Revisão Cálculo Vetorial

Prévia do material em texto

Revisão Cálculo Vetorial 
Capítulo 16 – Cálculo Vol. II – James Stewart 
Jonathan 
 
 
Integral de Linha 
∫ ( ) ∫ ( ( ) ( ))√(
 
 
)
 
 (
 
 
)
 
 
 
 
 
Teorema Fundamental das Integrais de Linha 
∫ ( ) ( ) ( )
 
 
 
∫ ( ( )) ( ( )) 
Dizemos que uma força é conservativa se o cálculo da mesma (isso é, o trabalho) 
depende apenas dos pontos finais e iniciais. Em outras palavras, ela independe do caminho. 
Seja a seguinte força: 
 
 ⃗( ) ( ) ⃗ ( ) ⃗ 
 ⃗( ) ⃗ ⃗ 
Para ⃗ ser conservativa, devemos ter: 
 
 
 
 
 
 
Exemplos: 
1. Diga se ⃗( ) ( ) ( ) é conservativa. Se for, encontre uma 
função tal que ⃗ . 
Solução: Temos que ( ) ( ) 
Para ser conservativa, devemos ter: 
 
 
 
 
 
 
Então: 
 
 
 
 
 
 
Portanto, temos que ⃗ é conservativo. Para encontrar nossa função, vamos aplicar o 
método SIDCIS (Separa, Integra, Deriva, Compara, Integra, Substitui): 
1° Separando nossa função em componentes e : 
 ( ) ( ) 
 ( ) 
 ( ) 
2° Integrando (1) com relação à : 
 ( ) 
 ( ) ( ) 
Perceba que nossa constante de integralização diz respeito a uma função de . 
3° Derivamos (3) com relação à : 
 ( ) 
 ( ) ( ) 
4° Comparamos (4) com (2): 
 ( ) 
 ( ) 
5° Integramos essa função com relação à : 
 ( ) 
6° Substituímos esse valor em (3): 
 ( ) 
 
 
2. Vamos repetir a dose: 
 ⃗( ) ( ) ( ) 
 ( ) 
 ( ) 
 
 
 
 
 
 
 ( ) 
 ( ) 
 ( ) 
 ( ) 
Integrando (1): 
 ( ) 
 ( ) ( ) 
Derivando (3): 
 ( ) 
 ( ) ( ) 
Comparando (4) com (2): 
 ( ) 
 ( ) ( ) 
Integrando (5): 
 ( ) 
Assim: 
 ( ) 
 
 ( ) 
 
3. Mais uma dose de humor: 
 ⃗( ) ( ) ( 
 
 
) 
 ( ) 
 ( 
 
 
) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 ( ) 
 ( ) 
 ( ) 
 
 
 
 ( ) 
Integrando (1): 
 ( ) 
 ( ) ( ) 
Derivando (3): 
 ( ) 
 
 
 ( ) ( ) 
Comparando (4) com (2): 
 
 
 
 
 
 
 ( ) 
 ( ) ( ) 
Integrando (5): 
 ( ) 
Assim: 
 ( ) 
 
Teorema de Green 
∫ ⃗ ⃗ 
Onde 
 ⃗ ⃗ ⃗ 
O teorema de Green pode ser escrito como: 
∬ ∬(
 
 
 
 
 
) 
Exemplo: 
Calcule ∫ onde a região é a curva triangular dos segmentos de reta de 
(0,0) a (1,0), de (1,0) a (0,1) e de (0,1) a (0,0). 
 
∫ ∬(
 
 
 
 
 
) ∫ ∫ ( ) 
 
 
 
 
 
 ∫ [
 
 
 ]
 
 
 
 
 
 
∫ ( ) 
 
 
 
 
 
 
( ) 
 
 
 
 
 
Exemplo: 
Calcule ∮( ) ( √ ) , onde a região é o círculo 
 . 
Nesse caso, devemos utilizar coordenadas polares. 
∮( ) ( √ ) 
 ∬[
 
 
( √ ) 
 
 
( )] 
∫ ∫ ( ) ∫ ∫ 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Cálculo de Área 
 ∮ ∮ 
 
 
∮ 
Podemos calcular a área delimitada pela elipse 
 
 
 
 
 
 
A equação paramétrica é e , onde . Então: 
 
 
 
∫ 
 
 
 
∫ ( )( ) ( )( ) 
 
 
 
 
 
 
∫ 
 
 
 
 
Rotacional e Divergente 
Se ⃗ é um campo vetorial em , o rotacional de ⃗ será dado por: 
 ⃗ (
 
 
 
 
 
) (
 
 
 
 
 
) (
 
 
 
 
 
) 
Sabemos que 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Aplicando o gradiente sobre a função temos: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Podemos escrever o rotacional de ⃗ como: 
 ⃗ ||
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
|| (
 
 
 
 
 
) (
 
 
 
 
 
) (
 
 
 
 
 
) 
 ⃗ ⃗ 
Se ⃗ então ⃗ é conservativa. 
O divergente de ⃗ é dado por: 
 ⃗ 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Ou seja: 
 ⃗ ⃗ 
Se aplicarmos o divergente no campo vetorial teremos: 
 ( ) ( ) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
O termo é chamado de laplaciano. 
Podemos utilizar o divergente e obter o teorema de Green da seguinte forma: 
∮ ⃗ ⃗⃗ ∬ ⃗( ) 
Onde ⃗⃗ é o vetor normal. 
Exemplo: 
Vamos determinar o rotacional e o divergente de: 
 ⃗( ) 
 ⃗ (
 
 
 
 
 
) (
 
 
 
 
 
) (
 
 
 
 
 
) 
 
 
 
 ⃗ ( ) ( ) ( ) 
 ( ) 
 
 ⃗ 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplo: 
 ⃗( ) 〈 〉 
 ⃗ (
 
 
 
 
 
) (
 
 
 
 
 
) (
 
 
 
 
 
) 
 
 
 
 ⃗ ( ) ( ) ( ) 
 〈 〉 
Exemplo: 
Nesse exercício, vamos determinar se o campo vetorial é conservativo ou não. Se for 
conservativo, vamos encontrar a função tal que ⃗ . 
 ⃗( ) 
Para ser conservativo, devemos ter ⃗ . 
 
 
 
 ⃗ (
 
 
 
 
 
) (
 
 
 
 
 
) (
 
 
 
 
 
) 
 ( ) ( ) ( ) 
Aplicando o SIDCIS: 
 ( ) 
 ( ) 
 ( ) ( ) 
 ( ) ( ) 
Integrando (1): 
 ( ) 
 ( ) ( ) 
Derivando (4) em relação à : 
 ( ) 
 ( ) ( ) 
Comparando (5) com (2): 
 ( ) 
 ( ) 
Integrando: 
 ( ) ( ) 
Substituindo em (4): 
 ( ) 
 ( ) ( ) 
Como ainda temos uma constante em função de uma variável, devemos derivar (6) em 
função de : 
 ( ) 
 ( ) ( ) 
Comparando (7) com (3): 
 ( ) 
 ( ) 
Integrando: 
 ( ) 
Substituindo esse valor em (6): 
 ( ) 
 
Superfícies Parametrizadas 
Seja ⃗( ) uma função vetorial de parâmetros e . 
 ⃗( ) ( ) ( ) ( ) 
As equações paramétricas serão: 
 ( ) 
 ( ) 
 ( ) 
Exemplo: 
Identifique a superfície com equação vetorial ⃗( ) 
As equações paramétricas são: 
 
 
 
Fazemos: ( ) ( ) 
Portanto, nossa superfície é um cilindro formado por círculos de raio 2, de maneira 
que nosso cilindro se estende pelo eixo y. 
 
Uma superfície parametrizada S é dada por uma função vetorial ⃗( ). Assim, temos 
duas famílias de curvas úteis contidas em S. Uma família com constante e outra com 
constante. Essas curvas são chamadas de curvas de grade. No exemplo anterior, as curvas de 
grade obtidas fazendo constante são linhas horizontais, enquanto que as curvas de grade 
obtidas com constante são circunferências. 
 
Exemplo: 
Determine uma representação parametrizada da esfera: 
 
 
 
 
 
 ⃗( ) 
 
Superfície de Revolução 
Se ( ) é um ponto em S, então: 
 
 ( ) 
 ( ) 
Assim, e são nossos parâmetros. O domínio do parâmetroé dado por , 
 . 
Exemplo: 
Vamos encontrar as equações paramétricas para: 
 ( ) 
Sabemos que ( ) . Então ( ) . Portanto: 
 
 
 
 
Planos Tangentes 
Seja a função vetorial: 
 ⃗( ) ( ) ( ) ( ) 
Os vetores tangentes são: 
 ⃗ 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 ⃗ 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
O vetor normal ao plano tangente é dado por: 
 ⃗ ⃗ 
Se ⃗ ⃗ então a superfície é dita suave. 
Exemplo: 
Determine o plano tangente à superfície com equações paramétricas , , 
 no ponto (1,1,3). 
Calculando os vetores tangentes: 
 ⃗ 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 ⃗ 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
O vetor normal ao plano é: 
 ⃗ ⃗ |
 
 
 
| 
O ponto (1,1,3) corresponde aos valores dos parâmetros e , logo: 
 . A equação em (1,1,3) é: 
 ( ) ( ) ( ) 
 
 
Área de Superfície 
Se uma superfície parametrizada suave S é dada pela equação ⃗( ) ( ) 
 ( ) ( ) , a área de S é: 
 ( ) ∬ ⃗ ⃗ 
Se quisermos a área de superfície de um gráfico de uma função, teremos: 
 ( ) ∬√ (
 
 
)
 
 (
 
 
)
 
 
 
Integrais de Superfície 
Para calcular uma integral de superfície, utilizamos: 
∬ ( ) ∬ ( ( )) 
Exemplo: 
Vamos calcular a integral de superfície de ∬ onde S é a esfera unitária 
 . 
Primeiro como estamos tratando de uma esfera, vamos utilizar as equações 
paramétricas: 
 
 
Assim: 
 ⃗( ) 
Calculando, temos: 
Portanto, pela fórmula podemos obter: 
∬ ∬( ) 
 ∫ ∫ ∫ ∫ 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
∫
 
 
( ) ∫ ( ) 
 
 
 
 
 
 
 
 
[ 
 
 
 ]
 
 
[ 
 
 
 ]
 
 
 
 
 
 
 
 
Se tivermos o gráfico de uma função, podemos calcular a área como: 
 ( ) ∬√ (
 
 
)
 
 (
 
 
)
 
 
Se F for um campo vetorial contínuo definido sobre uma superfície orientada S com 
vetor normal unitário n, então a superfície integral de F sobre S é: 
∬ ∬ 
Essa integral é chamada de fluxo de F através de S. O vetor norma é dado por: 
 
 
 
 
Teorema de Stokes 
O teorema de Stokes pode ser entendido como uma versão em dimensão maior do 
teorema de Green. 
∫ ⃗ ⃗ ∬ ⃗ ⃗ 
Onde S representa uma superfície e não mais uma curva. 
Podemos escrever também: 
∫ ⃗ ⃗ ∬( ) 
 
Exemplo: 
Calcule ∫ onde ⃗( ) onde a curva de intersecção é o 
plano com o cilindro . 
 
Vamos calcular o rotacional de F: 
 ⃗ ||
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
|| (
 
 
 
 
 
) ( 
 
 
 
 
 
) (
 
 
 
 
 
) ( ) 
 
 
 
 
 
∫ ∬( ) 
 ∬( ) 
 ∫ ∫ 
 
 
 
 
 
 ∫
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 ∫
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplo: 
Calcule ∫ onde a curva é a elipse dada pela intersecção do cilindro 
com o plano , sendo que C está orientado no sentido anti-horário quando vista 
de cima e . 
Usando Stokes: 
∫ ∬ 
 
( )
√ 
 
 ( ) ( ) ( ) 
 
( ) 
 
√ 
 
∫ ∬ 
 
√ 
∬ 
Agora estamos trabalhando sobre uma superfície S. Parametrizando S: 
 ( ) ( ) 
 ( ) ( ) 
| | √ 
 
 
√ 
∬ 
 
√ 
∬ √ 
 ∫ ∫ ( ) 
 
 
 
 
 
 
 
 
∫ 
 
 
 
Teorema do Divergente 
Seja E uma região sólida simples e seja S a superfície fronteira de E, orientada 
positivamente (para fora). Seja F um campo vetorial cujas componentes tenham derivadas 
parciais contínuas em uma região aberta que contenha E. Então: 
∬ ∭ 
O Teorema do Divergente relaciona o fluxo de F. 
Exemplo: 
Determine o fluxo do campo vetorial ( ) sobre a unidade 
esférica . 
Calculando o divergente de F: 
 ⃗ 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
∬ ∭ ∭ ( ) 
 
 
 
 
 
 ( ) 
 
 
 
 
Temos uma região E que está entre as superfícies fechadas S1 e S2, onde S1 está dentro 
de S2. Sejam n1 e n2 as normais apontando para fora de S1 e S2, então a fronteira E é 
 e a sua normal n é dada por n = - n1 em S1 e n = n2 em S2. 
 
 
Assim: 
∭ ∬ ∬