,00000
0,00003
ൌ
360.000.000.000
3
ൌ 120.000.000.000
Letra B 
 
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07. (ALESP 2010/FCC) Ana Maria decidiu preparar uma torta cuja receita
indicava 200 gramas de chocolate em barra. Em sua dispensa, havia uma
barra de 350 gramas, mas ela não dispunha de uma balança para pesar a
quantidade necessária. Então, ela decidiu dividir a barra em partes iguais e
pegar a quantidade de partes que correspondessem a 200 gramas. Dentre os
esquemas abaixo, em que os retângulos escuros correspondem às partes da
barra de chocolate usadas por Ana Maria, aquele que representa os 200
gramas pedidos na receita é 
 
Resolução 
Para calcular a fração correspondente, devemos dividir a quantidade
necessária de chocolate pelo total da barra. 
200
350
A priori, deveríamos dividir a barra de chocolate em 350 partes iguais e tomar
200 destas partes. 
Por outro lado, para facilitar a vida de Ana Maria, podemos simplificar esta
fração. Percebe-se facilmente que podemos simplificar a fração por 50. 
200 dividido por 50 é igual a 4 e 350 dividido por 50 é igual a 7. 
200
350
ൌ
4
7
Vamos analisar cada uma das alternativas: 
(A) FALSO. A barra foi dividida em 16 partes e foram tomadas 9 partes. A
fração correspondente é igual a 9/16. 
 
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(B) FALSO. A barra foi dividida em 15 partes e foram tomadas 8 partes. A
fração correspondente é igual a 8/15. 
(C) VERDADEIRO. A barra foi dividida em 14 partes e foram tomadas 8
partes. A fração correspondente é igual a 8/14. Simplificando a fração
por 2 temos: 
8
14
ൌ
4
7
(D) FALSO. A barra foi dividida em 12 partes e foram tomadas 8 partes. A
fração correspondente é igual a: 
8
12
ൌ
2
3
(E) FALSO. A barra foi dividida em 10 partes e foram tomadas 6 partes. A
fração correspondente é igual a: 
6
10
ൌ
3
5
Letra C 
08. (Pref. de Salvador 2008/FCC) Um guarda municipal, em 2007,
permaneceu como vigilante em três instalações municipais. Na primeira, ele
trabalhou 1/4 de um ano; na segunda, durante 2/3 do que sobrou do ano.
Descontando, do total de dias do ano, suas férias de 30 dias e folgas de 45
dias, quantos dias ele trabalhou na terceira instalação considerando o ano de
360 dias? 
(A) 15 
(B) 18 
(C) 20 
(D) 30 
(E) 45
Resolução 
O problema manda considerar o ano de 360 dias. 
Na primeira instalação municipal, ele trabalhou 1/4 de um ano. 
1
4
݀݁ ݑ݉ ܽ݊݋ ൌ
1
4
· 360 ൌ 90 ݀݅ܽݏ
Sobram 360 െ 90 ൌ 270 ݀݅ܽݏ. 
Na segunda instalação municipal, ele trabalhou 2/3 do que sobrou do ano. 
2
3
݀݁ 270 ݀݅ܽݏ ൌ
2
3
· 270 ൌ 180 ݀݅ܽݏ
Ele teve ainda 30 dias de férias e 45 dias de folga. 
Já temos no total: 90 ൅ 180 ൅ 30 ൅ 45 ൌ 345 ݀݅ܽݏ. 
 
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Para completar o ano faltam 360 െ 345 ൌ 15 dias. Estes 15 dias correspondem
aos dias trabalhados na terceira instalação municipal. 
Letra A 
09. (Agente de Estação – METRO-SP 2007/FCC) Do total de pessoas que
estiveram comprando bilhetes nos guichês de uma estação do Metrô em certo
dia, sabe-se que: 3/8 foi atendido por Dagoberto, 2/5 por Breno e as demais
por Leandro. Nessas condições, o número de pessoas atendidas por Leandro
corresponde a que fração do total de pessoas atendidas nesse dia? 
(A) 1/5 
(B) 9/40 
(C) 1/4 
(D) 19/40 
(E) 31/40 
Resolução 
Dagoberto atendeu 3/8 das pessoas e Breno atendeu 2/5 das pessoas. Juntos,
eles atenderam: 
3
8
൅
2
5
ൌ
15 ൅ 16
40
ൌ
31
40
݀݋ ݐ݋ݐ݈ܽ ݀݁ ݌݁ݏݏ݋ܽݏ
Isto significa que o total de pessoas foi dividido em 40 partes. Dagoberto e
Breno, juntos, atenderam 31 destas partes. Destas 40 partes, sobram 
40 െ 31 ൌ 9 ݌ܽݎݐ݁ݏ. Desta forma, a fração correspondente às pessoas
atendidas por Leandro é igual a 9/40. 
Letra B 
10. (METRO-SP 2009/FCC) Certo artigo é vendido em uma loja ao preço de
N reais a unidade. Ao conferir o total a ser pago pela compra de 14 unidades
desse artigo, Orozimbo logo percebeu que o vendedor cometera um engano:
ao efetuar a multiplicação de 14 por N, ele inverteu as posições do algarismo
das unidades com o das dezenas de N e, com isso, obteve 2 142 reais. Nessas
condições, de quantos reais a quantia certa a ser paga diferia da errada? 
(A) 212 
(B) 224 
(C) 252 
(D) 266 
(E) 284 
Resolução 
Orozimbo multiplicou 14 por N (este N é “falso”) e obteve 2.142 reais. 
14 · ܰ ൌ 2.142
 
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ܰ ൌ
2.142
14
ൌ 153
Como o problema informou que Orozimbo inverteu as posições do algarismo
das unidades com o das dezenas de N, então o valor verdadeiro de N é 135. A
quantia certa a ser paga é igual a: 
A quantia certa a ser paga difere da errada 
14 ൈ 135 ൌ 1.890 ݎ݁ܽ݅ݏ
2.142 െ 1.890 ൌ 252 ݎ݁ܽ݅ݏ.
Letra C 
11. (TCE-MG 2007/FCC) Considere o número inteiro e positivo X4Y, em que
X e Y representam os algarismos das centenas e das unidades,
respectivamente. Sabendo que 15 480 : (X4Y) = 24, então X4Y é um número
compreendido entre 
a) 800 e 1 000 
b) 600 e 800 
c) 400 e 600 
d) 200 e 400 
e) 100 e 200 
Resolução 
A expressão 15.480 : (X4Y) pode ser escrita assim: 
15.480
ሺܺ4ܻሻ
Temos então: 
15.480
ሺܺ4ܻሻ
ൌ 24
O número (X4Y) que está dividindo, pode “passar para o segundo membro”
multiplicando. 
15.480 24 24 ( 4 ) 15.480 ( 4 ) 645
( 4 )
X Y X Y
X Y
= ⇒ ⋅ = ⇒ = 
Letra B 
12. (Agente de Estação – METRO-SP 2010/FCC) A soma de três números
inteiros positivos é igual ao maior número inteiro de 5 algarismos distintos. Se
adicionarmos a cada um dos números o maior número inteiro de 3 algarismos,
a nova soma será igual a 
 
MATEMÁTICA E RACIOCÍNIO LÓGICO PARA TRF DA 1ª REGIÃO
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(A) 102 996. 
(B) 102 960. 
(C) 102 876. 
(D) 101 726. 
(E) 101 762. 
Resolução 
O maior número de 5 algarismos distintos é 98.765. 
Vamos assumir que os três números inteiros positivos considerados são iguais
a ݔ, ݕ ݁ ݖ.
Portanto, ݔ ൅ ݕ ൅ ݖ ൌ 98.765
O maior número inteiro de 3 algarismos é 999 (observe que aqui os algarismos
não devem ser distintos). 
Vamos adicionar a cada um dos 3 números o número 999. 
Letra E 
ݔ ൅ 999 ൅ ݕ ൅ 999 ൅ ݖ ൅ 999 ൌ ݔ ൅ ݕ ൅ ݖ ൅ 3 · 999 ൌ 98.765 ൅ 2.997 ൌ 101.762
13. (Agente de Estação – METRO-SP 2010/FCC) Especialistas dizem que,
em um carro bicombustível (álcool e gasolina), o uso de álcool só é vantajoso
se o quociente do preço por litro de álcool pelo do de gasolina for, no máximo,
igual a 70%. Se o preço do litro da gasolina é R$ 2,60, então NÃO é vantajoso
usar álcool quando o preço por litro de álcool 
(A) é no máximo de R$ 1,70. 
(B) é superior a R$ 1,82. 
(C) está compreendido entre R$ 1,79 e R$ 1,86. 
(D) é igual a R$ 1,78. 
(E) é menor que R$ 1,80. 
Resolução 
Vamos calcular 70% do preço da gasolina. 
70% ݀݁ 2,60 ൌ
70
Portanto, só é vantajosoutilizar o álcool se o seu preço for, no máximo, 
100
· 2,60 ൌ 0,7 · 2,60 ൌ 1,82
R$ 1,82. Não é vantajoso, portanto, utilizar o álcool se o seu preço for superior
a R$ 1,82. 
Letra B 
 
MATEMÁTICA E RACIOCÍNIO LÓGICO PARA TRF DA 1ª REGIÃO
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14. (TCE-PB 2007/FCC) Quantos algarismos são usados para numerar de 1
a 150 todas as páginas de um livro? 
a) 327 
b) 339 
c) 342 
d) 345 
e) 350 
Resolução 
Da página 1 até a página 9 são usados 9 x 1 = 9 algarismos. 
Da página 10 até a página 99 são usados 90 x 2 = 180 algarismos. 
Da página 100 até a página 150 são usados quantos algarismos? 
Cada página tem 3 algarismos. Da página 100 até a página 150 são 51
páginas! 
Portanto, teremos 51 x 3 = 153 algarismos. 
Total: 9 + 180 + 153 = 342 algarismos. 
Letra C 
Questões envolvendo páginas de livros e quantidades de algarismos para
escrever as páginas são muito frequentes em provas da FCC. 
Há uma “fórmula” para resolver instantaneamente questões deste tipo. Esta
fórmula dá certo se o número de páginas do livro for maior que 99 e menor que 
1.000. Ou seja, se o número de páginas tiver 3 algarismos (o número total de
algarismos deve ser maior que 189). 
Considerando que são ܲ páginas e ܣ algarismos para escrever estas páginas, 
a relação é a seguinte: 
ܲ ൌ
ܣ ൅ 108
3
Ou, isolando o A: 
Vamos resolver novamente esta questão, substituindo o valor de
ܣ ൌ 3ܲ െ 108
ܲ por 150. 
ܣ ൌ 3 · 150 െ 108
ܣ ൌ 450 െ 108
ܣ ൌ 342
 
MATEMÁTICA E RACIOCÍNIO LÓGICO PARA TRF DA 1ª REGIÃO
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Muito fácil, não? 
15. (Pref. de São Paulo 2008/FCC) Um livro tem N páginas numeradas de 1
a N. Se na numeração das páginas desse livro foram usados 657 algarismos,
então N é igual a 
(A) 235 
(B) 244 
(C) 245 
(D) 254 
(E) 255 
Resolução 
Utilizando a relação que eu desenvolvi e mostrei na questão anterior (observe
que o número de páginas P foi chamado de N). 
ܲ ൌ
ܣ ൅ 108
3
ܲ ൌ
657 ൅ 108
3
ൌ 255 ݌á݃݅݊ܽݏ
Letra E 
16. (Agente de Estação – METRO-SP 2007/FCC) Considere que na
numeração das X páginas de um manual de instruções foram usados 222
algarismos. Se a numeração das páginas foi feita a partir do número 1, então 
(A) X < 95 
(B) 94 < X < 110 
(C) 109 < X < 125 
(D) 124 < X < 130 
(E) X > 129 
Resolução 
Questão idêntica!! 
ܲ ൌ
ܣ ൅ 108
3
ܲ ൌ
222 ൅ 108
3
ൌ 110 ݌á݃݅݊ܽݏ
Letra C 
17. (TRF 1ª Região 2007/FCC) Um técnico judiciário foi incumbido da
montagem de um manual referente aos Princípios Fundamentais da
Constituição Federal. Sabendo que, excluídas a capa e a contra-capa, a
numeração das páginas foi feita a partir do número 1 e, ao concluí-la,
constatou-se que foram usados 225 algarismos, o total de páginas que foram
numeradas é 
(A) 97 
 
MATEMÁTICA E RACIOCÍNIO LÓGICO PARA TRF DA 1ª REGIÃO
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(B) 99 
(C) 111 
(D) 117 
(E) 126 
Resolução 
Mais uma!! 
ܲ ൌ
ܣ ൅ 108
3
ൌ
225 ൅ 108
3
ൌ 111 ݌á݃݅݊ܽݏ
Letra C 
18. (Delegado de Polícia - Pol. Civil – FCC 2006) Uma pessoa fez uma
compra no valor de R$19,55. Tinha com ela as seguintes moedas: 15 de
R$1,00; 10 de R$0,50; 8 de R$0,25; 8 de R$0,10 ; 4 de R$0,05. Se fez o
pagamento utilizando a maior quantidade possível dessas moedas, então: 
a) sobraram 7 moedas. 
b) sobraram 8 moedas. 
c) dentre as moedas que sobraram, 2 eram de R$0,10. 
d) dentre as moedas que sobraram, 2 eram de R$0,25. 
e) dentre as moedas que sobraram, 3 eram de R$0,05. 
Resolução 
As moedas totalizam R$ 23,00. Já que o pagamento é de R$ 19,55, o troco
será de R$ 23,00 – R$ 19,55 = R$ 3,45. Se o pagamento deverá ser feito
utilizando a maior quantidade possível de moedas, o troco deverá ser devolvido
com a menor quantidade possível de moedas. Para devolver R$ 3,45 (troco)
com a menor quantidade possível de moedas devemos utilizar 3 moedas de R$
1,00, 1 moeda de R$ 0,25 e 2 moedas de R$ 0,10. 
Letra C 
19. (BAHIA GAS 2010/FCC) Sendo x e y números reais, definiremos a
operação ☺ tal que x☺y é igual a x−y. Partindo-se dessa definição, é correto
dizer que (x☺y)☺(y☺x) é igual a 
(A) 2x 
(B) 2y 
(C) 2(x−y) 
(D) −2(x−y) 
(E) −2x 
Resolução 
Podemos simplesmente substituir o símbolo ☺ pelo sinal da subtração. 
(x☺y)☺(y☺x)=ሺݔ െ ݕሻ െ ሺݕ െ ݔሻ ൌ ݔ െ ݕ െ ݕ ൅ ݔ ൌ 2ݔ െ 2ݕ
 
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Colocando o número 2 em evidência, temos: 
2ݔ െ 2ݕ ൌ 2ሺݔ െ ݕሻ
Letra C 
20. (Agente Administrativo DNOCS 2010/FCC) Seja Δ a operação definida 
por ݑ୼ ൌ 3 െ 5ݑ, qualquer que seja o inteiro ݑ. Calculando ሺെ2ሻ୼ ൅ ሺ2୼ሻ୼
obtém-se um número compreendido entre: 
(A) −20 e −10 
(B) −10 e 20 
(C) 20 e 50 
(D) 50 e 70 
(E) 70 e 100
Resolução 
Para calcular o valor de ሺെ2ሻ୼ devemos substituir o valor de ݑ por െ2. 
Para calcular o valor de 
ሺെ2ሻ୼ ൌ 3 െ 5 · ሺെ2ሻ ൌ 3 ൅ 10 ൌ 13
2୼ devemos substituir o valor de ݑ por 2. 
2୼ ൌ 3 െ 5 · 2 ൌ 3 െ 10 ൌ െ7
Portanto, ሺ2୼ሻ୼ ൌ ሺെ7ሻ୼. 
Para calcular o valor de ሺെ7ሻ୼ devemos substituir o valor de ݑ por െ7. 
ሺെ7ሻ୼ ൌ 3 െ 5 · ሺെ7ሻ ൌ 3 ൅ 35 ൌ 38
Desta forma: 
Letra D 
ሺെ2ሻ୼ ൅ ሺ2୼ሻ୼ ൌ ሺെ2ሻ୼ ൅ ሺെ7ሻ୼ ൌ 13 ൅ 38 ൌ 51
21. (Agente de Estação – METRO-SP 2007/FCC) Considere que ݔ୼ é um 
número racional definido pela sentença ݔ୼ ൌ ଷ௫ି଼
଼
. Calculando-se ሺ11୼ሻ୼
obtém-se um número 
(A) negativo. 
(B) compreendido entre 0 e 1. 
(C) compreendido entre 1 e 2. 
(D) compreendido entre 2 e 3. 
(E) maior do que 3. 
Resolução 
Para calcular 11୼ devemos substituir ݔ por 11. 
 
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11୼ ൌ
3 · 11 െ 8
8
ൌ
25
8
Portanto: 
ሺ11୼ሻ୼ ൌ ൬
25
8
൰
୼
 
Para calcular ቀଶହ
଼
ቁ
୼
 devemos substituir ݔ por 25/8. 
൬
25
8
൰
୼
ൌ
3 · 258 െ 8
8
ൌ
75
8 െ 8
8
ൌ
9,375 െ 8
8
ൌ
1,375
8
Ao dividir um número positivo e menor que 8 por 8 obtemos um número que
está compreendido entre 0 e 1. De fato: 
1,375
8
ൌ 0,171875
Letra B 
22. (MF 2009/ESAF) Existem duas torneiras para encher um tanque vazio. Se
apenas a primeira torneira for aberta, ao máximo, o tanque encherá em 24
horas. Se apenas a segunda torneira for aberta, ao máximo, o tanque encherá
em 48 horas. Se as duas torneiras forem abertas ao mesmo tempo, ao
máximo, em quanto tempo o tanque encherá? 
a) 12 horas 
b) 30 horas 
c) 20 horas 
d) 24 horas 
e) 16 horas 
Resolução 
Existe uma tática muito boa para resolver problemas envolvendo produção e
tempo. A tática é a seguinte: perguntar o que cada objeto produz na unidade de
tempo. 
 
 
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A primeira torneira enche o tanque em 24 horas. Isto significa que eu posso
dividir o tanque em 24 partes iguais e a torneira enche cada parte em 1 hora. 
Desta maneira, a primeira torneira enche 1/24 do tanque em 1 hora. 
A segunda torneira enche o tanque em 48 horas. Isto significa que eu posso
dividir o tanque em 48 partes iguais e a torneira enche cada parte em 1 hora.
Como o tanque foi dividido em 48 partes, cada parte representa 1/48 do
tanque. Ou seja, a segunda torneira enche 1/48 do tanque em 1 hora. 
Ora, se a primeira torneira em 1 hora enche 1/24 do tanque e a segunda
torneira em 1 hora enche 1/48 do tanque, então juntas em 1 hora encherão: 
1
24
൅
1
48
ൌ
2 ൅ 1
48
ൌ
3
48
ൌ
1
16
Analogamente, se juntas as torneiras enchem o tanque completamente em ݔ
horas, em 1 hora encherão 1/x. 
Assim: 
1
ݔ
ൌ
1
16
ݔ ൌ 16 ݄݋ݎܽݏ.
Letra E 
O tanque foi dividido em 24 partes iguais. A torneira
enche cada parte em 1 hora, totalizando 24 horas.
Cada parte representa
ଵ
ଶସ
do tanque.
 
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Vamos agora criar uma resolução geral para problemas de produção e tempo? 
Considere que um objeto execute um serviço em ܽ horas, outro objeto execute 
um serviço o mesmo serviço em ܾ horas, outro objeto execute o mesmo serviço 
em ܿ horas e assim por diante. Considere ainda que juntos, os objetos
executem o serviço em ݔ horas. Temos a seguinte relação: 
1
ܽ
൅
1
ܾ
൅ڮ ൌ
1
ݔ
No nosso caso, a primeira torneira enche o tanque em 24 horas e a segunda
torneira enche o tanque em 48 horas. Elas enchem o tanque em ݔ ݄݋ݎܽݏ.
1
24
൅
1
48
ൌ
1
ݔ
2 ൅ 1
48
ൌ
1
ݔ
֞
3
48
ൌ
1
ݔ
Como o produto dos meios é igual ao produto dos extremos: 
3 · ݔ ൌ 1 · 48
ݔ ൌ
48
3
ൌ 16 ݄݋ݎܽݏ.
23. (Oficial de Chancelaria – MRE 2009/FCC) Certo dia, Alfeu e Gema foram
incumbidos de, no dia seguinte, trabalharem juntos a fim de cumprir uma certa
tarefa; entretanto, como Alfeu faltou ao serviço no dia marcado para a
execução de tal tarefa, Gema cumpriu-a sozinha. Considerando que, juntos,
eles executariam a tarefa em 3 horas e que, sozinho, Alfeu seria capaz de
executá-la em 5 horas, o esperado é que, sozinha, Gema a tenha cumprido em 
a) 6 horas e 30 minutos. 
b) 7 horas e 30 minutos. 
c) 6 horas. 
d) 7 horas. 
e) 8 horas. 
Resolução 
Alfeu executa o serviço sozinho em 5 horas. Gema executa o serviço sozinha
em ݃ horas. Juntos, executariam o serviço em 3 horas. 
1
5
൅
1
݃
ൌ
1
3
1
݃
ൌ
1
3
െ
1
5
֞
1
݃
ൌ
5 െ 3
15
 
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1
݃
ൌ
2
15
Como o produto dos meios é igual ao produto dos extremos: 
2 · ݃ ൌ 1 · 15
ݔ ൌ
15
2
ൌ 7,5 ݄݋ݎܽݏ ൌ 7 ݄݋ݎܽݏ ݁ 30 ݉݅݊ݑݐ݋ݏ
Letra B 
24. (TRT 4ª Região 2006/FCC) Trabalhando individualmente, o funcionário A é
capaz de cumprir certa tarefa em 8 horas, o funcionário B em 6 horas e o
funcionário C em 5 horas. Nessas condições, se trabalharem juntos na
execução dessa tarefa, o esperado é que ela seja cumprida em,
aproximadamente, 
(A) 1 hora e 40 minutos. 
(B))2 horas, 2 minutos e 2 segundos. 
(C) 2 horas e 20 minutos. 
(D) 2 horas, 22 minutos e 30 segundos. 
(E) 2 horas e 54 minutos. 
Resolução 
A tática para resolver tais problemas é fazer a seguinte pergunta: que fração da
tarefa cada funcionário faz em 1 hora? 
Vejamos o funcionário A. Ele é capaz de cumprir determinada tarefa, sozinho,
em 8 horas. Isto significa que em cada hora ele realiza 1/8 da tarefa. 
O funcionário B realiza a mesma tarefa em 6 horas. Analogamente, podemos
concluir que em cada hora o funcionário B realiza 1/6 da tarefa. 
O funcionário C realiza a tarefa em 5 horas. Concluímos que ele realiza 1/5 da
tarefa em cada hora. 
A tarefa foi dividida em 8 partes iguais. Em cada hora o
funcionário realiza uma dessas partes, ou seja, 1/8 da tarefa.
Cada parte representa 1/8
 
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Ora, se em uma hora o funcionário A realiza 1/8 da tarefa, o funcionário B
realiza 1/6 da tarefa, o funcionário C realiza 1/5 da tarefa, então os três
juntos, em uma hora, realizam: 
૚
ૡ
൅
૚
૟
൅
૚
૞
ൌ
૚૞ ൅ ૛૙ ൅ ૛૝
૚૛૙
ൌ
૞ૢ
૚૛૙
ࢊࢇ ࢚ࢇ࢘ࢋࢌࢇ
Resumindo: os três funcionários, trabalhando juntos, realizam 59/120 da
tarefa em 1 hora. 
Vamos considerar que os três funcionários, trabalhando juntos, realizam toda a
tarefa em ݔ horas. Isto significa que em uma hora eles realizam 1/ݔ da tarefa. 
Assim: 
1
ݔ
ൌ
59
120
59 · ݔ ൌ 120
ݔ ൌ
120
Vamos dividir 120 horas por 59. 
59
݄݋ݎܽݏ
120 ݄݋ݎܽݏ උ 59
2 ݄݋ݎܽݏ 2 ݄݋ݎܽݏ
Vamos dividir o resto (2 horas). Já que 1 hora = 60 minutos, então 2 horas =
120 minutos. 
120 ݉݅݊ උ 59
2 ݉݅݊ 2 ݉݅݊
Vamos dividir o resto (2 minutos). Já que 1 min = 60 s, então 2 min = 120 s. 
120 ݏ උ 59
2 ݏ 2 ݏ
Ainda ficou um resto de 2 segundos. Como o problema pede uma resposta
aproximada, então: 
ݔ ؆ 2 ݄݋ݎܽݏ 2min 2 ݏ
Letra B 
Utilizando o método que descrevi na questão 21... 
 
MATEMÁTICA E RACIOCÍNIO LÓGICO PARA TRF DA 1ª REGIÃO
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No nosso caso, o funcionário A realiza a tarefa em 8 horas, o funcionário B
realiza a tarefa em 6 horas e o funcionário C realiza a tarefa em 6 horas. Os
três juntos realizam a tarefa em ݔ horas, portanto: 
૚
ૡ
൅
૚
૟
൅
૚
૞
ൌ
૚
࢞
૚૞ ൅ ૛૙ ൅ ૛૝
૚૛૙
ൌ
૚
࢞
૞ૢ
૚૛૙
ൌ
૚
࢞
E finalmente chegamos na mesma equação de antes. 
25. (Agente Administrativo CRF-SP 2009/VUNESP) Uma torneira enche
completamente um tanque em 4 horas. Há um registro de saída no fundo do
tanque e, quando aberto, esvazia esse tanque em 8 horas. Se a torneira for
totalmente aberta com o tanque vazio, e o registro estiver totalmente aberto, o
tanque estará completamente cheio em 
(A) 12 horas. 
(B) 10 horas. 
(C) 8 horas. 
(D) 6 horas. 
(E) 5 horas. 
Resolução 
Neste caso, como o tanque executa um serviço “destrutivo”, devemos colocar
um sinal negativo na sua parte da equação. 
A torneira enche o tanque em 4 horas, portanto em 1 hora esta torneira enche
1/4 do tanque. 
O registro de saída esvazia o tanque em 8 horas, portanto em 1 hora o registro
esvazia 1/8 do tanque. 
Se a torneira for totalmente aberta com o tanque vazio, e o registro estiver
totalmente aberto, o tanque estará completamente cheio em ݔ horas. 
1
4
െ
1
8
ൌ
1
ݔ
2 െ 1
8
ൌ
1
ݔ
1
8
ൌ
1
ݔ
ݔ ൌ 8 ݄݋ݎܽݏ
Letra C 
 
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26. (Analista Judiciário – TRT 9ª Região 2010/FCC) Para estabelecer uma
relação entre os números de funcionários de uma unidade do Tribunal Regional
do Trabalho, que participaram de um curso sobre Controle e Prevenção de
Doenças, foi usada a expressão: 
݄
݉
ൌ 3 െ
1
3 െ 1
3 െ 13
em que h e m representam as quantidades de homens e de mulheres,
respectivamente. Sabendo que o total de participantes do curso era um número
compreendido entre 100 e 200, é correto afirmar que: 
a) 
b) 
݄ ൅݉ ൌ 158
c) 
݄ െ݉ ൌ 68
d) 
70 ൏ ݄ ൏ 100
e) 
50 ൏ ݉ ൏ 70
Resolução 
݉ · ݄ ൏ 4.000
O primeiro passo é simplificar a expressão do segundo membro. 
3 െ
1
3 െ 1
3 െ 13
ൌ 3 െ
1
3 െ 19 െ 1
3
ൌ 3 െ
1
3 െ 18
3
ൌ 3 െ
1
3 െ 38
ൌ 3 െ
1
24 െ 3
8
ൌ 3 െ
1
21
8
3 െ
1
21
8
ൌ 3 െ
8
21
ൌ
63 െ 8
21
ൌ
55
21
Desta forma: 
݄
݉
ൌ
55
21
Podemos reescrever esta proporção assim: 
݄
55
ൌ
݉
21
Podemos “prolongar” esta proporção. Para isto, devemos somar os
antecedentes e somar os consequentes. 
 
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݄
55
ൌ
݉
21
ൌ
݄ ൅݉
55 ൅ 21
݄
55
ൌ
݉
21
ൌ
݄ ൅݉
76
Isto significa que o total de pessoas é um múltiplo de 76. Como o total de
participantes do curso era um número compreendido entre 100 e 200,
concluímos que o total de pessoas é igual a 76 x 2 = 152 (este é o único
múltiplo de 76 compreendido entre 100 e 200). 
݄
55
ൌ
݉
21
ൌ
152
76
ൌ 2
݄ ൌ 55 · 2 ൌ 110
݉ ൌ 21 · 2 ൌ 42
A única alternativa que é satisfeita com estes valores é a alternativa B. 
݄ െ݉ ൌ 110 െ 42 ൌ 68
Letra B 
Potências
A multiplicação de fatores iguais pode ser escrita na forma de potência. Observe: 
4ହ ൌ 4 · 4 · 4 · 4 · 4 ൌ 1.024
Na potência 4ହ ՜ 4 é a base (fator que se repete) e 5 é o expoente (número de vezes 
que o fator se repete). 
Sendo ܽ um número real e ݊ um número inteiro maior que 1, define-se: 
ܽ௡ ൌ ܽ · ܽ · … · ܽ ሺ݊ ݂ܽݐ݋ݎ݁ݏሻ
Exemplos: 
5ଷ ൌ 5 · 5 · 5 ൌ 125
ሺെ8ሻଶ ൌ ሺെ8ሻ · ሺെ8ሻ ൌ 64
൬െ
2
3
൰
ଶ
ൌ ൬െ
2
3
൰ · ൬െ
2
3
൰ ൌ
4
9
ሺെ2ሻଷ ൌ ሺെ2ሻ · ሺെ2ሻ · ሺെ2ሻ ൌ െ8
 
MATEMÁTICA E RACIOCÍNIO LÓGICOPARA TRF DA 1ª REGIÃO
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• Toda potência de expoente 1 é igual a base. 
ܽଵ ൌ ܽ
• Toda potência de expoente 0 é igual a 1. 
ܽ଴ ൌ 1, ݏ݁݊݀݋ ܽ ് 0
Observação: 0଴ é ݑ݉ܽ ݅݊݀݁ݐ݁ݎ݉݅݊ܽçã݋ ݉ܽݐ݁݉áݐ݅ܿܽ.
• Toda potência de expoente negativo é igual ao inverso da potência de
expoente positivo. 
ܽି௡ ൌ
1
ܽ௡
Exemplos: 
5ଵ ൌ 5
൬
3
4
൰
଴
ൌ 1
൬
2
5
൰
ିଷ
ൌ ൬
5
2
൰
ଷ
ൌ
125
8
5ିଵ ൌ ൬
1
5
൰
ଵ
ൌ
1
5
Propriedades Operatórias 
ݔ௔ · ݔ௕ ൌ ݔ௔ା௕
ݔ௔
ݔ௕
ൌ ݔ௔ି௕
ሺݔ௠ሻ௡ ൌ ݔ௠௡
Em palavras: 
• Para multiplicar potências de mesma base, conserva-se a base e os expoentes
são adicionados. 
IMPORTANTE
Se o expoente é um número par, o resultado da potência é positivo.
Se o expoente é ímpar e a base é um número negativo, o resultado da
potência é negativo.
Se a base é positiva, o resultado da potência é positivo.
 
MATEMÁTICA E RACIOCÍNIO LÓGICO PARA TRF DA 1ª REGIÃO
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• Para dividir potências de mesma base, conserva-se a base e os expoentes são
subtraídos. 
• Para elevar uma potência a outra potência, conserva-se a base e os expoentes
são multiplicados. 
Exemplos 
5ଶ · 5ସ ൌ 5ଶାସ ൌ 5଺
5଺
5ଶ
ൌ 5଺ିଶ ൌ 5ସ
ሺ5ଶሻ଺ ൌ 5ଶ·଺ ൌ 5ଵଶ
27. (RIO PREVIDENCIA 2010/CEPERJ) A soma dos algarismos do número 10ଵ଴ െ 3 
é: 
a) 88 
b) 89 
c) 91 
d) 95 
e) 97 
Resolução 
Qual o significado de 
Com dez fatores “x”. 
ݔଵ଴ ൌ ݔ · ݔ · ݔ · ݔ · ݔ · ݔ · ݔ · ݔ · ݔ · ݔ
Portanto, 10ଵ଴ ൌ 10.000.000.000
A soma dos algarismos é 
10ଵ଴ െ 3 ൌ 10.000.000.000 െ 3 ൌ 9.999.999.997
9 ൅ 9 ൅ 9 ൅ 9 ൅ 9 ൅ 9 ൅ 9 ൅ 9 ൅ 9 ൅ 7 ൌ 88.
Letra A 
28. (SEE/RJ 2010/CEPERJ) Simplificando ଶ
మబାଶభవ
ଶభఴ
 , encontra-se: 
a) 2 
b) 4 
c) 6 
d) 8 
e) 221 
Resolução 
Vamos relembrar algumas propriedades das potências. 
Lembre-se que para multiplicar duas potências de mesma base, repetimos a
base e somamos os expoentes. Para dividir potências de mesma base,
repetimos a base e subtraímos os expoentes. Assim, 
 
MATEMÁTICA E RACIOCÍNIO LÓGICO PARA TRF DA 1ª REGIÃO
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࢞ࢇ · ࢞࢈ ൌ ࢞ࢇା࢈
࢞ࢇ/࢞࢈ ൌ ࢞ࢇି࢈
E da mesma forma que ࢞ࢇ · ࢞࢈ ൌ ࢞ࢇା࢈ , temos que ࢞ࢇା࢈ ൌ ࢞ࢇ · ࢞࢈ (óbvio não?). 
Como podemos utilizar estas propriedades para resolver esta questão? 
Observe que 20 = 18+2 e 19 = 18 +1. Portanto: 
2ଶ଴ ൌ 2ଵ଼ାଶ ൌ 2ଵ଼ · 2ଶ
2ଵଽ ൌ 2ଵ଼ାଵ ൌ 2ଵ଼ · 2ଵ
2ଶ଴ ൅ 2ଵଽ
2ଵ଼
ൌ
2ଵ଼ · 2ଶ ൅ 2ଵ଼ · 2ଵ
2ଵ଼
Podemos colocar 218 em evidência: 
2ଵ଼ · 2ଶ ൅ 2ଵ଼ · 2ଵ
2ଵ଼
ൌ
2ଵ଼ · ሺ2ଶ ൅ 2ଵሻ
2ଵ଼
ൌ 2ଶ ൅ 2ଵ ൌ 4 ൅ 2 ൌ 6
Letra C 
29. (Pref. de Cantagalo 2010/CEPERJ) Simplificando a expressão ଷ
೙షభାଷ೙షమାଷ೙షయ
ଷ೙శమାଷ೙శభାଷ೙
 onde 
n pertence ao conjunto dos números inteiros, obtém-se o seguinte resultado: 
a) 1/3 
b) 1/27 
c) 3 
d) 27 
e) 1/9 
Resolução 
Vamos resolver de duas maneiras. A primeira, utilizando as propriedades vistas na
questão anterior. 
3௡ିଵ ൅ 3௡ିଶ ൅ 3௡ିଷ
3௡ାଶ ൅ 3௡ାଵ ൅ 3௡
ൌ
3௡ · 3ିଵ ൅ 3௡ · 3ିଶ ൅ 3௡ · 3ିଷ
3௡ · 3ଶ ൅ 3௡ · 3ଵ ൅ 3௡ · 3଴
Vamos colocar 3n em evidência no numerador e no denominador. 
3௡ · 3ିଵ ൅ 3௡ · 3ିଶ ൅ 3௡ · 3ିଷ
3௡ · 3ଶ ൅ 3௡ · 3ଵ ൅ 3௡ · 3଴
ൌ
3௡ · ሺ3ିଵ ൅ 3ିଶ ൅ 3ିଷሻ
3௡ · ሺ3ଶ ൅ 3ଵ ൅ 3଴ሻ
ൌ
3ିଵ ൅ 3ିଶ ൅ 3ିଷ
3ଶ ൅ 3ଵ ൅ 3଴
3ିଵ ൅ 3ିଶ ൅ 3ିଷ
3ଶ ൅ 3ଵ ൅ 3଴
ൌ
1
3 ൅
1
9 ൅
1
27
9 ൅ 3 ൅ 1
ൌ
9 ൅ 3 ൅ 1
27
13
ൌ
13
27
13/1
ൌ
13
27
·
1
13
ൌ
1
27
Ufa! Trabalhoso... Vejamos uma maneira bem mais fácil! 
Dê uma olhada para as alternativas. Percebeu que o valor de ݊ não influencia na
resposta? Desta maneira, vamos escolher um valor arbitrário. É óbvio que vamos 
 
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escolher um número bom! E qual seria um número bom? Eu escolheria o número 3
porque todos os expoentes deixam de ser negativos. 
3௡ିଵ ൅ 3௡ିଶ ൅ 3௡ିଷ
3௡ାଶ ൅ 3௡ାଵ ൅ 3௡
Esta é a expressão. Vamos substituir ݊ por 3. 
3ଷିଵ ൅ 3ଷିଶ ൅ 3ଷିଷ
3ଷାଶ ൅ 3ଷାଵ ൅ 3ଷ
ൌ
3ଶ ൅ 3ଵ ൅ 3଴
3ହ ൅ 3ସ ൅ 3ଷ
ൌ
9 ൅ 3 ൅ 1
243 ൅ 81 ൅ 27
ൌ
13
351
Simplificando por 13... 
13
351
ൌ
1
27
Bem melhor, não?! 
Letra B 
30. (Pref. de Resende 2007/CEPERJ) Considere-se que 10଴,ସ଻଻ ൌ 3 . O valor de ݔ tal 
que 10௫ ൌ 9.000 é: 
a) 3,628 
b) 3,746 
c) 3,882 
d) 3,015 
e) 3,954 
Resolução 
Perceba que 
Mas o enunciado nos disse que 
9.000 ൌ 9 · 1.000 ൌ 3ଶ · 10ଷ
3 ൌ 10଴,ସ଻଻.
Portanto: 
9.000 ൌ 9 · 1.000 ൌ 3ଶ · 10ଷ ൌ ሺ10଴,ସ଻଻ሻଶ · 10ଷ
Lembre-se que para elevar uma potência a outra potência, devemos conservar a base
e multiplicar os expoentes. 
9.000 ൌ ሺ10଴,ସ଻଻ሻଶ · 10ଷ ൌ 10଴,ସ଻଻ൈଶ · 10ଷ ൌ 10଴,ଽହସ · 10ଷ ൌ 10଴,ଽହସାଷ ൌ 10ଷ,ଽହସ
10௫ ൌ 9.000
10௫ ൌ 10ଷ,ଽହସ
ݔ ൌ 3,954
Letra E 
 
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Problemas envolvendomúltiplos e divisores
31. (Fundação CASA 2010/VUNESP) Um eletricista tem 4 rolos do fio X, com
84 m cada um, 3 rolos do fio Y, com 144 m cada um, e 5 rolos do fio Z, com 60
m cada um. Para fazer as ligações necessárias de uma obra, ele deverá cortar
os fios dos 12 rolos em pedaços do mesmo tamanho, sendo esse tamanho o
maior possível, de modo que não reste nenhum pedaço de fio nos rolos. Dessa
maneira, ele deverá obter um número total de pedaços igual a 
(A) 24. 
(B) 36. 
(C) 49. 
(D) 64. 
(E) 89. 
Resolução 
Vejamos, por exemplo, o fio X. Cada rolo do fio X tem 84 metros. Será que
podemos dividir o rolo do fio X em pedaços de 10 metros sem que haja resto?
É óbvio que não! E por que não? Porque 10 não é um divisor de 84. 
Será que podemos dividir o rolo do fio X em pedaços iguais de 4 metros sem
que haja resto? Sim! E por que sim? Porque 4 é um divisor de 84, ou seja, 84
dividido por 4 é igual a 21 e resto 0. 
Seguindo este raciocínio, o tamanho de cada pedaço deve ser um divisor do
comprimento de cada rolo de fio. Ou seja, o tamanho do pedaço que estamos
querendo calcular deve ser um divisor de 84, 144 e 60. Temos que calcular um
número que seja divisor comum destes três números. O problema é que há
vários divisores comuns, como por exemplo, 2 ou 4. 
O enunciado então determina que o tamanho de cada pedaço seja o maior
possível. 
Resumindo: o tamanho de cada pedaço deve ser o maior divisor comum
de 84, 144 e 60. Vocês conhecem este número como MDC: M de maior, D
de divisor e C de comum. 
Vamos calcular o ݉݀ܿሺ84,144,60ሻ. Utilizaremos o método da fatoração
simultânea. Como bem diz o nome do método, devemos fatorar os três
números simultaneamente, ou seja, de uma só vez. Para isto, devemos
procurar números que dividam simultaneamente os três números. 
Pense em um número que divida 84, 144 e 60. Pensou? Que tal 2? 
 
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84 dividido por 2 é igual a 42, 144 dividido por 2 é igual a 72 e 60 dividido por 2
é igual a 30. 
Vamos pensar em um número que divida 42, 72 e 30. Que tal 2 novamente? 
42 dividido por 2 é igual a 21, 72 dividido por 2 é igual a 36 e 30 dividido por 2 é 
igual a 15. 
Pense em um número que divida 21, 36 e 15... Que tal 3? 
21 divido por 3 é igual a 7, 36 dividido por 3 é igual a 12 e 15 dividido por 3 é 
igual a 5. 
Há algum número natural (diferente de 1) que divida 7, 12 e 5
simultaneamente? Não! Então devemos parar. Para calcular o MDC, devemos
multiplicar 2 · 2 · 3 ൌ 12. 
Conclusão: cada pedaço terá 12 metros. 
O rolo do fio X tem 84 metros. Se cada pedaço terá 12 metros, então cada rolo
do fio X será dividido em: 
84
12
ൌ 7 ݌݁݀ܽç݋ݏ
Como temos 4 rolos do fio X, então teremos no total 4 · 7 ൌ ૛ૡ ࢖ࢋࢊࢇç࢕࢙.
O rolo do fio Y tem 144 metros. Se cada pedaço terá 12 metros, então cada
rolo do fio Y será dividido em: 
144
12
ൌ 12 ݌݁݀ܽç݋ݏ
Como temos 3 rolos do fio Y, então teremos no total 3 · 12ൌ ૜૟ ࢖ࢋࢊࢇç࢕࢙.
O rolo do fio Z tem 60 metros. Se cada pedaço terá 12 metros, então cada rolo
do fio Z será dividido em: 
84, 144 , 60 2
42, 72 , 30
84, 144 , 60 2
42, 72 , 30 2
21, 36, 15
84, 144 , 60 2
42, 72 , 30 2
21, 36, 15 3
7, 12, 5
 
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60
12
ൌ 5 ݌݁݀ܽç݋ݏ
Como temos 5 rolos do fio Z, então teremos no total 5 · 5 ൌ ૛૞ ࢖ࢋࢊࢇç࢕࢙.
Dessa maneira, ele deverá obter um número total de pedaços igual a 
28 ൅ 36 ൅ 25 ൌ 89.
Depois de calculado o comprimento de cada pedaço, poderíamos seguir o
seguinte raciocínio para calcular o total de pedaços. 
Temos 4 rolos do fio X, cada um com 84 metros. O comprimento total do fio X é
igual a 4 · 84݉ ൌ 336 ݉݁ݐݎ݋ݏ.
Temos 3 rolos do fio Y, cada um com 144 metros. O comprimento total do fio Y
é igual a 3 · 144݉ ൌ 432 ݉݁ݐݎ݋ݏ.
Temos 5 rolos do fio Z, cada um com 60 metros. O comprimento total do fio Z é
igual a 5 · 60݉ ൌ 300 ݉݁ݐݎ݋ݏ.
O comprimento total de todos os rolos de fio é igual a 336 ൅ 432 ൅ 300 ൌ
1.068 ݉. 
Como cada pedaço de fio terá 12 metros, então teremos: 
1.068
12
ൌ 89 ݌݁݀ܽç݋ݏ
Letra E 
32. (SEAP-SP 2009/VUNESP) Em um presídio há 400 detentos, sendo 240 no
setor X e 160 no setor Y. Para realizar atividades na oficina de artes, o total de
detentos foi dividido em grupos com o mesmo número de integrantes, sendo
esse número o maior possível, sem deixar nenhum detento de fora e sem
misturar os detentos dos dois setores. Dessa forma, foram formados 
(A) 5 grupos. 
(B) 8 grupos. 
(C) 10 grupos. 
(D) 12 grupos. 
(E) 13 grupos. 
Resolução 
Para que os grupos tenham o mesmo número de integrantes, devemos
encontrar um número que seja divisor de 240 e seja divisor de 160 (para que
não haja resto). Além disso, este divisor deve ser o maior possível. Devemos,
portanto, calcular o máximo divisor comum (MDC) dos números 240 e 160. 
 
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Devemos fatorar os números apenas por números que dividam os dois
números simultaneamente. 
Portanto, ݉݀ܿሺ240,160ሻ ൌ 2 · 2 · 2 · 2 · 5 ൌ 80. Isto significa que cada grupo terá 
80 detentos. 
Dividindo os 400 detentos em grupos de 80, teremos 5 grupos (observe que 
400 dividido por 80 é igual a 5). 
Letra A 
33. (Instituto Butantan 2010/VUNESP) Um paciente recebe 3 medicamentos,
todos os dias. O primeiro, de 4 em 4 horas, o segundo, de 8 em 8 horas, e o
terceiro, a cada 10 horas. Ele recebeu os medicamentos juntos às 7 horas do
dia 27 de novembro de 2009. Receberá os 3 medicamentos juntos, novamente,
no mês de novembro de 2009, dia 
(A) 28, às 19 horas. 
(B) 28, às 23 horas. 
(C) 29, às 7 horas. 
(D) 29, às 11 horas. 
(E) 30, às 7 horas. 
Resolução 
Para calcular o tempo de coincidência dos eventos (período comum) devemos
calcular o mínimo múltiplo comum dos períodos. 
Desta forma, ݉.݉. ܿ. ሺ4,8,10ሻ ൌ 2 · 2 · 2 · 5 ൌ 40 ݄݋ݎܽݏ. Isto significa que os 3
medicamentos chegam juntos a cada 40 horas. Ele recebeu os medicamentos
juntos às 7 horas do dia 27 de novembro de 2009. 
Ora, sabemos que 40 ݄݋ݎܽݏ ൌ 24 ݄݋ݎܽݏ ൅ 16 ݄݋ݎܽݏ ൌ 1 ݀݅ܽ ൅ 16 ݄݋ݎܽݏ
7 horas do dia 27 de novembro de 2009 + 1 dia = 7 h do dia 28 de novembro
de 2009. 
4, 8, 10 2
2, 4, 5 2
1, 2, 5 2
1, 1, 5 5
1, 1, 1
240, 160 2
120, 80 2
60, 40 2
30, 20 2
15, 10 5
3, 2
 
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7 h do dia 28 de novembro de 2009 + 16 horas = 23 h do dia 28 de Nov. de
2009. 
Letra B 
34. (SEAP-SP 2009/VUNESP) Três agentes penitenciários fazem rondas
noturnas em um determinado presídio. O primeiro tem que acionar o relógio de
controle a cada 36 minutos; o segundo, a cada 24 minutos, e o terceiro, a cada
18 minutos. Dessa maneira, pode-se afirmar que eles acionam
simultaneamente o relógio de controle a cada 
(A) 1 h 24 min. 
(B) 1 h 18 min. 
(C) 1 h 12 min. 
(D) 1 h 06 min. 
(E) 1 h. 
Resolução 
Para calcular o tempo de coincidência dos eventos (período comum) devemos
calcular o mínimo múltiplo comum dos períodos. 
Desta forma, ݉.݉. ܿ. ሺ36,24,18ሻ ൌ 2 · 2 · 2 · 3 · 3 ൌ 72 ݉݅݊ݑݐ݋ݏ. 
72 ݉݅݊ ൌ 60 ݉݅݊ ൅ 12 ݉݅݊ ൌ 1݄ 12 ݉݅݊
Letra C 
35. (TRT 12ª Região 2010/FCC) Sistematicamente, dois funcionários de uma
empresa cumprem horas-extras: um, a cada 15 dias, e o outro, a cada 12 dias,
inclusive aos sábados, domingos ou feriados. Se em 15 de outubro de 2010
ambos cumpriram horas-extras, uma outra provável coincidência de horários
das suas horas-extras ocorrerá em 
(A) 9 de dezembro de 2010. 
(B) 15 de dezembro de 2010. 
(C) 14 de janeiro de 2011. 
(D) 12 de fevereiro de 2011. 
(E) 12 de março 2011. 
Resolução 
36, 24, 18 2
18. 12, 9 2
9, 6, 9 2
9, 3, 9 3
3, 1, 3 3
1, 1 , 1
 
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Para calcular o tempo de coincidência dos eventos (período comum) devemos
calcular o mínimo múltiplo comum dos períodos. 
Desta forma, ݉.݉. ܿ. ሺ15,12ሻ ൌ 2 · 2 · 3 · 5 ൌ 60 ݀݅ܽݏ. 
Houve uma coincidência em 15 de outubro de 2010. 
Vamos avançar 60 dias. 
Como há 31 dias em outubro (estamos em 15 de outubro), podemos avançar
16 dias em outubro. 
O mês de novembro possui 30 dias. Assim, já temos 16 + 30 = 46 dias. Para
completar os 60 dias, devemos avançar mais 14 dias em dezembro. 
Assim, a próxima coincidência será em 14/12/2010. Esta data não aparece nas
respostas. 
Vamos avançar mais 60 dias. Como o mês de dezembro possui 31 dias, então
podemos avançar 17 dias em dezembro. O mês de janeiro possui 31 dias. Assim, já
temos 17 + 31 = 48 dias. Para completar os 60 dias, devemos avançar 12 dias em
fevereiro. Desta forma, a próxima coincidência será no dia 12/02/2011. 
Letra D 
Muita gente confunde os meses com 30 e os meses com 31 dias. Há um
processo mnemônico muito fácil para a memorização destes meses. 
Primeiro, feche a sua mão conforme a figura abaixo. 
15, 12 2
15, 6 2
15,3 3
5,1 5
1, 1
 
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Para o nosso processo mnemônico, vamos da saliência do dedo indicador até
a saliência do dedo mínimo, ignorando o polegar. Perceba que existem 4
saliências (dos ossos) e três reentrâncias (entre um dedo e outro), conforme a
figura abaixo: 
Agora vamos fazer o seguinte: Vamos considerar a primeira saliência como
sendo janeiro, a primeira reentrância, como fevereiro, e assim por diante,
conforme a figura abaixo: 
Marcados os meses de janeiro, fevereiro, março abril, maio, junho e julho, não
tem mais “espaço” para marcarmos os outros meses. Faremos então a mesma
coisa que fizemos com janeiro, começaremos do dedo mínimo: 
 
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Todos os meses que estão em uma saliência, têm 31 dias. Todos os meses
que estão em uma reentrância, têm 30 dias (exceto, claro, de fevereiro que tem
28 ou 29 dias). 
Devemos ficar atentos ao fato de o ano ser ou não bissexto.
Podemos “criar” dois processos mnemônicos para saber quais anos são
bissextos ou não. 
Para começar, os anos bissextos obrigatoriamente são pares. 
Um ano é dito bissexto se for múltiplo de 4, exceto os que são múltiplos de 100,
a não ser que sejam múltiplos de 400. 
Dica: Para verificar se um número é divisível por 4 basta dividir os últimos dois
dígitos do número por 4. 
Assim, 1998 não é divisível por 4 e, portanto, não é bissexto. 
Uma maneira mais “lúdica” de memorizar é o seguinte: 
Os anos pares ou são anos de Olimpíada ou são anos de Copa do Mundo. 
Os anos bissextos são os anos de Olimpíadas!!! 
36. (TRT 4ª Região 2006/FCC) Seja N um número inteiro cujo produto por 9 é igual a
um número natural em que todos os algarismos são iguaisa 1. A soma dos algarismos
de N é 
(A) 27 
(B) 29 
(C) 33 
(D))37 
(E) 45 
Resolução 
Vamos lembrar uma propriedade importante: um número natural é múltiplo de 9 se e
somente se a soma dos seus algarismos também for múltiplo de 9. 
 
MATEMÁTICA E RACIOCÍNIO LÓGICO PARA TRF DA 1ª REGIÃO
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Vejamos alguns exemplos: 
i) O número 18.324.072 é múltiplo de 9. Para verificar basta notar que: 
1 ൅ 8 ൅ 3 ൅ 2 ൅ 4 ൅ 0 ൅ 7 ൅ 2 ൌ 27
Como 27 (a soma dos algarismos) é múltiplo de 9 (já que 27 = 9 x 3), então o número
dado também é múltiplo de 9. 
ii) O número 893.432 não é múltiplo de 9. Para verificar basta notar que: 
8 ൅ 9 ൅ 3 ൅ 4 ൅ 3 ൅ 2 ൌ 29
Como 29 (a soma dos algarismos) não é múltiplo de 9, então o número dado também
não é múltiplo de 9. 
Pois bem, vamos voltar ao enunciado. O problema afirma que existe um número N tal
que o produto de N por 9 é um número natural em que todos os algarismos são iguais
a 1. Ou seja: 
ܰ ൈ 9 ൌ 111…1
O problema é que não sabemos quantos são os algarismos do resultado. Ou seja, não
sabemos quantas vezes o algarismo 1 aparece. 
É neste ponto que entra a propriedade descrita no início da resolução: o resultado 
111…1 é um múltiplo de 9. Portanto, a soma dos seus algarismos deve ser múltiplo de 
9. 
Podemos por exemplo, colocar o algarismos 1 aparecendo nove vezes. 
ܰ ൈ 9 ൌ 111.111.111
O nove que está multiplicando no primeiro membro “passa” dividindo para o segundo
membro. 
ܰ ൌ
111.111.111
9
ܰ ൌ 12.345.679
Se quiser conferir, basta fazer as contas e verificar que 12.345.679 ൈ 9 ൌ 111.111.111
A soma dos algarismos de N é 1 ൅ 2 ൅ 3 ൅ 4 ൅ 5 ൅ 6 ൅ 7 ൅ 9 ൌ 37. 
Letra D 
Observe que o enunciado da questão está “errado”. Isto porque existem outros
possíveis valores para N. O enunciado correto deveria ser: A soma dos algarismos de
N PODE SER... 
 
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Vejamos o raciocínio novamente. Nós descobrimos que a soma dos algarismos de 
111…1 deve ser um múltiplo de nove. E desta forma, nós fizemos o algarismo 1
aparecendo nove vezes. 
O raciocínio estaria perfeitamente correto se fizéssemos o algarismo 1 aparecendo 18
vezes, ou 27 vezes, ou 36 vezes, ou 45 vezes, etc. Na verdade, existem infinitas
respostas para este problema. Vamos fazer com o algarismo 1 aparecendo 18 vezes. 
ܰ ൈ 9 ൌ 111.111.111.111.111.111
ܰ ൌ
111.111.111.111.111.111
9
Neste caso, a soma dos algarismos de N seria 74. 
ܰ ൌ 12.345.679.012.345.679
Se quiser conferir, basta fazer o seguinte cálculo: 
12.345.679.012.345.679 ൈ 9 ൌ 111.111.111.111.111.111
 O gabarito oficial foi a alternativa D. Não brigue com a banca na hora da prova. Se
você acertou o gabarito, não tem que brigar. 
Não se preocupe: se na sua prova ocorrer qualquer tipo de falha, nós o orientaremos e
daremos dicas de como fazer o seu recurso. 
Um abraço e até a próxima aula! 
Guilherme Neves 
 
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Relação das questões comentadas nesta aula
01. (TCE/PB/2006/FCC) Perguntado sobre a quantidade de livros do acervo de
uma biblioteca do Tribunal de Contas do Estado da Paraíba, o funcionário
responsável pelo setor, que era aficionado em matemática, deu a seguinte
resposta: “O total de livros do acervo é o resultado da adição de dois números
naturais que, no esquema abaixo, comparecem com seus algarismos
substituídos por letras.” 
 M A R R A 
 + M A R R A
 T O R T A 
Considerando que letras distintas correspondem a algarismos distintos, então,
ao ser decifrado corretamente, o código permitirá concluir que o total de livros
do acervo dessa biblioteca é um número 
a) menor que 70000. 
b) compreendido entre 70000 e 75000. 
c) compreendido entre 75000 e 80000. 
d) compreendido entre 80000 e 85000. 
e) maior que 85000. 
02. (Senado Federal/2008/FGV) Na operação de multiplicação abaixo, cada
letra representa um algarismo 
O valor de A+B+C é: 
a) 10 
b) 11 
c) 12 
d) 13 
e) 14 
03. (TRT/2006/FCC) O esquema abaixo representa a subtração de dois
números inteiros, na qual alguns algarismos foram substituídos pelas letras X,
Y, Z e T. 
 
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Obtido o resultado correto, a soma X+Y+Z+T é igual a: 
a) 12 
b) 14 
c) 15 
d) 18 
e) 21 
04. (CAERN 2010/FGV) Analise as afirmativas a seguir:
I - √6 é maior do que 5/2. 
II – 0,555... é um número racional. 
III – Todo número inteiro tem antecessor.
Assinale 
a) se somente as afirmativas I e III estiverem corretas. 
b) se somente a afirmativa II estiver correta. 
c) se somente as afirmativas I e II estiverem corretas. 
d) se somente a afirmativa I estiver correta. 
e) se somente as afirmativas II e III estiverem corretas. 
05. (BNB 2003/ACEP) A expressão decimal 0,011363636... é uma dízima
periódica composta e representa um número racional x. Se a geratriz desta
dízima for escrita sob a forma de uma fração irredutível m/n, então m + n é
igual a: 
A) 88 
B) 89 
C) 90 
D) 91 
E) 92 
06. (ANVISA 2010/CETRO) Considere ܽ ൌ 0,00003 e ܾ ൌ 3.600.000. Desse 
modo, b/a vale 
a) cento e vinte trilhões. 
b) cento e vinte bilhões. 
c) um bilhão e duzentos milhões. 
d) cento e vinte milhões. 
e) um milhão, cento e vinte mil. 
 
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07. (ALESP 2010/FCC) Ana Maria decidiu preparar uma torta cuja receita
indicava 200 gramas de chocolate em barra. Em sua dispensa, havia uma
barra de 350 gramas, mas ela não dispunha de uma balança para pesar a
quantidade necessária. Então, ela decidiu dividir a barra em partes iguais e
pegar a quantidade de partes que correspondessem a 200 gramas. Dentre os
esquemas abaixo, em que os retângulos escuros correspondem às partes da
barra de chocolate usadas por Ana Maria, aquele que representa os 200
gramas pedidos na receita é 
 
08. (Pref. de Salvador 2008/FCC) Um guarda municipal, em 2007,
permaneceu como vigilante em três instalações municipais. Na primeira, ele
trabalhou 1/4 de um ano; na segunda, durante 2/3 do que sobrou do ano.
Descontando, do total de dias do ano, suas férias de 30 dias e folgas de 45
dias, quantos dias ele trabalhou na terceira instalação considerando o ano de
360 dias? 
(A) 15 
(B) 18 
(C) 20 
(D) 30 
(E) 45 
09. (Agente de Estação – METRO-SP 2007/FCC) Do total de pessoas que
estiveram comprando bilhetes nos guichês de uma estação do Metrô em certo
dia, sabe-se que: 3/8 foi atendido por Dagoberto, 2/5 por Breno e as demais
por Leandro. Nessas condições, o número de pessoas atendidas por Leandro
corresponde a que fração do total de pessoas atendidas nesse dia? 
(A) 1/5 
(B) 9/40 
(C) 1/4 
(D) 19/40 
(E) 31/40 
 
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10. (METRO-SP 2009/FCC) Certo artigo é vendido em uma loja ao preço de
N reais a unidade. Ao conferir o total a ser pago pela compra de 14 unidades
desse artigo, Orozimbo logo percebeu que o vendedor cometera um engano:
ao efetuar a multiplicação de 14 por N, ele inverteu as posições do algarismo
das unidades com o das dezenas de N e, com isso, obteve 2 142 reais. Nessas
condições, de quantos reais a quantia certa a ser paga diferia da errada? 
(A) 212 
(B) 224 
(C) 252 
(D) 266 
(E) 284 
11. (TCE-MG 2007/FCC) Considere o número inteiro e positivo X4Y, em que
X e Y representam os algarismos das centenas e das unidades,
respectivamente. Sabendo que 15 480 : (X4Y) = 24, então X4Y é um número
compreendido entre 
a) 800 e 1 000