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X Encontro Nacional de Educação Matemática 
 Educação Matemática, Cultura e Diversidade 
Salvador – BA, 7 a 9 de Julho de 2010 
 
 
 
Anais do X Encontro Nacional de Educação Matemática 
Relato de Experiência 
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DEMONSTRAÇÕES MATEMÁTICAS: UMA EXPERIÊNCIA COM A 
APLICAÇÃO DE UM MÓDULO DE ENSINO NO CURSO DE MATEMÁTICA 
 
Enne Karol Venancio de Sousa 
Instituto Federal do Rio Grande do Norte - IFRN/Santa Cruz 
enne.sousa@ifrn.edu.br 
 
John Andrew Fossa 
Universidade Federal do Rio Grande do Norte - UFRN 
jfossa@oi.com.br 
 
Giselle Costa Sousa 
Universidade Federal do Rio Grande do Norte - UFRN 
giselle@ccet.ufrn.br 
 
Resumo: Neste trabalho, apresentamos uma experiência com a aplicação de um módulo 
de ensino de demonstrações matemáticas, com base em Fossa (2009). Tal módulo foi 
aplicado na disciplina Teoria dos Números do curso de Matemática de uma 
universidade do Rio Grande do Norte, com o objetivo de levar os alunos a 
compreenderem as técnicas de demonstração em nível relacional defendido por Skemp 
(1980). O percurso metodológico do módulo consistiu nos cinco momentos seguintes: 
aplicação de um questionário específico para conhecer o perfil dos alunos e o 
entendimento prévio que eles tinham das técnicas e linguagem matemática; análise de 
uma série de diálogos que traziam as demonstrações matemáticas dentro de uma 
linguagem cotidiana; aplicação do módulo de ensino através da investigação da 
estrutura lógica de algumas técnicas de demonstração; realização de avaliação escrita e 
por fim, realização de entrevista, para verificar as principais contribuições do módulo de 
ensino. 
Palavras-chave: Demonstrações matemáticas; Módulo de ensino; Linguagem 
matemática. 
 
Introdução 
 
As demonstrações matemáticas são ferramentas muito utilizadas pelo estudioso 
em Matemática, quer seja bacharel, licenciado ou ainda graduando de ambos os cursos. 
Todavia, muitas vezes surgem dificuldades em relação a sua abordagem que podem ser 
caracterizadas por diversos fatores, dos quais destacamos três: (i) o fato de que existem 
poucos materiais, voltados para o estudante de Matemática, sobre as técnicas de 
demonstração, especialmente materiais de cunho alternativo; (ii) a utilização implícita 
das técnicas por muitos professores na graduação, partindo do princípio que os alunos já 
as conhecem; (iii) a falta de definição clara do conceito de demonstrar, que muitas vezes 
 
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se confunde com experimentação ou argumentação, limitado somente ao sentido de 
convencer. 
Com base nesses pressupostos, podemos afirmar que, para estudar as 
demonstrações matemáticas, é preciso que estejam claras duas coisas. Primeira, a 
importância de fazer uma explanação clara e explícita do significado do que seja 
demonstrar no contexto matemático e como esse conceito difere do de demonstração em 
outros campos do saber. Segunda, precisa-se de material de instrução adequado que leve 
o aluno a construir os conceitos e habilidades envolvidos na atividade de fazer 
demonstrações. 
 O presente trabalho relata o desenvolvimento de um módulo de ensino proposto 
mediante a realização de atividade didática operacionalizada em sala de aula. Nele, o 
foco principal foi o ensino-aprendizagem, dando ênfase à leitura, ao desenvolvimento 
da capacidade de abstração e habilidade de utilizar técnicas de demonstrações 
matemáticas, tendo como principal referência a obra Introdução às Técnicas de 
Demonstração em Matemática (Fossa, 2009), no qual o assunto é abordado à luz do 
construtivismo radical. 
 Primeiramente, apresentaremos os objetivos do módulo de ensino. Em seguida, 
faremos uma revisão teórica das demonstrações matemáticas abordadas. Então, 
apresentaremos o desenvolvimento das atividades realizadas. Ao final, apresentaremos 
as análises preliminares e considerações gerais. 
 
Objetivos do módulo de ensino 
 
Para melhor conceber o intuito do módulo de ensino, apresentamos a seguir os 
objetivos do mesmo, explicitando o objetivo geral e, em seguida, os específicos. 
O objetivo maior da presente proposta é: 
 
 levar o aluno a uma compreensão relacional de demonstrações 
matemáticas, através de um módulo de ensino no contexto do construtivismo 
radical. 
 
 
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Com base nesse objetivo geral destacamos os três objetivos específicos 
seguintes: 
 
 analisar o entendimento que os participantes têm sobre as técnicas 
de demonstração; 
 levar o aluno, através de uma intervenção didática, à análise 
informal das técnicas de demonstração matemática; 
 determinar as principais barreiras que dificultam uma 
compreensão mais profunda da análise das técnicas de demonstração. 
 
Na verdade, o primeiro objetivo específico foi um diagnóstico do entendimento 
dos participantes sobre o conceito de demonstração. O segundo objetivo específico se 
refere à aplicação do módulo de ensino, enquanto o terceiro se refere à avaliação do 
mesmo. 
Como explicitamos no objetivo geral, pretendemos que o participante alcance 
uma compreensão relacional, no sentido de Skemp (1980), sobre o conceito de 
demonstração matemática. Dessa forma, houve uma preocupação em se utilizar 
atividades construtivistas no módulo de ensino para que o aluno não somente recebesse 
uma instrução sobre as técnicas de demonstração matemática, mas construísse seu 
conhecimento a partir de atividades que o levassem a abstrair, ser criativo e chegar a um 
nível de entendimento que o permitisse analisar as mais diversas técnicas em nível 
relacional. 
Vale lembrar que o desígnio do ensino construtivista é levar os alunos a 
construírem por si mesmo sua aprendizagem. Sendo assim, para se tornar uma 
verdadeira aprendizagem é preciso passar do nível instrumental (aprendizagem através 
de mecanismos de repetição), que é frequentemente necessário, mas aqui não suficiente, 
e chegar ao nível relacional, onde o aluno realmente tem autonomia, pois é levado a 
entender o porquê, não se limitando a fôrma utilizada pelo professor. 
 
 
 
 
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Demonstração Matemática – Fundamentação teórica 
 
Tendo em vista possíveis interpretações distintas para o significado de 
demonstrar em Matemática, faz-se necessária uma descrição do que se entende por 
demonstração matemática. Neste trabalho, demonstrar tem o sentido de buscar o 
porquê, pois como afirma Fossa (2009a, p. 47), “uma demonstração matemática é um 
argumento, cuja conclusão é o teorema demonstrado”. O mesmo autor ainda afirma que: 
“[...] o caráter da demonstração matemática é a tentativa explícita de determinar o status 
epistemológico de proposições mediante da relação de conseqüência lógica” (FOSSA, 
2009b, p. 7). 
Assim, demonstrar é dar razões que garantam a verdade do teorema 
demonstrado. Nesse sentido, é importante também deixar claro que as demonstrações 
que aparecem no contexto do ensino de Matemática não são, necessariamente, 
demonstrações formais, no sentido de não serem apresentadas no formalismo da Lógica, 
mas demonstraçõesque partem de axiomas ou proposições supostas já demonstradas, 
vistas como um ponto de partida para se começar as deduções. Dessa forma, é 
necessário entender que a verdade da conclusão é sempre relativa à verdade das 
premissas. 
Quanto à importância das demonstrações para o ensino de Matemática, sabemos 
que o matemático precisa das demonstrações para autenticar a verdade de seus 
teoremas, tanto quanto os profissionais das áreas de Ciências precisam da 
experimentação para provar suas leis. Fossa (2009b, p. 45) aponta dois motivos para 
que o matemático tenha a preocupação de demonstrar todos os seus teoremas: o 
primeiro se deve ao fato de “que algumas proposições que parecem intuitivamente 
óbvias são de fato falsas e o segundo é baseado no fato de a Matemática ser um tipo de 
conhecimento e para se conhecer algo não é o bastante se acreditar nela, se torna 
necessário ter boas razões para acreditar”. 
Assim, defendemos neste trabalho que as demonstrações farão parte da vida do 
matemático por entendermos que “podemos definir a matemática como a área de 
estudos que usa, exclusivamente, demonstrações, no sentido acima delimitado, para 
validar as suas proposições” (FOSSA, 2009b, p. 9), pois como afirma ainda o mesmo 
 
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autor: “a definição mediante o método de validação não somente identifica a 
característica mais notável da matemática, mas também paralela a definição da ciência 
mediante o seu método de validação, a saber, o de verificação empírica” (FOSSA, 
2009b, p. 9). 
Vale destacar que com essa definição não se está querendo impor que a única 
coisa que o matemático faz é demonstrar, mas sim ressaltar sua importância como 
metodologia de validação de verdade para o matemático. 
 
Desenvolvimento das atividades 
 
O módulo de ensino foi desenvolvido em nove encontros de aproximadamente 
duas horas/aula cada um, tendo como público alvo trinta alunos do curso de 
Licenciatura de uma universidade do Rio Grande do Norte, matriculados na disciplina 
Teoria dos Números, no segundo semestre do ano de 2009. O conteúdo central do 
módulo foram as técnicas de demonstrações matemáticas, iniciando-se com a leitura e 
interpretação de uma série de diálogos contendo demonstrações informais. 
Observamos que trinta alunos fizeram parte desse módulo de ensino, sendo 22 
do sexo masculino e 08 do sexo feminino. Quanto à faixa etária dos alunos, constatou-
se que 14 deles tinham entre 18 a 26 anos, 06 alunos estavam na faixa de 27 a 35 anos e 
05 dos discentes tinham mais de 30 anos; para cinco alunos essa informação não foi 
determinada. 
 O percurso metodológico consistiu em cinco momentos. O Momento I foi 
realizado no primeiro encontro, quando aplicamos um questionário que nos serviu como 
diagnóstico para identificar as idéias prévias dos alunos com relação às demonstrações 
matemáticas. Também serviu para que pudéssemos adequar o módulo de ensino ao 
perfil dos alunos, uma vez que todo planejamento precisa ser flexível e, se for 
necessário, sofrer mudanças para que atinja seus objetivos. 
Os objetivos do questionário foram: 
 conhecer o perfil dos alunos em relação à faixa etária e curso; 
 
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 analisar o entendimento que eles tinham do conceito de 
demonstração matemática, bem como de sua importância para o ensino 
de Matemática; 
 verificar o entendimento de conceitos e definições de diversos 
termos utilizados no ensino de Matemática como, por exemplo, 
proposição, teorema, lema, entre outros. 
No questionário foi deixado ainda um espaço para que os alunos dessem 
sugestões ou comentassem algo que achassem necessário para a aplicação do módulo. 
O Momento II correspondeu à aplicação da primeira parte do livro Introdução às 
Técnicas de Demonstração em Matemática (2009), sendo necessários dois encontros 
para sua realização. Nesse segundo momento, foi realizado um primeiro contato com as 
demonstrações matemáticas num contexto de diálogos, onde o conteúdo matemático foi 
colocado dentro de uma conjuntura natural, a partir de uma conversa informal. Os 
textos/diálogos narram o encontro de dois poetas coreanos e um matemático brasileiro 
que conversam sobre temas diversos, mas todos relacionados à Matemática, 
envolvendo, particularmente, as demonstrações matemáticas e paradoxos envolvendo 
conceitos matemáticos. 
 Nesse momento os diálogos foram discutidos pelos alunos em pequenos grupos, 
sendo que cada grupo ficou responsável por interpretar, analisar, avaliar e apresentar sua 
parte do diálogo para os demais. A apresentação dos diálogos foi feita nos dois 
encontros e discutida coletivamente, gerando assim uma articulação de opiniões. Neste 
sentido, os alunos puderam expressar suas linhas de raciocínio, defendendo suas 
posições, questionando as opiniões dos outros e, assim, acostumando-se a uma 
linguagem matemática mais sofisticada. 
 Ao fim de cada diálogo, os alunos eram ainda submetidos a alguns 
questionamentos, cuja elaboração das respostas era feita a partir da realização de 
pesquisas e discussão com outros colegas dos grupos. Essas pesquisas e discussões 
foram realizadas em tempo extra, fora da classe, e trazidas na aula seguinte. 
O Momento III consistiu na aplicação didática do módulo referente ao 
desenvolvimento das técnicas de demonstrações matemáticas: condicional, 
bicondicional, redução ao absurdo e indução matemática. Todos os conteúdos foram 
 
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abordados seguindo o construtivismo radical
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. Segundo esta teoria, o professor 
direciona os alunos a construírem seu conhecimento. 
 Este Momento (terceiro), o qual consistiu no núcleo do nosso módulo de ensino, 
foi o mais longo, levando cinco encontros. Seu objetivo se assemelha ao objetivo do 
módulo que é levar os alunos a uma compreensão relacional da estrutura das técnicas de 
demonstração, destacando, mais uma vez, que essas técnicas são vistas de maneira 
informal. Fossa (2009a, p. 45), falando sobre a importância do estudo das técnicas de 
demonstração em matemática, destaca que o propósito de estudá-las é “facilitar a leitura 
dos textos matemáticos, especialmente na análise e na compreensão das demonstrações 
aí encontradas, bem como proporcionar ao aluno recursos para demonstrar os teoremas 
que os textos deixam a seu encargo”. 
Para se chegar a esse objetivo, foram feitas atividades sobre as técnicas citadas, 
com base na segunda parte do livro Introdução às Técnicas de Demonstração em 
Matemática (2009), bem como a resolução de exercícios individuais e em grupos, cuja 
exposição dos resultados era feita no quadro. Também foi feita a análise de 
demonstrações encontradas em diversos livros das disciplinas estudadas ao longo do 
curso. Salientamos que neste tipo de exercício os alunos não precisavam se preocupar 
em demonstrar, mas em analisar a estrutura de resolução, onde tiveram oportunidade de 
fazer críticas e avaliarem os passos da demonstração, identificando as técnicas e seu 
processo de construção. 
Como nem todos os alunos estavam cursando o mesmo período do curso de 
Matemáticae assim não tinham requisitos comuns que nos permitissem pedir que 
demonstrassem proposições de certos conteúdos específicos, preferimos, como fez 
Fossa (2009a), minimizar, nesse momento, o conteúdo matemático, para que o aluno 
não encontrasse barreiras com complicações matemáticas. 
 O Momento IV foi o momento da avaliação utilizada não apenas como 
instrumento de coleta de dados, mas também para atribuir nota aos alunos, haja vista 
que o módulo de ensino foi aplicado dentro de uma disciplina do curso. Assim, tal 
avaliação foi realizada para registrar por escrito as respostas dadas pelos alunos e 
 
1 O construtivismo radical é uma teoria sobre a Educação Matemática baseada na 
epstemologia. Para mais detalhes ver, por exemplo, Glaserfeld (1996) ou Fossa (1998). 
 
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avaliarmos o nível de compreensão que os alunos obtiveram no fim do módulo de 
ensino. 
 O Momento V foi um momento extra-aula, realizado com alguns alunos que 
foram escolhidos e entrevistados a respeito da intervenção. Para isso, utilizamos um tipo 
de entrevista chamada episódica que, segundo Flick (2002), “procura a 
„contextualização‟ das experiências e acontecimentos a partir do ponto de vista do 
entrevistado”. A escolha por este tipo de entrevista é consoante com o construtivismo 
radical que afirma que o único acesso que temos ao pensamento do aluno é através de 
mecanismos indiretos (ver FOSSA, 1998). Assim, queríamos levar o aluno a 
externalizar seu pensamento através de um diálogo com o entrevistador que nos 
permitiria formular hipóteses sobre suas construções mentais e que, ao mesmo tempo, 
ofereceria validação pelo menos parcial das mesmas através da interação 
aluno/entrevistador. 
 
Principais resultados e sua análise 
 
Foi possível perceber que, embora no início do módulo de ensino os alunos 
tivessem apresentado bastante resistência à nova metodologia, principalmente na arte de 
leitura, a experiência foi bastante válida. 
No fim da aplicação do módulo de ensino muitos sugeriram que tal módulo fosse 
visto logo no início do curso, como uma disciplina ou mini-curso, pois, segundo eles, 
seria amenizada uma boa parte das dificuldades que eles encontram em disciplinas mais 
abstratas ou que requerem um maior uso de demonstrações. 
A partir da realização das primeiras atividades, foi possível fazer os alunos 
perceberem que a demonstração matemática é elemento fundamental na graduação em 
Matemática e que se faz necessária uma compreensão de diversos termos e definições, 
bem como exercitar a leitura e capacidade de abstração, tendo em vista que Matemática 
não se resume a fazer cálculos. 
No Momento III, foi perceptível a mudança de postura de alguns alunos em 
relação às técnicas de demonstração, pois muitos deles trouxeram, espontaneamente, 
exemplos de teoremas das disciplinas que estavam cursando e questionavam cada vez 
 
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mais no desejo de aprender a lidar com as técnicas sem precisar ficar repetindo o que o 
professor faz. Notamos ainda que, ao abordarmos a parte de análise das técnicas 
minimizando o conteúdo matemático, muitas das barreiras encontradas no início do 
módulo haviam sido superadas. Nessa fase, percebemos um maior nivelamento da 
turma em relação ao conteúdo, uma vez que saber mais matemática ou ter cursado mais 
disciplinas não era mais sinônimo de saber mais sobre o que estávamos discutindo. 
 O penúltimo momento, o da avaliação, ainda está em fase de análise para 
sabermos se a maioria da turma chegou ao objetivo, que era atingir uma compreensão 
relacional das técnicas de demonstração. Mas, pelas primeiras análises realizadas, é 
possível verificar que uma grande parte dos alunos adquiriu essa autonomia na análise e 
resolução das questões propostas. Notou-se ainda um maior grau de maturidade quanto 
às respostas que eram pessoais. 
 Quanto ao momento final, a entrevista, todos os entrevistados avaliaram de 
forma bastante positiva o trabalho e deram diversas sugestões para futuras aplicações do 
módulo de ensino, como: apresentá-lo em forma de mini-curso; abordá-lo em forma de 
disciplina no primeiro semestre da graduação em Matemática, publicar um livro com o 
roteiro do módulo, entre outras sugestões. 
 Concluí-se, assim, este relato, afirmando que a experiência com a aplicação do 
módulo de ensino foi considerada bastante positiva, tendo em vista tanto a evolução dos 
alunos durante a realização das atividades quanto as diversas sugestões de divulgação 
do trabalho por parte dos próprios alunos. 
 
Referências 
 
FLICK, U. Entrevista episódica. Em M. W. Bauer & G. Gaskell, G. (Orgs.), Pesquisa 
qualitativa com texto, imagem e som: um manual prático (pp. 114-136). (P. A. 
Guareschi, Trad.). Petrópolis: Vozes, 2002. 
 
FOSSA, John. A. Introdução às Técnicas de Demonstração na Matemática. 2. ed. 
São Paulo: Editora da Física, 2009a. 
 
______. As Consequências da Consequência: Uma Investigação Histórico-
Filosófica de Demonstração Matemática. In: VIII Seminário Nacional de História da 
Matemática, 2009, Belém, PA. Anais do VIII Seminário Nacional de História da 
Matemática. Belém, PA : SBHMat/Unama, 2009b. v. 1. p. 1-15. 
 
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______. Teoria Intuicionista da Educação Matemática. Trad. Alberta M. R. B. 
Ladchumananandasivam. Natal: Editora da UFRN, 1998. 
 
GLASERFELD, Ernst Von. Construtivismo radical: Uma forma de conhecer e 
aprender. Coleção Epigénese e desenvolvimento. Lisboa: Instituto Piaget, 1996. 
 
SKEMP, R. Psicologia del aprendizaje de las matemáticas. Trad. Gonzalo Gonzalvo 
Mainar. Madrid: Ediciones Morata, S. A. 1980.