processos de poisson em processos estocasticos

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Processos de Poisson
Mauro C. M. Campos
SUMA´RIO
I Alguns fatos sobre a distribuic¸a˜o exponencial 1
II Alguns fatos sobre a distribuic¸a˜o de Poisson 2
III Processos estoca´sticos em tempo contı´nuo 2
IV Processos de Poisson I: construc¸a˜o e propriedades fundamentais 3
V Processos de Poisson II: uma classe particular de processos de contagem 3
VI Processos de Poisson III: teoremas limite 5
VII Processos de Poisson IV: falta de memo´ria do passado 6
VIII Processos de Poisson V: superposic¸a˜o e decomposic¸a˜o 6
IX Exercı´cios 6
X I´ndice de notac¸o˜es 7
Refereˆncias 8
OBS.: Notas de aula. Em 6 de junho de 2010.
I. ALGUNS FATOS SOBRE A DISTRIBUIC¸A˜O EXPONENCIAL
Definic¸a˜o 1. τ ∼ Exp(λ), λ > 0, se sua func¸a˜o densidade de probabilidade e´
fτ (t) = λe−λtI(0,∞)(t). (1)
A func¸a˜o de distribuic¸a˜o acumulada e a func¸a˜o de sobreviveˆncia sa˜o dadas por
Fτ (t) = Pr(τ ≤ t) = 1− e−λtI(0,∞)(t) (2)
e
Sτ (t) = Pr(τ > t) = 1− Fτ (t) = e−λtI(0,∞)(t). (3)
A me´dia e a variaˆncia de τ sa˜o dadas por
E(τ) =
1
λ
Var(τ) =
1
λ2
. (4)
Finalmente, a func¸a˜o geradora de momentos e´ dada por
Mτ (u) = E(euτ ) =
λ
λ− u (5)
para todo u < λ.
Teorema 1. Se τ ∼ Exp(λ), enta˜o Pr(τ > s+ t|τ > s) = Pr(τ > t) = e−λt para todo s, t ≥ 0.
Teorema 2. Sejam τ1, . . . , τk
idd∼ Exp(λ). Enta˜o
Tk :=
k∑
i=1
τi ∼ Gama(tk; k, λ) = λe−λtk · (λtk)
n−1
(n− 1)! I(0,∞)(tk). (6)
Departamento de Estatı´stica, Universidade Federal do Espı´rito Santo UFES. Av. Fernando Ferrari 514, Goiabeiras, CEP 29075-910, Vito´ria ES.
2
II. ALGUNS FATOS SOBRE A DISTRIBUIC¸A˜O DE POISSON
Definic¸a˜o 2. N ∼ Po(λ), λ > 0, se sua func¸a˜o de probabilidade e´
fN (k) = e−λ · λ
k
k!
I{0,1,2,...}(k). (7)
A me´dia e a variaˆncia de N sa˜o dadas por
E(N) = λ Var(N) = λ. (8)
A func¸a˜o geradora de momentos e´ dada por
MN (u) = E(euN ) = eλ(e
u−1) (9)
para todo u real.
Teorema 3. Se N ∼ Po(λ) e M ∼ Po(ν) sa˜o va.a’s independentes, enta˜o N +M ∼ Po(λ+ ν).
III. PROCESSOS ESTOCA´STICOS EM TEMPO CONTI´NUO
Definic¸a˜o 3 (Processo estoca´stico em tempo contı´nuo). Seja ϕ um conjunto. Um processo estoca´stico em tempo contı´nuo e´
uma famı´lia (Xt)t≥0 de varia´veis aleato´rias (va.a’s) tal que Xt assume valores em ϕ para todo t ≥ 0. O conjunto ϕ e´ chamado
de espac¸o de estados e cada um de seus elementos e´ chamado de estado.
Comenta´rio 1. Probabilidades que ocorrem na teoria de processos estoca´sticos em tempo contı´nuo dependem das probabilidades
P (x0, x1, . . . , xn) = Pr(Xt0 = x0, Xt1 = x1, . . . , Xtn = xn) (10)
para quaisquer 0 ≤ t0 ≤ t1 ≤ · · · ≤ tn e x0, x1, . . . , xn ∈ ϕ. E´ possı´vel calcular (10) conhecendo:
• a distribuic¸a˜o de Xt0 , P (x0) = Pr(Xt0 = x0)
• e as probabilidades de transic¸a˜o,
– P (x1|x0) = Pr(Xt1 = x1|Xt0 = x0)
– P (x2|x0, x1) = Pr(Xt2 = x2|Xt0 = x0, Xt1 = x1)
–
...
– P (xn|x0, . . . , xn−1) = Pr(Xtn = xn|Xt0 = x0, . . . , Xtn−1 = xn−1).
Isso porque
P (x0, x1, . . . , xn) = P (x0)P (x1|x0)P (x2|x0, x1) · . . . · P (xn|x0, . . . , xn−1). (11)
Definic¸a˜o 4 (Me´dia, variaˆncia e correlac¸a˜o). Descrevemos o valor me´dio, a variabilidade e a estrutura de correlac¸a˜o de um
processo estoca´stico em tempo contı´nuo atrave´s das seguintes func¸o˜es:
1) A func¸a˜o me´dia do processo e´ definida por
µt := E(Xt) t ≥ 0. (12)
2) A func¸a˜o variaˆncia do processo e´ definida por
σ2t := Var(Xt) = E(X
2
t )− µ2t t ≥ 0. (13)
3) A func¸a˜o de autocovariaˆncia do processo e´ definida por
γs,t := Cov(Xs, Xt) = E(XsXt)− µsµt s, t ≥ 0. (14)
4) A func¸a˜o de autocorrelac¸a˜o do processo e´ definida por
%s,t :=
γs,t√
σ2sσ
2
t
s, t ≥ 0. (15)
Comenta´rio 2. Observe que:
• σ2t = γt,t para todo t
• γs,t = γt,s para todo par s, t
• %s,t = %t,s para todo par s, t.
Comenta´rio 3. Nesse texto vamos estudar uma classe particular de processos estoca´sticos em tempo contı´nuo, chamados de
processos de Poisson. A pro´xima subsec¸a˜o apresenta a construc¸a˜o do processo de Poisson e suas propriedades fundamentais,
a partir de uma sequeˆncia de va.a’s independentes e exponencialmente distribuı´das com paraˆmetro λ > 0.
3
IV. PROCESSOS DE POISSON I: CONSTRUC¸A˜O E PROPRIEDADES FUNDAMENTAIS
Definic¸a˜o 5 (Construc¸a˜o do processo de Poisson). Considere uma sequeˆncia de eventos (de um certo tipo) ocorrendo aleatoria-
mente ao longo do tempo a partir de um instante inicial t = 0 e sejam τ1, τ2, . . . tais que τ1 e´ o tempo inicial ate´ a ocorreˆncia
do primeiro evento, e para i ≥ 2, τi e´ o tempo entre a ocorreˆncia do (i− 1)-e´simo evento ate´ a ocorreˆncia do i-e´simo evento.
Assuma que τ1, τ2, τ3, . . . sa˜o va.a.’s independentes e exponencialmente distribuı´das com paraˆmetro λ > 0. Para t ≥ 0, Nt
representa o nu´mero de eventos ocorridos no intervalo [0, t], ou seja,
Nt := max{k ≥ 0 : Tk ≤ t}, (16)
onde T0 = 0, e para k ≥ 1, Tk :=
∑k
i=1 τi representa o tempo de espera ate´ a ocorreˆncia do k-e´simo evento. O processo
(Nt)t≥0 e´ chamado de processo de Poisson com taxa λ. Esse e´ um processo estoca´stico de contagem em tempo contı´nuo com
espac¸o de estados N := {0, 1, 2, . . .}.
Teorema 4 (Propriedades fundamentais do processo de Poisson). Seja (Nt)t≥0 um processo de Poisson com taxa λ. Enta˜o:
1) Tk ∼ Gama(k, λ) para todo k ≥ 1
2) E(Tk) = k/λ para todo k ≥ 1
3) Var(Tk) = k/λ2 para todo k ≥ 1
4) Nt ∼ Po(λt) para todo t ≥ 0. Em particular N0 = 0 com probabilidade 1
5) µt = E(Nt) = λt para todo t ≥ 0
6) σ2t = Var(Nt) = λt para todo t ≥ 0
7) γs,t = λmin{s, t} para todo s, t ≥ 0
8) Nt1 , Nt2 − Nt1 , . . . , Ntm − Ntm−1 sa˜o va.a’s independentes para quaisquer 0 ≤ t1 ≤ t2 ≤ · · · ≤ tm. Ale´m disso,
Nti −Nti−1 d= Nti−ti−1 para i = 1, . . . ,m (assuma que t0 = 0)
9) (Nt)t≥0 e´ Markoviano, ou seja,
Pr(Ns+t = j|Nt0 = i0, . . . , Ntm−1 = im−1, Ns = i) = Pr(Ns+t −Ns = j − i|Nt0 , . . . , Ntn−1 , Ns = i) (17)
= Pr(Ns+t −Ns = j − i|Ns = i) (18)
= Pr(Ns+t −Ns = j − i) (19)
= Pr(Nt = j − i) (20)
para quaisquer 0 ≤ t0 ≤ t1 ≤ · · · ≤ tm−1 ≤ s ≤ t e i0, i1, . . . , im−1, i, j ∈ N.
Comenta´rio 4. Nt − Ns representa o nu´mero de eventos ocorridos no intervalo (s, t] sempre que 0 ≤ s < t. Nt − Ns e´
chamado de incremento do processo de Poisson no intervalo (s, t]. Um processo estoca´stico de contagem possui incrementos
independentes se o nu´mero de eventos ocorridos em intervalos disjuntos sa˜o independentes. Um processo estoca´stico de
contagem possui incrementos estaciona´rios se a distribuic¸a˜o de probabilidade do nu´mero de eventos ocorridos em um intervalo,
so´ depende do comprimento do intervalo. O item 8) do teorema 4 garante que os incrementos do processo de Poisson sa˜o
independentes e estaciona´rios. Podemos representar o processo de Poisson atrave´s do seguinte grafo:
0
λ // 1
λ // 2
λ // 3
λ // · · · ϕ = N
V. PROCESSOS DE POISSON II: UMA CLASSE PARTICULAR DE PROCESSOS DE CONTAGEM
Definic¸a˜o 6 (Processo de contagem em tempo contı´nuo). Considere uma sequeˆncia de eventos (de um certo tipo) ocorrendo
aleatoriamente ao longo do tempo a partir de um instante inicial t = 0. Um processo estoca´stico em tempo contı´nuo (Nt)t≥0
com espac¸o de estados ϕ e´ um processo de contagem (em tempo contı´nuo) em ϕ se
1) Nt representa o nu´mero de eventos ocorridos no intervalo [0, t]
2) Nt ∈ ϕ = {0, 1, 2, . . .} =: N para todo t ≥ 0
3) Ns ≤ Nt sempre que 0 ≤ s < t
4) Nt − Ns representa o nu´mero de eventos ocorridos no intervalo (s, t] sempre que 0 ≤ s < t. Nt − Ns e´ chamado de
incremento do processo de contagem no intervalo (s, t].
Dizemos que:
• (Incrementos independentes) (Nt)t≥0 possui incrementos independentes se o nu´mero de eventos ocorridos em intervalos
disjuntos sa˜o independentes. Formalmente, (Nt)t≥0 possui incrementos independentes se
Nt2 −Nt1 , . . . , Ntm −Ntm−1 (21)
sa˜o va.a’s independentes para quaisquer 0 ≤ t1 ≤ t2,≤ · · · ≤ tn.
4
• (Incrementos estaciona´rios) (Nt)t≥0possui incrementos estaciona´rios se a distribuic¸a˜o de probabilidade do nu´mero de
eventos ocorridos em um intervalo, so´ depende do comprimento do intervalo. Formalmente, (Nt)t≥0 possui incrementos
estaciona´rios se
Ns+t −Ns d= Nt (22)
para quaisquer s, t ≥ 0.
Definic¸a˜o 7 (Processo de Poisson com taxa λ). Um processo de contagem em tempo contı´nuo (Nt)t≥0 em N e´ um processo
de Poisson com taxa λ > 0, se
1) N0 = 0
2) (Nt)t≥0 possui incrementos independentes
3) (Nt)t≥0 possui incrementos estaciona´rios onde
Nt
d= Ns+t −Ns ∼ Po(λt) (23)
para quaisquer s, t ≥ 0.
Definic¸a˜o 8 (Processo de Poisson com taxa λ). Um processo de contagem em tempo contı´nuo (Nt)t≥0 em N e´ um processo
de Poisson com taxa λ > 0, se
1) N0 = 0
2) (Nt)t≥0 possui incrementos independentes
3) (Nt)t≥0 possui incrementos estaciona´rios onde
Pr(Nh = k) = Pr(Ns+h −Ns = k) = Pr(Ns+h = i+ k|Ns = i) =

1− λh+ o(h) se k = 0
λh+ o(h) se k = 1
o(h) se k ≥ 2
0 se k < 0.
(24)
Comenta´rio 5. Uma func¸a˜o f e´ o(h) na vizinhanc¸a do zero se
f(h)
h
→ 0 (25)
quando h→ 0. Por exemplo, f(t) = t2 e´ o(h) na vizinhanc¸a do zero, pois h2/h = h→ 0 quando h→ 0.
Teorema 5. As definic¸o˜es 7 e 8 sa˜o equivalentes.
PROVA. Vamos mostrar que a definic¸a˜o 8 implica na definic¸a˜o 7. A implicac¸a˜o contra´ria fica como exercı´cio. De fato, para
k ≥ 0 segue que
Pr(Nt+h = k) =
∞∑
i=0
Pr(Nt = i) Pr(Nt+h = k|Nt = i) (26)
=
∞∑
i=0
Pr(Nt = i) Pr(Nt+h −Nt = k − i|Nt = i) (27)
=
∞∑
i=0
Pr(Nt = i) Pr(Nt+h −Nt = k − i) (28)
=
∞∑
i=0
Pr(Nt = i) Pr(Nh = k − i). (29)
Considerando a notac¸a˜o pk(t) := Pr(Nt = k) para k = 0, 1, 2, . . ., segue que{
p0(t+ h) = (1− λh)p0(t) + o(h) para k = 0
pk(t+ h) = (1− λh)pk(t) + λhpk−1(t) + o(h) para k ≥ 1. (30)
Observando que para k ≥ 0
pk(t+ h)− pk(t)
h
→ dpk(t)
dt
=: p′k(t) (31)
quando h→ 0, chegamos enta˜o ao seguinte sistema de equac¸o˜es diferenciais{
p′0(t) = −λp0(t) para k = 0
p′k(t) = −λpk(t) + λpk−1(t) para k ≥ 1,
(32)
5
sujeito a`s condic¸o˜es iniciais pk(0) = δ0k, k ≥ 0. A soluc¸a˜o desse problema de valor inicial e´ dada por
pk(t) = e−λt · (λt)
k
k!
(33)
para k = 0, 1, 2, . . .. Portanto Nt ∼ Po(λt) �
Corola´rio 1. Seja (Nt)t≥0 um processo de Poisson com taxa λ. Enta˜o µt = E(Nt) = λt e σ2t = Var(Nt) = λt para todo
t ≥ 0.
Definic¸a˜o 9. Sejam T0, T1, T2, . . . tais que T0 = 0, e para k ≥ 1,
Tk := min{t > 0 : N(t) = k} =: O tempo de espera ate´ a ocorreˆncia do k-e´simo evento. (34)
Ale´m disso, defina τi := Ti − Ti−1 para i ≥ 1 e observe que Tk =
∑k
i=1 τi. Observe tambe´m que τ1 e´ o tempo inicial ate´ a
ocorreˆncia do primeiro evento, e para i ≥ 2, τi e´ o tempo a partir de Ti−1 ate´ a ocorreˆncia do i-e´simo evento.
Teorema 6. τ1 = T1, τ2 = T2−T1, τ3 = T3−T2, . . . iid∼ Exp(λ). Ale´m disso, E(τi) = 1/λ e Var(τi) = 1/λ2 para todo i ≥ 1.
PROVA. Temos que
Pr(τ1 > t) = Pr(Nenhum evento em [0, t]) = Pr(Nt = 0) = e−λt. (35)
Assim τ1 ∼ Exp(λ). Agora observe que
Pr(τ2 > t|τ1 = u1) = Pr(Nenhum evento em (u1, u1 + t]) = Pr(Nt = 0) = e−λt. (36)
Assim τ2 e´ independente de τ1, e possui a mesma distribuic¸a˜o. Repetindo o argumento, a prova segue por induc¸a˜o em n:
Pr(τn+1 > t|τ1 = u1, . . . , τn = un) = Pr(Nenhum evento em (
∑n
i=1 ui,
∑n
i=1 ui + t]) = Pr(Nt = 0) = e
−λt. (37)
Portanto τ1, τ2, . . . sa˜o va.a’s iid com distribuic¸a˜o comum Exp(λ) �
Corola´rio 2. Tk =
∑k
i=1 τi ∼ Gama(k, λ) para todo k ≥ 1. Ale´m disso, E(Tk) = k/λ e Var(Tk) = k/λ2 para todo k ≥ 1.
Comenta´rio 6. O resultado do teorema 6 faz a ligac¸a˜o entre o desenvolvimento construtivo dos processos de Poisson (apre-
sentado na sec¸a˜o IV) e o desenvolvimento apresentado nessa sec¸a˜o (sec¸a˜o V). O desenvolvimento realizado ate´ esse momento,
permite afirmar o seguinte teorema.
Teorema 7. Um processo de contagem em tempo contı´nuo (Nt)t≥0 em N e´ um processo de Poisson com taxa λ > 0 se, e
somente se, τ1, τ2, . . . sa˜o va.a.’s independentes e exponencialmente distribuı´das com paraˆmetro λ.
Teorema 8. Seja (Nt)t≥0 um processo de Poisson com taxa λ. Dado Nt = k, os k tempos de espera T1, . . . , Tk, sa˜o va.a.’s
independentes e uniformemente distribuı´das no intervalo [0, t]. Isso significa que a densidade conjunta de T1, . . . , Tk dado
Nt = k e´ igual a` densidade conjunta das estatı´sticas de ordem correspondentes k va.a.’s independentes e uniformemente
distribuı´das no intervalo [0, t]. Ou seja,
f(t1, . . . , tk|k) = k!
tk
, (38)
para 0 < t1 < . . . < tk < t.
VI. PROCESSOS DE POISSON III: TEOREMAS LIMITE
Teorema 9 (Lei dos grandes nu´meros). Seja (Nt)t≥0 um processo de Poisson com taxa λ. Enta˜o
Nt
t
q.c.→ λ (39)
quando t→∞.
Teorema 10 (Teorema central do limite). Seja (Nt)t≥0 um processo de Poisson com taxa λ. Enta˜o
Nt − λt√
λt
D→ N(0, 1) (40)
quando t→∞. Isso significa que
Nt
a∼ N(λt, λt) (41)
quando t e´ suficientemente grande.
6
VII. PROCESSOS DE POISSON IV: FALTA DE MEMO´RIA DO PASSADO
Definic¸a˜o 10 (Tempo de parada). Seja (Nt)t≥0 um processo de Poisson com taxa λ e seja T uma va.a. tal que T ∈ [0,+∞].
Dizemos que T e´ um tempo de parada em relac¸a˜o ao processo (Nt)t≥0, se para todo t ≥ 0 e´ possı´vel determinar se o evento
[T ≤ t] ocorreu ou na˜o, conhecendo apenas a histo´ria do processo ate´ o tempo t, denotada aqui por (Nu : 0 ≤ u ≤ t).
Teorema 11. Seja (Nt)t≥0 um processo de Poisson com taxa λ. Enta˜o para todo t ≥ 0 e qualquer tempo de parada T temos
que
Pr(NT+t −NT = k|Nu;u ≤ T ) = e−λt · (λt)
k
k!
(42)
para k = 0, 1, 2, . . .. Isso significa que:
• NT+t −NT |[Nu;u ≤ T ] d= Nt ∼ Po(λt)
• E(NT+t −NT |Nu;u ≤ T ) = E(Nt) = λt e
• Var(NT+t −NT |Nu;u ≤ T ) = Var(Nt) = λt.
Em particular, os resultados valem se T = Tn para algum n ≥ 1 ou se T e´ uma varia´vel degenerada em algum s positivo.
Corola´rio 3. Seja (Nt)t≥0 um processo de Poisson com taxa λ. Enta˜o para todo n ≥ 0 temos que
Pr(τn+1 > t|τ0, . . . , τn) = Pr(Tn+1 − Tn > t|T0, . . . , Tn) = e−λt (43)
para todo t ≥ 0. Observe que esse resultado segue imediatamente do teorema 11 quando T = Tn e k = 0.
VIII. PROCESSOS DE POISSON V: SUPERPOSIC¸A˜O E DECOMPOSIC¸A˜O
Teorema 12 (Superposic¸a˜o de processos de Poisson). Sejam (Lt)t≥0 e (Mt)t≥0 processos de Poisson independentes um do
outro e com taxas λ e ν respectivamente. O processo (Nt)t≥0, onde Nt = Lt+Mt, e´ chamado de superposic¸a˜o dos processos
(Lt)t≥0 e (Mt)t≥0. (Nt)t≥0 e´ um processo de Poisson com taxa λ+ ν.
Teorema 13 (Decomposic¸a˜o de processos de Poisson). Seja (Nt)t≥0 um processo de Poisson com taxa λ. Suponha que cada
vez que um evento de interesse ocorre no tempo, ele e´ classificado como sendo do tipo I ou do tipo II com probabilidades p e
1−p respectivamente, 0 < p < 1. (N It )t≥0 representa o nu´mero de eventos do tipo I no intervalo [0, t] e (N IIt )t≥0 representa
o nu´mero de eventos do tipo II no intervalo [0, t]. Note que Nt = N It +N
II
t . (N
I
t )t≥0 e (N
II
t )t≥0 sa˜o processos de Poisson
independentes um do outro e com taxas λp e λ(1− p) respectivamente.
IX. EXERCI´CIOS
Exercı´cio 1. Seja (Nt)t≥0 um processo de Poisson com taxa λ = 15. Calcule:
• Pr(N6 = 9)
• Pr(N6 = 9, N20 = 13, N56 = 27)
• Pr(N20 = 13|N6 = 9)
• Pr(N6 = 9|N20 = 13)
Exercı´cio 2. Seja (Nt)t≥0 um processo de Poisson com taxa λ = 2. Calcule:
• µt = E(Nt) para t ≥ 0
• σ2t = Var(Nt) para t ≥ 0
• γs,t = Cov(Ns, Nt) para s, t ≥ 0
• E(Ns+t|Ns) para s, t ≥ 0
Exercı´cio 3. Em certa rodovia, a intensidade me´dia do fluxo de tra´fego e´ de 30 carros por minuto. Assuma que a contagem
de carros (registrada por um medidor) segue o processo de Poisson. Calcule:
• a probabilidade de que 2 ou mais carros sejam registrados durante um intervalo de dois segundos.
• a probabilidade de passar mais de um minuto, a partir de um instante inicial, ate´ registrar o primeiro carro.
Exercı´cio 4. Seja (Nt)t≥0 um processo de Poisson com taxa λ. Mostreque
γs,t = Cov(Ns, Nt) = λmin{s, t},
para todo s, t ≥ 0.
Exercı´cio 5. Seja (Nt)t≥0 um processo de Poisson com taxa λ. Mostre que
Pr(Nh = k) = Pr(Ns+h −Ns = k) = Pr(Ns+h = i+ k|Ns = i) =

1− λh+ o(h) se k = 0
λh+ o(h) se k = 1
o(h) se k ≥ 2
0 se k < 0.
7
Esse exercı´cio completa a prova do teorema 5.
Exercı´cio 6. Uma loja possui duas entradas, uma pela rua A e outra pela rua B. Os fluxos de consumidores que chegam na
loja a partir dessas duas entradas sa˜o processos de Poisson independentes com taxas de 1/2 consumidor por minuto e de 3/2
consumidores por minuto respectivamente.
• Qual e´ a probabilidade que um novo consumidor entre na loja durante um intervalo fixado de 3 minutos?
• Qual e´ o tempo me´dio entre chegadas de novos consumidores?
• Qual e´ a probabilidade que um dado consumidor entre pela rua A?
Exercı´cio 7. O fluxo de consumidores numa loja e´ descrito por um processo de Poisson com taxa de 25 consumidores por
hora. Sabe-se que a proporc¸a˜o de consumidores do sexo feminino e´ de 80%. Qual e´ a probabilidade que nenhum consumidor
homem entre nessa loja durante um intervalo de 15 minutos?
Exercı´cio 8. Consider the road network pictured in Figure. The inputs are Poisson processes with the rates indicated, and the
probabilities of a vehicle choosing the indicated directions are written on the arrows. Describe the traffic flow on each branch
of the network.
λ1=30// © 0,3 //
0,7
��
© 0,2 //
0,8
��λ2=60// © 0,6 //
0,4
��
© 1,0 //
©
1,0
oo ©
0,5
oo
0,5
oo
0,5
OO
λ3=30
oo
Exercı´cio 9. Considere que o tra´fego numa rodovia e´ conhecido. O nu´mero de veı´culos passando num sentido segue o processo
de Poisson com taxa de 60 veı´culos por hora, sendo que 20% desses veı´culos sa˜o caminho˜es. O nu´mero de veı´culos passando no
sentido contra´rio segue o processo de Poisson com taxa de 80 veı´culos por hora, sendo que 30% desses veı´culos sa˜o caminho˜es.
Em geral, 10% de todos os veı´culos pa´ram num restaurante que fica ao lado da rodovia. Assuma que o nu´mero de pessoas
num caminha˜o e´ 1 e o nu´mero de pessoas num carro varia de 1 ate´ 5 com as seguintes probabilidades 3/10, 3/10, 2/10, 1/10
e 1/10. Encontre o valor esperado do nu´mero de pessoas que chegam no restaurante num perı´odo de 1 hora.
Exercı´cio 10. Considerando as devidas adaptac¸o˜es na notac¸a˜o, resolva os exercı´cios 3, 4, 5, 6, 7 e 8 do capı´tulo 3 do livro-texto
do curso [1].
Exercı´cio 11. Seja (Nt)t≥0 um processo de Poisson com taxa λ e seja B uma subconjunto de R+ := [0,∞). Nesse exercı´cio,
NB representa o nu´mero de eventos ocorridos no conjunto B. Por exemplo, se B = [0, t], enta˜o NB = Nt; se B = (s, s+ t],
enta˜o NB = Ns+t −Ns; se B = (s, t] ∪ (u, v], enta˜o NB = Nt −Ns +Nv −Nu. A1, . . . , An formam uma partic¸a˜o de B,
tal que |B| =∑i |Ai| e | · | representa o comprimento de um subconjunto qualquer de R+. Mostre que
Pr(NA1 = k1, . . . , NAn = kn|NB = k) =
k!
k1! · · · kn!
( |A1|
|B|
)k1
· · ·
( |An|
|B|
)kn
,
para quaisquer k1, . . . , kn ∈ N onde k =
∑
i ki.
X. I´NDICE DE NOTAC¸O˜ES
Segue abaixo uma lista da notac¸a˜o utilizada nessa sec¸a˜o:
• (Xt)t≥0 processo estoca´stico em tempo contı´nuo.
• (Nt)t≥0 processo de contagem em tempo contı´nuo.
• ϕ = N =: {0, 1, 2, . . .} espac¸o de estados do processo de contagem.
• i, j, k, . . . estados em ϕ.
• µt := E(Xt) func¸a˜o me´dia do processo.
• σ2t := Var(Xt) func¸a˜o variaˆncia do processo.
• γs,t := Cov(Xs, Xt) func¸a˜o de autocovariaˆncia do processo.
• %s,t func¸a˜o de autocorrelac¸a˜o do processo.
• (Nt)t≥0 processo de Poisson com taxa λ, PP(λ).
• τ1, τ2, . . .
idd∼ Exp(λ) tempos entre ocorreˆncias sucessivas de eventos no PP(λ).
• Nt := max{k ≥ 0 : Tk ≤ t} estado do PP(λ) no tempo t
• T0 = 0 e Tk =
∑k
i=1 τi = min{t > 0 : Nt = k}, k ≥ 1, tempo de espera ate´ a ocorreˆncia do k-e´simo evento no PP(λ).
• (Tk)k≥0 tempos de espera no PP(λ).
• pk(t) := Pr(Nt = k) probabilidade de [Nt = k].
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REFEREˆNCIAS
[1] HOEL, P.; PORT, S.; STONE, C. Introduction to Stochastic Processes. Illinois: Waveland Press, 1987.
[2] GRIMMETT, G.; STIRZAKER, D. Probability and Random Processes, 3rd edition. New York: Oxford University Press, 2001.
[3] ROSS, S. Introduction to Probability Models, 8th edition. San Diego: Academic Press, 2003.
[4] FELLER, W. An Introduction to Probability Theory and its Applications, vol I. New York: John Wiley, 1957.
[5] RIZZO, M. Statistical Computing with R. New York: Chapman & Hall/CRC Press, 2008.