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1 Determinante e Matriz Inversa Breve Relato Histórico Já em 250 a.C. havia exemplos da utilização de matrizes na resolução de sistemas lineares . Na China antiga, já eram conhecidas algumas noções ligadas a determinantes. No ocidente, o assunto determinantes, só começou a ser tratado, de forma esporádica, a partir do século XVII, com os trabalhos de G.W. Leibniz (1646-1716), de G. Cramer (1704-1752), de C. Maclaurin (1698-1746) e de J.L. Lagrange (1736-1813). Só no século XIX passou-se a estudar determinantes com maior ênfase, iniciando com um longo tratado de A.L. Cauchy (1789-1857) em 1812, com seqüência nos trabalhos de C.G. Jacobi (1804-1851). A partir de então, o uso de determinantes difundiu-se muito e este conceito de um número associado a uma matriz quadrada tornou-se muito útil para caracterizar situações como a de saber se uma matriz é invertível, ou se um sistema admite ou não solução. Determinantes Toda matriz quadrada tem, associada a ela, um número obtido por meio de operações que envolve todos os elementos de uma matriz. Não existe determinante de matriz que não seja quadrada Determinante de matriz quadrada de ordem 1 A=(a11) det A=a11 A=(4) det A=4 Determinante de matriz quadrada de ordem 2 A= 2221 1211 aa aa det A= a11.a22-a12.a21 Exemplo: A= 42 36 Exercício a) 32 45 b) 64 12 Resolução de equações lineares com duas incógnitas, utilizando determinantes (Regra de Cramer) 222 111 kybxa kybxa O sistema tem solução única, SPD, se e somente se, D≠0 (o determinante da matriz coeficientes) for diferente de zero,. Se o D=0, é preciso escalonar ou, então como o sistema é 2x2, observar as equações. 2 D D x x e D D y y D= 22 11 ba ba Dx= 22 11 bk bk Dy= 22 11 ka ka Exemplo; Resolva por determinantes 153 732 yx yx Exercícios Resolva por determinantes a) 42 2153 yx yx b) 1773 532 yx yx Determinante de matriz quadrada de ordem 3 A= 333231 232221 131211 aaa aaa aaa Utilizando a regra de Sarrus, temos: det A= (a11.a22.a33) +(a12.a23.a31) + (a13.a21.a32) – (a13.a22.a31) -(a11.a23.a32) - (a12.a21.a33) Exemplo: Dada a matriz A= 201 202 513 encontre det A. 3 Exercício Aplicando a regra de Sarrus, calcule os determinantes a) 132 405 123 b) 132 240 153 c) 132 000 153 Resolução de equações lineares com três incógnitas, utilizando determinantes (Regra de Cramer) O sistema tem solução única , se e somente se, D≠0. Se o D=0, é preciso escalonar. D D x x1 1 , D D x x2 2 , D D x x3 3 ,...., D D x n x n O sistema homogêneo Ax=0, tem solução não zero, se e somente se D=0. Exemplo: Resolva utilizando determinantes a) 432 1 32 zyx zyx zyx b) 052 02 0 zyx zyx zyx Exercício Resolva usando determinante: a) 8253 2172 72 zyx zyx zyx 4 Propriedades dos determinantes 1ª Fila de zeros Se todos os elementos de uma linha ou coluna de uma matriz quadrada M forem iguais a zero, seu determinante será nulo, isto é M=0. 2ª Filas iguais Se os elementos correspondentes de duas linhas (ou duas colunas) de uma matriz quadrada M forem iguais, seu determinante será nulo, isto é, det M=0. M= 431 205 431 3ª Filas proporcionais Se uma matriz M possui duas filas ou duas colunas proporcionais, seu determinante será nulo, isto é, M=0. M= 219 73 4ª Multiplicação de uma fila por uma constante Se todos os elementos de uma linha (ou de uma coluna) de uma matriz quadrada são multiplicados por um número real K, então determinante fica multiplicado por k. M= 94 3521 N= 94 53 det N=7.det M 5ª Multiplicação da matriz por uma constante Se uma matriz quadrada M de ordem n é multiplicada por um número k, o seu determinante fica multiplicado por um número real kn, isto é: det (k.Mn) = K n. det Mn A= 52 43 5.A = 5 2.det A 6ª Determinante da transposta O determinante de uma matriz M é igual ao determinante de sua transposta, isto é, det M= det (Mt). A= 54 32 A t= 53 42 7ª Troca de filas paralelas Se trocarmos de posição duas linhas (ou colunas) de uma matriz quadrada M, o determinante da nova matriz obtida é o oposto do determinante da matriz anterior. A= 987 654 321 e B= 978 645 312 5 8ª Determinante da matriz triangular O determinante da matriz triangular é igual ao produto dos elementos da diagonal principal. A= 20 35 B= 413 021 005 9ª Teorema de Binet Sendo A e B duas matrizes quadradas de mesma ordem e AB matriz produto, então det (AB) = detA. det B A= 15 23 B= 43 20 10ª Teorema de Jacobi Seja uma matriz quadrada. Se multiplicarmos todos os elementos de uma linha(ou coluna) pelo mesmo número e somarmos os resultados aos elementos correspondentes de outra linha (ou coluna), formando uma matriz B, então det A = det B (teorema de Jacobi). A= 94 52 det A= 9-20=-11 Multiplicando a 1ª linha por -2 e somando os resultados à 2ª linha, otemos: B= 12 52 det B=-1-10=-11 , ou seja, det A= det B 11ª Determinante da matriz inversa Uma matriz Anxn é invertível (ou não singular) se existe uma matriz Bnxn tal que AB = BA = In. B é chamada de uma inversa de A. Seja A uma matriz quadrada invertível e A-1 sua inversa. Então, det A-1= Adet 1 .adj A Essa propriedade sugere um fato importante a matriz A é invertível se e somente se det A≠0. Exemplo: Verifique se existe a matriz inversa, caso afirmativo, determine-a: a) 32 85 b) 46 23 6 Exercícios 1-Dentre as matrizes seguintes, cinco têm determinantes iguais a zero. Descubra quais são elas, usando as propriedades dos determinantes e justifique. A= 2432 3251 6693 11045 B= 0476 0476 8192 6923C= 5123 0312 0041 0008 D= 5104 6301 8602 4203 E= 7000 3000 2250 4392 F= 5386 2054 5213 2054 2-Determine, se existir, a inversa de cada uma das seguintes matrizes: A= 20 31 B= 42 105 C= 54 32 D= 31 21 3- Se A é uma matriz de ordem 3 e det(A)=2, calcule det (5A). Menor complementar Chamamos de menor complementar relativo a um elemento aij de uma matriz M, quadrada e de ordem n>1, o determinante MCij , de ordem n - 1, associado à matriz obtida de M quando suprimimos a linha e a coluna que passam por aij . Vejamos como determiná-lo pelos exemplos a seguir: a) Dada a matriz , de ordem 2, para determinar o menor complementar relativo ao elemento a11(MC11), retiramos a linha 1 e a coluna 1: Da mesma forma, o menor complementar relativo ao elemento a12 é: b) Sendo , de ordem 3, temos: 7 Cofator Chamamos de cofator ou complemento algébrico relativo a um elemento aij de uma matriz quadrada de ordem n o número cofAij tal que cof Aij = (-1) i+j . MCij . Veja: a) Dada , os cofatores relativos aos elementos a11 e a12 da matriz M são: b) Sendo , vamos calcular os cofatores A22, A23 e A31: )).(1(.)1( 32133312 3332 131213 31 aaaa aa aa A Teorema de Laplace O determinante de uma matriz quadrada M = [aij]mxn pode ser obtido pela soma dos produtos dos elementos de uma fila qualquer ( linha ou coluna) da matriz M pelos respectivos cofatores. Assim, fixando , temos: em que é o somatório de todos os termos de índice i, variando de 1 até m, Exemplo: Seja A uma matriz de ordem 3 , A= 11101 576 532 calculando o determinante utilizando o Teorema de Laplace, temos: Pelo Teorema de Laplace podemos escolher uma fila qualquer (linha ou coluna), assim sendo, o determinante calculado ao longo da primeira coluna é dado por, 11101 576 532 , 11101 576 532 , 11101 576 532 O determinante calculado pela segunda linha é dado por: 136 57 53 .)1.(1 1110 53 .)1.(6 1110 57 .)1.(2)det( 131211 A )).(1(.)1( 31133311 3331 131122 22 aaaa aa aa A )).(1(.)1( 31123211 3231 121132 23 aaaa aa aa A 8 11101 576 532 , 11101 576 532 , 11101 576 532 136 101 32 .)1.(5 111 52 .)1.(7 1110 53 .)1.(6)det( 3122212 A Exemplo: Calcule o determinante das matrizes, utilizando o teorema de Laplace a) C= 1201 1543 1210 7132 b) D= 7409 2305 1123 01001 c) F= 21010 41550 12040 00010 24322 Exercício Calcule os seguintes determinantes: a) 3301 0400 2105 1243 b) 4000 1700 1230 1511 c) 21111 0547 3225 1213 Matriz de cofatores A matriz de cofatores é definida como sendo a matriz cujos elementos são os cofatores dos elementos da matriz original, ou seja: Se A= nmn n aa aa aaa ....... . . . . . . . . ... ... 1 22'2 11211 nxm então a matriz dos cofatores é dada por: )(....)()( . . . . . . ......)()( )(....)()( )( 21 2221 11211 nmnn n acofacofacof acofacof acofacofacof Acof Matriz adjunta 9 A matriz adjunta é definida como sendo a matriz de cofatores transposta, ou seja, adj(A) = [cof(A) t ] Exemplo: Dada a matriz A, encontre a matriz dos cofatores de A cof(A) 30 14 21 03 2.)1(1.)1( 0.)1(3.)1( )( 2212 2111 Acof Matriz inversa Seja A=(aij)nXn uma matriz quadrada de ordem n≥2. Então, a matriz inversa da matriz A é determinada por A -1 = Exemplo: Seja B= determine a sua inversa através da adjunta, se houver. Como det B=-1 ≠0, então a matriz B admite inversa. 432 312 111 23 21 .)1( 13 01 .)1( 12 02 .)1( 12 21 .)1( 12 01 .)1( 11 02 .)1( 12 23 .)1( 12 13 .)1( 11 12 .)1( )( 332313 322212 312111 Bcof Adj(B)= [cof(B) t ]= 431 311 221 B-1= 431 311 221 . 1 1 )(. )det( 1 Badj B B-1= 431 311 221 112 123 021 )(. det 1 Aadj A 10 Aplicações de determinantes na Geometria Analitica Área de um triângulo Para um triângulo qualquer de vértices M(xm, ym), N(xn, yn) e P(xp, yp),teremos a área A desse triângulo, dada por : A= 2 D em que D= 1 1 1 pp nn mm yx yx yx Exemplo: Determinar a área do triângulo cujos os vértices são E(2,5), F(0,1) e G(3,6) 2123152 163 110 152 D Logo, a área A do triângulo EFG é: A= 2 D A= 1 2 2 Condição de alinhamento de três pontos Três pontos M(xm, ym), N(xn, yn) e P(xp, yp),são colineares se, e somente se: 0 1 1 1 pp nn mm yx yx yx Exemplo: Verifique se os pontos A (1,2), B(0,-1) e C(2,5) são ou não colineares. Logo, A, B e C são colineares. Obtenção da Equação da reta por meio do determinante Consideremos os pontos A(2,1), B(1,-1) e um ponto genérico G(x,y). Para que A, B e G sejam colineares, devemos ter: Desenvolvendo esse determinante, temos: x-2+y-1+x-2y=02x-y-3=0 Essa equação representa todos os ponto G(x,y) que estão alinhados com A(2,1) e B(1,-1) e, por isso, é uma equação da reta AB. 05241 152 110 121 D 0 111 112 1 yx 11 Exercícios Resolver o sistema 1-Utilizando as propriedades dos determinantes encontre os seus valores e justifique. a) 432 010 002 b) 100 320 986 c) 011 963 321 d) 87650 43210 12111090 87650 43210 e) 3210 0456 0032 0001 f) 525 353 171 g) 624 801 312 2-Encontre os determinantes, assumindo que N= ihg fed cba , onde det N=4 (utilize as propriedades e justifique). a) ihg fed cba 222 b) ihg cba fed c) ihg fed cba 23 23 23 d) ghi def abc 2 2 2 e) icf hbe gad 3-Calcule o determinante utilizando a regra de Sarrus e o teorema de Laplace: a) 212 112 321 b) 1332 0211 0102 0135 c) 145 011 347 4-Calcule, se existir, a inversa da matriz: a) 411 26 b) 41 32 c) d) 5-Resolva os sistema linear utilizando Cramer a) 522 127 43 zyx zyx zyx b) 53 327 yx yx c) 125 3211 254 zyx zyx yx d) 20322 124 64 zyx zyx zyx 6-Verifique se os pontos A, B e C são ou não colineares nos seguintes casos: a) A(1,-2), B(0,-5) e C(2,1) b) A(1,7), B(0,1) e C(4,3) c) A(1,4), B(2,5) e C(1,3) 120 301 732 155 320 111 12 7-Considerando os pontos B(1,2), C(3,6) e D(7,5), calcule a área do triângulo BCD, usando determinante. 8-Usando a condição de alinhamento por determinante, obtenha uma equação da reta que passa pelos pontos A e B nos seguintes casos: a) A (4,5) e B(1,2) b) A(2,3) e B(2,5) c) A(1,-2) e B(4,-2) 9-Dada a matriz A= a) adj A b) det A c) A-1 10-Sabendo que o determinante da matriz inversa é dado por det A-1= Adet 1 , calcule o determinante da matriz inversa de A A= 11-.Um biólogo colocou 3 espécies de bactéria (denotadas por I, II e III) em um tubo de ensaio, onde elas serão alimentadas por três fontes diferentes de alimentos (A, B e C). A cada dia serão colocadas no tubo de ensaio 2300 unidades de A, 800 unidades de B e 1500 unidades de C. Cada bactéria consome um certo número de unidades de cada alimento por dia, de acordo com a tabela abaixo. Bactéria da espécie I Bactéria da espécie II Bactéria da espécie III Alimento A 2 2 4 Alimento B 1 2 0 Alimento C 1 3 1 a) Encontre o sistema que equacione a tabela abaixo. b) Quantas bactérias de cada espécie podem coexistir no tubo de ensaio de modo a consumir todo o alimento? (Use somente Eliminação Gaussiana ou Regra de Cramer para resolver o problema) 12- Uma florista oferece três tamanhos de arranjos de flores com rosas, margaridas e crisântemos. Cada arranjo pequeno contém uma rosa, três margaridas e três crisântemos. Cada arranjo médio contém duas rosas, quatro margaridas e seis crisântemos. Cada arranjo grande contém quatro rosas, oito margaridas e seis crisântemos. Um dia, a florista notou que havia usado um total de 24 rosas, 50 margaridas e 48 crisântemos ao preparar as encomendas desses três tipos de arranjos. a) Monte um sistema de equações lineares que represente o problema acima. b) Quantos arranjos de cada tipo ela fez? Use somente uns dos métodos apresentados em sala de aula para resolver o problema. Por que utilizar escalonamento e não a Regra de Cramer para resolver e discutir sistemas lineares? 315 120 312 321 432 105 13 Muitos problemas de Engenharia, Economia, Biologia, etc., costumam envolver sistemas de ordem 100 ou 1000, por exemplo. Então nos meios computacionais prefere-se utilizar métodos numéricos iterativos, como o de Gauss-Seidel, que ´e estudado em disciplinas de Cálculo Numérico. imaginemos um computador capaz de efetuar um milhão de multiplicações ou divisões por segundo (1 megaflop). R por escalonamento, um sistema 10 x 10 levaria 0; 8 milésimos de segundo para ser resolvido; já, por Cramer, 1 minuto e 8 segundos. por escalonamento, um sistema 15 x 15 levaria 2; 5 milésimos de segundo para ser resolvido; já, por Cramer, 1 ano, 1 mês e 16 dias. por escalonamento, um sistema 20x20 levaria 6 milésimos de segundo para ser resolvido; já, por Cramer, 2 milhões, 754 mil e 140 anos. R Para um sistema mil por mil, o escalonamento levaria 11 minutos para resolvê-lo.Imagine o tempo necessário para resolver este sistema pela Regra de Cramer. Em aplicações da Álgebra Linear não é incomum encontrar sistemas lineares que precisam ser resolvidos por computador. A maioria dos algoritmos computacionais para resolver estes sistemas são baseados na eliminação gaussiana ou na eliminação de Gauss-Jordan, mas os procedimentos básicos são muitas vezes modificados para comportar problemas tais como: Redução de erros de arredondamento Minimização do uso de espaço de memória do computador Resolução do sistema com rapidez máxima Fazendo os cálculos à mão, as frações constituem um aborrecimento que muitas vezes não pode ser evitado. Contudo, em alguns casos é possível evitar as frações variando as operações elementares sobre linhas de maneira correta. Como a eliminação de Gauss-Jordan evita o uso de substituição inversa, poderia parecer que este método é o mais eficiente dos dois métodos que nós consideramos. Pode ser argumentado que esta afirmação é verdadeira quando resolvemos manualmente sistemas pequenos, pois a eliminação de Gauss-Jordan na verdade envolve escrever menos. Entretanto, foi mostrado que para sistemas grandes de equações, o método de eliminação de Gauss-Jordan requer cerca de 50% mais operações que a eliminação gaussiana. Esta é uma consideração importante quando trabalhamos com computadores. Na disciplina de Métodos Numéricos estudaremos questões como esta, bem como outros métodos de resolução de sistemas lineares.
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