Determinante e MatrizInversa

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1 
Determinante e Matriz Inversa 
 
Breve Relato Histórico 
Já em 250 a.C. havia exemplos da utilização de matrizes na resolução de sistemas lineares . Na China 
antiga, já eram conhecidas algumas noções ligadas a determinantes. 
No ocidente, o assunto determinantes, só começou a ser tratado, de forma esporádica, a partir do século 
XVII, com os trabalhos de G.W. Leibniz (1646-1716), de G. Cramer (1704-1752), de C. Maclaurin (1698-1746) 
e de J.L. Lagrange (1736-1813). 
Só no século XIX passou-se a estudar determinantes com maior ênfase, iniciando com um longo tratado de 
A.L. Cauchy (1789-1857) em 1812, com seqüência nos trabalhos de C.G. Jacobi (1804-1851). 
A partir de então, o uso de determinantes difundiu-se muito e este conceito de um número associado a uma 
matriz quadrada tornou-se muito útil para caracterizar situações como a de saber se uma matriz é invertível, 
ou se um sistema admite ou não solução. 
 
Determinantes 
 
Toda matriz quadrada tem, associada a ela, um número obtido por meio de operações que envolve todos os 
elementos de uma matriz. 
 
Não existe determinante de matriz que não seja quadrada 
 
Determinante de matriz quadrada de ordem 1 
 
A=(a11) det A=a11 
A=(4) det A=4 
 
Determinante de matriz quadrada de ordem 2 
 
A=






2221
1211
aa
aa det A= a11.a22-a12.a21 
 
Exemplo: 
A=






 42
36
 
 
 
 
 
Exercício 
a) 






32
45 b) 






 64
12 
 
 
 
 
 
 
Resolução de equações lineares com duas incógnitas, utilizando determinantes (Regra de Cramer) 
 





222
111
kybxa
kybxa O sistema tem solução única, SPD, se e somente se, D≠0 (o 
determinante da matriz coeficientes) for diferente de zero,. Se o D=0, é 
preciso escalonar ou, então como o sistema é 2x2, observar as 
equações. 
 
 2 
D
D
x x
 e 
D
D
y
y

 
 
D=






22
11
ba
ba Dx=






22
11
bk
bk Dy=






22
11
ka
ka 
 
 
Exemplo; 
Resolva por determinantes 





153
732
yx
yx
 
 
 
 
 
 
Exercícios 
Resolva por determinantes 
 
a) 





42
2153
yx
yx
 b) 





1773
532
yx
yx
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Determinante de matriz quadrada de ordem 3 
 
A=










333231
232221
131211
aaa
aaa
aaa
 
 
Utilizando a regra de Sarrus, temos: 
 
det A= (a11.a22.a33) +(a12.a23.a31) + (a13.a21.a32) – (a13.a22.a31) -(a11.a23.a32) - (a12.a21.a33) 
 
Exemplo: 
Dada a matriz A=












201
202
513
 encontre det A. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 3 
Exercício 
Aplicando a regra de Sarrus, calcule os determinantes 
 
a) 












132
405
123
 b) 












132
240
153
 c) 












132
000
153
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Resolução de equações lineares com três incógnitas, utilizando determinantes (Regra de Cramer) 
 
O sistema tem solução única , se e somente se, D≠0. Se o D=0, é preciso escalonar. 
D
D
x
x1
1 
 , 
D
D
x
x2
2 
 , 
D
D
x
x3
3 
,...., 
D
D
x n
x
n 
 
 
O sistema homogêneo Ax=0, tem solução não zero, se e somente se D=0. 
 
Exemplo: 
Resolva utilizando determinantes 
a) 








432
1
32
zyx
zyx
zyx
 b)








052
02
0
zyx
zyx
zyx
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exercício 
 
Resolva usando determinante: 
 
a)
 








8253
2172
72
zyx
zyx
zyx
 
 
 
 
 
 
 
 4 
Propriedades dos determinantes 
 
 1ª Fila de zeros 
Se todos os elementos de uma linha ou coluna de uma matriz quadrada M forem iguais a zero, seu 
determinante será nulo, isto é M=0. 
 
 2ª Filas iguais 
Se os elementos correspondentes de duas linhas (ou duas colunas) de uma matriz quadrada M forem iguais, 
seu determinante será nulo, isto é, det M=0. 
M=










431
205
431
 
 
 
 3ª Filas proporcionais 
Se uma matriz M possui duas filas ou duas colunas proporcionais, seu determinante será nulo, isto é, M=0. 
 
M=






219
73
 
 
 
 
 4ª Multiplicação de uma fila por uma constante 
Se todos os elementos de uma linha (ou de uma coluna) de uma matriz quadrada são multiplicados por um 
número real K, então determinante fica multiplicado por k. 
 
M=





 
94
3521 N=





 
94
53 det N=7.det M 
 
 5ª Multiplicação da matriz por uma constante 
Se uma matriz quadrada M de ordem n é multiplicada por um número k, o seu determinante fica multiplicado 
por um número real kn, isto é: 
det (k.Mn) = K
n. det Mn 
A=






52
43 5.A = 5
2.det A 
 
 6ª Determinante da transposta 
O determinante de uma matriz M é igual ao determinante de sua transposta, isto é, det M= det (Mt). 
 
A= 






54
32 A
t=






53
42 
 
 
 
 
 7ª Troca de filas paralelas 
Se trocarmos de posição duas linhas (ou colunas) de uma matriz quadrada M, o determinante da nova matriz 
obtida é o oposto do determinante da matriz anterior. 
 
A=












987
654
321
 e B=












978
645
312
 
 
 
 
 5 
 
 
 8ª Determinante da matriz triangular 
O determinante da matriz triangular é igual ao produto dos elementos da diagonal principal. 
 
A=






20
35
 B=











413
021
005
 
 
 
 
 
 
 
 9ª Teorema de Binet 
Sendo A e B duas matrizes quadradas de mesma ordem e AB matriz produto, então det (AB) = detA. det B 
A=






15
23
 B=






43
20
 
 
 
 10ª Teorema de Jacobi 
Seja uma matriz quadrada. Se multiplicarmos todos os elementos de uma linha(ou coluna) pelo mesmo 
número e somarmos os resultados aos elementos correspondentes de outra linha (ou coluna), formando uma 
matriz B, então det A = det B (teorema de Jacobi). 
 
A=






94
52 det A= 9-20=-11 
Multiplicando a 1ª linha por -2 e somando os resultados à 2ª linha, otemos: 
B=






12
52  det B=-1-10=-11 , ou seja, det A= det B 
 
 
 11ª Determinante da matriz inversa 
 
Uma matriz Anxn é invertível (ou não singular) se existe uma matriz Bnxn tal que AB = BA = In. B é chamada de 
uma inversa de A. 
Seja A uma matriz quadrada invertível e A-1 sua inversa. Então, det A-1=
Adet
1
.adj A 
 
Essa propriedade sugere um fato importante a matriz A é invertível se e somente se det A≠0. 
 
Exemplo: 
Verifique se existe a matriz inversa, caso afirmativo, determine-a: 
a) 






32
85 b) 






46
23 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 6 
Exercícios 
1-Dentre as matrizes seguintes, cinco têm determinantes iguais a zero. Descubra quais são elas, usando as 
propriedades dos determinantes e justifique. 
 
A=














2432
3251
6693
11045
 B=











 
0476
0476
8192
6923C=













5123
0312
0041
0008
 D=













5104
6301
8602
4203
 
 
E=














7000
3000
2250
4392
 F=
















5386
2054
5213
2054
 
 
 
2-Determine, se existir, a inversa de cada uma das seguintes matrizes: 
 
A=






20
31
 B=






42
105
 C=






54
32
 D=






31
21
 
 
 
3- Se A é uma matriz de ordem 3 e det(A)=2, calcule det (5A). 
 
 
 
 
 
Menor complementar 
 
Chamamos de menor complementar relativo a um elemento aij de uma matriz M, quadrada e de ordem n>1, o 
determinante MCij , de ordem n - 1, associado à matriz obtida de M quando suprimimos a linha e a coluna que 
passam por aij . 
Vejamos como determiná-lo pelos exemplos a seguir: 
a) Dada a matriz , de ordem 2, para determinar o menor complementar relativo ao elemento 
a11(MC11), retiramos a linha 1 e a coluna 1: 
 
Da mesma forma, o menor complementar relativo ao elemento a12 é: 
 
b) Sendo , de ordem 3, temos: 
 7 
 
 
 
Cofator 
 
Chamamos de cofator ou complemento algébrico relativo a um elemento aij de uma matriz quadrada de ordem 
n o número cofAij tal que cof Aij = (-1)
i+j . MCij . 
 
Veja: 
a) Dada , os cofatores relativos aos elementos a11 e a12 da matriz M são: 
b) Sendo , vamos calcular os cofatores A22, A23 e A31: 
 
 
 
 
 
)).(1(.)1( 32133312
3332
131213
31 aaaa
aa
aa
A  
 
 
 
Teorema de Laplace 
O determinante de uma matriz quadrada M = [aij]mxn pode ser obtido pela soma dos produtos dos 
elementos de uma fila qualquer ( linha ou coluna) da matriz M pelos respectivos cofatores. 
 Assim, fixando , temos: 
 
em que é o somatório de todos os termos de índice i, variando de 1 até m, 
 
Exemplo: Seja A uma matriz de ordem 3 , A=










11101
576
532
 calculando o determinante utilizando o Teorema de 
Laplace, temos: 
Pelo Teorema de Laplace podemos escolher uma fila qualquer (linha ou coluna), assim sendo, o determinante 
calculado ao longo da primeira coluna é dado por, 
 










11101
576
532
, 










11101
576
532
, 










11101
576
532
 
 
 
 
O determinante calculado pela segunda linha é dado por: 
 
136
57
53
.)1.(1
1110
53
.)1.(6
1110
57
.)1.(2)det( 131211  A
)).(1(.)1( 31133311
3331
131122
22 aaaa
aa
aa
A  
 
)).(1(.)1( 31123211
3231
121132
23 aaaa
aa
aa
A  
 
 8 










11101
576
532
, 










11101
576
532
, 










11101
576
532
 
 
136
101
32
.)1.(5
111
52
.)1.(7
1110
53
.)1.(6)det( 3122212  A
 
 
Exemplo: 
Calcule o determinante das matrizes, utilizando o teorema de Laplace 
 
a) C=
















1201
1543
1210
7132
 b) D=















7409
2305
1123
01001
 c) F=



















21010
41550
12040
00010
24322
 
 
 
Exercício 
Calcule os seguintes determinantes: 
 
a) 














3301
0400
2105
1243
 b) 














4000
1700
1230
1511
 c) 















21111
0547
3225
1213
 
 
 
Matriz de cofatores 
A matriz de cofatores é definida como sendo a matriz cujos elementos são os cofatores dos elementos da 
matriz original, ou seja: 
Se A=














nmn
n
aa
aa
aaa
.......
.
.
.
.
.
.
.
.
...
...
1
22'2
11211
nxm então a matriz dos cofatores é dada por: 



















)(....)()(
.
.
.
.
.
.
......)()(
)(....)()(
)(
21
2221
11211
nmnn
n
acofacofacof
acofacof
acofacofacof
Acof
 
Matriz adjunta 
 9 
A matriz adjunta é definida como sendo a matriz de cofatores transposta, ou seja, adj(A) = [cof(A)
t
] 
Exemplo: 
Dada a matriz A, encontre a matriz dos cofatores de A cof(A) 






30
14
 
   
    
















21
03
2.)1(1.)1(
0.)1(3.)1(
)(
2212
2111
Acof
 
Matriz inversa 
Seja A=(aij)nXn uma matriz quadrada de ordem n≥2. Então, a matriz inversa da matriz A é determinada por 
A
-1
= 
Exemplo: 
Seja B= determine a sua inversa através da adjunta, se houver. 
 
Como det B=-1 ≠0, então a matriz B admite inversa. 





























































































432
312
111
23
21
.)1(
13
01
.)1(
12
02
.)1(
12
21
.)1(
12
01
.)1(
11
02
.)1(
12
23
.)1(
12
13
.)1(
11
12
.)1(
)(
332313
322212
312111
Bcof
 
Adj(B)= [cof(B)
t
]=
 













431
311
221
B-1=















431
311
221
.
1
1
)(.
)det(
1
Badj
B
 
 
B-1=













431
311
221
 










112
123
021
 
)(.
det
1
Aadj
A
 10 
 
Aplicações de determinantes na Geometria Analitica 
Área de um triângulo 
Para um triângulo qualquer de vértices M(xm, ym), N(xn, yn) e P(xp, yp),teremos a área A desse triângulo, 
dada por : 
A=
2
D em que D=
1
1
1
pp
nn
mm
yx
yx
yx
 
Exemplo: 
Determinar a área do triângulo cujos os vértices são E(2,5), F(0,1) e G(3,6) 
2123152
163
110
152
D
 
Logo, a área A do triângulo EFG é: A=
2
D A=
1
2
2

 
 
Condição de alinhamento de três pontos 
Três pontos M(xm, ym), N(xn, yn) e P(xp, yp),são colineares se, e somente se: 
0
1
1
1

pp
nn
mm
yx
yx
yx
 
Exemplo: 
Verifique se os pontos A (1,2), B(0,-1) e C(2,5) são ou não colineares. 
 
 
Logo, A, B e C são colineares. 
 
 
 
Obtenção da Equação da reta por meio do determinante 
Consideremos os pontos A(2,1), B(1,-1) e um ponto genérico G(x,y). Para que A, B e G 
sejam colineares, devemos ter: 
Desenvolvendo esse determinante, temos: 
x-2+y-1+x-2y=02x-y-3=0 
Essa equação representa todos os ponto G(x,y) que estão alinhados com A(2,1) e B(1,-1) e, por isso, é uma 
equação da reta AB. 
 
05241
152
110
121
D
0
111
112
1


yx
 11 
Exercícios 
Resolver o sistema 
1-Utilizando as propriedades dos determinantes encontre os seus valores e justifique. 
a)









432
010
002
 b)










100
320
986
 c)










011
963
321
 d)
















87650
43210
12111090
87650
43210
 e)












3210
0456
0032
0001
 
f)











525
353
171
 g)












624
801
312
 
2-Encontre os determinantes, assumindo que N=










ihg
fed
cba
, onde det N=4 (utilize as propriedades e 
justifique). 
a)










ihg
fed
cba 222
 b)










ihg
cba
fed
 c)













ihg
fed
cba
23
23
23
 d)










ghi
def
abc
2
2
2
 e)










icf
hbe
gad
 
3-Calcule o determinante utilizando a regra de Sarrus e o teorema de Laplace: 
a) 













212
112
321
 b)















1332
0211
0102
0135
 c)













145
011
347
 
 
4-Calcule, se existir, a inversa da matriz: 
a)






411
26 b) 






41
32 c) d)
 
5-Resolva os sistema linear utilizando Cramer 
a)








522
127
43
zyx
zyx
zyx
 b)





53
327
yx
yx c)








125
3211
254
zyx
zyx
yx
 d)








20322
124
64
zyx
zyx
zyx
 
6-Verifique se os pontos A, B e C são ou não colineares nos seguintes casos: 
a) A(1,-2), B(0,-5) e C(2,1) 
b) A(1,7), B(0,1) e C(4,3) 
c) A(1,4), B(2,5) e C(1,3) 












120
301
732










155
320
111
 12 
7-Considerando os pontos B(1,2), C(3,6) e D(7,5), calcule a área do triângulo BCD, usando determinante. 
8-Usando a condição de alinhamento por determinante, obtenha uma equação da reta que passa pelos 
pontos A e B nos seguintes casos: 
a) A (4,5) e B(1,2) b) A(2,3) e B(2,5) c) A(1,-2) e B(4,-2) 
 
9-Dada a matriz A= 
a) adj A 
b) det A 
c) A-1 
10-Sabendo que o determinante da matriz inversa é dado por det A-1=
Adet
1
, calcule o determinante da matriz 
inversa de A 
 
A= 
 
11-.Um biólogo colocou 3 espécies de bactéria (denotadas por I, II e III) em um tubo de ensaio, onde elas 
serão alimentadas por três fontes diferentes de alimentos (A, B e C). A cada dia serão colocadas no tubo 
de ensaio 2300 unidades de A, 800 unidades de B e 1500 unidades de C. Cada bactéria consome um 
certo número de unidades de cada alimento por dia, de acordo com a tabela abaixo. 
 
 Bactéria da espécie I Bactéria da espécie II Bactéria da espécie 
III 
Alimento A 2 2 4 
Alimento B 1 2 0 
Alimento C 1 3 1 
a) Encontre o sistema que equacione a tabela abaixo. 
b) Quantas bactérias de cada espécie podem coexistir no tubo de ensaio de modo a consumir todo o 
alimento? (Use somente Eliminação Gaussiana ou Regra de Cramer para resolver o problema) 
 
12- Uma florista oferece três tamanhos de arranjos de flores com rosas, margaridas e crisântemos. Cada 
arranjo pequeno contém uma rosa, três margaridas e três crisântemos. Cada arranjo médio contém duas 
rosas, quatro margaridas e seis crisântemos. Cada arranjo grande contém quatro rosas, oito margaridas 
e seis crisântemos. Um dia, a florista notou que havia usado um total de 24 rosas, 50 margaridas e 48 
crisântemos ao preparar as encomendas desses três tipos de arranjos. 
a) Monte um sistema de equações lineares que represente o problema acima. 
b) Quantos arranjos de cada tipo ela fez? Use somente uns dos métodos apresentados em sala de aula 
para resolver o problema. 
 
 
 
 
 
Por que utilizar escalonamento e não a Regra de Cramer para resolver e discutir sistemas lineares? 
 









 
315
120
312









 
321
432
105
 13 
Muitos problemas de Engenharia, Economia, Biologia, etc., costumam envolver sistemas de ordem 100 ou 
1000, por exemplo. Então nos meios computacionais prefere-se utilizar métodos numéricos iterativos, como o 
de Gauss-Seidel, que ´e estudado em disciplinas de Cálculo Numérico. 
 
imaginemos um computador capaz de efetuar um milhão de multiplicações ou divisões por segundo (1 
megaflop). R por escalonamento, um sistema 10 x 10 levaria 0; 8 milésimos de segundo para ser resolvido; 
já, por Cramer, 1 minuto e 8 segundos. 
 por escalonamento, um sistema 15 x 15 levaria 2; 5 milésimos de segundo para ser resolvido; já, por 
Cramer, 1 ano, 1 mês e 16 dias. 
 por escalonamento, um sistema 20x20 levaria 6 milésimos de segundo para ser resolvido; já, por 
Cramer, 2 milhões, 754 mil e 140 anos. R Para um sistema mil por mil, o escalonamento levaria 11 
minutos para resolvê-lo.Imagine o tempo necessário para resolver este sistema pela Regra de 
Cramer. 
Em aplicações da Álgebra Linear não é incomum encontrar sistemas lineares que precisam ser resolvidos por 
computador. A maioria dos algoritmos computacionais para resolver estes sistemas são baseados na 
eliminação gaussiana ou na eliminação de Gauss-Jordan, mas os procedimentos básicos são muitas vezes 
modificados para comportar problemas tais como: 
Redução de erros de arredondamento 
Minimização do uso de espaço de memória do computador 
 Resolução do sistema com rapidez máxima 
Fazendo os cálculos à mão, as frações constituem um aborrecimento que muitas vezes não pode ser evitado. 
Contudo, em alguns casos é possível evitar as frações variando as operações elementares sobre linhas de 
maneira correta. 
Como a eliminação de Gauss-Jordan evita o uso de substituição inversa, poderia parecer que este método é 
o mais eficiente dos dois métodos que nós consideramos. Pode ser argumentado que esta afirmação é 
verdadeira quando resolvemos manualmente sistemas pequenos, pois a eliminação de Gauss-Jordan na 
verdade envolve escrever menos. Entretanto, foi mostrado que para sistemas grandes de equações, o 
método de eliminação de Gauss-Jordan requer cerca de 50% mais operações que a eliminação gaussiana. 
Esta é uma consideração importante quando trabalhamos com computadores. 
Na disciplina de Métodos Numéricos estudaremos questões como esta, bem como outros métodos de 
resolução de sistemas lineares.