Centróide e Momento de Inércia

Prévia do material em texto

Propriedades geométricas
de uma área
A.1 Centroide de uma área
o centroide de uma área refere-se ao ponto que
define o centro geométrico dela. Se a área tiver uma
forma arbitrária, como mostra a Figura A.la, as coor-
denadas x e y que definem a localização do centroide
C são determinadas pelas fórmulas
(A.l)x= y=
Os numeradores dessas equações são formulações
do 'momento de primeira ordem' do elemento de área
dA em torno dos eixos y e x, respectivamente (Figura
A.lb); os denominadores representam a área total A
da forma.
T
y
1~I----x--~I-----------
y
y
y
I
dA•x I x
FiguraA.2
y
I
'q..•""'.•.•. "'
(a)
T
1,------------'---x~-1
(b)
Figura A.I
Devemos observar que a localização do cen-
troide de algumas áreas pode ser especificada par-
cial ou completamente pelas condições de simetria.
Nos casos em que a área tem um eixo de simetria, o
centroide estará localizado ao longo desse eixo. Por
exemplo, o centroide C da área mostrada na Figura
A.2 deve encontrar-se ao longo do eixo y, visto que,
para cada área elementar dA à distância +x à direita
do eixo y há um elemento idêntico à distância -x
à esquerda. Portanto, o momento total para todos
os elementos em torno do eixo de simetria se can-
celará; isto é, Jx dA = O (Equação A.l), de modo
que x = O. Nos casos em que a forma tem dois eixos
de simetria, decorre que o centroide encontra-se na
interseção desses eixos (Figura A.3). Tomando como
base o princípio da simetria ou usando a Equação
A.l, as localizações dos centroides para formas de
área comuns são apresentadas na parte interna da
primeira capa deste livro.
c
--."--x
Figura A.3
Áreas compostas. Muitas vezes, urna área pode
ser secionada ou dividida em várias partes com formas
mais simples. Contanto que a área e a localização do
centroide de cada uma dessas 'formas compostas' se-
jam conhecidas, podemos eliminar a necessidade de
integração para determinar o centroide da área intei-
ra. Nesse caso, devem ser usadas equações análogas à
Equação A.1, porém substituindo as integrais por si-
nais de somatório finito; isto é,
LxA
x = 2:A (A.2)
Nessas expressões matemáticas, x e y representam
as distâncias algébricas ou coordenadas x, y do centroi-
de de cada parte composta, e ~A representa a soma
das áreas das partes compostas ou, simplesmente, a
área total. Em particular, se um furo ou uma região
geométrica onde não exista nenhum material estiver
localizado no interior de uma parte composta, o furo
será considerado uma parte composta adicional com
área negativa. Além disso, como já discutimos, se a área
total for simétrica em torno de um eixo, o centroide da
área encontra-se no eixo.
O exemplo a seguir ilustra a aplicação da Equa-
ção A.2.
EXEMPLO A.1
Localize o centroide C da área da seção transversal da
viga T mostrada na Figura AAa.
SOLUÇÃO I
O eixo y está localizado ao longo do eixo de simetria, de
modo que x = O (Figura A.4a). Para obter )/, definiremos o
eixo x (eixo de referência) passando pela base da área, que
é segmentada em dois retângulos como mostra a figura, e
a localização )/ do centroide é definida para cada um deles.
Aplicando a Equação A.2, temos
__ L)/A _ [5 cm](10cm)(2 em) + [11,5 cm](3cm)(8 em)y ----
LA (10 cm)(2 em) + (3 cm)(8 em)
= 8,55 em Resposta
SOLUÇÃO 11
Usando os mesmos dois segmentos, o eixo x pode ser
localizado na parte superior da área, como mostra a Figura
A.4b. esse caso,
_ LyA [-1,5 cm](3cm)(8 em) + [-8 cm](10cm)(2 em)
y = -- =
LA (3 cm)(8 em) + (10 cm)(2 em)
= -4,45 em
--'-_.L.J.....I....JL...J __ -L X
2em
(a)
3em
-1,5 em
T
lL~'
H
-8em
>,; C
2em
(b)
y
I
f--8em--J.:
10em:
I
I
I
I
I
-L_--,-~I~-LLL_~~_~ x
(e)
Figura A.4
o sinal negativo indica que C está localizado abaixo da
origem, o que era previsível. Observe também que, pelas
duas respostas, 8,55 em + 4,45 em = 13,0 em, que também é
a profundidade da viga.
SOLUÇÃO 111
Pode-se também considerar que a área da seção trans-
versal é um único retângulo grande menos dois retângulos
pequenos (Figura A.4c). Então, teremos
_ 2,yA [6,5 em](13 em)(8 em) - 2[5 em](10 em)(3 em)
y = 2,A = (13 em)(8 em) - 2(10 em)(3 em)
= 8,55 em Resposta
A.2 Momento de inércia de
uma área
Quando calculamos o centroide de uma área, con-
sideramos o momento de primeira ordem da área em
tomo de um eixo; isto é, para executar o cálculo foi pre-
ciso calcular uma integral da forma Jx dA. Há alguns
tópicos da resistência dos materiais que exigem o cál-
culo de uma integral do momento de segunda ordem
de uma área, isto é, Jx2 dA. Essa integral é denominada
momento de inércia de uma área. Para mostrar a defi-
nição formal do momento de inércia, considere a área
A, mostrada na Figura AS, que se encontra no plano
x-y. Por definição, os momentos de inércia do elemento
diferencial dA em tomo dos eixos x e y são dl, = y2dA e
dI = x2dA, respectivamente. Para a área inteira, o mo-
mente de inércia é determinado por integração, isto é,
t,= lr=
i, = lx2dA
(A3)
Também podemos expressar o momento de segun-
da ordem do elemento diferencial em tomo do polo
O ou eixo z (Figura A.S), denominado momento polar
de inércia, di o = r'd.A. Nessa expressão, r é a distância
perpendicular entre o polo (eixo z) e o elemento dA.
O momento polar de inércia para a área inteira é
(A4)
A relação entre 10 e Ix' Iy é possível, contanto que
r2 = x2 + y2 (Figura AS).
Pelas formulações acima, vemos que Ix' Iy e 10 sem-
pre serão positivos, já que envolvem o produto entre o
quadrado de uma distância e uma área. Além disso, as
unidades para o momento de inércia envolvem com-
primento elevado à quarta potência, por exemplo, m",
mm" ou pé", pol",
As equações acima foram usadas para calcular os
momentos de inércia em torno dos eixos centroides de
algumas formas de áreas comuns, apresentados no fi-
nal deste livro.
y
I----x dA
/T
r y
k::...---------'----x
o
FiguraA.S
Teorema dos eixos paralelos para uma área.
Se o momento de inércia de uma área em torno de
um eixo centroide for conhecido, poderemos deter-
minar o momento de inércia da área em torno de um
eixo paralelo correspondente por meio do teorema dos
eixos paralelos. Para deduzir esse teorema, considere
a determinação do momento de inércia em torno do
eixo x da área mostrada na Figura A.6. Nesse caso, um
elemento diferencial dA está localizado a uma distân-
cia arbitrária y' do eixo centroide x', ao passo que a
distância fixa entre os eixos paralelos x e x' é definida
como d . Visto que o momento de inércia de dA em
torno do eixo x é dI = (y' + dy)2dA, então, para a
"área inteira,
t, = 1(y' + dy)2dA
= lyl2dA + 2dy i: dA + d/l dA
O primeiro termo do lado direito representa o
momento de inércia da área em torno do eixo x', Ix'.
y y'
r~c~ x'~d"/l
~y
x
o
Figura A.6
o segundo termo é zero, visto que o eixo x' passa pelo
centroide da área C, isto é, Jy' dA = )I'A = O, já que
)1' = O. Portanto, o resultado final é
(A.S)
Uma expressão semelhante pode ser escrita para
Iy' isto é,
(A.6)
E, por fim,para o momento polar de inércia em tor-
no de um eixo perpendicular ao plano x-y e que passa
pelo pala O (eixo z) (Figura A.6), temos
(A.7)
A forma de cada uma dessas equações estipula
que o momento de inércia de uma área em torno de
um eixo é igual ao momento de inércia em torno
de um eixo paralelo que passa pelo 'centroide' mais o
produto entre a área e o quadrado da distância per-
pendicular entre os eixos.
Áreas compostas. Muitas áreas de seção trans-
versal consistem em uma série de formas mais simples
interligadas, como retângulos, triângulos e semicírcu-
los. Contanto que o momento de inércia de cada uma
dessas formas seja conhecido ou possa ser determina-
do em torno de um eixo comum, o momento de inér-
cia da 'área composta' pode ser determinado comoa
soma algébrica dos momentos de inércia de suas partes
compostas.
Para determinar adequadamente o momento de
inércia de tal área em torno de um eixo específico,em
primeiro lugar é necessário dividir a área em suas par-
tes compostas e indicar a distância perpendicular entre
o eixo especificado e o eixo centroide paralelo de cada
parte. A tabela apresentada no final deste livro pode
ser usada para calcular o momento de inércia em torno
do eixo centroide de cada parte. Se esse eixo não coin-
cidir com o especificado, o teorema do eixo paralelo, I
= Y +AtP, deve ser usado para determinar o momento
de inércia da parte em questão em torno do eixo espe-
cificado. Então, o momento de inércia da área inteira
em torno desse eixo é determinado pela soma dos re-
sultados de suas partes compostas. Em particular, se
uma parte composta tiver um 'furo', o momento de
inércia para a parte composta será determinado 'sub-
traindo-se' o momento de inércia do furo do momento
de inércia da área inteira que inclui o furo.
Os exemplos apresentados a seguir ilustram a apli-
cação desse método.
EXEMPLOA.2
Determine o momento de inércia da área da seção
transversal da viga T mostrada na Figura A.7a em torno do
eixo centroide x',
SOLUÇÃO I
A área é subdividida em dois retângulos como mostra a Fi-
gura A.7a para determinar a distância entre o eixo x' e cada
eixo centroide. Pela tabela apresentada no final deste livro,
o momento de inércia de um retângulo em tomo de seu eixo
centroide é [ = 1/12bh3 Aplicando o teorema dos eixos pa-
ralelos (Equação A.5), a cada retângulo e somando os resul-
tados, temos
1,5 em
1,5 em
f--8em---l
-r
4,45ern
---f---x'
2em
(a)
13 emJ=+-i ---f,-<oft--..-----'---.-x'
, '10em TT, . . ,: 8,55 em
---'-_---'-_5_e.L..1 "l. ___Jli
1-1-ll--+-I -lI
3 em2em3 em
(b)
Figura A.7
[ = ~lx' + Ad/
= [1~ (2 cm)(lO em)" +·(2 cm)(lO cm)(8,55 cm - 5 cm)2 ]
+ [l~ (8 cm)(3 em):' + (8 cm)(3 cm)(4,45 em - 1,5 cm)2 ]
I = 646 em" Resposta
SOLUÇÃO 11
A área pode ser considerada como um único retângulo gran-
de menos dois retângulos pequenos, como mostram as linhas
tracejadas na Figura A.7b. Temos
- 21= Ux' + Ady
= [1~ (8 em)(13cm)3 + (8 cm)(13cm)(8,55em - 6,5 cm)2]
- [1~ (3 cm)(10crn)? + (3 cm)(lOem)(8,55em - 5 cm)2]
I = 646 cm4 Resposta
EXEMPLOA.3
Determine os momentos de inércia da área da seção
transversal da viga mostrada na Figura A.8a em torno dos
eixos centroides x e y.
SOLUÇÃO
A seção transversal pode ser considerada como três áreas
compostas retangulares A, B e D mostradas na Figura A.8b.
Para o cálculo, o centroide de cada um desses retângulos é
localizado na figura. Pela tabela apresentada no final deste
livro, o momento de inércia de um retângulo em torno de
seu eixo centroide é I = 1/12bh3. Por consequência, usando
o teorema dos eixos paralelos para os retângulos A e D, os
cálculos são os seguintes:
Retângulo A:
t, = Ix' + Ad/ = 1~ (100 mm)(300 O1m)3
+ (100 mm)(300 mm)(200 mm)?
Iy = Ir' + Ad} = 1~ (300 mm)(100 mm)3
+ (100 mm)(300 mm)(250 mm)2
Retângulo B:
1
Ix = 12 (600 mm)(100 mm)3 = 0,05(109) 01014
Retângulo D:
+ (100 mm)(300 mm)(200 mm)2
y
100mm----1f-
I
400mm
1f
100mm
=r-x
400mm
~---l r-- 100mm
600=--1
(a)
y
~om~ I
I_ 200mm
300mm 250mm
L
----x
I
~,300mm
~----1 f-l00 mm
(b)
Figura A.8
- 1
Iy = I y' + Ad} = 12 (300 mm)(100 mm?
+ (100 mm)(300 mm)(250 mm)2
Logo, os momentos de inércia para a seção transversal
inteira são
Ix = 1,425(109) + 0,05(109) + 1,425(109)
= 2,90(109) rnm" Resposta
I y = 1,90(109) + 1,80(109) + 1,90(109)
= 5,60(109) mm" Resposta
A.3 Produto de inércia para
,
uma area
Em geral, o momento de inércia para uma área é di-
ferente para cada eixo em torno do qual é calculado. Em
algumas aplicações de projeto mecânico ou estrutural,
necessita-se saber a orientação desses eixos que dão, res-
pectivamente, os momentos de inércia máximo e mínimo
da área. A Seção A4 discute o método para determinar
isso. Todavia, para utilizá-lo, em primeiro lugar deve-se
calcular o produto de inércia para a área, bem como seus
momentos de inércia para os eixos x, y dados.
O produto de inércia para o elemento diferencial
dA na Figura A9, que está localizado no ponto (x, y), é
definido como dI = xy dA. Dessa forma, para a área
xy
inteira A, o produto de inércia é
Ixy= lXYdA (A8)
Como ocorre para o momento de inércia, as unida-
des de comprimento do produto de inércia são eleva-
das à quarta potência, por exemplo, m", mrn", pé", pol".
Entretanto, visto que x ou y podem representar uma
quantidade negativa, ao passo que o elemento de área
é sempre positivo, o produto de inércia pode ser po-
sitivo, negativo ou zero, dependendo da localização e
orientação dos eixos coordenados. Por exemplo, o pro-
-duto de inércia I para uma área será zero se o eixo x
xy
ou o eixo y, for um eixo de simetria para a área. Para
mostrar isso, considere a área sombreada na Figura
AIO, na qual, para cada elemento dA localizado no
ponto (x, y),há um elemento de área corresponden-
te dA localizado em (x, -y). Visto que os produtos de
inércia para esses elementos são, respectivamente, xy
dA e -xy dA, quando da soma algébrica ou da inte-
gração de todos os elementos de área escolhidos desse
modo, eles se cancelarão mutuamente. Por consequ-
ência, o produto de inércia para a área total torna-se
zero. Além disso, decorre da definição de IXY que o 'si-
nal' dessa quantidade depende do quadrante no qual
a área está localizada. Como mostra a Figura A.11, o
sinal de I mudará à medida que a área girar de um
xy
quadrante para outro.
y
L---------'-----x
Figura A.9
y
FiguraA.I0
y
--x
& I'
-I l,y= - JxydA
x~
x~ I., = Ix, dA\:;~
---+------+-----~--x
I' tú
[xy = Jxy dA
--x
Figura A.H
Teorema dos eixos paralelos. Considere a
área sombreada mostrada na Figura A.12, na qual x'
e y' representam um conjunto de eixos centroides e x
e y representam um conjunto correspondente de eixos
paralelos. Considerando que o produto de inércia de
dA em relação aos eixos x e y é dI = (x' + dx)(y' +.ry
dy)dA, para a área inteira,
y
= lX'Y'dA+dxlY'dA
o primeiro termo à direita representa o produto de
inércia da área em relação ao eixo centroide I ,"Os se-xy
gundo e terceiro termos equivalem a zero,já que os mo-
mentos da área são considerados em tomo do eixo cen-
troide. Como sabemos que a quarta integral representa
a área total A, temos, portanto, como resultado final
(A.9)
Deve-se notar a similaridade entre essa equação e o
teorema dos eixos paralelos para momentos de inércia.
Em particular, é importante que os sinais algébricos para
dx e dy sejam mantidos quando da aplicação da Equação
A.9. Como ilustrado no exemplo a seguir, o teorema dos
eixos paralelos encontra importante aplicação na deter-
minação do produto de inércia de uma área composta
em relação a um conjunto de eixos x, y.
EXEMPLOA.4 -'
Determine o produto de inércia da área da seção trans-
versal da viga mostrada na Figura A13a em torno dos eixos
centroides x e y.
SOLUÇÃO
Como no exemplo A.3, a seção transversal pode ser
considerada como três áreas retangulares compostas, A, B
e D (Figura A13b). As coordenadas para os centroides de
cada um desses retângulos são mostradas na figura, Devido
à simetria, o produto de inércia de cada retângulo é igual
zero em torno de um conjunto de eixos x' , y' que passam
pelo centroide do retângulo. Por consequência, a aplicação
y
"I
400mm'
li =r-x
400mm-.l
-----l !-- 100 mm
600mm-j
100mm
(a)
do teorema dos eixos paralelos a cada um dos retângulos
dá como resultado
Retângulo A:
Ixy = Ix'y' + Adçd;
= O + (300 mm)(100 mm)( -250 mm)(200 mm)
= -1,50(109) mm"
Retângulo B:
Ixy = Ix'y' + Adçd;
=0+0
=0
Retângulo O:
Ixy = Ix'y' + Adxdy
= O + (300mm)(100 mm)(250 mm)( -200 mm)
= -1,50(109) mm"
Logo, o produto de inércia para a seção transversal in-
teira é
Ixy = [-1,50(109)] + 0+[-1,50(109)]
= -3,00(109) mm" Resposta
A.4 Momentos de inércia para
uma área em torno de
eixos inclinados
Em projeto mecânico ou estrutural, às vezes é ne-
cessário calcular os momentos e produtos de inércia Ix"
I ,e I ,,para uma área em relação a um conjunto de
y xy
eixos x' e y' inclinados quando os valores de e, I ,I ex y
y
~~II 200mm
300 mm ~ 250 mm
L
---x
(b)
Figura A.13
	RM_10001.pdf
	RM_20001.pdf
	RM_30001.pdf
	RM_40001.pdf
	RM_50001.pdf
	RM_60001.pdf
	RM_70001.pdf