algebra linear 3

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CAPÍTULO 4
Aplicações Lineares e Adjuntas
Neste Capítulo estudamos aplicações lineares T : E → F, em que E, F são espaços
com produto interno. No caso em que E = F, uma aplicação linear T : E → E muitas
vezes é chamada de operador linear ou, simplesmente, operador.
Algumas propriedades importantes são apenas obtidas se T for contínua e os
espaços E, F forem completos. Por esse motivo, em muitos textos, aplicações lineares
contínuas T apenas são tratadas no contexto T : H1 → H2, em que H1,H2 são
espaços de Hilbert. Decidimos pela abordagem mais geral tanto para ressaltar quais
propriedades dos espaços envolvidos são necessárias como para tornar o texto mais
acessível. Além disso, se H1,H2 forem os completamentos de E e F, respectivamente,
a continuidade de T : E → F garante a existência de uma extensão linear contínua
T¯ : H1 → H2, conforme vimos no Exercício ?? do Capítulo ??.
Em muitos exemplos e aplicações importantes temos que lidar com aplicações
lineares descontínuas. Esse é um tópico mais avançado, que trataremos superficialmente
neste texto. Nesse caso, como veremos, somos naturalmente levados ao estudo de
aplicações lineares descontínuas T : D(T) ⊂ H1 → H2 entre espaços de HilbertH1,H2,
em que D(T), o domínio de T, é um subespaço denso em H1. Uma vez que D(T) é
um espaço com produto interno, também nesse caso estamos lidando com aplicações
T : E → F, em que E = D(T) é denso em seu completamento H1 e F = H2.
4.1 Exemplos
Exemplo 4.1 Seja E, F espaços com produto interno. Os exemplos mais simples de
aplicações lineares contínuas são o operador identidade I : E → E, definido por Ix = x
para todo x ∈ E e a aplicação nula 0 : E → F, definida por 0x = 0 para todo x ∈ E. ¢
Exemplo 4.2 Sejam B = {v1, . . . , vn} uma base ortonormal do espaço com produto
interno (de dimensão finita) V e T : V → V uma aplicação linear. Temos que
v = α1v1 + . . . + αnvn ⇔ αj = 〈v, vj〉 (4.1)
e já vimos que a aplicação
v 7→ [v]B =

α1
α2
...
αn
 ∈ Kn
1
2 CAPÍTULO 4. APLICAÇÕES LINEARES E ADJUNTAS
estabelece um homeomorfismo linear entre V e Kn. O vetor [v]B ∈ Kn é chamado
representação de v na base B.
A decomposição (4.1) garante que Tv = 〈Tv, v1〉v1 + . . .+ 〈Tv, vn〉vn, de modo que,
para v = α1v1 + . . . + αnvn, temos
Tv =
n
∑
i,j=1
αj〈Tvj, vi〉 vi
=

〈Tv1, v1〉 〈Tv2, v1〉 · · · 〈Tvn, v1〉
〈Tv1, v2〉 〈Tv2, v2〉 · · · 〈Tvn, v2〉
...
...
〈Tv1, vn〉 〈Tv2, vn〉 · · · 〈Tvn, vn〉


α1
α2
...
αn
 .
A matriz A = (aij), com aij = 〈Tvj, vi〉 é chamada representação de T na base B e
denotada por A = TB . ¢
Exemplo 4.3 Consideremos o espaço `0 (veja os Exemplos ?? e ??) de todas as seqüência
(xi) com xi = 0 exceto talvez para um número finito de índices. Definimos a aplicação
linear U : `0 → `0 por U(ek) = (kek), em que em que ek denota a seqüência com todos
os termos nulos, exceto o k-ésimo, que é igual a 1. (Essa é uma base de Hamel de `0.)
Claramente U é descontínua. ¢
Exemplo 4.4 Seja H um espaço de Hilbert com base (enumerável) {ei : i ∈ N} e
T : H → H uma aplicação linear contínua. Então, se x = ∑∞i=1 xiei, então
T
(
∞
∑
i=1
xiei
)
= T
(
lim
n→∞
n
∑
i=1
xiei
)
= lim
n→∞ T
(
n
∑
i=1
xiei
)
= lim
n→∞
n
∑
i=1
xi Tei =
∞
∑
i=1
xi Tei.
Não é difícil mostrar que o mesmo resultado é válido para espaços de Hilbert com
bases não enumeráveis. (Veja o Exercício 7.)
Mas o mesmo resultado não vale sem supor que T seja contínua. Consideremos, por
exemplo, uma base (enumerável) S = {ei : i ∈ N} do espaço de Hilbert H e < S >
o espaço das combinações lineares (finitas) de elementos de S .1 Definimos Sei = ei e
estendemos linearmente S a < S >. Completamos a definição de S : H → H definindo
Sx = 0, se x 6∈ < S >. É claro que S não é contínua (veja o Exercício 7) e
S
(
∞
∑
i=1
xiei
)
6=
∞
∑
i=1
xi Sei.
¢
Exemplo 4.5 Dado x = (xi) ∈ `2, definimos o operador R : `2 → `2 por
Rx = R(x1, x2, . . . , xn, . . .) = (0, x1, x2, . . . , xn, . . .).
O operador R é chamado de right shift (deslocamento à direita). Claramente temos que
〈Rx, Ry〉 =
∞
∑
i=1
xi yi = 〈x, y〉,
1No caso de H = `2, esse espaço é `0.
4.1. EXEMPLOS 3
provando que R é uma isometria (e, portanto, R é injetor). Contudo, R não é sobrejetor:
a imagem imR é formada por todas as seqüências (0, y2, . . . , yn, . . .) ∈ `2 cuja primeiro
termo é nulo. Assim, o operador R não possui inversa.
Definimos também o operador L : `2 → `2 por
Lx = L(x1, x2, . . . , xn, . . .) = (x2, x3, . . . , xn, . . .).
O operador L é chamado left shift (deslocamento à esquerda). Claramente temos que L
é sobrejetor, enquanto ker L =
{
(x1, 0, . . . , 0, . . .)
}
.
Note que LR : `2 → `2 é a aplicação identidade, apesar de R e L não serem
invertíveis.2 (Lembre-se que, se A, B são matrizes quadradas e AB possui inversa,
então tanto A quanto B possuem inversa.) ¢
Exemplo 4.6 Consideremos o espaço de Hilbert L2 = L2
(
[−pi, pi],R). Dado f ∈ L2, o
operador derivada D, dado por
D f (x) = f ′(x),
só está bem definido se f for uma função diferenciável. Assim, podemos considerar
o domínio D(D) do operador D como o subespaço C1([−pi, pi],R) ⊂ L2 de todas as
funções reais de classe C1 definidas no intervalo [−pi, pi].
O operador D : D(D) → L2 não é contínuo. De fato, se considerarmos a seqüência
fn(x) = sen nx, então
‖ fn‖L2 =
(∫ pi
−pi
sen2 nx dx
)1/2
=
√
pi.
Contudo,
‖D fn‖L2 =
(∫ pi
−pi
n2 cos2 nx dx
)1/2
= n
√
pi,
mostrando que ‖D fn‖L2 = n‖ fn‖L2 , igualdade que prova que D não é limitado. ¢
Exemplo 4.7 Seja κ : [a, b] × [a, b] → K uma função contínua e E = CL2
(
[a, b],K
)
.
Definimos o operador integral K : E → E por
K( f )(x) =
∫ b
a
κ(x, y) f (y)dy.
Decorre da desigualdade de Cauchy-Schwarz que
‖K f ‖2L2 =
∫ b
a
∣∣∣∣∫ ba κ(x, y) f (y)dy
∣∣∣∣2 dx
≤
∫ b
a
(∫ b
a
|κ(x, y)|2dy
∫ b
a
| f (y)|2dy
)
dx
≤
(∫ b
a
∫ b
a
|κ(x, y)|2dydx
)
‖ f ‖2, (4.2)
2No contexto da Mecânica Quântica, é usual chamar R e L de operadores de criação e aniquilamento,
respectivamente.
4 CAPÍTULO 4. APLICAÇÕES LINEARES E ADJUNTAS
mostrando que K f ∈ L2([a, b]).
Para x0 ∈ [a, b] fixo, decorre do Exercício ?? do Capítulo ?? que, dado e > 0, existe
δ > 0 tal que x ∈ [a, b] e ‖x − x0‖ < δ implicam |κ(x, y) − κ(x0, y)| < e, para todo
y ∈ [a, b]. Assim,
‖K f (x)− K f (x0)‖ =
∣∣∣∣∫ ba [κ(x, y)− κ(x0, y)] f (y)dy
∣∣∣∣
≤
∫ b
a
|κ(x, y)− κ(x0, y)| | f (y)| dy ≤ e
∫ b
a
| f (y)|dy,
mostrando a continuidade de K f e completando a prova que K f ∈ E.
Observe que (4.2) garante que K é um operador contínuo, com
‖K‖ ≤
(∫ b
a
∫ b
a
|κ(x, y)|2dydx
)1/2
.
Mais geralmente, note que os mesmos cálculos mostram que, se f ∈ L2([a, b],K) e se(∫ b
a
∫ b
a
|κ(x, y)|2dydx
)1/2
< ∞,
então K : L2
(
[a, b],K
)→ L2([a, b],K) é um operador contínuo.
O operador K é chamado operador integral associado ao núcleo κ(x, y) ou operador de
Hilbert-Schmidt com núcleo κ. Várias propriedades destes operadores serão apresentadas
neste texto. ¢
4.2 A Adjunta
Sejam E, F espaços com produto interno. Começamos definindo a adjunta de uma
aplicação f : E → F.
Definição 4.8 Sejam E, F espaços com produto interno e f : E → F uma aplicação. Uma
aplicação f ∗ : F → E é adjunta de f , se ela satisfizer
〈 f (x), y〉 = 〈x, f ∗(y)〉 ∀ x ∈ E, y ∈ F.
Lema 4.9 Sejam E, F espaços com produto interno e T : E → F uma aplicação linear. Se T
possuir adjunta, então essa é única. Além disso, T∗ é linear.
Demonstração: Sejam y, z ∈ F e λ ∈ K. Então,
〈x, T∗(y + λz)〉 = 〈T(x), y + λz〉 = 〈T(x), y〉+ λ¯〈T(x), z〉
= 〈x, T∗(y)〉+ 〈x, λT∗(z)〉.
Assim,
〈x, T∗(y + λz)− T∗(y)− λT∗(z)〉 = 0.
Escolhendo x = T∗(y + λz)− T∗(y)− λT∗(z), concluímos que
‖T∗(y + λz)− T∗(y)− λT∗(z)‖ = 0,
decorrendodaí a linearidade de T∗. O mesmo argumento prova sua unicidade.
(Compare com a prova do Teorema ??.) 2
Note que a demonstração apresentada independe de T ser linear!
4.2. A ADJUNTA 5
Exemplo 4.10 Sejam E = Cn e (aij), i, j = 1, . . . , n, a matriz que representa o operador
A : Cn → Cn com relação à base canônica (veja o Exemplo 4.2). Assim, aij = 〈Aej, ei〉.
Afirmamos que a representação matricial (com relação à base canônica) da adjunta
B = A∗ é a matriz adjunta de (aij). Ou seja, se bij = 〈Bej, ei〉, afirmamos que bij = aji.
De fato,
bij = 〈Bej, ei〉 = 〈ei, Bej〉 = 〈Aei, ej〉 = aji.
Esse exemplo generaliza-se facilmente para uma base ortonormal qualquer B =
{v1, . . . , vn} de um espaço com produto interno. ¢
Exemplo 4.11 Seja E um espaço com produto interno. Então a adjunta da aplicação
identidade I : E → E é a própria aplicação I. ¢
Exemplo 4.12 Consideremos os operadores R : `2 → `2 e L : `2 → `2, definidos no
Exemplo 4.5. Para x = (xn) e y = (yn) arbitrários, temos
〈Rx, y〉 =
∞
∑
n=1
xn yn+1 = 〈x, Ly〉,
de modo que podemos concluir que R∗ = L. ¢
Exemplo 4.13 Sejam E, F espaços com produto interno. Suponhamos que T : E → F
possua adjunta T∗ : F → E. Se xn ⇀ x, então Txn ⇀ Tx. De fato, para todo y ∈ H
temos
〈Txn, y〉 = 〈xn, T∗y〉 → 〈x, T∗y〉 = 〈Tx, y〉,
mostrando o afirmado. ¢
Algumas propriedades fundamentais da adjunta são dadas pela
Proposição 4.14 Sejam E, F, G espaços com produto interno, S, T : E → F e U : F → G
aplicações lineares. Suponhamos a existência de S∗, T∗ e U∗. Então vale:
(i) (S + T)∗ = S∗ + T∗;
(ii) (λT)∗ = λT∗;
(iii) (UT)∗ = T∗U∗;
(iv) (T∗)∗ = T.
Demonstração: As demonstrações são simples e muito semelhantes. Mostraremos
apenas algumas delas. Em (i), temos 〈x, (S + T)∗y〉 = 〈(S + T)x, y〉 = 〈Sx, y〉 +
〈Tx, y〉 = 〈x, S∗y〉+ 〈x, T∗y〉 = 〈x, (S∗ + T∗)y〉. A unicidade da adjunta garante então
que (S + T)∗ = S∗ + T∗.
Para mostrar (iv), notamos que
〈T∗x, y〉 = 〈y, T∗x〉 = 〈Ty, x〉 = 〈x, Ty〉. (4.3)
De novo, a unicidade da adjunta garante o afirmado. 2
Denotaremos (T∗)∗ = T∗∗.
Mas, como garantir a existência da adjunta?
6 CAPÍTULO 4. APLICAÇÕES LINEARES E ADJUNTAS
Teorema 4.15 Sejam H um espaço de Hilbert e F um espaço com produto interno. Então
sempre existe a adjunta de uma aplicação linear contínua T : H → F.
Demonstração: Para todo y ∈ F fixo, o funcional linear x 7→ 〈Tx, y〉 é contínuo, pois T
é contínua. O Teorema de Representação de Riesz garante então que existe um único
w ∈ H (dependendo de y ∈ F) tal que
〈Tx, y〉 = 〈x, w〉, ∀ x ∈ H.
Defina T∗y = w. Está assim definida, para cada y ∈ F, uma aplicação T∗ : F → H. A
linearidade de T∗, bem como sua unicidade, foram mostradas no Lema 4.9. 2
Observação 4.16 Podemos garantir a existência da adjunta de uma aplicação linear
contínua T : E → F entre espaços com produto interno?
Se E não for completo, não podemos aplicar o Teorema de Representação de Riesz
(veja o Teorema ??), passo fundamental na demonstração da existência de T∗. Mas
ainda há como remediar a situação. Consideremos os completamentos H1 e H2 dos
espaços E e F, respectivamente. A aplicação contínua T : E → F é naturalmente
identificada com a aplicação T : E → H2. Uma vez que H2 é completo e T é
contínua, podemos aplicar o Exercício ?? do Capítulo ?? e obter uma extensão contínua
T¯ : H1 → H2 de T. Essa extensão satisfaz as hipóteses do Teorema 4.15, de modo que
existe T¯∗ : H2 → H1. Assim, passando aos completamentos dos espaços envolvidos,
a existência da adjunta de T¯ está assegurada. (Note que não é suficiente restringir T¯∗
ao subespaço F para encontrar a adjunta de T; para y ∈ F, não podemos garantir que
T¯∗y ∈ E. O Exemplo 4.21 mostra que mesmo operadores contínuos T : E → E podem
não possuir adjunto.)
Outros exemplos em que não existe a adjunta T∗ de uma aplicação linear T serão
tratados nas próximas seções. ¢
A continuidade de T : E → F garante a continuidade de T∗ : F → E, se a adjunta
existir:
Proposição 4.17 Sejam E, F espaços com produto interno e T : E → F uma aplicação linear
contínua. Suponha a existência de T∗ : F → E. Então T∗ é contínua e vale
‖T‖ = ‖T∗‖ e ‖T∗T‖ = ‖TT∗‖ = ‖T‖2.
Demonstração: Seguindo o caminho trilhado na Proposição ??, decorre da
desigualdade de Cauchy-Schwarz que∣∣〈x, T∗y〉∣∣ = ∣∣〈Tx, y〉∣∣ ≤ ‖Tx‖ ‖y‖ ≤ ‖T‖ ‖x‖ ‖y‖,
de modo que, para x = T∗y, obtemos
‖T∗y‖2 ≤ ‖T‖ ‖T∗y‖ ‖y‖,
desigualdade que acarreta
‖T∗‖ ≤ ‖T‖.
Uma vez que a equação (4.3) garante que (T∗)∗ = T, a desigualdade anterior
aplicada a (T∗)∗ = T nos mostra que
‖T‖ = ‖(T∗)∗‖ ≤ ‖T∗‖,
4.2. A ADJUNTA 7
provando que ‖T‖ = ‖T∗‖.
Temos que
‖T∗T‖ ≤ ‖T∗‖ ‖T‖ = ‖T‖2.
Por outro lado,
‖Tx‖2 = 〈Tx, Tx〉 = 〈T∗Tx, x〉 ≤ ‖T∗Tx‖ ‖x‖ ≤ ‖T∗T‖ ‖x‖2,
de onde decorre que ‖T‖2 ≤ ‖T∗T‖. Assim, ‖T‖2 = ‖T∗T‖. Tomando o adjunto nesta
expressão, obtemos a segunda igualdade. 2
Podemos melhorar o resultado anterior no caso de aplicações definidas em espaços
de Hilbert:3
Teorema 4.18 SejamH um espaço de Hilbert e F um espaço com produto interno. Suponhamos
que a aplicação linear T : H → F possua adjunta T∗ : F → H. Então T∗ é contínua.
Demonstração: Caso contrário, existiria uma seqüência (yn) em F, com ‖yn‖ = 1 e
lim
n→∞ ‖T
∗yn‖ = ∞. Fixe x ∈ H. Então∣∣〈x, T∗yn〉| = ∣∣〈Tx, yn〉∣∣ ≤ ‖Tx‖ ‖yn‖ = ‖Tx‖.
Mostramos, assim, que a seqüência (T∗yn) é tal que
∣∣〈x, T∗yn〉∣∣ é limitada para todo
x ∈ H. De acordo com o Princípio da Limitação Uniforme (Teorema ??), isso significa
que ‖T∗yn‖ é limitada, uma contradição que garante que T∗ é contínua. 2
Corolário 4.19 Se T : H → F possui adjunta, então T e T∗ são contínuas.
Demonstração: Basta aplicar a Proposição 4.17 à aplicação contínua T∗ : E → H e sua
adjunta T∗∗ = T. 2
Note que, combinando com o Teorema 4.15, T : H → E possui adjunta se, e somente
se, T for contínua.
Voltemos agora à situação da Observação 4.16 e consideremos aplicações lineares
T : E → F entre espaços com produto interno.
Exemplo 4.20 Consideremos o subespaço de CL2([−pi, pi],R) definido por
E =
{
f ∈ C∞L2
(
[−pi, pi],R) : supp f ⊂ (−pi, pi)},
isto é, o conjunto de todas as funções f : [−pi, pi]→ R de classe C∞ que satisfazem
supp f = {x ∈ [−pi, pi] : f (x) 6= 0} ⊂ (−pi, pi).
Consideramos a aplicação linear derivada D, já abordada no Exemplo 4.6, como
operador no espaço E. O Exercício 9 pede que se mostre que D f ∈ E para todo f ∈ E e
que o operador D : E → E não é limitado.
Vamos mostrar que o operador D : E → E possui adjunto. De fato, integração por
partes mostra que
〈D f , g〉 =
∫ pi
−pi
f ′(x) g(x) dx = f (x)g(x)
∣∣∣x=pi
x=−pi
−
∫ pi
−pi
f (x) g′(x) dx
= 〈 f ,−Dg〉.
3Note que não estamos supondo que T seja contínua. Compare com o Teorema 4.15.
8 CAPÍTULO 4. APLICAÇÕES LINEARES E ADJUNTAS
Isso mostra que o adjunto de D : E → E é o operador −D : E → E, dado por
Dg = −g′. ¢
Assim, existem aplicações lineares descontínuas T : E → F que possuem adjunta
T∗ : F → E. Por outro lado, existem aplicações contínuas que não possuem adjunta:
Exemplo 4.21 Consideremos o subespaço `0 ⊂ `2 (apresentado nos Exemplos ??, ??
e 4.3) de todas as seqüência (xi) com xi = 0 exceto talvez para um número finito de
índices. Temos que {e1, . . . , en, . . .} é uma base (de Hamel e também ortonormal) de
`0, em que ek é a seqüência cujo k-ésimo elemento é igual a 1, os restantes sendo todos
nulos.
Defina a aplicação linear T : `0 → `0 por Tek = 1k2 e1, para todo k ∈ N. (Assim, a
imagem de T é unidimensional.)
Temos que T é contínua. De fato, para todo x = ∑Nk=1 xkek (em que N é o maior
índice tal que xk 6= 0), então ‖x‖`2 = 1 se, e somente se, ∑Nk=1 |xk|2 = 1. Assim,
Tx =
N
∑
k=1
xkTek =
N
∑
k=1
xk
k2
e1,
de modo que
‖Tx‖`2 =
(∣∣∣∣∣ N∑k=1 xkk2
∣∣∣∣∣
)2
≤
(
N
∑
k=1
|xk|
k2
)2
< ∞.
Consideremos a extensão contínua T¯ : `2 → `2 de T. (Veja o Exercício ?? do Capítulo
??. Qual é a expressão de T¯?) Então
〈T¯ek, e1〉= 1k ⇒ T¯
∗e1 =
∞
∑
k=1
ek
k
.
Como T¯∗ei 6∈ `0, concluímos que T : `0 → `0 não possui adjunta. ¢
Lema 4.22 Seja R, S subconjuntos quaisquer do espaço com produto interno E. Então
(i) S⊥ é um subespaço fechado de E;
(ii) R ⊂ S implica S⊥ ⊂ R⊥;
(iii) S⊥ =
(
< S >
)⊥;
(iv) < S > ⊂ S⊥⊥ = (S⊥)⊥.
Se E for um espaço de Hilbert, então
(v) < S > = S⊥⊥; em particular, se S for um subespaço, S = S⊥⊥.
Demonstração: Se u ∈ S, x1, x2 ∈ S⊥ e α ∈ K, então 0 = α〈x1, u〉 + 〈x2, u〉 =
〈αx1 + x2, u〉, mostrando que αx1 + x2 ∈ S⊥. Se x ∈ S⊥, então existe xn ∈ S⊥ tal
que xn → x. Então, para todo u ∈ S, temos 0 = 〈xn, u〉, de modo que 〈x, u〉 =
〈limn→∞ xn, u〉 = limn→∞〈xn, u〉 = 0, mostrando que x ∈ S⊥ e provando (i).
Tome y ∈ S⊥; então 〈y, u〉 = 0 para todo u ∈ S e, em particular, para todo u ∈ R.
Assim, y ∈ R⊥, mostrando (ii).
4.2. A ADJUNTA 9
Temos S ⊂ < S > ⊂ < S >; aplicando (ii), vem (< S >)⊥ ⊂ S⊥. Se x ⊥ S, então
x ⊥ < S > e, portanto x ⊥ < S > (de acordo com a prova de (i)), de modo que
S⊥ ⊂ (< S >)⊥, o que completa a prova de (iii).
Se x ∈ S, então existe (xn) ∈ S tal que xn → x. Assim, 〈xn, u〉 = 0 para todo u ∈ S⊥.
Daí decorre que 〈u, x〉 = 0 para todo u ∈ S⊥, o que implica que x ∈ S⊥⊥ e mostra (iv).
Seja E for um espaço de Hilbert. Pelo Teorema ?? e pelo item (iii) temos a
decomposição E = < S >⊕ S⊥. Se x ∈ S⊥⊥ \< S >, então x ∈ S⊥. Mas E = S⊥⊕ S⊥⊥,
o que implica x = 0, absurdo, pois 0 ∈ < S >. O item (v) está provado. 2
Proposição 4.23 Sejam E, F espaços com produto interno e T : E → F uma aplicação linear.
Suponhamos a existência de T∗ : F → E e, para subespaços M1 ⊂ E e M2 ⊂ F, que
T(M1) ⊂ M2. Então T∗(M⊥2 ) ⊂ M⊥1 .
Demonstração: Se x ∈ T∗(M⊥2 ), então existe y ∈ M⊥2 tal que T∗y = x. Assim, se
m1 ∈ M1, então
〈m1, x〉 = 〈m1, T∗y〉 = 〈Tm1, y〉 = 0,
pois T(M1) ⊂ M2 e y ∈ M⊥2 . Logo, x ∈ M⊥1 , mostrando o afirmado. 2
Teorema 4.24 Sejam E, F espaços com produto interno e T : E → F uma aplicação linear.
Suponhamos a existência de T∗. Então:
(i) ker T∗ = (imT)⊥;
(ii) ker T = (imT∗)⊥;
(iii) imT ⊂ (ker T∗)⊥. Se F for um espaço de Hilbert, vale a igualdade;
(iv) imT∗ ⊂ (ker T)⊥. Se E for um espaço de Hilbert, vale a igualdade.
(Admitida a existência de T∗, note que (i) e (ii) mostram que ker T e ker T∗ são
subconjuntos fechados, mesmo que T não seja contínua!)
Demonstração: Mostramos a afirmação (i) da seguinte maneira:
y ∈ ker T∗ ⇔ T∗y = 0 ⇔ 〈x, T∗y〉 = 0 ∀ x ∈ E ⇔ 〈Tx, y〉 = 0 ∀ x ∈ E
⇔ y ∈ (imT)⊥.
Do mesmo modo mostra-se (ii).
De (i) decorre (ker T∗)⊥ = (imT)⊥⊥. O Lema 4.22 garante que imT ⊂ (imT)⊥⊥, a
igualdade sendo válida no caso de F ser um espaço de Hilbert.
A demonstração de (iv) é análoga. 2
Corolário 4.25 Sejam H um espaço de Hilbert e F um espaço com produto interno. Se a
aplicação linear T : H → F for contínua, então vale a decomposição ortogonal
H = ker T ⊕ imT∗.
10 CAPÍTULO 4. APLICAÇÕES LINEARES E ADJUNTAS
Demonstração: O Teorema 4.15 garante a existência de T∗. Uma vez que ker T é
fechado, vale a decomposição ortogonal H = ker T⊕ (ker T)⊥. Como ker T⊥ = imT∗,
o resultado está demonstrado. 2
A demonstração do próximo resultado é completamente análoga à do resultado
anterior. Note que a existência de T∗ implica a continuidade de T e T∗, pela Proposição
4.17.
Corolário 4.26 Sejam E um espaço com produto interno,H um espaço de Hilbert e T : E → H
uma aplicação linear. Suponhamos a existência de T∗ : H → E. Então vale a decomposição
ortogonal
H = ker T∗ ⊕ imT.
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H2
�
ker T �
im T
Figura 4.1: Uma aplicação linear contínua T : H1 → H2 entre espaços de Hilbert
decompõe o domínio e a imagem de T. Os espaços ker T∗ e ker T nem sempre são
isomorfos.
Exemplo 4.27 Consideremos os operadores R, L : `2 → `2 definidos no Exemplo 4.5.
Temos que ker R = {0}, imL = `2, ker L = {(x1, 0, . . . , 0, . . .) ∈ `2}, (ker L)⊥ = imR e
R∗ = L. Note que ker R e ker L não são isomorfos. ¢
4.3 Operadores e Adjuntos
No caso especial de operadores, podemos complementar a Proposição 4.14. Valem
os seguintes resultados:
Proposição 4.28 Seja E um espaço com produto interno. Suponhamos a existência do adjunto
T∗ do operador T : E → E. Então:
(i) se existir (T−1)∗ ou (T∗)−1, então (T−1)∗ = (T∗)−1;
(ii) se F ⊂ E for um subespaço invariante por T e T∗, então F⊥ é invariante por T e T∗ e
(T|F)∗ = T∗|F.
4.3. OPERADORES E ADJUNTOS 11
Demonstração: Suponhamos a existência de (T−1)∗. Para provar (i), basta notar
que T−1T = I = TT−1 implica, como conseqüência da Proposição 4.14 (iii), que
T∗(T−1)∗ = I = (T−1)∗T∗. O caso em que existe (T∗)−1 é análogo.
Para mostrar (ii), notamos que a Proposição 4.23 garante que F⊥ é invariante por
T∗, pois F é invariante por T. Mas F invariante por T∗ implica que F⊥ é invariante por
T∗∗ = T. Seja S = T|F. Então, se x, y ∈ F, temos 〈Sx, y〉 = 〈Tx, y〉 = 〈x, T∗y〉. Isso
mostra que S∗ = T∗|F, completando a prova de (ii). 2
Definição 4.29 Sejam E um espaço com produto interno e T : E → E um operador linear.
Suponhamos a existência de T∗. Dizemos que
(i) T é unitário, se T∗T = TT∗ = I;
(ii) T é simétrico, se T∗ = T;
(iii) T é anti-simétrico, se T∗ = −T;
(iv) T é normal, se T∗T = TT∗.
Operadores unitários também são chamados de ortogonais (especialmente no caso
em que E for um espaço real), enquanto operadores simétricos também são chamados
de hermitianos, essa denominação sendo mais empregada no caso de E ser um espaço
complexo. Por esse motivo, a denominação anti-hermitiano também é utilizada para
um operador anti-simétrico. Operadores simétricos, anti-simétricos e unitários são
sempre normais, como pode-se verificar facilmente.
Observação 4.30 É importante ressaltar que a denominação auto-adjunto não pode ser
indistintamente aplicada a um operador simétrico. Trataremos de operadores auto-
adjuntos na Seção 4.4. ¢
Teorema 4.31 Seja E um espaço com produto interno. Suponha que exista o adjunto do
operador T : E → E. Então
(i) T é uma isometria se, e somente se, T∗T = I;
(ii) T é unitário se, e somente se, T e T∗ forem isometrias.
Demonstração: Para todos x, y ∈ E, temos
〈Tx, Ty〉 = 〈x, y〉 ⇔ 〈T∗Tx, y〉 = 〈x, y〉 ⇔ T∗T = I,
mostrando (i), de acordo com a Proposição ??. Daí e da definição de um operador
unitário decorre que T e T∗ são isometrias. 2
Corolário 4.32 Seja E um espaço com produto interno e T : E → E uma isometria.4 Suponha
que exista T∗. Então ‖T‖ = 1. Em particular, todo operador unitário T : E → E satisfaz
‖T‖ = 1.
4Observe que uma isometria é sempre contínua.
12 CAPÍTULO 4. APLICAÇÕES LINEARES E ADJUNTAS
Demonstração: Se T for uma isometria e T∗ existir, a Proposição 4.17 garante que
‖T‖2 = ‖T∗T‖ = ‖I‖ = 1,
resultado que é válido, em particular, para um operador unitário. 2
Exemplo 4.33 Podemos ter que um operador seja uma isometria, mesmo não sendo
unitário. Um exemplo simples é o operador right shift R : `2 → `2, definido no Exemplo
4.5. Vimos que R∗ = L e LR = I; contudo, não vale RL = I. ¢
O significado de TT∗ no caso de uma isometria que não é unitária T : E → E é dado
pelo Exercício 28.
Proposição 4.34 Sejam E um espaço com produto interno e T : E → E uma isometria
sobrejetora. Então T é um operador unitário e T∗ = T−1.
Demonstração: Basta notar que, como T é uma isometria, vale
〈Tx, y〉 = 〈Tx, TT−1y〉 = 〈Tx, T(T−1y)〉 = 〈x, T−1y〉. 2
Agora vamos estudar algumas
propriedades de operadores simétricos. Começamos com o seguinte resultado, que
justifica a denominação de hermitiano para um operador simétrico:
Teorema 4.35 Sejam E um espaço com produto interno e T : E → E um operador. Então as
seguintes afirmações são equivalentes:
(i) T é simétrico;
(ii) a forma sesquilinear B : E× E → K definida por B(x, y) = 〈Tx, y〉 éhermitiana;
Se o espaço E for complexo, essas condições são equivalentes a
(iii) a forma quadrática qB, dada por qB(x) = 〈Tx, x〉, é uma função real.
Se o operador T : E → E for simétrico e contínuo, vale
‖T‖ = ‖qB‖ := sup
‖x‖=1
|B(x, x)| = sup
‖x‖=1
∣∣〈Tx, x〉∣∣,
em que a segunda igualdade define ‖qB‖.
Demonstração: Para verificar que as condições (i) e (ii) são equivalentes, basta notar
que
B(x, y) = B(y, x) ⇔ 〈Tx, y〉 = 〈Ty, x〉 ⇔ 〈Tx, y〉 = 〈x, Ty〉.
Suponhamos agora que E seja um espaço complexo. Se B for hermitiana, então
qB(x) = B(x, x) = B(x, x) = qB(x),
mostrando que qB(x) ∈ R. Para mostrar a recíproca, partimos da identidade
B(y, x) =
1
4
[qB(y + x)− qB(y− x)] + i4 [qB(y + ix)− qB(y− ix)], (4.4)
4.3. OPERADORES E ADJUNTOS 13
que é facilmente verificada ao se desenvolver o lado direito da igualdade. (Essa
identidade (também) é conhecida como identidade de polarização.) Uma vez que qB(x) =
qB(−x) = qB(ix) = qB(−ix), temos
B(y, x) =
1
4
[qB(x + y)− qB(x− y)] + i4 [qB(x− iy)− qB(x + iy)]
=
1
4
[qB(x + y)− qB(x− y)]− i4 [qB(x + iy)− qB(x− iy)]
= B(x, y),
a última igualdade sendo verdadeira porque qB(x) ∈ R para todo x ∈ E. Verificamos,
assim, (ii).
Se ‖x‖ = 1 = ‖y‖, a identidade (4.4) garante que5
|Re B(x, y)| ≤ 1
4
[|qB(x + y)|+ |qB(x− y)|]
≤ 1
4
‖qB‖
[‖x + y‖2 + ‖x− y‖2]
=
1
2
‖qB‖
[‖x‖2 + ‖y‖2]
= ‖qB‖. (4.6)
(O fundamento desse procedimento é a utilização da identidade do paralelogramo (??),
válida apenas se o produto interno gerar a norma ‖ · ‖. Note que, tomando o supremo
com ‖x‖ = 1 = ‖y‖, provamos o caso em que B é bilinear.)
Se B(x, y) ∈ C, escrevemos sua forma polar: B(x, y) = reiθ . Definindo α = e−iθ ,
obtemos
αB(x, y) = r = |B(x, y)|.
Para ‖x‖ = 1 = ‖y‖, decorre então de (4.6) que
‖qB‖ ≥
∣∣Re B(αx, y)∣∣ = ∣∣Re αB(x, y)∣∣ = |B(x, y)|.
Consequentemente, em qualquer caso temos que
‖qB‖ ≥ sup
‖x‖=1=‖y‖
|B(x, y)| = ‖B‖.
2
Exemplo 4.36 Sejam E = CL2
(
[a, b],K
)
e h : [a, b] → R uma função contínua.
Consideremos o operador de multiplicação T : E → E definido por
(T f )(x) = h(x) f (x).
Note que ‖T f ‖ ≤ maxx∈[a,b] |h(x)| ‖ f ‖ e que T f é função contínua.
5No caso real, a identidade
B(y, x) =
1
4
[qB(x + y)− qB(x− y)] (4.5)
é válida apenas se B(x, y) = B(y, x) for simétrica. Verifique! No caso complexo, estamos usando que
qB(x) ∈ R.
14 CAPÍTULO 4. APLICAÇÕES LINEARES E ADJUNTAS
Uma vez que
〈T f , g〉 =
∫ b
a
h(x) f (x)g(x) dx =
∫ b
a
f (x)h(x)g(x) dx = 〈 f , Tg〉,
vemos que T∗ existe e que T é simétrico. É fácil verificar que T possui extensão contínua
T¯ : L2
(
[a, b],K
)→ L2([a, b],K). ¢
Exemplo 4.37 (Continuação do Exemplo 4.7) Se E = CL2([a, b],K), consideremos o
operador integral K : E → E dado por
K( f )(x) =
∫ b
a
k(x, y) f (y)dy,
em que seu núcleo k : [a, b]× [a, b] → K é uma função contínua. Já mostramos que K é
um operador limitado.
Aplicando o Teorema de Fubini (citação em livro que não usa medida!!), temos que
〈K f , g〉 =
∫ b
a
(∫ b
a
κ(x, y) f (y)dy
)
g(x)dx
=
∫ b
a
f (y)
(∫ b
a
κ(x, y)g(x)dx
)
dy
=
∫ b
a
f (y)
(∫ b
a
κ(x, y)g(x)dx
)
dy = 〈 f , K∗g〉.
Isso mostra que K possui adjunto K∗ : E → E dado por
K∗( f )(y) =
∫ b
a
κ(x, y) f (x)dx.
Em particular, o operador K é simétrico se, e somente se, seu núcleo κ(x, y) satisfizer
κ(x, y) = κ(y, x). ¢
Exemplo 4.38 Se T : E → E um operador no espaço com produto interno E. Suponha
que T∗ exista. Então os operadores T1 = T + T∗ e T2 = T∗T são simétricos. De fato,
para x, y ∈ E vale
〈T1x, y〉 = 〈(T + T∗)x, y〉 = 〈x, (T + T∗)∗y〉 = 〈x, T1y〉
e
〈T2x, y〉 = 〈(T∗T)x, y〉 = 〈Tx, Ty〉 = 〈x, T∗Ty〉 = 〈x, T2y〉,
provando o afirmado. ¢
Exemplo 4.39 Consideremos o espaço E de todas as funções f : R → C de classe C∞
tais que limx→±∞ f (k)(x) = 0 (com k = 0, 1, 2, . . .) e que satisfazem
‖ f ‖L2 =
(∫ ∞
−∞
| f (x)|2dx
)1/2
< ∞.
4.3. OPERADORES E ADJUNTOS 15
É fácil verificar que E é um espaço com produto interno se definirmos
〈 f , g〉 =
∫ ∞
−∞
f (x)g(x) dx.
Consideremos o operador S : E → E definido por
S f = i f ′.
Integrando por partes, temos:
〈S f , g〉 =
∫ ∞
−∞
(
i f ′(x)
)
g(x) dx =
∫ ∞
−∞
f (x)
(
ig′(x)
)
dx = 〈 f , Sg〉,
de modo que S é um operador simétrico. ¢
Agora passamos a considerar alguns exemplos e propriedades de operadores anti-
simétricos.
Se E for um espaço complexo, decorre da Identidade de Polarização (4.4) que um
operador T : E → E satisfaz 〈Tx, x〉 = 0 para todo x ∈ E se, e somente se, T ≡ 0. Mas,
e se o operador contínuo T : E → E estiver definido sobre um espaço real E?
Exemplo 4.40 Consideremos E = R2 e T : R2 → R2 definida por
T =
(
0 −1
1 0
)
.
Temos qB(x) = 〈x, Tx〉 = 〈Tx, x〉 ≡ 0, mas T não é identicamente nulo. Compare
com o Teorema 4.35. ¢
Teorema 4.41 Sejam E um espaço real com produto interno e T : E → E um operador que
possua adjunto T∗ : E → E. Então 〈Tx, x〉 = 0 para todo x ∈ E se, e somente se, T for
anti-simétrico.
Demonstração: Suponhamos que 〈Tx, x〉 = 0 para todo x ∈ E. Então
0 = 〈T(x + y), x + y〉
= 〈Tx, y〉+ 〈Ty, x〉 = 〈Tx, y〉+ 〈x, Ty〉 = 〈Tx, y〉+ 〈T∗x, y〉.
Assim,
0 = 〈Tx, y〉+ 〈T∗x, y〉 = 〈(T + T∗)x, y〉 ∀ x, y ∈ E.
Tomando y = (T + T∗)x, daí decorre imediatamente que T = −T∗.
Reciprocamente, se T = −T∗, então
〈Tx, x〉 = 〈x, T∗x〉 = −〈x, Tx〉 = −〈Tx, x〉,
provando o afirmado. 2
16 CAPÍTULO 4. APLICAÇÕES LINEARES E ADJUNTAS
Verifique o Teorema 4.41 no caso de E = C∞L2,0(R,R) e o operador definido no
Exemplo 4.20. Uma caracterização de operadores anti-simétricos em espaços complexos
é dada no comentário após o Teorema 4.45.
Exemplo 4.42 Seja E um espaço complexo com produto interno e T : E → E um
operador simétrico. Defina S = iT. Então
〈Sx, y〉 = i〈Tx, y〉 = i〈x, Ty〉 = 〈x,−iTy〉 = 〈x,−Sy〉,
de onde obtemos que S∗ = −S. ¢
Apresentamos agora algumas propriedades de operadores normais. Lembramos
que operadores unitários, simétricos e anti-simétricos sempre são operadores normais.
Teorema 4.43 Seja N : E → E um operador normal no espaço com produto interno E. Então:
(i) ‖Nx‖ = ‖N∗x‖ para todo x ∈ E; reciprocamente, se essa igualdade for válida para todo
x ∈ E, então N é normal;
(ii) se N for contínuo e E = H, em queH é um espaço de Hilbert, então N∗ = UN = NU,
em que U é unitário. Em particular, imN = imN∗ e vale a decomposição ortogonal
H = ker N ⊕ imN.
Demonstração: Suponhamos que N seja normal. Então
‖Nx‖2 = 〈Nx, Nx〉 = 〈N∗Nx, x〉 = 〈NN∗x, x〉 = 〈N∗x, N∗x〉 = ‖N∗x‖2.
Reciprocamente, de ‖Nx‖ = ‖N∗x‖ obtemos (como acima)
〈N∗Nx, x〉 = 〈NN∗x, x〉 ⇒ 〈(N∗N − NN∗)x, x〉 = 0 ∀ x ∈ E.
Como NN∗ − N∗N é simétrico, do Teorema 4.35 inferimos que N∗N − NN∗ = 0,
provando (i).
Suponhamos que N : H → H seja contínuo. Defina V : imN → imN∗ por
V(Nx) = N∗x. De acordo com o que provamos em (i), V é uma isometria e, portanto,
injetora. Uma vez que imN∗ é um subespaço completo deH, o Exercício ?? do Capítulo
?? garante que podemos estender V a uma isometria V¯ : imN → imN∗.
Como (i) implica que ker N∗ = ker N, o Teorema 4.24 garante que
ker N ⊕ imN = H = ker N ⊕ imN∗. (4.7)
Daí decorre que V¯ : imN → imN∗ é uma aplicação sobrejetora.
Definimos agora U : imN ⊕ ker N → imN∗ ⊕ ker N∗ por
U(x1 + x2) = V¯x1 + x2.
Como a decomposição (4.7) é ortogonal, temos que U preserva norma sendo, portanto,
uma isometria. Como V¯ é sobrejetora, U é sobrejetora. A Proposição 4.34 implica,
então, que U é um operador unitário. Se x ∈ E, então UNx = V(Nx) = N∗x, provando
que N∗ = UN. Como U é unitário, a relação N∗ = UN mostra que imN∗ = imN.
Tomando o adjunto na igualdade N∗ = UN, obtemos N = (UN)∗ = N∗U∗.
Multiplicando por U, vem NU = N∗U∗U = N∗, pois U é uma isometria. Provamos
assim que NU = UN. 2
4.4. APLICAÇÕES DESCONTÍNUAS 17
Corolário 4.44 Se T : E → E for um operador normal, então ‖T2‖ = ‖T‖2.Demonstração: Seja x = Ty. Então, ‖T2y‖ = ‖T(Ty)‖ = ‖T∗(Ty)‖ para todo y ∈ E, de
modo que ‖T2‖ = ‖T∗T‖. O resultado decorre da Proposição 4.17. 2
Teorema 4.45 Seja T : E → E um operador no espaço com produto interno E. Suponhamos
que E seja um espaço complexo e que exista T∗. Então
(i) existem únicos operadores T1, T2 : E → E, simétricos, tais que
T = T1 + iT2.
Além disso, T∗ = T1 − iT2;
(ii) o operador T é normal se, e somente se, T1T2 = T2T1.
Demonstração: Defina T1 = (T + T∗)/2 e T2 = (T − T∗)/(2i). Claramente T1 e T2 são
simétricos e T = T1 + iT2. Se T = A + iB com A e B auto-adjuntos, então T∗ = A− iB.
Daí decorre T + T∗ = 2A e T − T∗ = 2iB, de onde decorre a unicidade de T1 e T2.
Uma vez que
T∗T = T21 + T
2
2 + i(T1T2 − T2T1)
e
TT∗ = T21 + T
2
2 − i(T1T2 − T2T1),
se T for normal, concluímos que T1T2− T2T1 = 0. Reciprocamente, as expressões acima
garantem que TT∗ = T∗T, se T1 e T2 comutarem. 2
Assim, se E for um espaço complexo com produto interno e se existir o adjunto do
operador T : E → E, concluímos que T2 = 0, se T for simétrico. Por outro lado, se T for
um operador anti-simétrico, então T1 = 0, resultado que complementa o Teorema 4.41.
4.4 Aplicações Descontínuas
Como vimos, aplicações contínuas T : E → F entre espaços com produto interno
são satisfatoriamente tratadas no contexto T : H1 → H2, em que H1,H2 são os
completamentos dos espaços E e F, respectivamente. Nesse contexto, o Teorema de
Representação de Riesz sempre garante a existência da adjunta T∗ : H2 → H1. (Veja
também a Observação 4.16.)
Por outro lado, já mostramos que aplicações descontínuas T : E → F nem sempre
possuem adjunta T∗ : F → E. Para contornar essa situação, reduzimos os domínios das
aplicações envolvidas, agora subespaços de espaços de Hilbert:
Definição 4.46 Sejam H1,H2 espaços de Hilbert e T : D(T) → H2 uma aplicação linear
definida no subespaço D(T) ⊂ H1. Definimos D(T∗) como o conjunto de todos os pontos
y ∈ H2 tais que
〈Tx, y〉 = 〈x, uy〉
para algum uy ∈ H1 e todo x ∈ D(T).
18 CAPÍTULO 4. APLICAÇÕES LINEARES E ADJUNTAS
É imediato que y = 0 ∈ D(T∗) (com u0 = 0) e que D(T∗) é um subespaço de
H2. Observe que, dada uma aplicação T : E → F entre espaços com produto interno,
sempre podemos considerar os completamentos H1,H2 de E e F, respectivamente, e
considerar D(T) = E.
Lema 4.47 Sejam H1,H2 espaços de Hilbert e T : D(T) → H2 uma aplicação linear definida
no subespaço D(T) ⊂ H1. Para cada y ∈ D(T∗) está associado um único uy ∈ H1 se, e
somente se, D(T) for denso em H1.
Demonstração: Suponhamos que D(T) seja denso em H1 e que 〈x, u〉 = 〈Tx, y〉 =
〈x, u˜〉 para y ∈ D(T∗) e u, u˜ ∈ H2 e todo x ∈ D(T). Então 〈x, u− u˜〉 = 0. Isso quer
dizer que u − u˜ ∈ [D(T)]⊥. Daí decorre que u − u˜ ∈ [D(T)]⊥ = H⊥1 = {0}, o que
implica u = u˜.
Por outro lado, se D(T) 6= H1, então existe 0 6= z ∈ [D(T)]⊥. Logo u + z 6= u e
〈Tx, y〉 = 〈x, u〉 = 〈x, u + z〉. 2
Definição 4.48 Sejam H1,H2 espaços de Hilbert e T : D(T) → H2 uma aplicação linear
definida no subespaço denso D(T) ⊂ H1. Definimos a adjunta de T, T∗ : D(T∗) → H1 por
T∗y = uy, em que uy é o único ponto em H1 tal que 〈Tx, y〉 = 〈x, uy〉 para todo x ∈ D(T).
Assim,
〈Tx, y〉 = 〈x, T∗y〉, ∀ x ∈ D(T), ∀ y ∈ D(T∗). (4.8)
Elucidamos as Definições 4.46 e 4.48 ao oferecermos um tratamento alternativo: o
domínio D(T∗) pode ser entendido como o conjunto do pontos y tais que fy(x) =
〈Tx, y〉 é um funcional linear contínuo; como esse funcional está definido no subespaço
denso D(T) ⊂ H1, ele possui uma extensão contínua f¯y : H1 → K. Pelo Teorema de
Representação de Riesz, existe um único elemento uy ∈ H1 tal que f¯y(x) = 〈x, u〉. O
operador T∗ é definido por T∗y = uy.
Lema 4.49 A aplicação T∗ : D(T∗)→ H1 é linear.
Demonstração: Claramente vale, para todos x ∈ D(T), y1, y2 ∈ D(T∗) e α ∈ K,
〈x, T∗(y1 + αy2)〉 = 〈Tx, y1 + αy2〉 = 〈Tx, y1〉+ α¯〈Tx, y2〉
= 〈x, T∗y1〉+ α¯〈x, T∗y2〉
= 〈x, T∗y1 + αT∗y2〉.
A unicidadade de T∗(y1 + αy2) garante o afirmado. 2
Observação 4.50 Note que, diferentemente da demonstração do Lema 4.9, não
podemos tomar x = T∗(y1 + αy2) − T∗y1 − αT∗y2 para concluir a linearidade de T∗,
pois não sabemos se esse ponto pertence a D(T). ¢
Observação 4.51 Observe que a definição de T∗ introduz uma assimetria no
comportamento de T e T∗: o domínio de T∗ é o maior conjunto de pontos y ∈ H2
tais que 〈Tx, y〉 = 〈x, T∗y〉 para todo x ∈ D(T). Mas, considerada a aplicação linear
T∗ : D(T∗) → H1, podem existir pontos x ∈ H1 \ D(T) tais que 〈x, T∗y〉 = 〈v, y〉 para
algum v ∈ H2. Como antes, a unicidade de v depende do domínioD(T∗) ser denso em
H2. ¢
4.4. APLICAÇÕES DESCONTÍNUAS 19
Definição 4.52 Sejam H1,H2 espaços de Hilbert, D(T),D(S) subespaços densos de H1.
Dizemos que S é uma extensão de T, denotado T ⊂ S, se D(T) ⊂ D(S) e Tx = Sx para
todo x ∈ D(T).
Ao considerarmos a soma S+ T ou a composta UT de aplicações lineares, devemos
ter em mente onde elas estão definidas. Por exemplo, o domínio de S + T é D(S) ∩
D(T), enquanto o domínio de UT é {x ∈ D(T) : Tx ∈ D(U)}.
Proposição 4.53 SejamH1,H2,H3 espaços de Hilbert,D(T),D(S) subespaços densos deH1
e T : D(T)→ H2, S : D(S)→ H2 aplicações lineares. Então vale:
(i) (αT)∗ = α¯T∗ e (T + αI)∗ = T∗ + α¯I para todo α ∈ K;
(ii) T ⊂ S implica S∗ ⊂ T∗;
(iii) T∗ + S∗ ⊂ (T + S)∗, com D(T + S) = D(T) ∩ D(S) e D(T∗ + S∗) = D(T∗) ∩
D(S∗);
(iv) Se D(T∗) = H2, então T ⊂ (T∗)∗ = T∗∗.
Se D(U) for um subespaço denso em H2 e U : D(U)→ H3 for linear, então
(v) T∗U∗ ⊂ (UT)∗.
Apesar de serem semelhantes, apresentaremos a prova de todos os itens desse resultado.
Demonstração: Para x ∈ D(T), y ∈ D(T∗) e α ∈ K temos 〈αTx, y〉 = 〈x, α¯T∗y〉. A unicidade de
(αT)∗ garante que (αT)∗ = α¯T∗. Além disso, 〈x, (T + αI)∗y〉 = 〈(T + αI)x, y〉 = 〈Tx, y〉 + 〈αIx, y〉 =
〈x, T∗y〉+ 〈x, α¯Iy〉 = 〈x, T∗y + α¯Iy〉, completando a prova de (i).
Uma vez que 〈Sx, y〉 = 〈x, S∗y〉 para quaisquer x ∈ D(S) e y ∈ D(S∗), como S é uma extensão de T,
vale 〈Tx, y〉 = 〈x, S∗y〉 para todo x ∈ D(T) e para todo y ∈ D(S∗). Isso implica que D(S∗) ⊂ D(T∗) e
S∗y = T∗y para todo y ∈ D(S∗), mostrando (ii).
Da mesma forma, como 〈T∗y, x〉 = 〈y, Tx〉 para quaisquer y ∈ D(T∗) e x ∈ D(T), temos que
D(T) ⊂ D(T∗∗) e T∗∗x = Tx para todo x ∈ D(T), mostrando (iv).
Para x ∈ D(T + S) = D(T) ∩D(S) e y ∈ D(T∗ + S∗) = D(T∗) ∩D(S∗), temos
〈(T + S)x, y〉 = 〈Tx, y〉+ 〈Sx, y〉 = 〈x, T∗y〉+ 〈x, S∗y〉 = 〈x, (T∗ + S∗)y〉.
Isso quer dizer que y ∈ D((T + S)∗) e (T + S)∗y = T∗y + S∗y, mostrando (iii).
Sejam x ∈ D(UT) e y ∈ D(T∗U∗). Como x ∈ D(T) e U∗y ∈ D(T∗), temos
〈Tx, U∗y〉 = 〈x, T∗U∗y〉.
Mas também temos que Tx ∈ D(U) e y ∈ D(U∗), de modo que
〈UTx, y〉 = 〈Tx, U∗y〉.
Assim,
〈UTx, y〉 = 〈x, T∗U∗y〉.
Como essa igualdade vale para todo x ∈ D(UT), temos que y ∈ D((UT)∗) e (UT)∗y = T∗U∗y, provando
(v). 2
Proposição 4.54 Sejam H1,H2 espaços de Hilbert e T : D(T) ⊂ H1 → H2 uma aplicação
densamente definida e injetora. Se im T for denso em H2, então T∗ é injetor e
(T∗)−1 = (T−1)∗.
20 CAPÍTULO 4. APLICAÇÕES LINEARES E ADJUNTAS
Demonstração: Tome y ∈ D(T∗) e x ∈ D(T−1). Então T−1x ∈ D(T) e
〈T−1x, T∗y〉 = 〈TT−1x, y〉 = 〈x, y〉.
A Definição 4.48 garante então que T∗y ∈ D((T−1)∗) e
(T−1)∗T∗y = (TT−1)∗y = y. (4.9)
Tome então y ∈ D((T−1)∗) e x ∈ D(T). Então Tx ∈ D(T−1) e〈
Tx,
(
T−1
)∗y〉 = 〈T−1Tx, y〉 = 〈x, y〉,
de onde decorre que (T−1)∗y ∈ D(T∗) e
T∗
(
T−1
)∗y = (T−1T)∗y = y. (4.10)
O resultado é, então, consequência de (4.9) e (4.10). 2
Se a aplicação T : H1 → H2 estiver definida em todo o espaçoH1, então sua adjunta
é sempre contínua (compare com o Teorema 4.18):
Teorema 4.55 Sejam H1,H2 espaços de Hilbert. Se a aplicação T : H1 → H2 estiver definida
em todo o espaço H1, então T∗ : D(T∗) ⊂ H2 → H1 é contínua.
Demonstração: Se T∗ não fosse limitada, existiria uma seqüência (yn) ⊂ D(T∗), com
‖yn‖ = 1, tal que
lim
n→∞ ‖T
∗yn‖ = ∞.
Mas
|〈x, T∗yn〉| = |〈Tx, yn〉| ≤ ‖Tx‖,
implica que a seqüência
(〈x, T∗yn〉) é limitada. Pelo Princípio daLimitação Uniforme
(Teorema ??), teríamos
(‖T∗yn‖) limitada, o que estabelece uma contradição. 2
Considerando D(T∗) = E, a demonstração do Teorema 4.55 é a mesma daquela do
Teorema 4.18, mas agora não estamos supondo a existência de T∗. Note, contudo, que
não podemos concluir que T é contínua (o que foi obtido, naquele caso, no Corolário
4.19). Lá, tínhamos que T : H → E e tínhamos a unicidade da adjunta. Aqui, não
podemos garantir que im T ⊂ D(T∗).
Teorema 4.56 Seja T : H1 → H2. Suponhamos que D(T∗) = H2. Então T é limitado.
Demonstração: Aplicando o Teorema 4.55 a T∗ : H2 → H1, concluímos que T∗∗ é
limitado. Do item (iv) da Proposição 4.53 temos T ⊂ T∗∗. Mas D(T∗∗) = H1 = D(T),
de modo que T∗∗ = T, provando que T é contínua. 2
Definição 4.57 Seja H um espaço de Hilbert. O operador densamente definido T : D(T) ⊂
H → H é
(i) auto-adjunto, se T = T∗, isto é,
D(T) = D(T∗) e Tx = T∗x ∀ x ∈ D(T).
(ii) simétrico, se
〈Tx, y〉 = 〈x, Ty〉 ∀ x, y ∈ D(T).
4.4. APLICAÇÕES DESCONTÍNUAS 21
Pode ocorrer que T possua um adjunto T∗ tal que T(x) = T∗(x) para todo
x ∈ D(T) ∩ D(T∗), mas D(T) 6= D(T∗) e, portanto, T não é auto-adjunto. É o que
veremos no próximo exemplo:
Exemplo 4.58 Existem operadores simétricos que não são auto-adjuntos. De fato,
consideremos o operador diferencial D = i(d/dt), com o domínio de D definido por
D(D) =
{
f : [a, b]→ C : f ∈ C1, f (a) = f (b) = 0
}
.
É claro que D(D) é um subespaço de L2 = L2([a, b],C). Decorre do Teorema ?? que
esse subespaço é denso em L2. Assim, D é um operador densamente definido. Se
f , g ∈ D(D), então temos
〈D f , g〉 − 〈 f , Dg〉 =
∫ b
a
i f ′(t)g(t)dt−
∫ b
a
f (t)ig′(t)dt
= i
∫ b
a
d
dt
(
f (t)g¯(t)
)
dt = i f (t)g(t)
∣∣∣t=b
t=a
= 0,
mostrando que D é um operador linear simétrico.
Contudo, a igualdade anterior mostra que 〈D f , g〉 = 〈 f , Dg〉 mesmo que a função
g não satisfaça g(a) = g(b) = 0. Quer dizer,{
g : [a, b]→ C : g ∈ C1
}
⊂ D(D∗),
Em textos mais avançados determina-se do domínio do operador D∗. Veja, por
exemplo, [?]. ¢
Proposição 4.59 Seja H um espaço de Hilbert. O operador densamente definido T : D(T) ⊂
H → H é simétrico se, e somente se, T ⊂ T∗. Se T for simétrico e D(T) = H, então T é
auto-adjunto e contínuo.
Demonstração: Se T ⊂ T∗, decorre de (4.8) que 〈Tx, y〉 = 〈x, Ty〉 para todos x, y ∈
D(T), mostrando que T é simétrico. Se T for simétrico, temos T ⊂ T∗ por definição.
Se T ⊂ T∗ e D(T) = H, então D(T∗) = H, mostrando que T = T∗. Assim, o
Teorema 4.56 garante que T é contínuo. 2
Assim, todo operador T : H → H simétrico é contínuo, resultado que é conhecido
como Teorema de Hellinger-Töplitz.. Esse resultado não é válido se o espaço com produto
interno E não for completo, como mostra o seguinte exemplo:
Exemplo 4.60 Seja `0 o subespaço de `2 formado por todas as seqüências (xk) tais que
xk = 0, exceto talvez para um número finito de índices k. Definimos T : `0 → `0 por
Tx = T(xk) = (kxk). Claramente
〈Tx, y〉 = ∑
k∈N
kxkyk = ∑
k∈N
xkkyk = 〈x, Ty〉.
Como Ten = nen para todo n ∈ N, vemos que T não é limitado. ¢
22 CAPÍTULO 4. APLICAÇÕES LINEARES E ADJUNTAS
4.5 O Teorema do Gráfico Fechado
A importância de alguns exemplos envolvendo aplicações lineares descontínuas
motiva a procura de alguma propriedade que possa substituir a continuidade, ainda
que em um sentido mais fraco, e que seja satisfeita por uma grande classe de
tais aplicações. O estudo de propriedades de aplicações fechadas será aqui apenas
introduzido. Para um tratamento mais extenso veja, por exemplo, Brezis [?].
Definição 4.61 Sejam E, F espaços normados e D ⊂ E um subespaço. Uma aplicação linear
T : D → F é fechada, se
xn → x e Txn → y ⇒ x ∈ D e Tx = y.
Sejam H1,H2 espaços de Hilbert. Vamos provar que todo operador fechado
T : H1 → H2 definido em todo espaço H1 é contínuo (veja o Teorema do Gráfico
Fechado 4.72). Como consequência, o domínio de uma aplicação descontínua
T : D(T) ⊂ H1 → H2 não pode ser fechado.
Proposição 4.62 Sejam F um espaço de Banach e T : D ⊂ E → F uma aplicação linear
contínua. Então T é fechada se, e somente se, D = D¯, isto é, se D for um subespaço fechado.
Demonstração: Suponhamos D fechado. Se xn → x e Txn → y, então (xn) ⊂ D. Como
D é fechado, x ∈ D. Como T é contínua, Txn → Tx, mostrando que T é fechada.
Se D não for fechado, existe uma seqüência (xn) em D tal que xn → x e x 6∈ D. A
seqüência (xn) é de Cauchy, pois é convergente. Como ‖Txn − Txm‖ ≤ ‖T‖ ‖xn − xm‖,
(Txn) é de Cauchy no espaço completo F. Logo, existe y ∈ F tal que Txn → y.
Mostramos, assim, que T não é fechada. 2
Exemplo 4.63 Sejam E o espaço C
(
[0, 1],R
)
com a norma do sup e D = C1
(
[0, 1],R
) ⊂
E. Consideremos o operador linear T : D ⊂ E → E definido por T f = f ′. Tomando
a seqüência hn(t) = tn, vemos que Thn = ntn−1, de modo que ‖Thn‖sup = n, pois
‖hn‖sup = 1 para todo n ∈ N. Assim, T não é contínuo.
Mas T é fechado. De fato, suponhamos que fn → f e T fn → g. Decorre do Teorema
Fundamental do Cálculo e da convergência uniforme que a função f é diferenciável e
que f ′ = g.6 ¢
Exemplo 4.64 Consideremos o subespaço `0 ⊂ `2 de todas as seqüência (xi) com xi = 0
exceto talvez para um número finito de índices (veja os Exemplos ?? e ??). Defina a
aplicação linear descontínua T : `0 → `0 por Tej = jej, em que ej é a seqüência com
todas as coordenadas nula, exceto a j-ésima, que é igual a 1.
Afirmamos que T não é fechada. De fato, considere a seqüência
x1 =
(
1
12
, 0, . . .
)
, x2 =
(
1
12
,
1
22
, 0, . . .
)
, . . . , xn =
(
1
12
,
1
22
, . . . ,
1
n2
, 0, . . .
)
.
6Veja [?], Teorema 7, p. 302.
4.5. O TEOREMA DO GRÁFICO FECHADO 23
Então
xn → x =
(
1
12
, . . . ,
1
n2
,
1
(n + 1)2
, . . .
)
∈ `2
e
Txn → y =
(
1
1
, . . . ,
1
n
,
1
n + 1
, . . .
)
∈ `2.
Como x 6∈ `0, T não é fechada. ¢
Proposição 4.65 Sejam E, F espaços normados e D ⊂ E um subespaço. Se a aplicação
T : D → F for fechada e injetora, então T−1 : im T ⊂ F → D também é fechada.
Demonstração: A linearidade de T garante a linearidade de T−1 : im T → D.
Consideremos uma seqüência (yn) em im T tal que yn → y e T−1yn → x. Defina
xn = T−1yn. Logo, xn → x e yn = Txn → y. Uma vez que T é fechada, temos x ∈ D e
Tx = y. Isso garante que y ∈ im T e x = T−1y. Mostramos que T−1 é fechada. 2
No próximo resultado, a existência de T∗ é garantida pela Definição 4.48:
Proposição 4.66 Sejam H1,H2 espaços de Hilbert e T : D(T) ⊂ H1 → H2 uma aplicação
linear, comD(T) denso emH1. Então T∗ é fechada. Em particular, toda aplicação auto-adjunta
é fechada.
Demonstração: Denotando por D(T∗) ⊂ H2 o domínio da aplicação linear
T∗ : D(T∗)→ H1, seja yn ∈ D(T∗) com yn → y e T∗yn → u. Então, para todo x ∈ D(T)
vale
〈Tx, y〉 = lim
n→∞〈Tx, yn〉 = limn→∞〈x, T
∗yn〉 = 〈x, u〉.
Daí decorre y ∈ D(T∗) e u = T∗y. 2
Uma vez que a restrição a um subespaço de uma aplicação fechada pode não ser
uma aplicação fechada, no resultado anterior não podemos substituir a hipótese de T
ser auto-adjunta por T ser simétrica.
Para E, F espaços com produto interno,
〈(x, y), (x¯, y¯)〉E×F = 〈x, x¯〉+ 〈y, y¯〉
define um produto interno em E× F. Se E, F forem espaços de Hilbert, então E× F é
um espaço de Hilbert. Se E, F forem espaços normados, consideraremos em E × F a
topologia gerada pela norma ‖ · ‖s (veja o Exemplo ??). Note que a topologia gerada
por 〈·, ·〉H1×H2 coincide com a topologia gerada pela norma ‖ · ‖s. Na sequência, ao
considerarmos o produto cartesiano E× F, associaremos sempre essa topologia.
Agora apresentamos uma caracterização de uma aplicação fechada:
Definição 4.67 E, F espaços normados e D ⊂ E um subespaço. Definimos o gráfico de uma
aplicação T : D → F por
Gr T =
{
(x, y) ∈ D× F : y = Tx}.
Proposição 4.68 Sejam E, F espaços normados e D ⊂ E um subespaço. Então uma aplicaçãoT : D → F é fechada se, e somente se, Gr T for um subconjunto fechado em E× F.
24 CAPÍTULO 4. APLICAÇÕES LINEARES E ADJUNTAS
Demonstração: Suponhamos que T seja fechada. Seja (x, y) ∈ Gr T. Por definição,
existe (xn, Txn) ∈ Gr T tal que (xn, Txn) → (x, y). Isso quer dizer que xn → x e
Txn → y. Como T é fechada, x ∈ D e Tx = y, mostrando que (x, y) ∈ Gr T.
Reciprocamente, suponhamos que Gr T seja fechado. Se tomarmos xn ∈ D tal
que xn → x e Txn → y, então (xn, Txn) → (x, y). Como Gr T é fechado, temos que
(x, y) ∈ Gr T. Isso quer dizer que x ∈ D e Tx = y, mostrando que T é fechada. 2
A demonstração do próximo resultado é imediata:
Lema 4.69 Sejam E, F espaços normados. Definimos as aplicações
V1 : E × F → F × E
(x , y) 7→ (y , −x)
V2 : F × E → E × F
(y , x) 7→ (x , −y).
Então V1 e V2 são isometrias lineares bijetoras e V2V1 = −I : E× F → E× F, enquanto
V1V2 = −I : F× E → F× E.
Teorema 4.70 Sejam H1,H2 espaços de Hilbert, T : D(T) → H2 linear, com D(T) um
subespaço denso de H1. Então
Gr T∗ =
(
V1Gr T
)⊥
e H2 ×H1 = V1Gr T ⊕Gr T∗,
com soma direta ortogonal. Além disso, Gr T = (V2Gr T∗)⊥.
Demonstração: Temos, para x ∈ D(T) e y0 ∈ D(T∗),
(y0, T∗y0) ∈ Gr T∗ ⇔ 〈Tx, y0〉 = 〈x, T∗y0〉
⇔ 〈x, T∗y0〉+ 〈Tx,−y0〉 = 0
⇔ 〈(x, Tx), (T∗y0,−y0)〉H1×H2 = 0
⇔ 〈V1(x, Tx), V1(T∗y0,−y0)〉H1×H2 = 0
⇔ (y0, T∗y0) ⊥ V1Gr T
⇔ (y0, T∗y0) ⊥ V1Gr T = V1Gr T
⇔ (y0, T∗y0) ∈ (V1Gr T)⊥,
mostrando que H2 ×H1 = V1Gr T ⊕ Gr T∗. Note que V1 ser uma isometria garante
que 〈V1(x, Tx), V1(u0,−y0)〉H1×H2 = 〈(x, Tx), (u0,−y0)〉H1×H2 .
Decorre do Lema 4.22 que Gr T∗ = (V1Gr T)⊥. Assim, se (x, u) ∈ Gr T e (y, T∗y) ∈
Gr T∗, então
〈V1(x, u), (y, T∗y)〉 = 0 ⇔ 〈V2V1(x, u), V2(y, T∗y)〉 = 0,
pois V2 é uma isometria. Daí decorre que (x, u) ⊥ V2Gr T∗, ou seja, Gr T = (V2Gr T∗)⊥.
2
Teorema 4.71 Sejam H1,H2 espaços de Hilbert e T : D(T) → H2 uma aplicação linear, com
D(T) denso em H1. Então T é fechada se, e somente se, D(T∗) = H2 e T∗∗ = T.
4.6. O TEOREMA DA APLICAÇÃO ABERTA 25
Demonstração: Se D(T∗) = H2, a Proposição 4.66 garante que T∗∗ é fechada. Como
T∗∗ = T, mostramos uma das implicações.
Se T for fechada, então Gr T = Gr T e Gr T = (V2Gr T∗)⊥, de acordo com a
Proposição 4.68 e o Teorema 4.70. Suponhamos que D(T∗) 6= H2. Então existiria
0 6= y ⊥ D(T∗). Em particular, (y, 0) ⊥ Gr T∗ e, portanto, V2(y, 0) ⊥ Gr T∗, ou seja,
(0,−y) ∈ V2Gr T∗ = Gr T. Assim, teríamos T0 = −y, absurdo. Para completar a prova,
mostraremos que T∗∗ = T. De fato, decorre do Teorema 4.70 aplicado a T∗ que
Gr T∗∗ = (V2Gr T∗)⊥ = V2Gr T∗,
pois a Proposição 4.66 garante que T∗ é fechada. Uma nova aplicação do Teorema 4.70
implica que Gr T∗∗ = Gr T, o que significa T = T∗∗. 2
Teorema 4.72 (do Gráfico Fechado)
Sejam H1,H2 espaços de Hilbert e T : H1 → H2 linear e fechada. Então T é limitada.
Demonstração: De acordo com o Teorema 4.55, a aplicação T∗ : D(T∗) → H1 é
contínua. Mas, pela Proposição 4.66, T∗ também é fechada. Uma vez que o Teorema
4.71 garante queD(T∗) é denso emH2 e a Proposição 4.62 garante queD(T∗) é fechado,
concluímos que D(T∗) = H2. Uma nova aplicação do Teorema 4.55 garante que T∗∗ é
contínua. Mas, pelo Teorema 4.71, T∗∗ = T. Assim, T é contínua. 2
O Teorema do Gráfico Fechado pode ser estendido para aplicações lineares fechadas
entre espaços de Banach.
4.6 O Teorema da Aplicação Aberta
O Teorema do Gráfico Fechado, visto na seção anterior, nos diz que uma aplicação
linear é contínua se, e somente se seu gráfico for fechado. Esse é um fato peculiar das
aplicações lineares. Definitivamente o gráfico ser fechado não é condição suficiente
para continuidade de uma função em geral. Basta olhar para a função real f (x) = 1/x.
Definição 4.73 Sejam X, Y espaços normados. Uma aplicação f : X → Y é aberta se
f (V) ⊂ F for um aberto, para todo V ⊂ E aberto.
Veremos agora um outro fato bastante surpreendente sobre aplicações lineares.
Suponha uma transformação linear T : X → Y entre espaços de Banach. Observamos
que, se a aplicação T for aberta, então necessariamente T será sobrejetora. Este fato
é conseqüência da preservação da homotetia por parte de uma transformação linear.
Vejamos: a imagem T(Br(0)) é um aberto de Y que contém a origem, pois T(0) = 0.
Logo, existe e > 0 tal que Be(0) ⊂ T(Br(0)). Daí decorre facilmente que a aplicação T
é sobrejetora.7 Assim, a pergunta que se impõe é: uma aplicação linear sobrejetora é
necessariamente aberta? Certamente vamos impor a continuidade de T, visto que há
exemplos de bijeções lineares que não são contínuas.
Esta pergunta tem resposta afirmativa e o resultado decorre do Teorema do Gráfico
Fechado. Na verdade são resultados equivalentes, ou seja, um pode ser demonstrado
a partir do outro e vice-versa. Aqui usaremos o Gráfico Fechado, visto na seção
anterior, para demonstrar que uma aplicação linear contínua sobrejetora entre espaços
de Hilbert é necessariamente aberta.
7Veja o Exercício 35.
26 CAPÍTULO 4. APLICAÇÕES LINEARES E ADJUNTAS
Teorema 4.74 (da Aplicação Aberta)
Sejam H1,H2 espaços de Hilbert e T : H1 → H2 uma aplicação linear contínua e
sobrejetora. Então T é aberta.
Demonstração: Seja N = ker T. Sabemos que o espaçoH1 se decompõe em soma direta
H1 = N ⊕ M, em que M = N⊥. Defina S : M → H2 como sendo a restrição de T ao
subespaço M. É fácil verificar que S é uma bijeção (linear) entre os espaços de Hilbert
M e H2. E S é contínua, como restrição de uma aplicação contínua. Assim, o gráfico da
aplicação inversa S−1 é fechado, visto que o gráfico de uma função e o gráfico de sua
inversa coincidem. Decorre do Teorema do Gráfico Fechado que a inversa S−1 é uma
aplicação contínua, o que significa que a aplicação S é aberta, ou seja, S leva conjuntos
abertos de M em conjuntos abertos de H2.
Veremos agora que decorre desse resultado que a aplicação T também é aberta.
Para isso seja V um aberto de H1 = N ⊕ M. Devemos verificar que T(V) é aberto em
H2. Seja T(z0) um ponto arbitrário de T(V), em que z0 = x0 + y0 ∈ V, com x0 ∈ N e
y0 ∈ M. Mostraremos que T(z0) = T(y0) = S(y0) é um ponto interior de T(V). Tome
r > 0 tal que Br(z0) ⊂ V. Existe um e > 0, suficientemente pequeno (e dependendo de
r), tal que BNe (x0) + BMe (y0) ⊂ Br(z0). Aqui estamos denotando por BNe (x0) e BMe (y0)
as bolas abertas de raio e, com centro x0 e contida em N e com centro y0 e contida em
M, respectivamente. Temos:
T(z0) ∈ T
(
BNe (x0) + B
M
e (y0)
) ⊂ T(Br(z0)) ⊂ T(V).
Mas, como BNe (x0) ⊂ N = ker T, temos
T(z0) ∈ T
(
BNe (x0) + B
M
e (y0)
)
= T
(
BMe (y0)
) ⊂ T(Br(z0)) ⊂ T(V).
Assim,
T(z0) ∈ T
(
BMe (y0)
)
= S
(
BMe (y0)
) ⊂ T(V).
Como S é uma aplicação aberta, temos o resultado. 2
Como corolário imediato temos o importante resultado: uma bijeção linear contínua
entre espaços de Hilbert tem inversa contínua, ou seja, toda bijeção linear contínua é
um homeomorfismo linear.
Corolário 4.75 Uma bijeção T : H1 → H2 contínua sempre possui inversa contínua.
O Teorema da Aplicação Aberta pode ser estendido para espaços de Banach.
4.7 Exercícios
Denotaremos por H um espaço de Hilbert. Se você não tiver estudado bases não
enumeráveis em espaços de Hilbert, considere que elas são enumeráveis.
1. Sejam S = {xα : α ∈ A} uma base de H e X um espaço normado. Suponha
que as aplicações lineares contínuas S, T : H → X satisfaçam Sxα = Txα para todo
α ∈ A. Mostre que S = T.
4.7. EXERCÍCIOS 27
2. Seja H um espaço de Hilbert complexo, com base ortonormal {eα : α ∈ A} e
M = {zα ∈ C : α ∈ A} tal que Γ := supα∈A |zα| < ∞.
Mostre que existe apenas uma aplicação linear contínua V : H → H tal que
Veα = zαeα, ∀ α ∈ A.
Mostre que
(a) V (∑α∈A xαeα) = ∑α∈A xαzαeα e ‖V‖ = Γ;
(b) V∗eα = zαeα;
(c) V∗ (∑α∈A xαeα) = ∑α∈A xαzαeα;
(d) V∗V = VV∗.
3. Seja H∗ o dual do espaço de Hilbert H. Dado x ∈ H, mostre que
‖x‖ = sup
‖x∗‖=1,x∗∈H∗
|x∗(x)‖ = sup
‖y‖=1
|〈x, y〉.
4. Sejam S, T : H → H operadores lineares tais queS∗S + T∗T = 0, o operador
identicamente nulo. Mostre que S = 0 = T.
5. Seja {en : n ∈ Z} uma base de espaço H. Mostre que existe um único operador
limitado T : H → H tal que Ten = en+1 para todo n ∈ Z. Mostre que T é isométrico
e unitário.
6. Considere o Exemplo 4.3 e a aplicação linear U : `0 → `0. Verifique que, para
quaisquer x, y ∈ `0, vale 〈Ux, y〉 = 〈x, Uy〉, de modo que U∗ = U.
7. No Exemplo 4.4, mostre que
(a) Se T : H → H for contínua e {eα} uma base (não enumerável) de H, então
T
(
∑
α
xα eα
)
= ∑
α
xα Teα.
(b) Mostre que o operador S definido naquele exemplo não é contínuo;
(c) Mostre que
S
(
∞
∑
i=1
xiei
)
6=
∞
∑
i=1
xi Sei.
8. Sejam H um espaço de Hilbert e U, V : H → H aplicações lineares contínuas tais
que U∗U +V∗V = 0. Mostre que U = V = 0
9. No Exemplo 4.20, mostre que D f ∈ E e que D não é contínuo.
10. Sejam E =
(
C1
[
0, 1],R
)
, ‖ · ‖∞
)
e F =
(
C
[
0, 1],R
)
, ‖ · ‖∞
)
. Considere o operador
D : E → F definido por D f = f ′. Para f ∈ E, defina fn(x) = f (x) + e−nxn . Mostre
que fn → f em E, mas D fn 6→ D f em F.
11. Seja T : H → H um operador simétrico tal que ‖T‖ < 1. Mostre que 〈(I −
T)x, x〉 ≥ (1− ‖T‖)‖x‖2 para todo x ∈ H.
28 CAPÍTULO 4. APLICAÇÕES LINEARES E ADJUNTAS
12. Seja T : H1 → H2 uma isometria entre os espaços de HilbertH1 eH2. Mostre que
imT ⊂ H2 é um subespaço fechado.
13. Mostre que o domínio D(T) de uma aplicação descontínua T : D(T) ⊂ H1 → H2
entre os espaços de Hilbert H1,H2 não pode ser fechado.
14. Sejam E, F espaços com produto interno e T : E → F uma aplicação linear
fechada. Mostre que, se K ⊂ E for um conjunto compacto, então T(K) ⊂ F é
um conjunto fechado. O mesmo resultado vale se K for apenas fechado?
15. Sejam E, F espaços com produto interno e T : E → F uma aplicação linear
fechada. Mostre que, se K ⊂ F for um conjunto compacto, então a imagem
inversa T−1(K) é um subconjunto fechado de E
Definição 4.76 Seja V um espaço vetorial. Um operador linear P : V → V é uma projeção se
P2 = P.
16. Mostre que, se P : V → V for uma projeção, então V = ker P⊕ im P.
17. Se M, N forem subespaços de V tais que V = M ⊕ N, mostre que existe uma
projeção P : V → V tal que ker P = M e imP = N.
Definição 4.77 Seja H um espaço de Hilbert. Uma projeção ortogonal é um operador linear
Π : H → H tal que
Π2 = Π e 〈Px, y〉 = 〈x, Py〉 ∀ x ∈ H.
18. Se Π : H → H for uma projeção linear e Π 6= 0, então ‖Π‖ = 1.
Existe uma correspondência bijetora entre projeções ortogonais Π e subespaços
fechados M ⊂ H, com imΠ = N. O núcleo de Π é N⊥.
19. Se Π : H → H for uma projeção ortogonal, então imΠ é fechado e vale a
decomposição ortogonal
H = ker Π⊕ imΠ.
20. Seja N um subespaço fechado de H. Mostre que existe uma projeção ortogonal
Π : H → H tal que imΠ = N e ker Π = N⊥.
21. Sejam Π1, Π2 : H → H projeções ortogonais sobre os subespaços F e G, respec-
tivamente. As seguintes afirmações são equivalentes:
(a) Π1Π2 = Π2Π1;
(b) Π1Π2 é uma projeção ortogonal;
(c) Π2Π1 é uma projeção ortogonal.
Mostre, então, que se Π1Π2 for uma projeção ortogonal, então imΠ1Π2 = imΠ1 ∩
imΠ2.
22. Sejam Π1 : H → imΠ1 = M e Π2 : H → imΠ2 = N projeções ortogonais. Mostre
que as seguintes afirmações são equivalentes:
4.7. EXERCÍCIOS 29
(a) M ⊥ N;
(b) Π1(N) = {0};
(c) Π2(M) = {0};
(d) Π1Π2 = 0;
(e) Π2Π1 = 0;
(f) Π1 + Π2 é uma projeção ortogonal.
Nesse caso, Π1 + Π2 é uma projeção sobre M + N.
23. Sejam Π1 : H → imΠ1 = M e Π2 : H → imΠ2 = N projeções ortogonais. Mostre
que as seguintes afirmações são equivalentes:
(a) M ⊂ N;
(b) Π2Π1 = Π1;
(c) Π1Π2 = Π1;
(d) ‖Π1x‖ ≤ ‖Π2x‖ para todo x ∈ H;
(e) 〈(Π1 −Π1)x, x〉 ≥ 0 para todo x ∈ H;
(f) Π2 −Π1 é uma projeção ortogonal.
Nesse caso, Π2 −Π1 é uma projeção ortogonal sobre N \ M = N ∩ M⊥.
Definição 4.78 Seja M ⊂ H um subespaço fechado. O subespaço M reduz o operador
contínuo T : H → H, se M e M⊥ forem invariantes por T, isto é, T(M) ⊂ M e
T(M⊥) ⊂ M⊥.
24. Suponhamos que o subespaço M ⊂ H reduza o operador contínuo T : H → H.
Sejam Π1 : H → M e Π2 : H → M⊥ as projeções ortogonais nos espaços M e M⊥,
respectivamente. Denotando T1 = TΠ1 e T2 = TΠ2, mostre que T = T1 + T2.
25. Sejam M ⊂ H um subespaço fechado e T : H → H um operador contínuo.
Mostre que as seguintes afirmativas são equivalentes:
(a) M reduz T;
(b) M⊥ reduz T;
(c) M reduz T∗;
(d) M é invariante por T e T∗;
(e) Π1T = TΠ1, em que Π1 : H → M é a projeção ortogonal sobre M.
26. Mostre que, se M ⊂ H for um subespaço fechado que reduz o operador contínuo
T : H → H, então a restrição T|M : M → H satisfaz (T|M)∗ = T∗|M. Mostre que,
se T for normal, então T|M é normal. Mostre que se T for simétrico, então T|M é
simétrico.
27. Seja T : H → H um operador contínuo. Mostre que T(H) é invariante por T.
28. Sejam H espaço de Hilbert e M : H → H uma isometria linear. Dê uma
interpretação para MM∗.
30 CAPÍTULO 4. APLICAÇÕES LINEARES E ADJUNTAS
29. Sejam E, F espaços normados e T : D ⊂ E → F uma aplicação linear. Mostre que
o gráfico de T é fechado se, e somente se, xn → 0 em D e Txn → w em F implicam
w = 0.
30. Demonstre o Teorema de Hellinger-Töplitz (veja a Proposição 4.59) aplicando o
Teorema do Gráfico Fechado.
31. Nesse exercício vamos apresentar uma demonstração alternativa de que a inversa
de uma bijeção linear T : H → H é necessariamente contínua (Corolário 4.75).
Seja T : H → H um operador contínuo e não nulo.
(i) Aplicando os Corolários ?? e 4.26, mostre que o operador T−1 : H → H
existe e é contínuo se, e somente se, T∗ for injetor e existir κ > 0 tal que
‖Tx‖ ≥ κ‖x‖ para todo x ∈ H;
(ii) Se T for sobrejetor, existe κ > 0 tal que ‖T∗x‖ ≥ κ‖x‖ para todo x ∈ H;
(iii) Se T : H → H for uma bijeção, então T−1 é contínuo.
32. Sejam S, T : E → E dois operadores simétricos no espaço com produto interno E.
Mostre que ST é simétrico se, e somente se, ST = TS.
33. Seja T : D(T) ⊂ H → H um operador densamente definido, auto-adjunto e injetor.
Mostre que D(T−1) = H e que T−1 é auto-adjunto.
34. Seja T : H → H um operador linear simétrico. Aplicando o Teorema do Gráfico
Fechado, mostre que T é contínuo. (Veja a Proposição 4.59.)
35. Sejam X, Y espaços de Banach. Demonstre que toda aplicação linear T : X → Y
aberta é sobrejetora.
36. Sejam V um espaço vetorial e N um subespaço. Defina em V a relação x ∼ y se, e
somente se, x− y ∈ N.
(a) Mostre que ∼ é uma relação de equivalência em V ;
(b) Mostre que o conjunto das classes de equivalências
[x] = {v ∈ V : v ∼ x}
constitui um espaço vetorial, denotado por V/N, com a soma definida por
[x] + [y] = [x + y] e a multiplicação por escalar definida por λ[x] = [λx]; (A
classe de equivalência [x], muitas vezes, é representada por x + N.)
(c) Suponha que V seja um espaço normado. Defina em V/N a função ‖ · ‖ por∥∥[x]∥∥ = infz∈N ‖x− z‖. Mostre que ‖ · ‖ é uma norma em V/N se, e somente
se, N for um subespaço fechado em V .
(d) Suponha que V seja normado e que N seja fechado. Mostre que V/N será
um espaço de Banach se V for completo. Dê um exemplo mostrando que a
recíproca é falsa.
37. Seja 0 6= v um elemento do espaço vetorial V . Mostre que V/ < v > é isomorfo a
um subespaço de codimensão 1.
4.7. EXERCÍCIOS 31
38. Sejam X um espaço normado e N ⊂ X um subespaço fechado. Mostre que a
aplicação pi : X → X/N definida por pi(x) = [x] é contínua e aberta, isto é, leva
conjuntos abertos de X em conjuntos aberto de X/N.
39. Sejam X e Y espaços normados. Considere uma aplicação linear contínua T : X →
Y. Suponha que T seja sobrejetora e denote por N o núcleo da aplicação T. Defina
então a aplicação S : X/N → Y por S([x]) = T(x). Mostre que S está bem
definida e é uma bijeção linear contínua.
40. Suponha, no Exercício 39, que os espaços X e Y sejam completos. Mostre que o
gráfico de S−1 : Y → X/N é fechado no espaço produto X/N. (Sugestão: S é umaaplicação contínua, logo seu gráfico é fechado). Suponha verdadeiro o teorema
do gráfico fechado para aplicações entre espaços de Banach e conclua daí que T é
uma aplicação aberta.)
41. Considere o teorema da aplicação aberta verdadeiro para aplicações entre espaços
de Banach. A partir dessa hipótese demonstre o teorema do gráfico fechado.
(Sugestão: defina o operador G(x) = (x, T(x)); mostre que a imagem de G é
um subespaço fechado no espaço produto pertinente; use agora o teorema da
aplicação aberta para a função G e conclua que T é uma aplicação contínua.)
42. Seja H um espaço de Hilbert. Se M ⊂ H for um subespaço fechado, mostre que
H/M será linearmente homeomorfo a M⊥.
43. Seja V um espaço vetorial. Suponha que V seja a soma direta dos subespaços U e
W. Mostre que V/U é linearmente isomorfo a W. Se V for um espaço de Banach,
mostre que teremos um homeomorfismo linear.
44. Sejam E =
{
(x, y) ∈ R2} e N = {(x, 0)}. Defina Π : E → N por Π(x, y) = y.
Mostre que E/N é linearmente homeomorfo a Π(E) = N.
45. Seja T : C→ C uma aplicação linear. Mostre que, necessariamente,
T(z) = λz
para alguma constante complexa λ. Evidentemente T pode ser vista como uma
aplicação linear real de R2 para R2. Mostre que uma aplicação linear T : R2 → R2
pode ser vista como uma aplicação linear T : C→ C se, e somente se, sua matriz
com relação à base canônica do R2 for da forma(
a −b
b a
)
,
em que a e b são números reais. Demonstre, a partir desse fato, as relações de
Cauchy-Riemann com relação à diferenciabilidade complexa. em que a e b são
números reais. Demonstre a partir deste fato as condições de Cauchy-Riemann
com relação à diferenciabilidade complexa.
46. Seja T : X → Y uma aplicação linear entre os espaços normados X e Y. Suponha
que dim im T < ∞. Mostre que T é contínua se, e somente se, ker T for fechado
em E. Dê um contra exemplo mostrando que esse resultado é falso sem a hipótese
dim im T < ∞.
32 CAPÍTULO 4. APLICAÇÕES LINEARES E ADJUNTAS
47. Sejam X, Y espaços de Banach e T : X → Y uma aplicação linear sobrejetora.
Supondo válido o Teorema da Aplicação Aberta para espaços de Banach, mostre
que existe c > 0 tal que ‖x‖ ≤ c‖Tx‖ para todo x ∈ X. (Compare com o Corolário
?? do Capítulo ??.)
48. Sejam Y, Z subespaços fechados do espaço de Banach X. Suponha que Y + Z seja
fechado. Mostre que existe c > 0 tal que, para todo x = y + z ∈ Y + Z, vale
‖y‖ ≤ c‖x‖ e ‖z‖ ≤ c‖x‖.
Sugestão: Considere o espaço cartesiano Y × Z dotado da norma ‖(y, z)‖ =
‖y‖+ ‖z‖ e defina a aplicação linear T : Y× Z → Y + Z ⊂ X por T(y, z) = y + z
e aplique o Exercício 47.
Apêndices
ÍNDICE REMISSIVO
adjunta, 4, 18
aplicação
aberta, 25
aplicação linear
adjunta, 4
adjunta de uma, 18
nula, 1
espaço invariante, 10
Hilbert-Schmidt
operador de, 4, 14
identidade
de polarização, 13
operador
anti-hermitiano, 11
anti-simétrico, 11
de Hilbert-Schimidt, 4
de Hilbert-Schmidt, 14
de multiplicação, 14
hermitiano, 11
identidade, 1
integral, 3, 14
núcleo de um, 4
normal, 11
ortogonal, 11
projeção, 28
ortogonal, 28
simétrico, 11
unitário, 11
projeção, 28
ortogonal, 28
subespaço
invariante, 10
teorema
da aplicação aberta, 26
de Hellinger-Töplitz, 21
do gráfico fechado, 25
35