Momento de Inércia

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Jonathan Tejeda Quartuccio | Unicamp 
FÍSICA I MOMENTO DE INÉRCIA 
 
Momento de Inércia 
 
Temos um objeto que descreve um movimento circular. Pode ser um automóvel, um 
disco, ou qualquer outra coisa, não importa. Nosso objeto apresenta uma velocidade angular 
 e uma velocidade tangencial à trajetória. Podemos dar uma aceleração à esse objeto, de 
maneira que sua velocidade angular poderá ser alterada. Então, sabemos que: 
 
 
 
 
Assim, tenho que a aceleração tangencial será: 
 
 
 
 
 
 
 
Nesse caso, é minha aceleração angular. 
Podemos fazer uma comparação com as equações que tínhamos para o movimento de 
um corpo em linha reta para um corpo em movimento circular. Teremos que: 
 
 
 
Com isso, minhas equações para o movimento circular serão: 
 
 
 
 
 
Quando estudávamos objetos em movimento podíamos calcular a energia cinética dos 
mesmos. Para um objeto de massa em movimento com uma velocidade tínhamos que a 
energia cinética é: 
 
 
 
 
O caso que estamos estudando agora envolve objetos em movimento, mas esse 
movimento é circular. Vamos imaginar um disco, como um disco de vinil, que esteja girando. 
Se tomarmos um ponto qualquer desse disco iremos perceber que esse ponto está mudando 
com o tempo (seu ângulo muda). Portanto, podemos nos perguntar: qual é a energia cinética 
presente no disco? 
Vamos tomar um disco de centro C e raio R. Vamos tomar um pedaço qualquer desse 
disco, que chamaremos de e que está a uma distância do centro. 
 
Para esse pedaço do disco, teremos que a energia cinética será: 
 
 
 
 
 
Mas vamos atentar que corresponde a uma velocidade linear. Essa velocidade é 
sempre tangente à trajetória. Isso quer dizer que a direção de faz um ângulo de 90° com 
(veja a figura a seguir). 
 
Mas sabemos que , portanto podemos substituir esse valor na energia cinética 
de . Então: 
 
 
 
 ( )
 
Como para , então: 
 
 
 
 
 
 
Essa será a energia cinética desse ponto do disco. Sabendo disso, podemos calcular a 
energia cinética de todo o disco. Como fazemos isso? Bom, devemos nos lembrar de que a 
velocidade angular é a mesma para todos os pontos do disco, pois todos os pontos 
percorrerão o mesmo ângulo no mesmo intervalo de tempo. O que muda é a velocidade 
linear, pois se mudamos o valor de R mudamos o valor de ( , e é igual para todo o 
disco). Ou seja, para pedaços diferentes do disco teremos raios diferentes. Da mesma maneira 
teremos massas diferentes. A única coisa que vai ser constante é . Portanto, podemos 
calcular a energia cinética total do disco, fazendo: 
 
 
 
 
 
Estamos dizendo que é qualquer pedaço do disco, portanto fazemos a soma de 
todos os pedaços do disco. Assim nós obtemos a energia cinética de rotação. O valor é 
chamado de momento de inércia, que representaremos por . Quanto maior for o momento 
de inércia, mais difícil será rotacionar nosso corpo. O momento de inércia busca resistir ao 
giro. Podemos escrever o momento de inércia de um corpo com distribuição contínua de 
massa da seguinte maneira: 
 ∫ 
Portanto, podemos escrever que nossa energia cinética será: 
 
 
 
 
Se prestarmos atenção na relação que tínhamos entre movimento circular e linear, 
teremos agora: 
 
Ou seja, se quisermos calcular a energia cinética de rotação de um corpo, deveremos 
saber qual é o seu momento de inércia. O cálculo do momento de inércia não é tão simples, 
devemos recorrer à matemática para tal. O momento de inércia nem sempre será o mesmo 
para um corpo. Tudo depende sobre que ponto estaremos girando nosso corpo. Sobre o ponto 
que escolhemos irá passar um eixo, chamado de eixo de rotação. Para o caso do disco, no qual 
o eixo de rotação passa pelo seu centro, teremos: 
 
 
 
 
Vamos tomar uma esfera sólida. O eixo de rotação passa pelo seu centro como a figura 
a seguir mostra: 
 
Assim, teremos: 
 
 
 
 
Vamos supor que temos um disco. Nós conhecemos seu momento de inércia, contanto 
que o eixo de rotação passe pelo seu centro. Vamos chamar de o eixo que passe pelo centro 
C. Tomaremos agora um segundo ponto do disco o qual faremos passar sobre esse ponto um 
segundo eixo que é paralelo a . Existe uma distância entre e . O que iremos fazer é 
forçar nosso disco a girar em torno de Como mudamos o eixo de rotação, mudamos o 
momento de inércia. 
 
Para calcular o novo momento de inércia, iremos utilizar o chamado teorema dos eixos 
paralelos. Esse teorema diz que o momento de inércia com relação à será o momento de 
inércia do disco somado à massa do disco vezes o quadrado da distância. Então: 
 
Agora, vamos supor que tenhamos uma placa irregular, mas muito, muito fina, e sobre 
essa placa passa um eixo que chamaremos de . Vamos supor que o eixo esteja indo em sua 
direção. Irei fazer agora com que outros dois eixos, e , passem por formando ângulos 
retos. 
 
Utilizando a regra da mão direita, temos que . Agora, podemos girar a nossa 
placa em torno de qualquer um desses três eixos. 
 
Vamos supor que o giro seja em torno de . Assim, teremos: 
 
E assim obtemos o teorema dos eixos perpendiculares. 
Muitas aplicações podem ser obtidas utilizando-se o conceito de rotação e energia 
cinética. Essas aplicações envolvem energia cinética sendo armazenada em um disco rotativo. 
Esses discos são chamamos de flywheels. 
 
Exercícios: 
1) Uma varinha delgada de 1m de comprimento tem uma massa desprezível. São 
colocadas 5 massas de 1 kg cada uma, situadas a 0.0, 0.25, 0.50, 0.75 e 1.0 m de 
um dos extremos. Calcule o momento de inércia a um eixo perpendicular à varinha 
que passa através: de um extremo, da segunda massa e do centro de massa. 
(Resp.: 1.875 kgm²; 0.9375 kgm²; 0.625 kgm²) 
 
2) Calcule o momento de inércia de uma varinha de massa M e comprimento L 
relativo a um eixo perpendicular que passa pelo centro de massa. 
 
 (Resp.: 
 
 
 )