RELATÓRIO DA PRÁTICA 03 PÊNDULO SIMPLES

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UNIVERSIDADE FEDERAL DO CEARÁ - CAMPUS RUSSAS 
CENTRO DE TECNOLOGIA 
LABORATÓRIO DE FÍSICA 
FÍSICA EXPERIMENTAL PARA ENGENHARIA 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
RELATÓRIO DA PRÁTICA 03: PÊNDULO SIMPLES 
 
 
 
 
 
 
 
ALUNO: ANTÔNIO MÁRCIO FERNANDES ALMEIDA MATRÍCULA: 
384905 
CURSO: ENGENHARIA CIVIL TURMA: 03 
PROFESSOR: DR. ANDERSON MAGNO 
DISCIPLINA: FÍSICA EXPERIMENTAL PARA ENGENHARIA 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
MAIO DE 2016 
RUSSAS – CE 
 
SUMÁRIO 
 
 
 
1 OBJETIVOS………………………………………………………………………………3 
2 MATERIAIS…………………………………………………………...………………….3 
3 FUNDAMENTOS TEÓRICOS…………………………………………………………..3 
4 PROCEDIMENTO EXPERIMENTAL…………………………………………………..6 
5 QUESTIONÁRIO………………………………………………………………………...9 
RESULTADOS E DISCUSSÕES……………………………………...………………….10 
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS……………………………………………………..11 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
MAIO DE 2016 
RUSSAS – CE 
 
1 - OBJETIVOS 
- Verificar as leis do pêndulo; 
- Determinar a aceleração da gravidade local. 
 
2 - MATERIAIS 
- Massas aferidas - Transferidor - Fios 
- Cronômetro - Coluna graduada 
 
3 - FUNDAMENTOS TEÓRICOS 
Pêndulo simples consiste de uma partícula de massa m suspensa por um fio sem 
massa e inextensível de comprimento L. Afastada da posição de equilíbrio, sobre a 
linha vertical que passa pelo ponto de suspensão Q, e abandonada, a partícula oscila com 
amplitude A. Se a amplitude é pequena (A << L), a partícula descreve um MHS num 
referencial fixo no ponto de suspensão. 
 
Figura 01 – Diagrama do pêndulo simples. 
 
As forças importantes que atuam sobre a partícula são: a força peso, P, exercida 
pela Terra, e a tensão, T, exercida pelo fio. Por conveniência, podemos substituir a força 
peso pelas duas componentes ortogonais, P1, paralela à direção definida pelo fio, e P2, 
perpendicular à essa direção. Em módulo, temos: 
P1 = mg cos θ e P2 = mg sen θ 
Desse modo, podemos dizer que as forças que atuam sobre a partícula que forma o 
pêndulo simples são P1, P2 e T. 
 
Como a partícula descreve um arco de circunferência, a resultante das forças ao 
longo da direção definida pelo fio atua como força centrípeta e, por isso, deve ter o mesmo 
sentido que a tensão T. 
O modelo do pêndulo simples baseia-se nas seguintes hipóteses: 
a. O pêndulo é constituído por um ponto material suspenso por um fio inextensível 
e sem massa. 
b. Apenas as forças peso e tração agem sobre o ponto material; 
c. Utiliza-se ângulos de abertura pequenos (< 15º), tal que seja válida a 
aproximação sen(θ) ~ θ (em radianos), onde θ é o ângulo entre o fio e a 
vertical, durante a oscilação. 
 
Figura 02 – Pêndulo simples em repouso. Figura 03 – Pêndulo simples em 
pequenas osilações. 
Quando o pêndulo está em repouso (lado esquerdo da Fig. 2, acima), as duas 
forças que agem sobre a partícula, o seu peso (mg) e a tensão aplicada pelo fio (τ), se 
equilibram. Porém, se o pêndulo for afastado de sua posição de equilíbrio (lado 
direitoda Fig. 3), de modo que a direcão do fio faça um ângulo θ com a vertical, o 
componente do peso perpendicular ao fio, de intensidade P⊥ = mg sin θ, agirá no 
sentido de restaurar o equilíbrio, fazendo o pêndulo oscilar, sob a ação da gravidade. 
O movimento de um pêndulo simples é periódico, pois o mesmo move-se para um 
lado e para o outro da origem, repetitivamente, dentro de um eixo x (HALLIDAY, 2009). O 
período ( ) é dado pelo tempo que o objeto leva para ir e voltar da origem, ou seja, é o 
tempo de uma oscilação completa. 
A frequência ( ) é o inverso do período, relacionada na equação abaixo: 
 
 (Equação 1) 
 Ou seja, é a quantidade de oscilações em uma unidade de tempo. A grandeza 
da frequência no SI é dada por hertz (Hz), que ignifica ciclos por segundo. Se traçarmos um 
gráfico do deslocamento pelo tempo em relação à amplitude, teremos o comportamento 
dado na figura a seguir: 
(Figura 4) 
Onde o eixo x representa a posição, ou seja, a amplitude (de xm
 
até x0), que no caso 
é igual a 1 (um), pelo tempo, em segundos. Também dada pela equação: 
 (Equação 2) 
Equação que também pode fornecer a velocidade e a aceleração do movimento, 
dado que sua derivada primeira em relação ao tempo representaria a velocidade, e que a sua 
derivada segunda em relação ao tempo, a sua aceleração. Mostrado nas equações a seguir: 
 (Equação 3) 
 
 (Equação 4) 
Conhecendo–se a equação da aceleração, podemos usar a segunda lei de Newton 
para descobrir qual é a força que deve agir sobre o objeto, ou partícula, para que ela adquira 
essa aceleração. Fazemos então a seguinte relação na equação 5: 
 (Equação 5) 
 
Então, lembramos da expressão matemática de Hooke, que diz que a força para que ocorra 
o movimento em uma mola é proporcional ao deslocamento e a sua constante elástica k. 
Temos as seguintes deduções: 
 (Equação 6) 
 Concluindo que: 
 (Equação 7) 
 Retomando as palavras de David Halliday: 
 “O movimento harmônico simples é o movimento 
executado por uma partícula sujeita a uma força proporcional ao 
deslocamento da partícula e de sinal oposto.” 
Isolando a frequência angular w: 
 (Equação 8) 
 Sabendo-se que a frequência angular (w) representa o numero de oscilações por 
unidade de tempo, assim como a frequência (f), porém em unidades de radianos por 
segundo, no SI. Portanto se formula a seguinte equação: 
(Equação 9) 
Analisando as equações 8 e 9 temos o seguinte rearranjo matemático: 
 (Equação 10) 
 Substituindo a variável da constante elástica k por isolamento da equação 6, 
tendo em consideração a segunda lei de Newton e a aceleração seja a da gravidade, e que x 
seja igual a L (distância do objeto à haste de sustentação), temos: 
 
 
 (Equação 11) 
4 - PROCEDIMENTO 
PASSO 1: Anote as massas dos corpos (m1 e m2) 
 
M1 = 66,31 g M2 = 52,90g 
PASSO 2: Ajuste o comprimento do pêndulo de modo que tenha 20cm do ponto de 
suspensão 
até o centro de gravidade do corpo; 
PASSO 3: Desloque o corpo da posição de equilíbrio até a posição onde forma um ângulo 
de 15º. 
PASSO 4: Solte-o, acionando o cronômetro ao mesmo tempo, para medir o tempo 
necessário 
para executar 10 oscilações; 
OBS: para minimizar o erro experimental, é recomendável que uma mesma pessoal opere 
o cronômetro e o pêndulo. 
PASSO 5: Anote o resultado obtido na tabela 1. 
PASSO 6: Repita o procedimento 3 vezes e determine o período (T) médio em segundos. 
PASSO 7: Repita a experiência para os comprimentos 30, 40, 50 e 60cm e complete a 
tabela 1; 
Tabela 1 
L (cm) Ө (graus) m (gramas) 10T(s) 10T(s) 10T(s) T(s) T2 
20 15º 66,31 8,56 8,66 9,16 0,88 0,77 
30 15º 66,31 10,88 10,88 11,07 1,09 1,19 
40 15º 66,31 12,59 12,53 12,60 1,26 1,59 
50 15º 66,31 14,21 14,25 14,09 1,42 2,02 
60 15º 66,31 15,53 15,50 15,53 1,55 2,40 
 
PASSO 8: Estude agora a influência da massa e da amplitude sobre o período de oscilação. 
Proceda como indicado na tabela 2: 
Tabela 2 
L (cm) Ө (graus) m (gramas) 10T(s) 10T(s) 10T(s) T(s) T2 
65 10 66,31 16,22 16,16 16,10 1,622,62 
65 15 66,31 16,03 16,09 16,15 1,61 2,59 
65 10 52,90 16,15 16,13 16,16 1,62 2,62 
65 15 52,90 16,10 16,13 16,06 1,61 2,59 
 
 
PASSO 9: Trace o gráfico de T em função de L, baseado na Tabela 1; 
 
 
PASSO 10: Trace o gráfico de T² em função de L, baseado na Tabela 1; 
 
5 - QUESTIONÁRIO 
1- Baseando-se nos resultados experimentais, é possível concluir que os períodos 
independem da massa? Justifique. 
R - Sim, mesmo que a massa seja alterada o período ainda fica praticamente constante. 
2- Baseando-se nos resultados experimentais, o que se pode concluir a respeito do período 
de oscilação quando a amplitude passa de 10° para 15°? Justifique. 
R - Conclui-se que a amplitude também não interfere no valor do período, pois as médias 
obtidas foram de 1,61s para a amplitude de 15° e 1,62s para a amplitude de 10°, que 
também pode ser justificado pelo fato de o tempo de reação para a contagem ser da segunda 
casa decimal do segundo. 
3- Qual é a representação gráfica que se obtém para T x L? Explique. 
R - Um hipérbole. Como o período é definido por: T = 2 , como o valor da aceleração 
da gravidade é constante, tem-se que, à medida que se aumenta L, T cresce de acordo com a 
raiz da razão entre L e g, ou seja, T² cresce linearmente com L e T cresce à medida que a 
raiz quadrada de L aumenta. 
4- Idem para T² x L. Explique. 
R - Da fórmula T = 2 pode-se concluir que T² = 4 , assim, T² cresce 
linearmente relacionado à L. 
5- Determine o valor da aceleração da gravidade do laboratório a partir do gráfico T² x L. 
R - Como: T² = 4 , utilizando-se de T² = 0,88s² e L = 20cm e = 3,14, tem-se: 0,77 
= 4x(3,14)²x 
Assim: g = 10,24m/s² ~ 10m/s². 
6- Qual é o peso de um objeto de 9,000Kg no local onde foi realizada essa experiência? 
R - P = mg = (9,000 * 10,24) = 92,16 N 
7- Compare o resultado obtido experimentalmente para o valor médio de T, quando L = 
65cm, com o valor previsto teoricamente, obtido a partir da fórmula (use g = 9,81m/s²). 
Comente. 
R - T² = 4*9,86* 0,65/9,81 = 1,62 s 
O valor experimental e o valor teórico diferiram em apenas 0,01 s, o que, novamente, pode 
ser justificado pelo tempo de reação. 
 
8- Discuta as transformações de energia que ocorrem durante a oscilação de um pêndulo. 
R - Quando a massa é deslocada do ponto de equilíbrio até uma altura h, ela adquire energia 
potencial gravitacional, ao ser solta dessa altura h, adquire velocidade, e, portanto, adquire 
energia cinética, uma vez que a resistência do ar é desprezada, a energia é conservada e, 
assim, inicia-se um ciclo onde a energia cinética é transformada em energia potencial 
quando está a atingir a altura h e, depois, é transformada novamente em energia cinética, já 
que adquire velocidade. 
9- O que acontece com o período de um pêndulo quando o mesmo é colocado em um 
ambiente fechado onde g = 4,9m/s²? 
R - R - Da fórmula T = 2 , temos que T² = 4*9,86* 0,20/4,9 = 1,61 s T = 2,60s, 
O período T aumenta. 
10- Qual o erro entre o valor teórico de g (9,81m/s²) e o valor encontrado 
experimentalmente? O que você acha que causou esse erro? 
R - Erro = 10,24 - 9,81 = 0,43 (4,12%), Os erros do procedimento podem ter surgido por 
diversos motivos, dentre os quais: 
1 - A massa do procedimento não é puntiforme. 
2 - O fio não era inextensível nem de massa desprezível. 
3 - A resistência do ar não foi desprezada no experimento. 
4 - O tempo de reação humano. 
 
RESULTADOS E DISCURSSÕES 
Concluímos que o estudo do pêndulo simples é relevante porque este compõe um 
sistema que possibilita a descoberta a aceleração da gravidade. Observou-se que o período, 
o tempo do deslocamento com início no equilíbrio e fim na primeira vez que retorna ao 
equilíbrio, não depende da massa utilizada no sistema, nem da amplitude. 
Conclui-se ainda, que pode-se confiar nos dados experimentais para achar a 
aceleração da gravidade, porque o erro percentual no experimento foi muito pequeno de 
4,12%. Alguns dos erros sistemático da experiência foram a desconsideração da forca de 
atrito do ar, a falta de precisão na contagem do período do pêndulo etc. 
Destaca-se também a comprovação da validade da equação 11, descrita nos demais 
materiais estudados, portanto que seja para pequenas amplitudes.Podemos concluir 
também que todo o aumento de comprimento acarreta num aumento também do período, e 
diminuição da frequência. 
 
 
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS 
MAGNO, Anderson. Manual de práticas – Física experimental. Russas- CE: UFC, 2016. 
HALLIDAY, David. Fundamentos de Física. 8. ed. Rio de Janeiro: Ltc, 2009. 2 v 
TIPLER, Paul Allen. Física para cientistas e engenheiros. 3. ed. Rio de Janeiro: Abdr, 
1994. 2 v. 
PÊNDULO SIMPLES. Disponível em 
<http://www.sofisica.com.br/conteudos/Ondulatoria/MHS/pendulo.php> Acesso em 9 de 
maio de 2016. 
BAZIN, Maurice; LUCIE, Pierre. Porque e como estudar “o pêndulo simples” no 
laboratório básico. Revista brasileira de ensino de física, v. 3, 1981. 
BRITO, AAS. Um pêndulo simples barato. Revista de Ensino de Física, v. 1, 1979.