A transformada de Fourier - Iório, V.

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)2cof. ;Eui'l cf6morim
Dept.o Materna-tiea - Un B
Matrieula 135 999 10 cxiste cntao .'l fun<;ad j; R -+ C dada por
/'/ +00
(1.4) ( j(~) = (1flW = ~ / !(x)e-ieZdx
y 211" -00
esta bem"ct~finida para qualquer ~ ERe e chamada a transformada de Fourier, .'
de f. 0 problema fundamental da teoria e tentar re~upe-ra( f de su_a trans-
formada. Este prob-lema e basTarite--C6mp1exo·-"(le-~brem 0 caso das series!)
e vamos resolve-lo para uma classe especial de func;6es; para esta classe,
provaremos a formula de inversiio
A Transformada de Fourier
Come<;aremos este capItulo estudando algumas propriedades da transfom1ada
de Fourier no .espac;o de func;6es absolutamente integniveis. Na segunda sec;ao
estudaremos a transformada no espac;o de Schwartz e na terccira se<;iiointro-
duziremos 0 conceito de convoluc;ao para fun<;6es nao peri6dicas. Na quarta
e Ultima sec;ao faremos duas aplica<;6cs.
£
1 J+oo .g(~) = rn= f(x)e-1eZdx , ~ E R.
y21f -00
Nao e por acaso que estamos utilizando a notac;ao j tamo para series
quanto para transformadas: de fato a serie e a transformada de Fourier sao
exemplos de uma teoria mais geral, a analise harmonica em grupos abelia-
nos localJ:nente compactos. 0 leitor curiosa (e com algum conhecimento de
Anilise!) encontranl. mais informac;ao no livro de Rudin [R2] ou no livro
classico de Loomis (La].
Vamos denotar por £1 0 espac;o das fun<;6es f: R -+ C absolutamente
integraveis, isto e, integraveis ~~_qu_alguer intervalo [a, b] e satisfazendo (1.3);
II . III define uma semi-norma (veja a terceira sec;;ao do capitulo 6) em £.1.
Como as func;6es em £1 nao sac necessariamente comfnuas, 11/111 pode ser
zero sem que! == 0 (basta que f seja diferente de zero apenas em um numero
finito de pontos). 0 espac;o £.1 e "muito grande" para podermos inverter a
transformada de Fourier: se ! E £1 nem sempre j E £1, logo a integral em
(1.5) po de nao existir.
1. A Transformada em £1
Na resoluC;ao de um problema com a equac;ao de calor na rcta toda (pro-
blema 2.1 do capItulo anterior), encontramo', ,1m3 reprcsentac;ao de uma func;ao
I E e(A) limitada da forma
(1.1) f(x) = ~J+oo g(~)eieXd~ , x E R,
Y 21f -00
Obscrve quc nem toda func;ao continua e limitada pode scr rcprescntada neSla
forma: e preciso que as integrais impr6prias em (1.2) e (1.1) convirjam (pelo
menos!). Estudaremos para que fun<;6es f e em que semi do as f6rmubs acima
sac validas.
f(x) = { ~
sexE[-l,lj,
se x~[-l)l],
Vamos come<;ar entao defmindo a transfonnada de Fourier: se f: R -> C
c integravel em qualquer intervalo la, b] e sc a integral impr6pria
onde a,l E R, 1 > 0 , a f- o. E claro que f E £1. Vamos calcular 1: se
~ f- 0,
~ 1 /+00 't a jl .!(~)= - f(x)e-I<,zdx = - e-1exdx"f2i - 00 ..;fi -I '
. a· e-i1e - eile 2a sen(c/)= 1------- = -----...& C Vii C
j+OO Jb-00 If(x)ldx = a~~~ a I!(xlldx = 11!111< +00
b-+oo
)Q LIVIfV: t~.DP V1Wl.·.. tUf'. ~5-o Ck (1Ira(luf1(;;;
i '1['" .,.../, I
. r:Pe~ha J.tJt l (5) .
~ 2a
1(0) = ;n::l.
y21f
\
I
I
~arriOS come<;a: 0 nosso estudo da transfonnada de Fourier com algumas . T~;1}
propnedades bem simples: .",91~0i)'~1
I
'7(i) (f + Ag)~W = lw + Ag(E) , VA E C, VE E R;
(ii) !(E)7.: ..!(-E) , V~ E R cl e a fun<;ao complexa conjugada de f);
(iii) se y E Re Iy(x) = I(x- y), x E R, Iy E i1 e
(iv) I I(E)\ ::; k1l/11l' VE E R.
Demonstra~ao: A primeira prop";.edade e trivial: basta usar a linearidade da
integral. A segunda propriedade tambem e imediata:
j(~) = _1_ J+007(x)e~ieZdx = ~J+oo l(x)eieZdx = I(-E) .
..j2i - 00 y 21f - 00
Quanto a (iii), 0 grMico da funyao Iy eo gnifico de I transladado Iyl unidades
(para a direita se y > 0, para a esquerda se 11 < 0), logo lyE i 1 e
1 /+00 1I Iwl::;;n:: I/(x)ldx = tn=. 11/111,Y 21f .,-00 Y 21f
Teorema 1.3. Seja I E i1• Entao sua transformada de Fourier 1 e
uniformemente continua em R.
~1~~)lh<~ ""
-00
Demonstra~iio: Dado c > 0, pela condiyao (1.3) existe uma constante M > 0
tal que
1 hiI/(x)ldx < -c:.!xl>M 4
. .
Seja N > 0 tal que N ~ 11/111, Como a func;ao 11 ~ ety c continua em 11 = 1,
existe 51 > 0 tal que
Iyl < 51 => leiY - 1\ < V;; c:.
Mas entao, se 5 = 5t/M.
11)1< 5 => IX1)i < 51, Vx E [-M,M]
e portanto
IrJ\<5=>V~ER, !l(E+1))- hEll
::; _1_ J+oo If(x)l!e-i((+'1lz _ e-i(X!dx
hi -00
= :c1 1f(X)llei'lX - Ildx + ~ 1 . If(xlljei'lx - Ildx
y2rr Ixl~M y21r Ixl>M
< CN1 If(xlldx + ~-1 If(xlldx2 IZI~M y 21r Ixl>M
c c
< 2Nllflll + 2' ::; c:,
o que prova a continuidade uniforme de f.
E interessante observar que 0 lema de Riemann-Lebesgue lambcm e valida
em i 1, isto e, se lEi 1, 1(0 -+ 0 quando I(I -+ +00. A demonstrar;ao no
caso geral e urn pouco mais complicada mas fica [kil se f for seccionalmente
contInua em qualquer intervalo [a, bl:
Proposi~iio 1.4. Seja IE£.I tal que I e seccionalrnente continua ern qual-
quer intervalo la, b]. Entao
lirn ](0 = o.
1(1-+00
Demonstra~iio: Dado e > 0, como 1e unifomlemente continua, existe 8 > 0
tal que
IE- TJI < 5 => I ](0 - f(TJ)1 < ~.
Por outro lado, de (1.3), existe M > 0 tal que
r If(x)1 < ..;z;:' , M ~ ~.
hzl>M 3 u
Seja g: [-IT, IT]-t C dada por
f;- 111g(y) = -Mf(-y)
11" IT
Como f e seccionalmentc contf~ua em [-M, MI, 9 e seccionalmentc contfnua
em [-IT, ITI c portanto vale 0 lema de Riemann- Lebesque (para series de Fourier
- corolario 3.7 do capftulo 6), isto e,
g(~)'= ~ J7I" g(x)e-inxdx -t 0 quando n E Z , jnl-t +00.
271" -71"
c
n E Z , Ini 2: N ~ Ig(n)1 < 3'
Se E E R com lEI> NIT/M, tome K E Z tal que
M
K -1 < -E ~K;
IT
ITK IT MITeo < - - C = - (K - - E) < M ~ u,- M <., M 71"
\ j (E) \ ~ \ j (E) _ j (IT!: ) \ + \ j (IT!: ) \
-< :. + _1_ J 1[(x)ldx + _I_11M !(x)e-i7l"KX/MdX\
3 ,Jii Ixl>M $ -M
2c \ 1 J11" [(M ) -iKyMd \< - + -- - -y e y
3 ,Jii -11" 71" IT
2c \ 1 J7I" 'K \ 2c •== - + - - g(y)e-1 Ydy = - + Ig(K)1 < c.
3 ZIT _~. ! 3
N71" \. \IEI > M ~ !(E) < c.
o espafo de Schwartz, que denotaremos por S = S (R), e a cole~ao das
fun~6es f: R-+ C infinitamente diferenciaveis em R tais que, quaisquer que
sejam ex, (3E 1+, existe uma constante CCl,{3 com
(2.1) IXClf({3) (x)\ ~CCl,{3 I VXER;
f({3) e a (3-ezima derivada de f.
Observe, em primeiro lugar, que as funiYoes de S tend em a zero em ±oo
rapidamente: de fato, se n E.N e [ E S,
n - CIx [(xli ~ C ~ If(x)\ ~ Ixnl ' x =1= 0,
logo f(x) -+ 0 quando Ixl -+ +00 mais rapido que 0 inverso de qualquer
polinomio. Essa propriedade implica que S ~ fl. E claro que, se f E S,
entao a funiYao g(x) = xCl f({3) (x) tambem esta em S quaisquer que sejam
ex,(3 E 1+: ela e infinitamente diferenciavel e xCl'g({3') (x), quaisquer que
sejam ex',f3' E 1+, e uma soma fmita de termos da forma xnf(m)(x),logo
limitada. Finalmente, e eyidcnte que S e urn espa<;o vetorial complexo e que
o produto (pontual) de funiYoesde S esta em S.
Se f: R -+ C e infinitamente diferenciavel e tern suporte compacto (isto
e, existe M > 0 tal que f == 0 fora do intervalo [-M, M]) entao f E S:
a propriedade (2.1) segue do fato que fun~oes continuas em urn intervalo
fechado e.limitado san limitadas. Mas nem todas as fun~6es de Stem suporte
compacta.
Exemplo 2.1. Seja /(x) = e-x' /2. E claro que / nao tern suporte compacto
mas / E S pois e infinitamente diferenciiivel e, se ex, f3 E Z+,
xCl/({3) (x) = p(x)e-X' /2
onde p(x) e urn polinomio, logo xCl/({3) (x) -+ 0 quando Ix! -+ +00 e e li-
ma funiYaolimitada. E interessante observar que, pelo lema 2.2 do capitulo
anterior, 1= / (e, pelo menos nesse caso, vale a formula de inversao).
o espa~o de Schwartz e "fcito sob medida" para 0 estudo da transformada
de Fourier, como veremos mais adiante.
Demonstra~ao: Ja vimos que f' E S. Calculando a lransfomlada de Fourier
de f',
(f')~(O = ~J+oo f'(x)e-i~Xdx
y27f -00
= _1_ [f(x)e-i~xIX=+OO -(-i~) J+oo l(x)e-i~Xdx]
VZ; X=-oo -00
= i~ j(O.
Demonstra~iio: Como I E S, podemos derivar debaixo do sinal de integral
em rela'raoa C quantas vezes quisermos (pelo teorema 2.1 do
capitulo 9; embora este teorema tenha sido demonstrado para fun'roes reais,
separando uma fun'rao complexa nas suas partes real e imaginana e fkil ver
que 0 resultado e valido para fun'roes complexas), obtendo
(2.5) ifJl(e)= ~J+oo(-ix)fJI(x)e-ieXdx,
y 211' -00
qualquer que seja f3 E Z+, 0 que prova que j e de classe Coo. A formula
(2.5) pode ser reescrita, em nota'rao imprecisa porem clara, como
(2.6) ifJl = (-i)fJ(xfJ Ir.
Os resu.ltados acima, de aspecto inocenle, SaG na verdade muito profundos.
A proposiyao 2.2 nos diz que 0 operador difcrencial tx agindo em S e lcvado,
via transformada de Fourier, no operador de multipliea'rao por i~ no espa'r0
{ 1: f .'= S}. Isso nos pem1itc transformar equa'roes diferenciais ordinarias em
equac;3es algcbricas e nos perrnilira, mais tarde, reduzir equa'rOcs difereneiais
pareiais a equa'rocs difcreneiais ordinarias. Precisamos emao saber quem eo
espa<;:odas lransfom1adas de S:
Se Ct, f3 E Z+, usando a formula (2.5) e 0 corolario 2.3, obtemos
CO ifJlW = (-i)fJ+a(iE)a(xfJ Irlc)
= (_i)fJ+a(~(xfJ flnc)
dxa
= g( EJ,
onde 9 = (-i)fJ+a1ia(xfJ f). E claro que 9 E S ~ £1 logo, pela proposi'rao
1.2, 9 e limitada, isto e, CO ifJl (€) e limitada, 0 que prova que !E S. 0Teorema 2...1. A transformada de Fourier J define uma bije<;ao linear de
S em si mesmo e sua inversa e dada par
Se I ESe tal que f(0) = 0, entao
1 /+00 /""
1(0) = Vii '-00 !(E)dE=- UObserve que, se soubermos que 1: 5 -+ 5 cuma bijec;ao, as f6m1ulas (1.5)
e (2.4) sao equivaknles: de fato, se (1.5) e valida, como J c uma bijec;iio,
toda I ESe da fom1a f = 9 para alguma 9 ESe portanto
(J-1 f)(x) = (1-11g)(x) =: g(x) =: ~_ J+oo g(€)eieXd~
y27f -00
1 J+oo .
=: - f(~)eieXd~;.j2; -00
reciprocameme, se (2.4) c valida,
• 1 J+oof(x) = (J-11 f)(x) = (J-1 f)(x) =: ~
y27f --00
De fate, pelo teorema fundamental do calculo,
. r1 d t
f(x) = J
o
dt (f(tx))dt = 1
0
xf'(tx)dt = xg(x)
g(x) = ~l f'(tx)dtj
como f e infinitamente diferenciavel, separando f em suas partes real e ima-
ginaria e usando 0 tcorema 1.4 do capitulo 8, podemos diferenciar quantas
vezes quiscrmos debaixo do sinal de integral, obtendo scmpre uma fun<;:ao
continua, logo 9 e de classe COO em R Scjam a,{j t.: Z+: como xcig(3) e con-
tfnua, ela e 1imitada em [-1,1]; se Ixl ~ 1, g(x) = X-I f(x) e e facil mostrar
por indu<;:aoque
. 1 P ~I
gUJl(x) = _ ~(_l)k fJ: xf3-k Jtf3-k)(x)
xf3+l 0 ({3- k)! '
k=o
I I P {31Ixl ~l=> IxClg!Pl(x) ~ L ({3 _'k)!lxICl+f3-kIJ(f3-k)(x)! ~ CQ,f3
k=o
e xClg(Pl (x) c limitada. Isso prova que 9 E S. Ulilizando a f6rmula (Vi),
obtcmos
Se I E S, entao
1 J+ooJ(x) = tn= j(Oei~xd~ , "Ix E R.
y 21r -00
Demonstra<;ao: Se~, x E R, pela proposi((ao 1.2,
jWeiex = (f -xrw,
onde I-x(t) = I(t + x). Como 0 gnifico de I-x e 0 gniflco de f transladado
de Ixl unidades, e claro que f -x E S. Pelo lema 2.7,
I(x) = l-x(O) = ~ f+oo (f-xn~)dE = ~ f+oo j(E)ei~xd~.
y21r -00 y21r -00r 0
Demonstra<;ao do Teorema 2.4: Pela proposi<;:ao 1.2 e pelo lema 2.5, 1: S -t S
,..- rf_,J) ~('; 0 e linear. Da formula de inversao (2.7), e claro que 1e injetora pois
U:JI'" IA 2,~ 1 J+oo .
i'(:.t "CW' . Jf = 0 => 1=. 0 => "Ix E R , I(x) =. tn= j(OetEXd~ = 0
~ 1\ y21r -00
{ -17' ~
-x-) Falta apenas mostrar que 1e sobreJ'etora (pois, ncsse caso, as formulas (2.4)q.()() =. . -o e (2.7) sao equivaientcs). De fato, dado I E S,
,~ 1 f+oo
onde . ..... J\.. (2.8) g(x) = r;c I(E)i~XdE = j( -x)
.,. A 'I(~)=e-X'/2. 'l(~)~(Jj~), . A y21r -00 ,
Como Ja Vlmos, 'I = 'I e, elll particular, a formula de inversao e valida para1 (}" e~ta em S (~OIS ~ ESe, se hE S, X f-> h( -x) tambem pertence a S) e, pela
'I; como I, 'I E S, e claro que 9 ESe g(O) = O. Logo, pel0 lema 2.6, .' formula de lnversao (2.7),
. ./' 1 f+OO A' 1 f+oo .I(E) = - l(x)eteXdx = -' g(-x)eteXdx
(2.9) j2; -00 -/2i -00
1 f+oo .
= tn= g(y)e-leYdy = g(~),
y21f -00
J
+OO A /+00 d \+00
-00 f(E)dE=i -00 d~(g(O)dE=ig(E) _00=0.
Se f E S(R), entao
1 J+OO A
1(0):;:: tn= f(()dE·
. y21r -00
. 1 J+oo
g(O) = 0 = r;c §(E)dE-
Y 21r -00
Por outro lado, pela linearidade da transformada de Fourier (proposi<;:ao 1.2),
g(O = j(O - I(O)ilEl = jw - I(Oh(E),
Das cxpress6es (2.8) e (2.9) vemas que
§(x) = g(-x)
c (2.10) vale para tada 9 E S. Partanto a transformada de Fourier 1: S ~ S
tern a propriedade que 101= 12 = J, onde J: S ~ S e definido por
(Jf)(x) = I(-x) , x E R.
Em particular, como J2 e a identidade I: S -> S, tcmos que
A identidade (2.11) significa, em particular, que as rafzes quarta da unidade,
±i, ±1 sao.~uto-valores do operador 1. Asfunfoes de Hermite
'/ dn ,(2.12) hn(x) = eX, 2_e-X n E Z+. dxn' ,
sac auto-fun~oes pois
hn(x) = Pn(x)e-X' /2, n E N,
onde Pn(X) e um polin6mio de grau n, logo hn E S para lOdo n E z+.
3. A Opera<;;ao de Convolu<;;ao
13 definimos anteriormente (veja a quarta serrao do capftulo 7) a opcrar;ao
de convolur;ao para fungoes scccionalmente contfnuas e pcri6dicas. Vamos
agora defmir esta opcra~ao para fun~oes nao pcri6dicas: sc IE£.I e g: R ~
C e limitada e scccionalmente contfnua em qualqucr intcrvalo fcchado, a
cOllvolufiio de leg e a funyao I * g: R -+ C definida por
(3.1) (f * g)(x) = i~7I(y)g(x - y)dy , x E R.
Note, em primeiro lugar, que a intcgral em (3.1) converge pois, como 9 e
limitada, existe M > 0 tal '.j'lC !
I/(y)g(x - y)l ::; MI/(y)!
J+OO=> -00 l/(y)g(x - y)1 ::; MII/lIl < +=.
o espar;o !1 nao e um born ~spar;o para a operar;ao de convoluyao mas
o espar;o de Schwartz e: mostraremos mais adiante que a convolur;ao de fato
define uma operayao em S. Yeremos tambem que essa operayao correspon-
de, via transformada de Fourier, a multiplica~ao pontual (a menos de uma
constante) .
Demonstra~iio: Como a funr;ao F(x, y) = f(y)g(x - y) e infinitamente dife-
renciavel e, para cad a x flXO, F(x, .) e todas as suas derivadas
estao em S (logo, em particular, em .c1), pelo teorema 2.1 do <;apftulo 9 e facil
ver que f * 9 e infinitamcnte diferenciavel. Para mostrar entao que I * gE£.l
e que vale a desigualdade (3.2), basta mostrar que
b
fa 1(/ * g)(x)ldx::; IIflUglll
Gn(x) = Lnn If(y)llg(x - y)ldy.
E claro que Gn E C(R), logo para trocar a ordem da integral com 0 limite
acima ba~ta mostrar que 0 limite e uniforme (veja 0 teorema 1.4 do capitulo
7): de fato, como 9 e limitada, existe M > 0 tal que
Ig(x)1 s M , Vx E R;
por outro lado, como I E .c 1, dado g > 0 existe N ENtal que
r I/(x)ldx < Me j
JI'LI~N
entao, qualquer que seja x E R,
n ~ N => \Gn(x) - [:00 I/(y)llg(x - y)ldy\
s r I/(y)llg(x - y)ldy S M r I/(y)ldy < g,
JIYI~n JIYI~N
logo G n cOhverge uniformemente para
/
+00
(fIg) = -00 I(x)g(x)dx.
E faci! mostrar que (-I·) definido par (3.3) e de fato urn produto interno em S
(veja a proposic;ao 1.1 do capftulo 6). Se I E S, usaremos a notac;ao
(3.4) . 11/112= (f11)1/2 = [[:00 I/(X)12dxf/2
(Compare com as equar;(ies (3.2) e (3.4) do capftulo 6: a situac;ao aqui e urn
pouco diferente porque (fIg) toma valores complexos em geral se I, 9 E S.)
Vamos mostrar que de fato 11·112definida por (3.4) define urna norma, em S
isto e, satisfaz as seguintes propriedades:
/
+00
G(x) = -00 I/(y)llg(x - y)ldy . (i) II/lb ~O, VIES;
(ii) se I E S, 11/112= 0 {:} 1=0;
(iii) IIA/lb = lAIII/1I2 , VI E S , A E C;
(iv) III + gll2 S 11/112+ IIg112 , V/,g E s.
As tres primeiras propriedades acima sao imediatas. Para provar a de-
sigualdade triangular (propriedade (iv) acima), precisamos da desigualdade
CBS
e portanto
ib \U· g)(x)ldx S ":~~oo ib dx I-nn dyl/(y)lIg(x - y)1
',n b
= n~~oo in dylf(y)j i dxlg(x - y)1
s [:00 dyl/(y)l [:00 dxjg(x _ y)1
= [:00 dylf(y)I [:00 dzjg(z)1
;\
= 1I/11111g111'
Supondo (3.5), a desigualdade triangular segue pois
III + gll; = U + gll + g) = 11111;+ Ulg) + (gin + \\gll;
= 1I/11~+ 2 ReUlg) + IIgll;
s 11/11;+ 2IUlg)\ + IIgll;S 11/11;+ 211/11211g112+ Ilgll;
= (11/112+ IIgI12)2,
onde usamos que Ulg) = (gll) (uma das propriedades do produto interno).
Paraprovar (3.5), vamos fixar I,g E S: enta~ (fIg) = IUlg)lei8 para algum
& E [0,271"1 e portanto, qualquer que seja r E R,
OS (re-i81 + glre-ill I + g)
= r211/11; + re-i8Ulg) + ri8(glf) +llglI;
= r211/11; + 2rIUIg)\ + Ilgll;;
(i) f. 9 = 9 • f,
(ii) U * g) * h = 1• (g * h).
(iii) U + 9) • h = 1• h + 9 • h,
(iv) (>.1). 9 = >'U * g) = 1 * (Ag).
A demonstrac;ao da proposic;ao 3.2 e imediata e a deixaremos a cargo do
leitor; salientamos apenasque a expressao (f * g) * h faz sentido uma vez que
1* 9 E £1 pelolema 3.1 e he limitada.
mas urn polin6mio de segundo grau com coeficientes reais que tern no maximo
uma rail. real tern discriminante menor ou igual a zero, isto e.
1 J+oo . /+00
(f * g)~(O = /2i -00 dx e-t~X -00 dy/(y)g(x - y)
1 /+00 J+oo .= tn= dy/(y) dxe-t~Xg(x - y)
y211' -00 -00
1 /+00 . /+00 .
= - ..•..dy/(y)e-tey dze-t~Zg(z)
/2i -00 -00
= ..ji; i(Og(~).
Vamos i1ustrar com dois exemplos 0 uso da transform ada de Fourier para
obter candidatos a solu<;;aode problemas cnvo1vendo EDP's lineares. Consi-
deraremos primeiro urn problema para a equa<;;aode calor nao homogenea:
U E C2(R X (0, +(0)) n C(R x [0, +00)) limitada,
(4.1) Ut = Uxx + g(x, t) , (x, t) E R X (0,+00),
u(x,O) = f(x) , x E R,
onde 1 E C(R) c 9 E Cl(R x [0, +00) sac fun<;;6eslimitadas dadas. A EDP
em (4.1) e a equa~a? do calor acrcscida de urn termo n5.o homogenco g(x, t).
No problema (4.1) tanto a EDP quanto a condi<;;aoinicial nao sac homogcncas
mas podemos dividf-Io em dais problemas, um com a EDP homogcnea, outra
com a condi~ao inicial homogenca.
Considerc entao os scguintes problemas:
\) E C2(R x (0,+00)) nC(R x [0,+00)) limitada,
(4.2) Vt = Vxx em R x (0,+00),
v(xjo) = I(x) , xE R,
Demonstra~iio: Como f * 9 E £1 pe10 lema 3.1. podemos calcular a trans-
formada de Fourier de 1 * g; alem disso, como as integrais
convergem uniformemente (veja a demonstra<;;ao do lema 3.1), podemos trocar
a ordem de integra<;;aoobtendo
Como I,g E S. pelo lema 2.5 j,g E S, logo (f * g)~ ESe portanto, pelo
teorema 2.4, f * g E S. Falta apenas mostrar (3.7). Para isso, note primeiro
que, usando (3.6) e a formula de inversao em S, se f, g E S,
/
+00 " 1 /+00
-00 f(~)g(~)d~ = /2i -00 (f * g)~(Od~ = (f * g)(O)
/
+00
= -00 l(y)g(-y)dYi
wE C2(R x (0, +00)) n C(R x [0, +00)) limitada,
Wt = Wx:z; + g(x,t) , (x,t) E R x (0,+00)'
w(x,O)=O,XER.
E claro que, se tI e soluc;ao de (4.2) ewe soluc;ao de (4.3), enta~ u = tI + w
e solUl;ao de (4.1). Obtivemos, na ultima sec;ao do capitulo anterior, uma
soluc;ao para 0 problema (4.2) usando 0 metodo de separac;:ao de variaveis:
(4.4) tI(x, t)= 1-:00f(y)K(x - y, t)dy = (J * Ke)(x) , x E R , t > 0
Pelo lema 2.2 do c~pftulo an~erior, como s < t,
/
+00 e-e'(t-a)eiel:t-!l)d~ = J 1f exp (.-(X - y)2)
-00 t-s 4(t-s)
=27rK(x-y,t-s),
1 . _x2
K(x, t) = Kt(x) = ~ exp(-) , x E R , t> 0,
y41l"t 4t
logo
(4.7) w(x, t) = f ds 1-:00dy g(y, s)K(x - y, t - s).
Otw=-ew+g(E,t), t>O,
w(E,O) = O.
Para cada E E R fixo, (4.6) e de fato urn pmblema de valor inicial para
uma EDO de primeira ordem, portanto sua soluc;ao e (mica. Usando 0 fator
integranle eCt, obtemos
Ot(eCtw) = eCtg(e, t)
t
'* ee~w(e,t) = w(e,O) +1 eCBg(e,s)ds
t
'* w(E,t) = e-Ct 1 eCSg(e,s)ds.
Provar que a func;ao w definida por (4.7) e de fato soluc;ao do problema
(4.3) e mais complicado: note que a integral em s e uma integral impr6pria e
que nao podemos aplicar 0 teorema 1.4 do capitulo 8 para derivar a solUl;ao
em t pois K (x - y, t - 8) esta definida apneas para s < t. Apesar disso,
procedendo como na Ultima sec;ao do capitulo anterior, e possivel provar que,
para cada t > 0 fixo, a integral em y (que ja sabemos que converge) tende
para g(x, t) quando s -+ t- e e fkil provar que a integral em (4.7) converge
se t > O. A derivac;ao da integral e mais complicada mas e possivel mostrar
que w e de fato soluc;ao da EDP em (4.3) e que w(x, t) -+ 0 quando t t 0,
portanto w e de fato soluC;ao de (4.3). Com isso, u(x, t) definida por
(4.8) u(x,t) =L:oof(y)K(x-y,t)dy+ f ds L:cody g(y,s)K(x-y,t-s)
se x E R , t > 0 e u(x,O) = f(x), e soluc;ao do problema (4.1). Mais
precisamente, e valido 0 seguinte resultado (que nao demonstraremos):
e 0 nucleo do calor. Observe que, para cada t > 0 fixo, Kt E S.
~ formalmente, como na segunda seC;aodo capitulo 9, para
achar um candidato a soluC;ao de (4.3). Aplicando a transformada de Fourier
na variavel x, obtcmos
Trorema 4.1. Se f E C(R) e 9 E Cl(R x [0, +00)) sao limitadas, entao
u(x,t) definida por (4.8) para t > 0 epor u(x,O) = f(x)
para t = 0 e solur;ao do problema (4.1).
Vamos agora usar a transformada de Fourier para resolver
u EC2(0) n C(O) limitada,
(4.9) Au = 0 em 0,
u(x,O)=f(x) , XER,
onde 0 = {{x, y) E R'2:y > O} e 0 semi-plano superior e f e uma fun~ao
continua e limitada dada. Observe que, se retirarmos a condic;ao de limitayao,
nao ha unicidade: por e~emplol se f == 0, as func;6es ul(Xd/) = ye U2(X, y) =
o tern laplaciano nulo. E possive! provar que 0 problema (4.9) tern uma Unica
soluc;ao.
Vamos aplicar a transfonnada de Fourier em rela~ao a variavel x para
resolver (4.9):
- efL((,y) +a~fL(E,Y) = 0,
fL(E,O) = fw.
Para cada C fixo, a solu~ao geral da EDO em (4.10) e
u(E, y) = A(E)eCY + B(y)e-CY.
1
Y + ix
Por outro lado, pela fonnula de inversao, procurarnos solu~6es do tipo
u(x, y) = ~ /+00 u(E, y)eiCXdc ) y> 0 , x E R,
V 271" -00
que sac lim"itlidas, logo u(c, y) tern que ser lirnitada quando Y -. +00, portanto
A(E) = 0 se E> 0 e B(() = 0 se E < 0, isto e
fL(c,y) = C(C)e-jcIY.
pois y > 0; logo
/
+00 e-lcIYeiCXd( = _1_ + _1_ = _'l_,y_
-00 y+ix y-ix xZ-I-yz'
lmpondo a condi~ao inicial vernos que
fL(E,y) = !We-Iqy
Portanto urn candidato a solu~ao de (4.9) e
1 /+00 y
(4.11) u(x,y) = -; -00 (x _ sF + y2 I(s)ds ,
A fun~ao
e a solu~ao desejada de (4.10). Utilizando a fonnula de inversao obtcrnos
fonnalrnente
1 Y(4.12) P(x, y) = Py(x) = Z 2' x E R , Y > 0
7I"X +y
e chamada 0 nucleo de Poisson de 0 e (4.11) pode scr reescrita na fonna
Da expressao (4.12), e claro que P(x,y) > 0 quaisquer que sejam x E
R , Y > 0, e que P E COO(O). Urn calculo direto mostra que l:1P = 0 e que
/
+00
-00 P(x - s, y)ds = 1.
Quaisquer que sejam 1E e(R) limitada e 1= [.J,b] ~ R,
lim /+00 P(x - s; Y)/(s)ds = I(x), Vx E R
Y~O+ -00
Dernonstra~iio: Seja M > 0 tal que I ~ [-M, Mj. Vamos mostrar que 0
limite e unifonne em [-M, M], isto e, dado e > 0, existe
'7 > 0 tal que
0< y < TJ => 11.:00P(x - s, y)f(s)ds - f(x)! < c: , Vx E [-M: MJ.
Seja E: > O. Como [ e continua em [-2M, 2M], I e unifom1emente continua,
logo existe 01 > 0 tal que
x, s E [-2M, 2M\, Ix - sl ::; 61 ~ \I(x) - I(s)! ::; ~.
Tomando entao 6 = min{61,M}, obtemos
E:
x E [-M,M], Ix - s\::; 6 ~ I/(x) - [(s)l::; 2'
Logo, usando (4.14), qualquer que seja x E [-M,Mj.
11-:
00
P(x - s,y)[(s)ds - I(x)\ = 11-:00P(x - s,y)(I(s) - I(x))ds\
~ 1-:oc>P(X,- s, y)l/(s) - f(x)lds
= 1 P(x - s, y)l/(s) - ftx)jds
Ix-sl~O
+1 P(x - s, y)\/(s) - f(x)lds
Ix-sl~O
E: /+00::;- P (x - s, y) ds
2 -00
+ 2.1 Y2 21f(s) - f(x)lds.
'Ir Ix-sl~O (x - s) + y
Por outro lado, como 1 e limitada, existe uma constante C > 0 tal que
\1-~P(x - s,y)f(s)ds - /(x)\
<.:. + 29 r y ds
- 2 'Ir J\X-SI?o (x - sF + ,:p
E: 4C 'Ir 6= - + -(- - aretan(-)).
2 n; 2 y
Como arctan S -. 'Ir/2 quando s -. +00 e arctan s < 1r/2. existe fJ > 0 tal que
1r 6 'irE:
o < Y < fJ ~ 0 ::; 2' - arctan y < 4C 2'
Logo
0< Y< fJ ~ 11-:00P(x - s, '1)f(s)ds - /(X)\ < E: "Ix E '[-M, M].
Seja / E C(R) limitada.
( )_{U*Py)(X)u x,y - [(x)
Entao a (um;ao
se 11 > 0 , x E R,
se y = 0 , x E R,
Demonstra~o: Em primeiro lugar, e fkil mostrar por indUiyao que
an P( ) 1 Pn(X, y)
x x,y =-;;:(x2+y2)n-tl'anp( ) 1 qn(x2,y)
y :::,y =-;;:(x2+y2)n-tl'
onde Pn c qn sac polinomios, Pn(x, y), como polinomio em x, tern grau n e
qn(X2, y), tambem como polin6mio em x, tern grau n, se n par, e n + 1, se n
impar, de modo que as integrais impr6prias1-:00la~p(x-s,y)lds, 1-:00la~p(x-~y)lds
convergcm. Aplicando entiio 0 teorema 2.1 do capitulo 9, como 1 e limitada,
podemos derivar debaixo do sinal de integral quantas vczes quisennos para
obter que
/
+00
u (x, y) = _00 P (x - s, y) f( s )ds , (x, y) EO,
e de classe Coo em 0. Alem disso. se (x, y) EO,
.6.u(x, '1) = 1-+00
00
.6.P(x - s, y)f(s)ds = o.
Observe tambem que tL e continua pelo lema 4.3 e limitada pois
11-:00P(x - s, y)!(S)dSI ~ C
Na verdade, e possivel provar que u e analitica real em n (ist.o e, pode
ser rcpresentada pcla sua serie de Taylor em uma:. vizinhan~a de qualquer
ponto (xo, Yo) EO); essa e. na vcrdade, uma propriedade de qualquer junqao
harmonica (isto e, qualquer fun<;:aode classe C2 que satisfaz a cqua<;:ao de
Laplace).
1. Calcule astransformadas de Fourier das fun\oes abaixo:
(i) fIx) = e-a1xl , a> 0;
(ii) fIx) =e:-:-~x' , a> 0;
(iii) fIx) = {l-IXI se Ixl ~ I,
o se Ixl > 1;
(iv) fIx) = e-a1xj cos(cx) , a> 0 , c E R;
(v) f(x) = e-ax' sen(cx) , a >0 , c E R..
2. Mostre as seguintes propriedades da transfomnda de Fourier:
(i) 1[f(-x)]W = il-E);
(ii) 1[f(x)lW = il-E);
(iii) 1[f(xja)]W = a ](aE) , a t= 0;
(iv) 1[f(x - b)]W = e-ibE 1(0 , bE R;
(v) 1[f(x)e-iex]W = ](E + c) , c E R,
3. Calcule a transformada de Fourier das fun\oes abaixo:
(i) I(x) = {1-IX-21 sc IX-21 ~ 1,
o se Ix - 2: > 1;
('('1) I( ) ~x = exp(- -; );
(iii) fIx) = e-(iX+x');
(iv) I(x) = {l-lxl/a se Ixl ~ I.J., (a>O)
o . se Ixl > a.
4. Seja r [0, +00) ~ R absolutamcnte intcgravel, isto e, intcgravel em qual-
quer intervalo [a, b] ~ [0,+00) e satisfazendo
j+oo lbIf(x)ldx = lim I/(x)ldx < +c:c,
a b-+oo 0
Fe(E) = l+co I(x) cos(Ex)dx , E E R,
Fs(O = l+co I(x) sen((x)dx , (E R.
(i) Mostre que, se Ip: R ~ Rea extensao par de f, entiio
FeW = j1fj2(fprl().
(ii) Prove que, se Ii: R ~ Rea extensao lm'par de I, Fs(() = iJ1f /2(firl ().
(iii) Se I(x) = e-ax , a > 0, mostre que FeW = a(a2 + e)-i e Fs(O =
((a2 + e)-i.
5. (i) Prove a f6rmula do somat6rio de Poisson: se fECi (R) e tal que existe
K > 0 com I/(x)1 + 1f'(x)1 ~ K(1 + X2)-1 para todo x E R, entao, qualquer
que seja L > 0 fixo,
~ ..;z:i ~ ,n1f inn
L. f(x+2kL)=2f: L. f(T)exp(r;-)'
k=-co n=-co
(ii) ApJiqllC 0 resultado acima para a func;ao fIx) = (a2+x2)-1 , a> 0, para
obter
6. Scja f E C(R) n £1 (real!). Mostre que:
(i) !(E) E R qualquer que seja ( E R se e somente se f e uma fun«ao par,
(ii) hE) e imaginario puro qualqller que seja ( E R se e somente se I e
impar.
Se930 2: 0 Espa90 de Schwartz
1. Moslre que, se f E S, a f6rmula de inversao pode ser escrita oa forma
r+COI(x) = fa [A(~) cos((x) + B(~) gen(~x)ldx.
Ache os coefJciemes A(E) e B(E).
2. Prove a formula (2.13)
3. Suponha que 1 E Gc(R) e tal que xn f(x) e uma fun<;ao em [1, onde
n E N. Mostre que f E C~(R) e que vale a formula (2.6) para (3= 1, ... In.
4. (i) Sejam I urn intervalo limitado e XI sua fun<;ao caracteristica, isto e,
XI(x) = 1 se x E I, XI(x) = 0 se Xrt.I. Mostre que XI pode ser aproximada
por fun<;5es de S em rela<;ao a II . Ill, isto e, existe uma sequencia {'Pn} ~ S
tal que
IIXI - 'Pnlll = i IXI(x) - 'Pn(x)\dx = lr 11- 'Pn(x)ldx -+ 0
quando n -+ +00; equivalentemente, dado E: > 0 existe 'P E S tal que
IIXI - 'PIll < c. (Sugestao: um prot6tipo de uma fun<;ao que "suaviza" urn
salto e.
(L irvrl~l oft· { 0 1 1 se x S 0,
I(x) = exp(-~ex*l-=-X) se 0 < x < 1,
,~O sex;:::!.
Esta fun<;ao interpola entre os valores zero para x S 0 e urn para x ;:::.1 de-:£
maneira infinitamente diferencia.vel. Utilize modifica<;6es convenientes deJ!
para obter a sequencia {'Pn}.) ~~
(ii) Umafunrao escad~ E e uma fun<;ao seccionalmente continua (que supo-
remos continua a direita) que assume apenas um numero finito de valores,
isto e, existem nlimeros ao < al < ... < an e Ao, Al' ... ,An+l tais que
n+l
E(x) = I: AjCli(X)
;=0
onde 10= (-oo,ao), Ij = [aj_l>aj) se 1 S j S n e In+1 = [an,+oo).
Prove que toda fun<;ao escada de suporte compacta (ista e, AO = 0 = An+l)
pode ser aproximada por fun<;6es de S em rela<;ao a 1\ . 1\1-
(iii) Se IE [1 e seccionalmente continua, mostre que! pode ser aproximada
por fun<;6es escada de suporte compacta em rela<;ao a II . lit·
(iv) Conclua que as funy5es de £.1 que sac seccionalmente contmuas podem
ser aproximadas por fun<;5es de S em rela<;ao a II . 1\1-
Seg3.o 3: A Operac;ao de Convolu930
1. Mostre que se I,g E £.1n Gc(R) e 9 e limitada entao f * 9 E [1 nGc(R)
e III· gill S 1I/11111g111'
2. (Este problema esta relacionado com 0 quarto exercfcio da se~ao anterior.)
(i) Se I e urn interValo limitado, mostre que XI pode ser aproximado par
fun<;6es de S em rela<;ao a II . 112'
(ii) Prove que toda fun<;ao escada de suporte compacto pode ser aproximada
por fun<;6es de S em rela<;ao a II . Ik·
(iii) Seja f: R -+ C seccionalmente continua e suponha que 1 e de quadrado
integravel, isto e,
Mostre que 1 pode ser aproximada por fun<;6es escada de suporte com-
pacto em rela<;ao a 1\ . 1\2.
(iv) Deduza que toda fun<;ao seccionalmente continua de quadrado integravel
po de ser aproximada por fun<;6es de 1 em rela<;ao a II . 1\2-
(v) Conciua que se f E £.1 e seccionalmcnte continua e de quadrado in-
tegravel entao j e uniformemente continua, de quadrado integravcl e
vale a identidade de Parseval.
3. Sejam! e 9 fun<;6es escada de suporte compacto.· Prove as seguintes
propriedades:
(i) 1* 9 e continua e tem suporte compacto:
(ii) (f * g)~W = -Iii !(C)§(C) qualquer que seja EE R;
(iii) (f * 9rE £.1;
(iv) U * g)(O) = Jk JRU * g)~(~)d~;
(v) U * g)(z) = fin: JR(f * g)~(EleieXd~ para todo x E R.
4. Demonstre a proposi<;ao 3.2.
S. (i) Calcule a transformada de Fourier de ~I' onde I = I-a, a) , a> O.
(ii) Use (i) e os resultados do exercfcio 3 para calcular