Lista Ondas Mecânicas - Ondas Harmônicas - Ondas estacionarias

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LISTA DE EXERCI´CIOS 3
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de malta”z (sugerindo: navegue), basta clicar
A velocidade de uma onda de som depende do meio em
que ele se propaga. A velocidade de propagac¸a˜o do som
(e ondas mecaˆnicas em geral) na˜o depende da frequeˆncia
das ondas (essa propriedade e´ expressa tecnicamente por
”meios ela´sticos na˜o sa˜o dispersivos”). Ale´m disso, a velo-
cidade de propagac¸a˜o de uma onda mecaˆnica em um meio
ela´stico depende da dureza (medida pelo mo´dulo ela´stico
associado a` distorc¸a˜o) do meio e depende tambe´m da den-
sidade do meio. A relac¸a˜o entre a velocidade de propagac¸a˜o
das ondas sonoras (ondas transversais) e essas quantidades
e´ dada abaixo.
Para o caso do som (ondas longitudinais):
XSom em materiais 1D (vigas e barras): v =
√
E
d
;
E: mo´dulo de elasticidade (Young’s modulus), usualmente
em Pa, d: densidade em kg/m3
XSom em materiais 3D (ar): v =
√
K
d
;
K: mo´dulo de volume (Bulk modulus), em Pa.
Ondas transversais em barras e cordas dependem de ou-
tros paraˆmetro de elasticidade. Em cordas o paraˆmetro
de dureza esta´ associado a` tensa˜o a que esta´ submetida a
corda (ao se aumentar a tensa˜o em uma corda de viola˜o,
por exemplo, a corda fica ”mais dura”).
XVelocidade em corda: v =
√
T
µ
;
T: forc¸a de trac¸a˜o (tensa˜o) da corda, em N; µ: densidade
linear (kg/m) da corda.
Um excelente artigo cient´ıfico sobre ondas ela´sticas em
so´lidos (American Journal of Physics) de Rossing e Rus-
sel pode ser acessado neste link z.
PROPAGAC¸A˜O DE ONDAS MECAˆNICA
1. Considere a tabela abaixo (fonte: edn.com z).
a) Calcule a velocidade do som em barras feitas dos res-
pectivos materiais (a propo´sito, escreva o nome dos
materiais em portugueˆs).
b) A velocidade de uma onda longitudinal em um meio
ela´stico, com uma modelagem mais cuidadosa, e´ dada
por: v =
√
E
ρ(1− ν2) . Onde ν e´ o chamado coefici-
ente de Poisson do material que em linhas gerais mede
as contrac¸o˜es nas direc¸o˜es perpendiculares a direc¸a˜o
em que ocorre extensa˜o de um meio material. Cal-
cule a velocidade do som usando esse modelo para
dois materiais escolhidos. A diferenc¸a e´ significativa?
2. Na wikipedia z encontramos para a´gua e ar os seguintes
valores para o mo´dulo de volume.
Calcule a velocidade do som (3D) nesses meios.
3. A velocidade de propagac¸a˜o de ondas sonoras depende
tambe´m da temperatura do meio, afinal sabemos que a
dureza e a densidade de um material dependem da tem-
peratura. O efeito de aumento da temperatura (sem que
haja mudanc¸a no estado f´ısico do meio) resulta no au-
mento da velocidade do som. Os gra´ficos abaixo sa˜o ex-
tra´ıdos da wikipedia z e apresentam essa dependeˆncia.
Graf. som no ar: A curva verde e´ obtida de um modelo teo´rico
(usando a capacidade te´rmica), linha reta e´ uma aproximac¸a˜o
(linearizac¸a˜o) em torno de 20◦ C.
Graf. som na a´gua: Os pontos sa˜o experimentais, e a curva
e´ um ajuste aos dados.
a) Em qual dos dois materiais o efeito e´ mais pronunci-
ado? Justifique.
b) Calcule a variac¸a˜o percentual da velocidade do som
no ar entre um lugar muito frio -20◦C e um lugar
muito quente 35◦C.
4. Uma guitarra tem 6 cordas que variam entre si pelo ca-
libre (medido em polegadas, por exemplo 0,009”(polega-
das) e´ o diaˆmetro da corda mais fina – a corda mi ou
E). Em um trabalho sobre cordas de guitarra - Achilles
Univ. Illinois z extra´ımos os dados abaixo para as di-
ferentes cordas (E, B, G, D, A, E) – as frequeˆncias de
seu som fundamental em que esta˜o afinadas sa˜o tambe´m
apresentadas.
Obs: 3.09E − 04 = 3, 09× 10−4N .
a) Calcule a tensa˜o total sobre as cordas e a forc¸a total
a que esta´ submetido o brac¸o da guitarra.
b) Calcule a velocidade de ondas em cada uma dessas
cordas.
PROPAGAC¸A˜O DE ONDAS MECAˆNICA:
ECO, REVERBERAC¸A˜O E A TE´CNICA DE
ULTRASSOM
5. Em sala vimos que a ana´lise da integridade de pec¸as pode
ser realizada a partir das medidas de tempo da reflexa˜o
do som em seu interior, isso e´ feito na te´cnica de ultras-
som ((video youtube z)). No gra´fico abaixo temos um
pico a 67,568 µs vindo da reflexa˜o na extremidade de
baixo da pec¸a analisada.
a) A velocidade do som em um bloco de ac¸o e´ de
5920m/s, se supomos que esse e´ o material do bloco,
qual a profundidade da pec¸a analisada?
b) A partir do tipo de material portanto a escala do
gra´fico pode ser alterada para corresponder a` profun-
didade. Isso e´ feito pelo demonstrador na sequeˆncia
do v´ıdeo. No gra´fico abaixo temos na escala de pro-
fundidade a identificac¸a˜o do pico de defeito, a uma
profundidade de 130,62mm. Calcule a posic¸a˜o do pico
em termos da escala de tempo µs.
6. Um ce´rebro esta´ sendo examinado por um exame com
ultrassom. Sobre um ponto do craˆnio esta´ apoiado o
emissor/receptor de ultra-som. Suponha que a veloci-
dade do som na regia˜o intracraniana seja de cerca de
1500 m/s. Se na˜o ha´ qualquer tipo de lesa˜o no interior
da massa encefa´lica na˜o ocorrem reflexo˜es significativas
do som emitido e a reflexa˜o se da´ no extremo oposto da
caixa craniana. Se, por outro lado, houver lesa˜o no inte-
rior do ce´rebro ocorre espalhamento do som na regia˜o.
Adaptado de The Macmillan visual dictionary. New York:
Macmillan Publishing Company, 1992.
a) Determine o tempo gasto para ser obtido o eco origi-
nado do ponto A da figura.
b) Se houver uma lesa˜o, sabendo que o tempo gasto para
o registro do eco foi de 0, 5×10−4s, obtenha a posic¸a˜o
da regia˜o lesionada.
7. A te´cnica de ultrassom pode ser utilizada para medir
profundidade de rachaduras, como visto neste v´ıdeo z-
TechRentals do qual extra´ımos as imagens abaixo.
Sa˜o necessa´rias medidas de
tempo para duas distaˆncias
de afastamento entre o re-
ceptor e o emissor (ambos
chamados transdutores) de
ultrassom, porque na˜o se
define previamente a velo-
cidade do som no material.
Mede-se o menor tempo
de recepc¸a˜o do som.
No v´ıdeo a primeira me-
dida usa 10cm de distaˆncia
entre cada transdutor e
a rachadura – levando a
89,1µs de tempo. Na se-
gunda medida a distaˆncia
a` rachadura e´ 20cm e o
tempo medido e´ 167,2 µs.
a) Fac¸a um desenho esquema´tico representando os trans-
dutores e a rachadura em corte frontal, indique
distaˆncias com as letras: D – distaˆncia transdu-
tor/rachadura, H – profundidade da rachadura, trace
o menor caminho do som (linha reta) que conecta os
transdutores ultrapassando a rachadura. Escreva as
equac¸o˜es que relacionam D, H com o tempo de pro-
pagac¸a˜o.
b) Calcule a profundidade da rachadura.
c) Calcule a velocidade do som no material (parece as-
falto, va´ a internet e cheque se o valor obtido e´
razoa´vel para o asfalto).
8. O menor intervalo de tempo entre pulsos sonoros con-
secutivos percebidos pelo ouvido humano e´ de cerca de
0,05s. Quando o som refletido por paredes se mistura
com o som produzido com tempos de atraso menores que
esse temos o fenoˆmeno de Reverberac¸a˜o (link - wiki-
pedia - z). Quando o tempo entre o som emitido e suas
reflexo˜es sa˜o maiores que esse os som refletido e´ perce-
bido separadamente e e´ chamado de eco. Qual a mı´nima
distaˆncia entre a fonte de som e uma parede onde ocorre
reflexa˜o para que se tenha eco?
ONDAS HARMOˆNICAS
9. A figura a seguir mostra esquematicamente as ondas na
superf´ıcie da a´gua de um tanque produzidas por uma
fonte de frequ¨eˆncia 6,0 Hz em A. As linhas cheias corres-
pondem a`s cristas, e as pontilhadas representam os vales
em um certo instante de tempo (foto).
a) Calcule a velocidade da onda.
b) Qual o intervalo de tempo, em segundos, para que
uma frente de onda percorra a distaˆncia da fonte ate´
o ponto B, distante 60 cm?
10. Uma onda estabelecida numa corda oscila com frequ¨eˆncia
de 500 Hz, de acordo com a figura abaixo.
a) Qual aamplitude dessa onda?
b) Com que velocidade a onda se propaga?
11. As figuras abaixo mostram duas configurac¸o˜es de uma
onda progressiva se propagando para a direita com um
intervalo de tempo igual a 0,5s entre elas.
Calcule o per´ıodo, em s, e a velocidade da onda, em m/s.
12. Uma onda harmoˆnica se propagando para a direita e´ des-
crita por
y(x, t) = A sin(kx− ωt+ φ)
onde ω = 2pif e k =
2pi
λ
.
a) Se f = 1Hz, λ = 1m e φ = 0. Fac¸a o gra´fico de y em
termos de x em treˆs instantes: t = 0, t=0,5s e t=1,0
s.
b) Verifique por substituic¸a˜o que essa onda satisfaz a
Equac¸a˜o de Onda
∂y
∂x2
=
1
v2
∂y
∂t2
Voceˆ vai descobrir, ainda, que v = λf de acordo com
essa equac¸a˜o.
SUPERPOSIC¸A˜O DE ONDAS, REPRESENTA-
C¸A˜O ESPECTRAL E INTENSIDADE
13. Um estudo de sons emitidos por instrumentos musicais
foi realizado, usando um microfone ligado a um computa-
dor. O gra´fico a seguir, reproduzido da tela do monitor,
registra o movimento do ar captado pelo microfone, em
func¸a˜o do tempo, medido em milissegundos, quando se
toca uma nota musical em um violino.
a) Qual a frequeˆncia fundamental da nota tocada no vi-
olino?
b) Se a velocidade do som no ar e´ de 340 m/s qual o
comprimento de onda da nota tocada?
c) Qual o significado notado pelo ouvinte da forma da
onda do violino na˜o ser senoidal (arredondada)?
14. No gra´fico abaixo temos a imagem de duas ondas sonoras
superpostas, captadas por um microfone, que incidem so-
bre um receptor de a´udio. No gra´fico acima as oscilac¸o˜es
independentes, e no gra´fico de baixo o resultado da su-
perposic¸a˜o.
a) Calcule a frequeˆncia de cada uma das ondas. Calcule
a frequeˆncia do batimento.
b) Comente o fenoˆmeno apresentado no gra´fico de baixo.
c) Quais poderiam ser os valor da unidade f´ısica do eixo
vertical?
d) Fac¸a a representac¸a˜o espectral desta onda, em ter-
mos da escala dB correspondente a uma das unidades
f´ısicas citadas no item anterior.
15. Na figura abaixo temos a representac¸a˜o de 3 ondas
harmoˆnicas de frequeˆncias e amplitudes distintas que,
quando superpostas, resultam no gra´fico inferior (apro-
ximac¸a˜o para a onda quadrada com apenas as treˆs pri-
meiras componentes de Fourier). Atenc¸a˜o para a escala
do eixo do tempo: ms = 0, 001s. O eixo vertical de
intensidade e´ dado em termos da pressa˜o em Pa.
(a) Apresente a frequeˆncia de cada uma das ondas com-
ponentes.
(b) Represente em um gra´fico de barras de Ampli-
tude versus Frequeˆncia (representac¸a˜o espectral, ou
de Fourier) as diferentes componentes harmoˆnicas
deste sinal. Represente a amplitude em escala dB
(SPL), amplitude de refereˆncia: 20 µPa.
16. O ouvido humano e´ capaz de distinguir sons perio´dicos
na faixa entre 20Hz e 20kHz, e de intensidade entre
10−12W/m2 (limiar da audic¸a˜o) e 1W/m2 (limiar da
dor). O limiar da audic¸a˜o em watts/m2 e´ usado como
refereˆncia para a escala dB em poteˆncia (SWL).
a) Calcule o maior e o menor comprimento onda per-
cept´ıveis pelo ser humano.
b) Calcule o tempo entre dois picos de pressa˜o nestes
dois casos anteriores.
c) Calcule o n´ıvel sonoro em dB (SWL) correspondente
ao limiar da dor.
d) Calcule o valor do limiar da audic¸a˜o e do limiar da
dor em termos da pressa˜o sonora, p (SPL). Utilizando
a expressa˜o: P
A
=
p2
ρv
onde ρ = 1, 2kg/m3 (densidade do ar); v = 340m/s
(velocidade do som);
P
A
e´ a intensidade sonora
(W/m2).
17. Morcegos e golfinhos usam de ecolocalizac¸a˜o (wikipedia
z) atrave´s de ultrassom.
a) Morcegos inset´ıvoros produzem sons entre 20kHz e
60kHz. Calcule os comprimento de onda compreendi-
dos nesta faixa.
b) Nos gra´ficos abaixo (Kamminga and Wiersma, citado
neste link z) esta´ representado o espectro sonoro
compreendido pelo som emitido por dois Golfinhos.
No de cima temos o som produzido por um golfinho
da espe´cie Phocoena phocoena, e no gra´fico de baixo
por um Cephalorhynchus commersonii. Sa˜o represen-
tadas tambe´m a imagem do pulso no tempo acima
de cada gra´fico (escala em 500µs). Determine uma
frequeˆncia representativa e calcule o seu comprimento
de onda, lembrando que na a´gua a velocidade do som
e´ de cerca de 4,3 vezes a velocidade do som no ar.
18. Considere o som emitido por uma fonte isotro´pica e´ 25W.
a) Qual e´ a intensidade a uma distaˆncia de 2,5m da
fonte? Qual o n´ıvel sonoro SWL?
b) Qual a pressa˜o correspondente ao item anterior? Qual
o n´ıvel sonoro SPL?
c) Fac¸a um gra´fico do n´ıvel sonoro em termos da
distaˆncia ate´ 100m da fonte.
19. Uma das maiores exploso˜es ja´ registradas na histo´ria da
humanidade foi a do vulca˜o Krakatoa, na regia˜o da In-
done´sia, em 1883. Chegou a ser ouvida a 5000 km de
distaˆncia segundo se notou em documentos histo´ricos.
a) Considere que neste lugar mais distante a poteˆncia
estivesse no limiar da audic¸a˜o e calcule a poteˆncia
sonora poss´ıvel da explosa˜o.
b) Calcule o n´ıvel sonoro (dB) (SWL) aproximado sen-
tido a` 100 km da explosa˜o.
20. Um determinado ambiente em uso produz ruido uniforme
na taxa de 80dB (SWL) verificado com um decibel´ımetro.
Esse som escapa por uma janela, que constitui, enta˜o,
uma fonte que irradia essa poteˆncia sonora apenas em
meia esfera, e na˜o na esfera completa como uma fonte
isotro´pica. Assim a poteˆncia desta fonte e´ o dobro da
poteˆncia da fonte isotro´pica. Calcule qual sera´ a medida
em dB a distaˆncia de 10m e 100m da janela.
21. O Programa de Sileˆncio Urbano (PSIU) da Prefeitura
de Sa˜o Paulo estabelece os limites para a emissa˜o sonora
segundo a tabela abaixo. A escala dbA empregada na le-
gislac¸a˜o corresponde a` correc¸a˜o da escala decibe´l em ter-
mos da percepc¸a˜o humana, que depende da frequeˆncia.
Essa correc¸a˜o e´ empregada nos decibel´ımetros. Diversas
refereˆncias podem ser encontradas na rede, uma sugesta˜o
e´ este link da UFRGS z.
Tipo de localidade hora´rio limite dBA
Zona Residencial 7 a`s 19 horas 50
19 a`s 7 horas 45
Zona Mista 7 a`s 22 horas 65
22 a`s 7 horas 45
Zona Industrial 7 a`s 22 horas 65
22 a`s 7 horas 55
A correc¸a˜o dBA e´ apresentada na tabela abaixo para
algumas frequeˆncias.
Hz 125 250 500 1000 2000 4000
correc¸a˜o tipo A -15.5 -8.5 -3 0 +1 +1
Assim, um valor medido em dBW (SWL) na correc¸a˜o A,
para um som de 125 Hz deve ter o seu valor subtra´ıdo de
15.5 dB. Por exemplo: 50dB equivale a` 34.5dBA se cor-
responde a 125 Hz, ou 51dBA se corresponde a` 2000Hz.
a) Calcule para uma zona residencial, considerando uma
frequeˆncia me´dia de 500Hz e de 1000Hz, a ma´xima
poteˆncia utilizada em um amplificador para que a
uma distaˆncia de 10m se tenha o ma´ximo valor re-
gulamentado a`s 19h.
b) Repita o exerc´ıcio anterior para a regulamentac¸a˜o
va´lida a`s 24h.
c) Escute uma mu´sica com o app FFT ou similar. Quais
sa˜o as frequeˆncias que voceˆ mais se preocuparia para
calcular o n´ıvel do volume que liberaria para os am-
plificadores? Consegue estimar qual a poteˆncia que
deveria ser dada para estar na Lei?
Comenta´rios:
1) A normatizac¸a˜o pela ABNT, que e´ empregada na legislac¸a˜o
sobre poluic¸a˜o sonora, e´ compilada no site da associac¸a˜o
[busca: acu´stica z]. Um exemplo pode ser lido aqui z. A
legislac¸a˜o pode ser encontrada neste link z.
2) Uma discussa˜o sobre elementos de poluic¸a˜o sonora no con-
texto da cidade de Sa˜o Paulo pode ser acompanhada nestes
slides z de Regina Monteiro para a confereˆncia sobre ruidos
urbanos promovida em 2015.
22. Explique como uma bomba e um trova˜o produzem som.
ONDAS ESTACIONA´RIAS E RESSONAˆNCIA
23. Uma guitarra com brac¸o de comprimento 64,8cm esta´
com as cordas do exerc´ıcio 5. Quais sa˜o as frequeˆncias
dos 4 primeiros harmoˆnicos da corda E (com frequeˆncia
nominal indicada na tabela com 329,63 Hz)?
24. Considere uma ponte com 15m de comprimento (como a
que vimos neste v´ıdeo – link z) que oscila no segundoharmoˆnico com 1,8s de per´ıodo de oscilac¸a˜o.
a) Calcule a velocidade da onda na ponte.
b) Calcule a frequeˆncia de ressonaˆncia dos 4 primeiros
modos harmoˆnicos da ponte.
25. Em um tubo de 20cm com as extremidades abertas foram
analisadas as frequeˆncias estaciona´rias das ondas de som,
geradas em um tubo a partir de um tapa dado em uma de
suas extremidades (portanto um dos lados fica fechado
pela ma˜o durante a produc¸a˜o do som, o tubo e´, assim,
semi-aberto). Um microfone foi introduzido dentro do
tubo e ligado a um software de ana´lise das intensidades de
cada frequeˆncia, sendo obtido o seguinte espectro sonoro:
artigo do experimento:
http://www.sbfisica.org.br/fne/Vol4/Num1/a10.pdf
a) Escreva a equac¸a˜o para as frequeˆncias de ressonaˆncia
das ondas neste experimento.
b) Determine a velocidade do som a partir dessas medi-
das.
26. Na cidade de Mariana/MG (a mesma que foi devastada
pela Samarco), ha´ um o´rga˜o Arp Schnitger (um dos
u´nicos 33 do mundo, fabricado no in´ıcio do se´culo XVIII)
na Catedral da Se´ (bem no centro da cidade). Voceˆ pode
ouv´ı-lo neste v´ıdeo z, ou ver uma mate´ria a seu res-
peito neste v´ıdeo z. Explique porque tubos mais longos
produzem som mais grave e tubos mais curtos produ-
zem som mais agudo. Explique porque o som na˜o e´ uma
seno´ide pura (ou seja de onde veˆm a identidade acu´stica
do o´rga˜o).
27. As ondas estaciona´rias constituem de frequeˆncias resso-
nantes. Assim a acu´stica de ambientes fechados precisa
controlar as reflexo˜es sonora nas paredes de um ambiente
de modo a evitar que um frequeˆncia se sobreponha a`s
demais tornando o ambiente desconforta´vel. No Brasil o
cuidado com tratamento acu´stico ainda e´ pouco popular
em estabelecimentos menores por seu alto custo. Assim,
e´ normal convivermos com ambientes muito ruins para
execuc¸a˜o de mu´sica, ou mesmo para a realizac¸a˜o de pales-
tras ou reunio˜es. Um ambiente ruim fara´, por exemplo,
uma determinada faixa de frequeˆncias ser muito amplifi-
cada pelo ambiente ficando desbalanceada com as demais
frequeˆncias componentes do som que se esta´ produzindo.
a) Em um corredor comprido com paredes muito refle-
xivas (duras, ou seja nuas sem amortecimento), diga-
mos que com 6m, quais seriam as frequeˆncias dos 6
primeiros harmoˆnicos?
b) Qual a diferenc¸a entre esse caso do corredor e de uma
sala retangular? O que voceˆ precisaria saber para
poder obter (e portanto controlar) os harmoˆnicos?
c) Se voceˆ esta´ em um lugar com acu´stica desconforta´vel,
durante um evento, que instrumentos voceˆ usaria para
avaliar o que se passa?
28. Uma viga de ac¸o e´ suspensa (com extremidades livres) e
estudada em termos de seus modos normais de flexa˜o, o
ensaio pode ser visto nesse link z. A onda e´ transversal e
areia e´ espalhada uniformemente sobre a viga que enta˜o
e´ posta a vibrar com uma frequeˆncia escolhida em um
gerador de frequeˆncias. As dimenso˜es da viga (visto nos
comenta´rios do v´ıdeo) sa˜o 1275 × 75 × 10 mm.
a) Explique o acu´mulo de areia em lugares espec´ıficos da
viga e desenhe os 4 primeiros modos normais.
b) O modo com 3 no´s tem 88,5Hz de frequeˆncia. Calcule
a velocidade desta onda transversal.
29. A velocidade de uma onda de torc¸a˜o de uma barra e´
modelada pela equac¸a˜o
v = 2
h
w
√
G
ρ
onde w e´ a largura e h a espessura, G e´ o mo´dulo de
elasticidade transversal (em GPa) e ρ a densidade do
material (em kg/m3)
*Expressa˜o apresentada neste artigo de Rossing e Russel z
No exerc´ıcio anterior o primeiro modo de torc¸a˜o tem
frequeˆncia 315Hz. Ac¸o: G = 80GPa e ρ = 7, 8g/cm3.
a) Como e´ a condic¸a˜o de contorno para o modo de torc¸a˜o
neste caso? Nos extremos temos no´ ou ventres? De-
senhe como fica a areia (linhas nodais) no primeiro
modo de torc¸a˜o. Qual o comprimento da onda de
torc¸a˜o neste modo?
b) Calcule a velocidade da onda de torc¸a˜o nesta barra.
c) Calcule a frequeˆncia esperada para o primeiro modo
de torc¸a˜o.
d) Represente o segundo harmoˆnico, obtenha seu com-
primento de onda e calcule a frequeˆncia esperada para
esse modo de vibrac¸a˜o (aquela que se ped´ıssemos para
o experimentador colocar ele veria o desenho que voceˆ
propo˜e).
30. O v´ıdeo da viga usado nos dois exerc´ıcios acima e´ citado
neste trabalho de Mauro Caresta z e as ondas de flexa˜o
em barras sa˜o discutidas.
Como comentamos ondas longitudinais, e mesmo ondas
transversais em cordas, ale´m das ondas torsionais trata-
das acima se propagam com uma velocidade que inde-
pende da frequeˆncia da onda. Entretanto em ondas de
flexa˜o verifica-se a ocorreˆncia de dispersa˜o: dependeˆncia
da velocidade de propagac¸a˜o com a frequeˆncia do sinal.
A velocidade da onda de flexa˜o (Caresta) e´ dada por
v2 = 2pif
√
EI
ρA
onde I e´ o ”momento de a´rea”(relacionado ao chamado
”momento de ine´rcia”). Para vigas: I =
wh3
12
. E e´ o
mo´dulo de elasticidade, que no ac¸o vale: E = 210GPa.
A densidade do ac¸o e´ ρ=7,8g/cm3. A e´ a a´rea de sec¸a˜o
da viga.
Calcule as frequeˆncias dos 3 primeiros modos de vibrac¸a˜o
da viga do v´ıdeo e compare com os valores apresentados
no v´ıdeo do experimento (aparecem no youtube).
31. A ponte Tacoma Narrows esteve muito presente em nos-
sas discusso˜es em sala, e´ um exemplo cla´ssico na cul-
tura acadeˆmica. Nela temos um harmoˆnico de torc¸a˜o
sendo obtido pelo fluxo de vento sobre a ponte (que oscila
por turbuleˆncia no contorno da ponte, veja comenta´rio
abaixo.). Um dos muitos v´ıdeos desse acidente pode ser
visto neste link z.
a) Estime o comprimento, largura e espessura da ponte
no techo em ressonaˆncia (use os postes de refereˆncia,
pode checar com o carro que aparece no filme).
b) No trecho em ressonaˆncia temos que as partes da
ponte ligadas a`s pilastras esta´ preso, ou seja cons-
tituem no´s. Represente os treˆs primeiros harmoˆnicos
desta estrutura relacionando o comprimento de onda
λ ao comprimento L do trecho. Qual foi o harmoˆnico
excitado na ressonaˆncia que destruiu a ponte?
c) No filme a partir de 1:30 (acreditando na velocidade
de sua reproduc¸a˜o) podemos estimar a frequeˆncia da
onda estaciona´ria em questa˜o. Obtenha esse nu´mero
e com ele calcule a velocidade de propagac¸a˜o de dis-
torc¸o˜es de torc¸a˜o (onda) na ponte.
d) A partir da velocidade do caso anterior, e lembrando
que ondas de torc¸a˜o na˜o tem dispersa˜o significativa
como na flexa˜o, calcule a frequeˆncia dos outros dois
harmoˆnicos avaliados.
e) Como vimos acima a onda de torc¸a˜o em uma estru-
tura retangular e´ dada por v = 2
h
w
√
G
ρ
. Calcule o
mo´dulo de elasticidade transversal G (em GPa) para
a ponte, compare com os valores de G para o ac¸o e o
concreto.
Comenta´rio: A oscilac¸a˜o da forc¸a externa, gerada por um
fluxo cont´ınuo de vento, veˆm do fenoˆmeno de aeroelasticidade
(aerolastic flutter): o mesmo que faz uma bandeira tremular,
o papel de bala produzir som quando assoprado, suas cordas
vocais vibrarem pela passagem de ar, e tambe´m que produz
a vibrac¸a˜o das asas de um avia˜o. Essencialmente, portanto, e´
um fenoˆmeno de dinaˆmica de fluidos (e fenoˆmenos de trans-
porte) e devido a` turbuleˆncia (voceˆ pode acompanhar uma
simulac¸a˜o do vendo atuando sobre a ponte e gerado a forc¸a
externa oscilato´ria neste link z), o estudo e controle desse
fenoˆmeno desde a de´cada de 30 e´ concentrado especialmente
na engenharia/cieˆncia aerona´utica.