Métodos para Solução de Equações

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Solução de equações Transcendentes e Polinomiais – Raízes de equações
As raízes reais são os valores de x para os quais y é nulo, ou seja, a interseção do gráfico com o eixo x.
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Método iterativo na solução de equações - Dada a função contínua, f(x) num intervalo I determinar uma raiz α ∈ I da equação f(x)=0 com precisão escolhida. A partir de um valor inicial ou de um intervalo, iterações sucessivas são realizadas até que a diferença entre duas “candidatas” a raiz tenha diferença menor que a precisão determinada.
Equação f(x) = 0
Valor inicial xo e tolerância e;
Fórmula de recorrência que gera x1, x2,..xk;
Critério de parada ((xi+1- xi( ( e);
f(xk) ( 0.
Teorema de Bolzano - Considere um intervalo (a,b) do domínio da função f(x). Se f(a).f(b) > 0, existe um número par de raízes reais no intervalo (a,b). Se f(a).f(b) < 0, existe um número ímpar de raízes reais no intervalo (a,b).
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Métodos de intervalo:
Método da Bisseção - Determina uma raiz x de uma função f(x) num intervalo [xa,xb] ( R onde f(xa)*f(xb)<0. A ideia é diminuir o intervalo através de repetidas divisões ao meio do intervalo [xa,xb] , de tal forma que o valor de xa tenda ao valor de xb, ou seja, que a raiz c ( xa ( xb e que f(c) seja aproximadamente nula dentro de uma certa tolerância e.					�
Exemplo: Seja a função f(x) = x2 – 3. Determinar a raiz positiva com tolerância de 0,1.
Equação: x2 – 3 = 0;
f(0) = -3 e f(2) = 1. Existe uma raiz real em [0,2];
Xm = (0+2)/2 = 1
f(1) = -2
f(1).f(2) < 0. Então a raiz está no intervalo [1,2]
Xm = (1+2)/2 = 1,5 (1,5 – 1 = 0,5 > 0,1)
f(1,5) = -0,75
f(1,5).f(2) < 0. Então a raiz está no intervalo [1,5;2]
Xm = (1,5+2)/2 = 1,75 (1,75 – 1,5 = 0,25>0,1);
f(1,75) = 0,0625
f(1,5).f(1,75)< 0. Então a raiz está no intervalo [1,5;1,75]
Xm = (1,5+1,75)/2 = 1,625 (1,75 – 1,625 = 0,125>0,1);
f(1,625) = -0,360
f(1,625).f(1,75)< 0. Raiz está no intervalo [1,625;1,75]
Xm = (1,625+1,75)/2 = 1,6875 (1,75 – 1,625 = 0,125>0,01);
f(1,6875) = -0,1523
f(1,69).f(1,75) < 0. Então a raiz está no intervalo [1,69;1,75]
Xm = (1,69+1,75)/2 = 1,72 (1,72 – 1,69 = 0,03 < 0,1);
Raiz aproximada é 1,72.
Exemplo: Determine a raiz da função f(x) = ex – 3x localizada no intervalo [0; 1], com erro de 0,01.
f(0) = 1 e f(1) = -0,28172. Assim, f(0). f(1) < 0
Xm = (0 + 1)/2 = 0,5
f(0,5) = 0,14872
f(0,5).f(1) < 0. Então a raiz está no intervalo [0,5;1]
Xm = (0,5+1)/2 = 0,75 (0,75 – 0,5 = 0,25 > 0,01);
f(0,75) = - 0,13300
f(0,5).f(0,75) < 0. Então a raiz está no intervalo [0,5;0,75]
Xm = (0,5+0,75)/2 = 0,625 (0,75 – 0,625 = 0,125 > 0,01);
f(0,625) = -0,00675.
f(0,5).f(0,625) < 0. Raiz está no intervalo [0,5;0,625]
xm = (0,5 + 0,625)/2 = 0,5625 (0,625 – 0,5625 = 0,0625 >0,01)
f(0,5625) = 0,06755
f(0,5625).f(0,625) < 0. Raiz está no intervalo [0,5625;0,625]
xm = (0,5625+0,625)/2 = 0,59375 (0,59375 – 0,5625 = 0,03125 > 0,01);
f(0,59375) = 0,02952
f(0,59375).f(0,625) < 0. Raiz está no intervalo [0,59375;0,625]
Xm = (0,59375+0,625)/2 = 0,61 (0,61 – 0,60 = 0,01)
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Método da Falsa Posição (das Cordas) - A estimativa do zero da função Y=f(X) é feita a partir da reta secante que une os pares extremos (a,f(a)) e (b,f(b)) do intervalo analisado. O ponto em que essa reta secante intercepta o eixo das abscissas corresponde à estimativa do zero da função. Se o valor estimado não atender à tolerância estabelecida para o problema redefine-se o intervalo de estudo, repetindo-se a estratégia até que a tolerância seja verificada.				�
Fórmula de Recorrência:
Equação da reta:
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Na interseção y = 0:
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Exemplo: Seja a função f(x) = x2 – 3. Determinar a raiz positiva com tolerância de 0,1.
Equação: x2 – 3 = 0;
a = 0; b = 2; f(a=0) = -3 e f(b= 2) = 1;
X = (0.1 – 2.(-3))/(1-(-3)) = 1,5
f(1,5) = -0,75
f(1,5).f(2) < 0. Então a raiz está no intervalo [1,5;2]
X = (1,5.1 – 2.(-0,75)/(1-(-0,75)) = 1,714 (1,714 – 1,5 = 0,214 > 0,1)
f(1,714) = -0,0622
f(1,714).f(2) < 0. Então a raiz está no intervalo [1,714;2]
X = (1,714.1 – 2.(-0,0622)/(1-(-0,0622)) = 1,730 (1,730 - 1,714 = 0,016 < 0,1)
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	1a Questão (Ref.: 201309166732)
	
	Seja a função f(x) = x3 - 8x. Considere o Método da Falsa Posição para cálculo da raiz, e os valores iniciais para pesquisa 1 e 2. Assim, empregando o método, na iteração seguinte, a raiz deverá ser pesquisada no valor:
	
	
	2
	
	-3
	 
	-6
	
	1,5
	
	3
	 2a Questão (Ref.: 201309208825)
	
	Suponha a equação 3x3 - 5x2 + 1 = 0. Pelo Teorema de Bolzano é fácil verificar que existe pelo menos uma raiz real no intervalo (0,1). Utilize o método da bisseção com duas iterações para estimar a raiz desta equação.
	
	
	0,500
	
	0,750
	
	0,715
	
	0,687
	 
	0,625
	 3a Questão (Ref.: 201309209047)
	
	Abaixo tem-se a figura de uma função e a determinação de intervalos sucessivos em torno da raiz xR . Os expoentes numéricos indicam a sequência de iteração.
Esta é a representação gráfica de um método conhecido com:
	
	
	Gauss Jordan
	
	Ponto fixo
	
	Gauss Jacobi
	 
	Bisseção
	
	Newton Raphson