Apostila Fisica experimental

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UNIVERSIDADE FEDERAL FLUMINENSE 
POLO UNIVERSITÁRIO DE VOLTA REDONDA 
ESCOLA DE ENGENHARIA INDUSTRIAL E METALÚRGICA DE VOLTA REDONDA 
DEPARTAMENTO DE CIÊNCIAS EXATAS 
 
 
 
DANIELLA LOPES PINTO 
SÉRGIO FELIPE F. SILVA 
UNIVERSIDADE FEDERAL FLUMINENSE 
POLO UNIVERSITÁRIO DE VOLTA REDONDA 
ESCOLA DE ENGENHARIA INDUSTRIAL E METALÚRGICA DE VOLTA REDONDA 
DEPARTAMENTO DE CIÊNCIAS EXATAS 
 
 
 
APOSTILA AUXILIAR DE FÍSICA EXPERIMENTAL 
 
 
 
DANIELLA LOPES PINTO – MONITORA DE FÍSICA EXPERIMENTAL I (2014) 
SÉRGIO FELIPE F. SILVA – MONITOR DE FÍSICA EXP. II (2014) E I (2015) 
 
 
 
Apostila auxiliar para os alunos de Física 
Experimental I, II e III da EEIMVR, cujo 
objetivo é ajudar no entendimento dos 
conceitos básicos, sendo estes fundamentais 
para o cumprimento das atividades das 
disciplinas. 
 
 
Capa elaborada pelos autores. 
 
 
1º Orientador: Prof. D.Sc. Wellington Gomes Dantas 
2º Orientador: Prof. D.Sc. Rogério Menezes de Almeida 
 
 
 
Volta Redonda, 
2015 
 
 
 
Sumário 
1 TEORIA DE ERROS ................................................................................................ 1 
1.1 Introdução ....................................................................................................... 1 
1.2 Conceitos básicos ........................................................................................... 1 
1.2.1 Média e desvio padrão ........................................................................... 1 
1.2.2 Incertezas ............................................................................................... 2 
1.3 Precisão x Acurácia ......................................................................................... 6 
1.4 Forma Padrão.................................................................................................. 7 
1.5 Arredondamento de números .......................................................................... 8 
2 GRÁFICOS ............................................................................................................. 13 
2.1 Conceitos básicos ......................................................................................... 13 
2.2 Histograma .................................................................................................... 16 
2.3 Gráficos logarítmicos ..................................................................................... 17 
2.4 Principais erros em gráficos .......................................................................... 19 
3 TABELAS ............................................................................................................... 21 
3.1 Conceitos básicos ......................................................................................... 21 
3.2 Principais erros em tabelas ........................................................................... 22 
4 LEIS DE POTÊNCIA .............................................................................................. 24 
4.1 Conceitos básicos ......................................................................................... 24 
4.2 Métodos de linearização ................................................................................ 25 
4.2.1 Linearização com logaritmo .................................................................. 25 
4.2.2 Linearização com gráfico em escala logarítmica .................................. 29 
4.2.3 Linearização quando o expoente da lei de escala é conhecido ............ 30 
5 PROPAGAÇÃO DE ERROS .................................................................................. 34 
6 MÍNIMOS QUADRADOS........................................................................................ 37 
6.1 Introdução ..................................................................................................... 37 
6.2 Considerações e conceitos preliminares ....................................................... 37 
6.3 Ajuste de uma função linear .......................................................................... 38 
BIBLIOGRAFIA ......................................................................................................... 47 
APÊNDICE A – Derivação Parcial ............................................................................. 48 
 
1 
 
1 TEORIA DE ERROS 
1.1 Introdução 
Medidas experimentais, diferentemente do que acontece em cálculos teóricos, 
não fornecem resultados exatos. Toda e qualquer mensuração é afetada por erros 
que provêm tanto de fontes aleatórias, como condições ambientais e equívocos no 
ato de medir, como de limitações do próprio instrumento de medida. 
Um exemplo em que essas dificuldades ficam evidentes é dado no problema 
mostrado na Figura 1.1.1, onde se tenta medir o comprimento de uma peça. Observe 
que as reentrâncias da peça não permitem estabelecer um ponto único de referência 
para o início e o final da mesma. 
Figura 1.1.1: Peça sendo medida com o auxílio de uma régua. 
 
Fonte: Elaborada pelo 1º orientador. 
 
Além disso, é visto que o aparelho de medida também leva a uma incerteza, 
pois o final da peça pode estar entre duas divisões da régua, o que torna impossível 
determinar exatamente o valor deste comprimento. 
Devido a estas incertezas, é necessário elaborar um método de apresentar 
resultados de medidas experimentais que contemplem os diferentes gêneros de erros. 
Nas próximas seções desta apostila, esses métodos serão discutidos, levando a uma 
forma apropriada para a apresentação dos resultados de medidas experimentais. 
 
1.2 Conceitos básicos 
1.2.1 Média e desvio padrão 
Como foi visto no exemplo acima, não se pode determinar mais do que 
um valor aproximado para uma medida. Isso ocorre devido às incertezas nas 
2 
 
medições. Para um maior aprofundamento na análise probabilística da Teoria de 
Erros, como também de toda a presente apostila, consulte o livro Fundamentos da 
Teoria de Erros, de José Henrique Vuolo (Editora Edgard Blücher Ltda.). 
O melhor valor aproximado que representa uma grandeza, que se está 
medindo � vezes, é a média, que pode ser calculada pela Eq. (1.1). 
 � = �� + �� + �� + ⋯ + �	
� + �	� = ∑ ��
	�
�� (1.1)
Como a melhor aproximação é a média, então a incerteza relacionada a esta 
medida está ligada à dispersão dos valores ao redor dela. A partir disso, pode-se 
calcular o desvio padrão, Eq. (1.2), pois este mostra o quanto de variação ou 
dispersão existe em relação à média. 
 � = �∑ �� − ����	�
�� − 1 (1.2)
1.2.2 Incertezas 
Uma mesma medição pode estar suscetível a vários tipos de incertezas 
(erros). Vejamos algumas delas. 
Os erros estatísticos, também chamados erros aleatórios, são erros 
acidentais ou casuais, que podem ser causados por mudanças na temperatura, 
pressão, umidade, etc. Não necessariamente ocorrem em todas as medições. Esta 
medida é o desvio padrão do valor médio, que pode ser calculado pela Eq. (1.3). 
 
�� = Δ������í����� = �√� (1.3)
Onde � é o número de medições realizadas. 
 
Exemplo 1.2.1: Dados os seguintes valores, pede-se que o erro estatístico 
seja calculado. 
�� = 3,6; �� = 3,9; �� = 4,1 
Resolução: 
→ Cálculo da média: 
3 
 
 �̅ = 3,6 + 3,9 + 4,13 = 3,866 
→ Elaboração de tabela auxiliar: 
 
 
 
 
 
 
�() − (*� �() − (*�+ 
3,866 − 3,6 0,070756 
3,866 − 3,9 0,001156 
3,866 − 4,1 0,054756 
→ Cálculo do desvio padrão: 
 
,��̅ − ����
	
�
�
= 0,126668 
� = �0,1266683 − 1 = 0,251662 
→ Cálculo do erro estatístico: 
 
Δ�estat = 0,251662√3 = 0,145297 
 
Os erros sistemáticos, também chamados de erros instrumentais, são 
provenientes de características intrínsecas ao instrumento, como o material usado em 
seus componentes, que influi em uma incerteza na calibração e,consequentemente, 
na incerteza dos valores obtidos na coleta de dados. Como o próprio nome diz, ocorre 
sistematicamente em todas as medições (é o mesmo para qualquer medida obtida por 
tal instrumento). 
Há duas formas básicas de erro sistemático de acordo com a natureza do 
instrumento. Se este for analógico, a incerteza é dada pela metade da menor medida 
de sua escala, isto é, �/2. Veja o exemplo da Figura 1.2.1. 
São exemplos de instrumentos analógicos a régua, o paquímetro, balanças 
de ponteiro, multímetro analógico, proveta graduada, termômetro, entre outros. Em 
geral, são aqueles que não fornecem a medida diretamente por algarismos, mas sim 
através de divisões espaçadas entre si. 
 
4 
 
Figura 1.2.1: Objeto sendo medido por uma régua milimetrada. Neste caso, sendo a régua um 
instrumento analógico, seu erro sistemático é sua menor medida dividida por 2, ou seja, 0,5 mm. 
 
Fonte: Elaborada pelos autores. 
 
Se o aparelho for digital, a incerteza é dada como uma unidade da menor 
medida � (algarismo mais à direita no visor do instrumento). Veja a Figura 1.2.2. 
 
Figura 1.2.2: Balança digital com erro de 0,1g. Como neste caso o instrumento é digital, a incerteza é 
diretamente uma unidade da menor medida fornecida pelo mesmo. 
 
Fonte: BALANÇA digital. Lendo Mais. Disponível em: <http://www.lendomais.com.br/>. Acesso Jan. 
2015. Adaptada. 
 
Como exemplo de instrumentos digitais, cita-se balanças digitais, 
cronômetros, multímetros digitais, entre outros. São aqueles que fornecem a medida 
diretamente por algarismos em um visor digital. Vale lembrar que existem situações 
em que o erro do instrumento digital vem especificado no manual do fabricante, como, 
por exemplo, no caso dos multímetros digitais. Portanto, nestes casos, o erro não será 
o convencional e sim o expresso no manual. 
5 
 
Os erros adicionais são provenientes de variáveis externas ao experimento, 
e que influem diretamente na obtenção da medida, como erros humanos 
(observacional) ou variáveis do ambiente (ambiental). Estas incertezas são estimadas 
levando em conta os aspectos da medida. 
Exemplo 1.2.2: Em uma situação na qual seja necessário realizar uma única 
medida de volume de um determinado líquido com o auxílio de uma proveta graduada, 
vide Figura 1.2.3, pode haver a formação de menisco (curvatura superficial do líquido), 
o que dificulta na obtenção da medida correta no volume. Neste caso, não se pode 
determinar a incerteza da medida do volume pura e simplesmente considerando 
somente o erro sistemático (já que o erro estatístico seria nulo por ser medida uma 
única vez), é necessário também considerar um erro adicional. Veja o motivo. 
Note pela figura que o menisco está maior que a incerteza da graduação da 
proveta (0,1 cm³), a mesmo está, pelo menos, entre 9,6 e 10,0 cm³. Ou seja, o 
tamanho deste intervalo (0,4 cm³) é maior que o erro sistemático. 
 
Figura 1.2.3: Proveta graduada contendo um líquido cujo volume é medido. Veja no detalhe que 
existe um menisco que impede a obtenção mais exata da medida. 
 
Fonte: Elaborada pelos autores. 
 
Em termos gerais, se apenas fosse considerado a incerteza da proveta 
(0,1 cm³), tal valor não representaria verdadeiramente a incerteza total do volume, 
6 
 
pois o menisco impede que o valor mais exato do mesmo seja obtido e tem uma 
dimensão maior que a incerteza da proveta. Daí vem a necessidade de um erro 
adicional para compensar essa diferença. 
Neste caso, sabe-se pela figura que o líquido não extrapola os limites de 
10,0 cm³ e 9,6 cm³. Levando em conta esse intervalo, pode-se estimar um erro 
adicional como a metade do intervalo (0,2 cm³). Lembre-se de que uma incerteza é 
representada com o sinal ±, sendo assim, o intervalo da incerteza ± 0,2 cm³ abrange 
exatamente o intervalo de 0,4 cm³ entre 10,0 e 9,6 cm³, pois +0,2 − (−0,2) = 0,4 
(limite superior menos o limite inferior). 
Englobando todos as incertezas anteriores, tem-se o erro total, que é a 
incerteza resultante (as que existirem), obtida da relação expressa na Eq. (1.4). 
 Δ�����7 = ±8�Δ�������� + �∆����� + Δ��:����;�7�� (1.4)
Exemplo 1.2.3: Para o exemplo da proveta graduada acima, tem-se: 
 
Δ<����7 = ±8�Δ<������� + �∆<���� + Δ<=�;������ 
= ±80� + �0,1 + 0,2�� 
= ±0,3 cm� 
 
Note que, tomando a média dos limites do menisco como medida final do 
volume, o intervalo da incerteza irá conter as medidas dos dois limites do menisco. 
 
<final = �9,8 ± 0,3� cm� limite superior de intervalo → 9,8 + 0,3 = 10,1 cm� 
limite inferior do intervalo = 9,8 − 0,3 = 9,5 cm� 
 
1.3 Precisão x Acurácia 
Precisão é um termo utilizado para descrever valores próximos entre si e que 
possuem pequena dispersão em relação à média, ou seja, possuem pequeno erro 
estatístico. Em uma amostra de medidas com boa precisão, é possível obter valores 
com muitos dígitos, dos quais os mais significativos, em geral, são iguais ou bem 
próximos. Em suma, a precisão é a relação entre a incerteza e o valor da medida, 
7 
 
conforme a Eq. (1.5). Pode ser expressa em termos de porcentagem e, quanto menor 
o seu valor, mais precisa é a medida. 
 Precisão = MΔ��̅ M (1.5)
Acurácia (ou exatidão) é um termo utilizado para descrever valores próximos 
do valor esperado, ou seja, são valores com erro total pequeno. Pode ser obtida pela 
Eq. (1.6). Também pode ser expresso em termos de porcentagem e, quanto menor o 
valor, mais exata a medida. 
 
Acurácia = P�esperado − �experim�experim P (1.6)
Valores precisos não indicam que os mesmos serão exatos. Deve-se lembrar 
de que a medida ainda pode possuir um erro sistemático relativamente grande 
comparado à medida esperada. 
 
1.4 Forma Padrão 
Existe uma forma padrão para escrever a média de um conjunto de medidas 
de mesma natureza e sua respectiva incerteza. Esta é dada no formato da Eq. (1.7). 
 
� = �� ± ∆�����7� (1.7)
Para escrever um valor na forma padrão, deve-se primeiro ajustar sua 
incerteza obedecendo a seguinte regra. 
a) Quando o primeiro algarismo do erro total for 1 ou 2, este deve ser escrito 
com 2 algarismos significativos. 
Exemplo 1.4.1: 0,1346 → 0,13 0,0002316 → 2,3 ∙ 10
S 
 1,2322 → 1,2 100023,89 → 1,0 ∙ 10T 
b) Quando o primeiro algarismo do erro total for 3 ou maior, este pode ser 
escrito tanto com 1 como com 2 algarismos significativos. 
Exemplo 1.4.2: 3,3446 → 3 ou 3,3 0,00716 → 7 ∙ 10
� ou 7,2 ∙ 10
� 
 4,1288 → 4 ou 4,1 6000600,0 → 6 ∙ 10U ou 6,0 ∙ 10U 
8 
 
Observe que zero à esquerda não é algarismo significativo, mas à direita sim. 
Exemplo 1.4.3: Δ� = 0,05 possui apenas um algarismo significativo 
Δ� = 0,050 possui dois algarismos significativos. 
 
Para escrever a medida na forma padrão, após ajustar o número de 
algarismos significativos da incerteza, deve-se escrever a média acompanhando o 
número de casas decimais estabelecido para a incerteza. 
Exemplo 1.4.4: Escreva � na forma padrão, sabendo que 
 
� = 5,3421 cm 
V� = 0,2134 cm 
Resolução: 
→ Respeitando as regras acima, o valor � na forma padrão fica: 
 
� = �5,34 ± 0,21� cm 
1.5 Arredondamento de números 
De X000... a X499... faz-se truncamento, ou seja, os algarismos excedentes 
são eliminados e o valor X é mantido. 
Exemplo 1.5.1: 1,34 → 1,3 5,6532 → 5,65 
 23,542 → 23,54 3,29165 → 3,29 
 
De X500... a X999... faz-se arredondamento, ou seja, os algarismos 
excedentes são eliminados e o valor X é acrescido em uma unidade. 
Exemplo 1.5.2: 7,89 → 7,9 1,3468 → 1,35 
 3,457 → 3,46 9,341893 → 9,342 
 
Em X5000... o arredondamento deve transformar o valor X em par. Caso X 
seja ímpar, este é acrescido em uma unidade, caso já seja par, seu valor é mantido. 
Exemplo 1.5.3: 3,65 → 3,6 5,675→ 5,68 
 
9 
 
A seguir, tem-se um exemplo prático que engloba conceitos vistos 
anteriormente. 
Exemplo 1.5.4: Um aluno foi encarregado de medir o diâmetro de um disco. 
Ele tinha à disposição uma régua milimetrada e um paquímetro de erro instrumental 
igual a 0,05 mm. O aluno realizou, para cada instrumento, 4 medidas do diâmetro, 
estando estas mostradas na tabela a seguir. 
WR �cm� WP �cm� 
6,15 6,095 
6,10 6,090 
6,05 6,100 
6,10 6,000 
 
Pede-se: 
a) Qual dos instrumentos é mais preciso? Justifique. 
b) A medida final, na forma padrão, do diâmetro para cada um dos 
instrumentos. 
c) Sabendo que a medida do diâmetro especificada no disco, ou seja, a 
esperada, é de 6 cm, qual das medidas encontradas no item ‘b’ é mais 
exata? Justifique. 
 
Resolução: 
(a) O instrumento mais preciso é o paquímetro, pois as medidas realizadas 
com este possuem valores todos muito próximos entre si, possuindo pequena 
dispersão em relação à média. Além disso, é possível comparar as precisões da régua 
e do paquímetro utilizando a Eq. (1.5): 
→ Cálculo da precisão da régua: 
Inicialmente, é necessário calcular a média dos valores medidos pela régua: 
 
Y)R = 6,15 + 6,10 + 6,05 + 6,104 = 6,10 cm 
Precisão = M0,056,10M = 0,0081967 = 0,82% 
→ Cálculo da precisão do paquímetro: 
Da mesma forma, calcula-se a média dos valores medidos pelo paquímetro: 
10 
 
 
Y)P = 6,095 + 6,090 + 6,100 + 6,0004 = 6,07125 cm 
Precisão = M 0,0056,07125M = 0,0008236 = 0,082% 
Como o valor da precisão calculado para o paquímetro é menor, este é mais 
preciso. 
(b) Medida do diâmetro na forma padrão: 
→ Medidas realizadas com a régua: 
Primeiro calcula-se a média: 
 Y)R = 6,15 + 6,10 + 6,05 + 6,104 = 6,10 cm 
Tendo calculado a média, calcula-se o desvio padrão da medida, cujo valor 
será posteriormente utilizado para o cálculo do erro estatístico. 
W) R − WR* [W) R − WR*\+ 
− 0,05 0,0025 
0 0 
0,05 0,0025 
0 0 
∑ 0,005 
 � = �0,0053 = 0,040825 cm 
Após calcular o desvio padrão, calcula-se o valor do erro estatístico: 
 
�VY]�estat = 0,040825√4 = 0,020412 cm 
Como a régua é milimetrada, a menor medida que esta pode realizar é de 
1 mm. Já que é um instrumento analógico, seu erro instrumental é a metade da menor 
medida, ou seja, 0,5 mm, que equivale a 0,05 cm. 
Possuindo o valor do erro estatístico e do erro instrumental, é possível calcular 
o valor do erro total: 
11 
 
 �VY]�total = 8�0,05�� + �0,020412�� = 0,054006 cm 
Desta forma, é possível escrever o valor medido do diâmetro do disco medido 
pela régua na forma padrão: 
 
Y] = �6,100 ± 0,054� cm 
→ Medidas realizadas com o paquímetro: 
Realiza-se o mesmo processo acima, no entanto, utilizando os valores 
medidos pelo paquímetro: 
 Y)P = 6,095 + 6,090 + 6,100 + 6,0004 = 6,07125 cm 
O desvio padrão: 
W)^ − W^* [W)^ − W^*\+ 
− 0,0237 0,00056 
− 0,0187 0,00035 
− 0,0287 0,00083 
0,0713 0,00508 
∑ 0,00682 
 
� = 0,047675 cm 
O erro estatístico: 
 
�ΔYP�estat = 0,023838 cm 
O erro instrumental, nesse caso, já foi fornecido pelo enunciado: 
 
�ΔYP�instr = 0,05 mm = 0,005 cm 
 
 
12 
 
O erro total: 
 �ΔYP�total = 8�0,005�� + �0,023838�� = 0,0243567 cm 
Na forma padrão: 
 
YP = �6,071 ± 0,024� cm 
(c) Os valores das medidas realizadas pelo paquímetro são mais exatos, pois 
possuem menor erro total, sendo portanto mais próximos do valor esperado. Além 
disso, pode-se calcular o valor da exatidão das medidas realizadas por ambos os 
instrumentos utilizando a Eq. (1.6). 
Cálculo da exatidão da régua: 
 Exatidão = M6,0 − 6,16,1 M = 0,01639 = 1,6% 
Cálculo da exatidão do paquímetro: 
 Exatidão = M6,0 − 6,071256,07125 M = 0,01173 = 1,2% 
Como o valor calculado para o paquímetro é menor, este instrumento é o mais 
exato. 
 
13 
 
2 GRÁFICOS 
2.1 Conceitos básicos 
Gráfico é a tentativa de se expressar visualmente dados ou valores 
numéricos, de maneiras diferentes, assim facilitando a compreensão dos mesmos 
(WIKIPEDIA, 2015). Quando se trata da organização de resultados obtidos em um 
experimento, eles têm presença certa. 
Para a elaboração correta de um gráfico há algumas regras que serão 
exemplificadas nos itens e figuras abaixo. 
a) Apresentar os eixos coordenados, além de um título com uma breve 
descrição do que trata o gráfico, especificando qual medida e unidade 
cada eixo representa, indicando também, se necessário, a potência de 10 
pela qual os valores da escala estão sendo multiplicados. Veja a Figura 
2.1.1. 
Figura 2.1.1: Exemplificação de como proceder para a elaboração de um gráfico, com título e 
unidades especificadas. 
 
Fonte: Elaborada pelos autores. 
b) Os eixos são independentes, podendo ter escalas e origens diferentes. No 
entanto, necessariamente, cada eixo deve ter intervalos iguais entre todas 
as divisões (divisões do mesmo tamanho no eixo), com números de fácil 
14 
 
leitura, o que facilita a análise e a compreensão do gráfico. Veja a Figura 
2.1.2. 
Figura 2.1.2: Gráfico com intervalos e escalas independentes entre si. 
 
Fonte: Elaborada pelos autores. 
c) Ao marcar os pontos em um gráfico, não se deve fazer uma ligação entre 
os mesmos ou adicionar os valores respectivos dos pontos projetados nos 
eixos (ver Figura 2.4.1), os únicos valores presentes nestes devem ser 
somente os correspondentes aos intervalos já estipulados. A reta será 
traçada apenas quando for conveniente fazer o ajuste dos pontos (que 
será abordado mais adiante na apostila). Veja a Figura 2.1.3. 
d) Quando for conveniente, é importante representar os pontos com suas 
respectivas barras de erro para a abscissa e para a ordenada (Figura 
2.1.4). A barra de erro representa o intervalo de valores na qual a medida 
pode estar contida. Ela começa em ��̅ − Δ�����7� e vai até ��̅ + Δ�����7� a 
partir de cada ponto. Veja a Figura 2.1.5. 
 
15 
 
Figura 2.1.3: Gráfico exemplo com a marcação de pontos aleatórios. 
 
Fonte: Elaborada pelos autores. 
 
Figura 2.1.4: Exemplo da representação da barra de erro em um gráfico. As barras horizontais 
indicam o intervalo das medidas na abscissa, e as barras verticais, o intervalo das medidas na 
ordenada. 
 
Fonte: Elaborada pelos autores. 
 
16 
 
Figura 2.1.5: Exemplo da representação da barra de erro. Em destaque, o primeiro ponto do gráfico 
da Figura 2.1.4. 
 
Fonte: Elaborada pelos autores. 
 
2.2 Histograma 
Quando uma série de medidas é realizada, estas se distribuem em torno de 
um valor central, a média. Esses valores podem ser apresentados em um histograma. 
Um histograma apresenta os intervalos no eixo � e a frequência no eixo `. 
Nele há retângulos justapostos em que a base de cada um deles corresponde ao 
intervalo de classe e a sua altura à respectiva frequência. Veja a Figura 2.2.1. 
Figura 2.2.1: Histograma do número de eventos em um determinado tempo. 
 
Fonte: HISTOGRAMA. Edilânia Bozzi. Disponível em: <http://edilaniabozzi.com.br/?p=218>. Acesso 
em Jan. 2015. 
17 
 
Quando o número de amostras é grande, o formato do histograma assemelha-
se a uma curva normal, como mostra a Figura 2.2.2. No centro encontra-se a média, 
e próximo a esta, se encontra uma grande quantidade de valores, tanto para mais 
quanto para menos. 
A partir do valor do desvio padrão da amostra, é possível calcular os intervalos 
de confiança dos resultados, que se distribuem da seguinte maneira: 
→ A área central, próxima à a (média), está a ±� (desvio padrão) da média. 
Em uma distribuição normal, isto representa cerca de 68% do conjunto, enquanto ±2� 
desde a média representam cerca de 95%, e ±3� cobrem cerca de 99,7%. Veja a 
Figura 2.2.2. 
Figura 2.2.2: Curva normal representada com os intervalos de confiança.Fonte: CURVA normal. Wikipédia. Disponível em: 
<http://pt.wikipedia.org/wiki/Desvio_padr%C3%A3o>. Acesso em Jan. 2015. 
 
2.3 Gráficos logarítmicos 
É comum acontecer que, dentro de um conjunto de medidas, haja valores com 
grandes variações entre si, ou seja, que variam em várias ordens de grandeza. 
Quando as medidas se configuram de tal forma, se torna mais conveniente a utilização 
de gráficos em escala logarítmica para apresentá-los. Este tipo de gráfico possui uma 
escala diferente da linear, o que facilita a visualização e interpretação dos valores 
obtidos. 
 
18 
 
Exemplo 2.3.1: Com os dados da tabela a seguir, plote um gráfico. 
x (u. m.) y (u. m.) 
1 1 
10 10 
100 200 
1000 1600 
2500 3000 
5000 10000 
10000 35000 
 
Resolução: 
→ Note que os pontos contidos na tabela apresentam-se muito distantes 
numericamente entre si. O menor valor é da ordem de 100, enquanto o maior é da 
ordem de 104. Logo, a melhor alternativa seria representa-los em escala logarítmica. 
Veja a seguir. 
 
Outra alternativa seria aplicar logaritmo nos valores da tabela e plotar num 
gráfico linear. Portanto, lembre-se que existem essas duas alternativas: (i) plotar os 
valores em gráfico log-log ou (ii) plotar o logaritmo dos valores em gráfico linear. 
1
10
100
1000
10000
100000
1 10 100 1000 10000
y 
(u.
 
m
.
)
x (u. m.)
Gráfico y vs. x (escala logarítmica)
19 
 
Veja pelo gráfico a seguir que, se os dados fossem representados em escala 
cartesiana (linear), os três primeiros pontos ficariam muito próximos entre si, 
impossibilitando sua visualização. 
 
 
2.4 Principais erros em gráficos 
Veja na Figura 2.4.1 alguns dos principais erros e equívocos ao se traçar gráficos. 
 
0
5000
10000
15000
20000
25000
30000
35000
40000
0 2000 4000 6000 8000 10000 12000
y 
(u.
 
m
.
)
x (u. m.)
Gráfico y vs. x (escala linear)
3 pontos 
próximos 
20 
 
 
Figura 2.4.1: Erros comuns ao se traçar gráficos. 
 
Fonte: Elaborada pelos autores. 
 
 
21 
 
3 TABELAS 
3.1 Conceitos básicos 
Assim como os gráficos, as tabelas são utilizadas para a apresentação e 
análise de valores obtidos de uma medição. A seguir, são apresentadas algumas 
informações importantes para a elaboração de uma tabela. 
a) As tabelas devem conter o número de linhas e colunas de acordo com a 
quantidade de valores obtidos. Ela necessita conter o máximo de 
informações (resumidas), além de uma legenda descritiva sobre o 
conteúdo da mesma. 
b) O cabeçalho da tabela deve apresentar a medida da coluna respectiva, 
seguida da unidade (quando existir) e, se necessário, a potência de 10 
pela qual os valores da coluna estão sendo multiplicados. Os resultados 
devem ter um número de algarismos significativos adequados, 
acompanhados por suas respectivas incertezas. Se a incerteza for igual 
para todo o grupo de medidas, este deve aparecer preferencialmente no 
cabeçalho; se forem diferentes entre si, devem aparecer ao lado de cada 
medida. Veja o exemplo na Tabela 3.1.1. 
Tabela 3.1.1: Tabela-exemplo com medidas e suas respectivas incertezas. 
�b ± +, c� m/s �d ± e, f� ec
e s 
5,0 5,0 
11,0 10,0 
14,5 15,0 
19,4 20,0 
25,5 25,0 
30,3 30,0 
 
c) Se a ordem em que foram realizadas as medições for importante, esta 
deve ser indicada em uma coluna adicional. Veja o exemplo na Tabela 
3.1.2. 
 
22 
 
Tabela 3.1.2: Tabela-exemplo com ordem de medição, medidas e incertezas respectivas. 
* �b* ± +, c� m/s �d* ± e, f� ec
e s 
1 5,0 5,0 
2 11,0 10,0 
3 14,5 15,0 
4 19,4 20,0 
5 25,5 25,0 
6 30,3 30,0 
 
 
3.2 Principais erros em tabelas 
Veja alguns dos erros mais comuns cometidos ao se elaborar uma tabela na Figura 
3.2.1 e na Figura 3.2.2. 
 
Figura 3.2.1: Erros comuns ao se elaborar uma tabela (parte 1). 
 
Fonte: Elaborada pelos autores. 
 
23 
 
 
Figura 3.2.2: Erros comuns ao se elaborar uma tabela (parte 2). 
 
Fonte: Elaborada pelos autores. 
 
 
24 
 
4 LEIS DE POTÊNCIA 
4.1 Conceitos básicos 
Nos experimentos de física experimental, é comum se trabalhar com a relação 
entre duas variáveis físicas. Como exemplo, tem-se a distância (variável dependente) 
percorrida por um corpo, em queda livre, variando de acordo com o tempo (variável 
independente), mostrados na Tabela 4.1.1. 
Tabela 4.1.1: Tabela exemplificando a relação entre duas variáveis, neste caso, 
distância percorrida e tempo. 
g �h� d �i� 
4,91 1,00 
19,62 2,00 
44,15 3,00 
78,48 4,00 
 
Quando duas variáveis se relacionam a partir de uma relação onde uma das 
medidas depende da outra que está elevada a uma certa potência (como por exemplo 
` = �j), diz-se que essas variáveis seguem uma lei de potência (ou lei de escala). 
No caso exemplificado acima, considera-se que o movimento saiu do repouso e da 
origem, logo, a lei de escala do movimento é dada pela Eq. (4.1). 
 k�l� = 12 ml� (4.1)
Ao traçar os valores da Tabela 4.1.1, obtém-se o gráfico da Figura 4.1.1, onde 
se nota que os mesmos não seguem uma relação linear, o que de fato constitui uma 
dificuldade para determinar que tipo de relação as duas variáveis obedecem. 
A seguir, são mostrados três métodos que contribuem para a análise que 
permitem determinar qual tipo de relação entre as variáveis. 
 
25 
 
Figura 4.1.1: Gráfico (em escala linear) dos pontos da Tabela 4.1.1. Veja que os pontos seguem uma 
tendência parabólica segundo a relação entre deslocamento e tempo expressa na Eq. (4.1). 
 
Fonte: Elaborada pelos autores. 
 
4.2 Métodos de linearização 
4.2.1 Linearização com logaritmo 
Convém utilizar este método (que só funciona se a relação entre as variáveis 
for do tipo lei de potência) quando não é possível determinar que tipo de relação as 
variáveis medidas obedecem e o expoente da relação não é conhecido. Ao utilizá-lo, 
a lei de escala é convertida e as variáveis passam a ter uma dependência linear. 
Exemplo 4.2.1: 
 
k = nlj 
Para linearizar, basta aplicar o logaritmo natural (ln � ≡ log� �), em ambos os 
lados da equação: 
 
ln�k� = ln�n ∙ lj� 
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
0 1 2 3 4 5
D
es
lo
ca
m
en
to
 
(m
)
Tempo (s)
Gráfico s vs. t
26 
 
Utilizando as propriedades de logaritmo: 
→ Logaritmo do produto: log�m ∙ q� = log m + log q 
 
ln k = ln n + ln lj 
→ Logaritmo de argumento com expoente: ln�mr� = q ∙ ln m 
 
ln k = ln n + s ln l 
Veja que a equação acima é a equação de uma reta (` = m� + q�. 
Relacionando os termos, tem-se: 
 
` = ln k 
� = ln l 
m = s 
q = ln n 
Note que os termos obedecem a relação de variável dependente (`) e 
independente (�), inclusive o coeficiente de �, m, e a constante q. 
Assim, para construir um novo gráfico, é necessário calcular o logaritmo 
natural dos valores de k e de l. Com isso, os pontos estarão relacionados de forma 
linear. Veja a Tabela 4.2.1 com os pontos e a Figura 4.2.1 com o gráfico (página 
seguinte). 
Tabela 4.2.1: Dados da Tabela 4.1.1 logaritmizados. Note que os valores não possuem unidade. 
tu g tu d 
1,59 0,00 
2,98 0,69 
3,79 1,10 
4,36 1,39 
 
Ao construir o gráfico, traça-se a melhor reta, ou seja, uma reta arbitrária que 
passa próxima a todos os pontos (Figura 4.2.2, página seguinte). A melhor reta não 
necessariamente passará por cima de todos os pontos, mas será a reta que passa o 
mais perto possível de todos os pontos. 
27 
 
Figura 4.2.1: Gráfico (em escala linear) dos pontos logaritmizados da Tabela 4.2.1. Veja que os dados 
foram inseridos diretamente em um papel em escala linear. Note também que a origem do gráfico não 
está em (0; 0), mas sim em (0; 1,5)para centralizar os pontos no gráfico. 
 
Fonte: Elaborada pelos autores. 
Figura 4.2.2: Melhor reta que aproxima os pontos logaritmizados da Tabela 4.2.1. Neste exemplo em 
questão, a reta passa por todos, porém isso não é regra, pode existir pontos pelos quais a reta não 
passe. 
 
Fonte: Elaborada pelos autores. 
1,50
2,00
2,50
3,00
3,50
4,00
4,50
5,00
0,00 0,50 1,00 1,50
ln
 
(s)
ln (t)
Gráfico ln(s) vs. ln(t)
1,50
2,00
2,50
3,00
3,50
4,00
4,50
5,00
0,00 0,50 1,00 1,50 2,00
ln
 
(s)
ln (t)
Gráfico ln (s) vs. ln (t)
Série de pontos melhor reta
v 
28 
 
Após traçar a reta, é possível encontrar o coeficiente angular da equação 
obtida após a linearização utilizando dois pontos que estão sob a reta. Estes pontos 
não necessariamente serão pontos da tabela, eles apenas precisam ser pontos 
pertencentes à reta traçada. 
Escolhidos dois pontos pertencentes à reta, ���, `�� e ���, `��, o coeficiente 
angular é encontrado através da Eq. (4.2). 
 
m = `� − `��� − �� = tan v (4.2)
No caso deste exemplo: 
 m = ln�k�� − ln�k��ln�l�� − ln�l�� 
Nas relações estabelecidas entre a equação linearizada e a equação de uma 
reta, obteve-se que m = s, logo, ao encontrar o valor do coeficiente angular pelo 
gráfico, o valor do expoente s da lei de escala também está sendo encontrado. 
Para obter o valor do coeficiente linear (ln n), a única incógnita restante, basta 
escolher um ponto qualquer que esteja sob a reta e substituí-lo na equação 
linearizada. Após encontrar o valor do ln n, para calcular o resultado de n basta utilizar 
a definição de logaritmo: 
 log� q = �, então q = m� 
Como ln n = log� n, então 
 q = wx 
Obs.: Convém ressaltar que tanto o logaritmo natural quanto o logaritmo na 
base 10 podem ser utilizados na linearização, sendo de escolha do aluno qual utilizar. 
 
 
29 
 
4.2.2 Linearização com gráfico em escala logarítmica 
Para este tipo de gráfico não é necessário linearizar a equação, pois a própria 
escala do papel se encarrega de fazer essa linearização. Portanto, os pontos a serem 
inseridos no gráfico são os originais e não os logaritmizados. 
 
Exemplo 4.2.2: 
Usando os dados da Tabela 4.1.1, obtém-se o gráfico da Figura 4.2.3 a seguir. 
Figura 4.2.3: Gráfico (em escala logarítmica) dos pontos da Tabela 4.1.1. Veja que somente a escala 
do gráfico está logaritmizada, os pontos inseridos são os originais. 
 
Fonte: Elaborada pelos autores. 
 
Neste caso, também traça-se a melhor reta, que é a reta que passa próxima 
a todos os pontos contidos do gráfico, mas não necessariamente passará por cima de 
todos. Após traçar a reta, escolhe-se arbitrariamente dois pontos que estejam sob a 
mesma (Dica: escolha pontos próximos de ambas as extremidades da reta). Tais 
pontos não precisam ser da tabela, mas necessariamente devem ser pontos da reta. 
Veja a Figura 4.2.4. 
Para encontrar o expoente s, realiza-se um procedimento semelhante ao do 
caso anterior, no entanto, como a escala deste gráfico não é linear, deve-se medir 
1
10
100
1 10
D
es
lo
ca
m
en
to
 
(m
)
Tempo (s)
Gráfico s vs. t (em escala logarítmica)
30 
 
com uma régua as distâncias em ` e em � entre os pontos escolhidos. Calcula-se, 
então, o coeficiente angular, Eq. (4.3). 
 
s = Distância em `Distância em � = Δ`Δ� = tan v 
 
(4.3)
Figura 4.2.4: Gráfico (em escala logarítmica) de deslocamento em função do tempo, no qual Δ� e Δ` 
representam as distâncias entre os pontos escolhidos. 
 
Fonte: Elaborada pelos autores. 
 
Para encontrar o valor de n, a única incógnita restante, escolhe-se 
arbitrariamente um ponto que esteja sob a reta e, utilizando suas coordenadas de � e 
l, substitui-se na lei de escala do movimento e encontra-se o valor de n. 
4.2.3 Linearização quando o expoente da lei de escala é conhecido 
Entenda este tipo de linearização através do Exemplo 4.2.3. 
 
Exemplo 4.2.3: Linearize a lei de escala abaixo. 
 k = nl� 
1
10
100
1 10
D
e
sl
o
ca
m
e
n
to
 
(m
)
Tempo (s)
Gráfico s vs. t (em escala logarítmica)
v Δ` 
Δ� 
31 
 
No exemplo apresentado faz-se l� = �, onde � é um termo linear qualquer, 
obtendo assim: 
 
k = n� 
Desta forma, constrói-se um gráfico em escala linear, de k vs. l�. Para isso, 
eleva-se cada um dos valores de tempo �l� ao quadrado, de modo que, quando o 
gráfico for construído, os valores irão se relacionar de forma linear. 
 
Exemplo 4.2.4: 
A partir dos dados da Tabela 4.1.1, obtém-se a Tabela 4.2.2 a seguir. 
Tabela 4.2.2: Tabela contendo medidas de deslocamento �g� e tempo ao quadrado �d+� de um 
determinado movimento acelerado. 
g �m� d+ �i+� 
4,91 1 
19,62 4 
44,15 9 
78,48 16 
 
A partir dos dados da Tabela 4.2.2, constrói-se o gráfico da Figura 4.2.5. 
Com a relação criada entre � e l�, a lei de escala obtida possui n como 
coeficiente angular, portanto, encontra-se seu valor calculando o coeficiente angular 
da reta obtida na Figura 4.2.5. Como neste caso o expoente já é conhecido, apenas 
um valor é encontrado, o do coeficiente angular. 
Devido a prováveis erros nas medições, faz-se necessário calcular o 
coeficiente linear, mesmo não havendo tal termo na equação original (equação (linear) 
que rege o movimento). Nestes casos, seu valor será muito próximo a zero, pois este 
é o seu valor esperado segundo a equação do movimento. 
 
32 
 
Figura 4.2.5: Gráfico (em escala linear) dos pontos da Tabela 4.2.2. Note que os dados estão 
tendendo à uma linearidade. 
 
Fonte: Elaborada pelos autores. 
 
Exemplo 4.2.5: No gráfico da Figura 4.2.6, note que a melhor reta traçada para 
os pontos não intercepta a origem | ≡ �0,0�. Existem duas maneiras para calcular o 
coeficiente linear, que é o ponto onde a reta intercepta o eixo `: 
Figura 4.2.6: Gráfico do Exemplo 4.2.5, relacionando duas grandezas � e ` quaisquer. 
 
Fonte: Elaborada pelos autores. 
 
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
0 5 10 15 20
D
e
sl
o
ca
m
e
n
to
 
(m
)
Tempo² (s²)
Gráfico s vs. t²
33 
 
a) Tendo feito o gráfico, traça-se a melhor reta e esta é prolongada até que 
atinja o eixo `, em � = 0. A ordenada deste ponto de interseção é o 
coeficiente linear desejado. 
Atenção! Se a origem do seu eixo � não for em zero, isto é, se a abscissa 
do seu ponto de origem não for igual a zero, a ordenada do ponto de 
interseção não representará o valor do coeficiente linear. 
b) Tendo encontrado o coeficiente angular m, escolhe-se um ponto da reta e 
substitui-se as coordenadas (�, `� na equação ` = m� + q. Explicita-se q, 
encontrando seu valor. 
34 
 
5 PROPAGAÇÃO DE ERROS 
Há certas situações em que uma medida não é obtida diretamente e, por isso, 
não é possível determinar de imediato sua incerteza (pela precisão do instrumento ou 
por erro total, por exemplo). Isso ocorre, geralmente, quando a medida é obtida por 
uma fórmula. 
Devido a uma medida depender de outras que possuam incertezas, surge a 
necessidade de se propagar as incertezas dessas medidas para a medida alvo. 
Seja ` uma função dependente de ��, ��, ... ,�j, Eq. (5.1), e sendo Δ��, Δ��, 
... , Δ�j seus respectivos erros; o erro propagado de ` é dado pela Eq. (5.2). 
 ` = `���, ��, … , �j� (5.1)
 Δ` = �M ~`~��M
� ∙ |Δ��|� + M ~`~��M
� ∙ |Δ��|� + ⋯ + M ~`~�jM
� ∙ |Δ�j|� (5.2)
A ideia aqui é que ` depende de outras medidas (��, ��, ... ,�j) que possuem 
incertezas (Δ��, Δ��, ... , Δ�j), então há a necessidade de se propagar essas 
incertezas, de forma a encontrar uma única outra (Δ`) que englobe todas as demais. 
Esta representará a incerteza de `. 
Assim, resolvendo as derivadas parciais e conhecendoΔ��, Δ��, ... , Δ�j,é 
possível calcular a incerteza de `. Vale ressaltar que as incertezas utilizadas na 
propagação são os erros totais de cada medida. 
Caso queira saber como se chegou a essa fórmula de propagação de 
incertezas, consulte o livro Fundamentos da Teoria de Erros, de José Henrique Vuolo 
(Editora Edgard Blücher Ltda.). Para saber mais sobre a derivação parcial, consulte o 
Apêndice A ao final desta apostila. 
 
Exemplo 4.2.1: Calcule a área de uma circunferência de raio € = �1,5 ± 0,3� m 
e expresse-a na forma padrão. 
Resolução: 
→ A área de uma circunferência é calculada por  = ‚€�, portanto, para 
calcular o valor da área, basta substituir o valor do raio diretamente nesta expressão: 
35 
 
 
 = ‚ ∙ 1,5� 
⇒  = 7,0686 m� 
→ Para calcular a incerteza, é necessário propagar o erro do raio para a área. 
Veja a seguir: 
 
ā = �M~~€M
� ∙ |Δ€|� 
⇒ ā = 8|2‚€|� ∙ |Δ€|� 
⇒ ā = 8|2‚ ∙ 1,5|� ∙ |0,3|� 
⇒ ā = 2,8274 m� 
→ Logo, o valor da área na forma padrão é: 
 
 = �7,1 ± 2,8� m� 
Veja que a incerteza se inicia com o algarismo 2 e deve ser expresso com 
dois algarismos significativos. 
 
Exemplo 4.2.2: A posição de um certo corpo em movimento retilíneo 
uniformemente variado (MRUV), cuja aceleração é constante e igual a 1,0 m/s2, é 
dada pela seguinte equação: 
 ��l� = �„ + …„l + 12 ml� 
Calcule o valor da posição na forma padrão para os seguintes valores de 
posição inicial, velocidade inicial e tempo, com suas respectivas incertezas: 
 
�„ = �5,0 ± 1,5� m …„ = �3,5 ± 1,0� m/s l = �1,5 ± 0,5� s 
Resolução: 
→ Para calcular o valor da posição, substitui-se os valores acima na equação 
dada: 
��l = 1,5� = 5,0 + �3,5 ∙ 1,5� + 12 �1,0 ∙ 1,5�� 
36 
 
��l = 1,5� = 11,375 m 
→ Para encontrar a incerteza da posição, basta propagar com relação a todas 
as variáveis. Note que não é necessário propagar com relação à aceleração, já que 
esta é constante e sua incerteza é zero. 
 
Δ� = �M ~�~�„M
� ∙ |Δ�„|� + M ~�~…„M
� ∙ |Δ…„|� + M~�~lM
� ∙ |Δl|� 
⇒ Δ� = 8|1|� ∙ |Δ�„|� + |l|� ∙ |Δ…„|� + |…„ + ml|� ∙ |Δl|� 
⇒ Δ� = 8|1|� ∙ |1,5|� + |1,5|� ∙ |1,0|� + |3,5 + 1 ∙ 1,5|� ∙ |0,5|� 
⇒ V� = 3,2787 m 
Logo, o valor da posição na forma padrão é: 
 � = �11,4 ± 3,3� m 
 
 
 
37 
 
6 MÍNIMOS QUADRADOS 
6.1 Introdução 
O Método dos Mínimos Quadrados (MMQ), ou Mínimos Quadrados Ordinários 
(MQO), é uma técnica de otimização matemática que procura encontrar o melhor 
ajuste para um conjunto de dados tentando minimizar a soma dos quadrados das 
diferenças entre o valor estimado e os dados observados (essa diferença é o chamado 
χ� – “qui-quadrado”, que será abordado mais adiante). Este conjunto de dados pode 
seguir qualquer tipo relação, como linear, exponencial, quadrática, cúbica, polinomial, 
etc. 
Você pode encontrar uma abordagem mais detalhada dos tópicos abaixo no 
livro Fundamentos da Teoria de Erros, de José Henrique Vuolo (Editora Edgard 
Blücher Ltda.). 
 
6.2 Considerações e conceitos preliminares 
Suponha que um conjunto de � dados ���, `�� siga uma relação qualquer, 
como o da Figura 6.2.1, onde cada valor `� tem uma incerteza ��, podendo estes 
serem todos iguais ou diferentes entre si (no mínimo um deles diferente dos demais), 
sendo também que a variável �� é isenta de erros. Suponha também que estes dados 
representem um certo fenômeno físico descrito por uma função ‡ = ‡��� , m�, m�, … , m	� 
onde m�, m�, … , m	 são os parâmetros dos modelo. 
Define-se o estimador ˆ�, que representa a soma ao quadrado das distâncias 
verticais entre os pontos experimentais e a função ajustada, por: 
 ˆ� = , ‰[`� − ‡���, m�, m�, … , m	�\�� Š
�	
�
�
 
(6.1)
Quando usado para ajustar uma função linear, esse método é conhecido 
também por Regressão Linear. 
 
38 
 
Figura 6.2.1: Representação gráfica de um conjunto de s dados que 
obedecem a uma relação qualquer. 
 
Fonte: Elaborada pelos autores. 
 
6.3 Ajuste de uma função linear 
Um certo conjunto de dados segue uma tendência linear. Sua representação 
gráfica é mostrada no gráfico da Figura 6.3.1. 
Figura 6.3.1: Representação gráfica de um conjunto de s dados que obedecem a uma relação linear.
 
Fonte: Elaborada pelos autores. 
39 
 
Definindo-se 
 ‡���� = m�� + q (6.2)
 
‹� = 1����� (6.3)
A Eq. (6.1) pode ser reescrita como 
 
ˆ� = , ‹�
j
�
�
�`� − m�� − q�� (6.4)
Para minimizar ˆ� e, consequentemente, encontrar a reta que mais se 
aproxima de todos os pontos, deriva-se parcialmente a Eq. (6.4) em relação aos 
parâmetros m e q e iguala-se a zero: 
 
~�ˆ��~m = 2 , ‹��`� − m�� − q� ∙ �−�� = 0
j
�
�
 (6.5)
 
~�ˆ��~q = 2 , ‹��`� − m�� − q� ∙ �−1� = 0
j
�
�
 (6.6)
Deste modo, obtém-se um sistema de duas equações e duas incógnitas: 
 
Œ, ‹�� ∙ m + Œ, ‹� ∙ q = Œ, ‹�` (6.7)
 Œ, ‹� ∙ m + Œ, ‹ ∙ q = Œ, ‹` (6.8)
Ao solucionar o sistema, obtém-se as seguintes equações para m e q: 
 m = �∑ ‹� ∙ �∑ ‹�`� − �∑ ‹`� ∙ �∑ ‹��Δ (6.9)
 q = �∑ ‹`� ∙ �∑ ‹��� − �∑ ‹�`� ∙ �∑ ‹��Δ (6.10)
 
40 
 
Onde 
 Δ = Œ, ‹ ∙ Œ, ‹�� − Œ, ‹�� (6.11)
E cada uma das variâncias (quadrado da incerteza) associados a m e q são 
dados por: 
 �Ž� = �∑ ‹�Δ (6.12)
 �r� = �∑ ‹���Δ (6.13)
As Eqs. (6.9) a (6.13) são válidas quando todos os valores �� são conhecidos, 
independentemente de serem distintos ou iguais entre si. Somente para o caso em 
que todas as incertezas de `� são constantes e iguais a �, pode-se fazer uso das 
expressões simplificadas de (6.14) a (6.18). 
 m = ��∑ �`� − �∑ �� ∙ �∑ `�Δ (6.14)
 q = �∑ `� ∙ �∑ ��� − �∑ �`� ∙ �∑ ��Δ (6.15)
 Δ = � Œ, �� − Œ, �� (6.16)
 �Ž� = �Δ �� (6.17)
 
�r� = �∑ ���Δ �� onde � é o número de medições efetuadas. 
(6.18)
 
Existe uma outra situação onde a incerteza � é desconhecida (não é dada no 
problema). Neste caso, faz-se uma estimativa da mesma através da Eq. (6.19). 
41 
 
 �� = ∑ �Δ“���j�
�� − 2 (6.19)
 
onde 
�Δ“�� = `� − �m�� + q� (6.20)
Neste caso, é calculado uma incerteza estimada (Δ“�) para cada uma das 
medidas `� através da Eq. (6.20) (note que esta depende dos valores m e q, devendo 
os mesmos já terem sido calculados de antemão). Faz-se a soma dos quadrados de 
cada um dos erros estimados e aplica-se a Eq. (6.19), encontrando o valor de �� que 
será usado no cálculo das incertezas dos coeficientes m e q (Eqs. (6.17) e (6.18)). 
Observação: No fim de alguns roteiros e nos formulários de prova das 
disciplinas de Física Experimental da faculdade: 
� As Eqs. (6.9) a (6.13) são chamadas de “Mínimos Quadrados (erros 
diferentes)”; 
� As Eqs. (6.14) a (6.20) são chamadas de “Mínimos Quadrados (erros 
iguais)”; 
� Não confunda o � dos Mínimos Quadrados com o � de desvio padrão, são 
coisas diferentes. 
 
Exemplo 6.3.1: Em um experimento de movimento retilíneo uniforme foram 
obtidos os dados da tabela a seguir. Utilize o Método dos Mínimos Quadrados para 
obter, na forma padrão, os valores da velocidade … e da posição inicial k„. 
d �s� �g ± ”g� m 
0,2 2,3 ± 0,1 
0,4 4,7 ± 0,2 
0,6 6,9 ± 0,3 
0,8 9,1 ± 0,1 
 
Resolução: 
i. Encontrar uma equação para o movimento: 
Como o movimento é retilíneo uniforme, deve-se utilizar a seguinte equação 
linear: k = k„ + …l 
42 
 
ii. Relacionar os termos da equação aos coeficientes e variáveis de uma 
reta: ` = q + m� 
Logo, tem-se que: 
 
k = ` 
k„ = q … = m 
l = � 
 
Nota: Note que, como ` = k e os erros de cada k� são diferentes entre si, 
deverá ser usado o conjunto de equações com o ‹ (erros diferentes). 
 
iii. Calcular os valores de ‹�: 
Como ‹� = 1 ���⁄ , tem-se que: 
 
‹� = 100 ‹� = 25 ‹� = 11,1111 ‹S = 100 
 
iv. Construir uma tabela auxiliar: 
* (* –* —* —*(* —*–* —*(*–* —*(*+1 0,2 2,3 100 20 230 46 4 
2 0,4 4,7 25 10 117,5 47 4 
3 0,6 6,9 11,11 6,67 76,67 46 4 
4 0,8 9,1 100 80 910 728 64 
∑ - - 236,11 116,67 1334,17 867 76 
 
v. Substituir os somatórios nas equações correspondentes para encontrar 
os valores de m e q e suas respectivas incertezas: 
 
m = 11,32051 m/s 
q = 0,05692 m 
�Ž = 0,23342 m/s 
43 
 
�r = 0,13243 m 
Como a velocidade … corresponde ao coeficiente angular m e a posição inicial 
k„ ao coeficiente linear q (conferir item ii da resolução), tem-se os seguintes valores 
na forma padrão: 
 
… = �11,32 ± 0,23� m/s 
k„ = �0,06 ± 0,13� m 
 
Nota: Em alguns casos é necessário linearizar a equação de movimento 
(passo i da resolução) para sempre trabalhar com a equação de uma reta, ou seja, 
com dados lineares. 
 
Exemplo 6.3.2: Considere o mesmo exemplo anterior, agora com os dados 
abaixo. Utilize o Método dos Mínimos Quadrados para obter, na forma padrão, os 
valores da velocidade … e da posição inicial k„. 
d �s� �g ± c, ˜� m 
0,2 2,3 
0,4 4,7 
0,6 6,9 
0,8 9,1 
 
Resolução: 
i. Equação (linear) para o movimento: k = k„ + …l 
ii. Relação de termos da equação com os coeficientes e variáveis de uma 
reta: 
 
k = ` 
k„ = q … = m 
l = � 
Nota: Note que, como ` = k e os erros de cada k� são todos iguais entre si, 
qualquer um dos dois conjuntos de equações poderia ser usado. Para fins didáticos, 
será usado o conjunto de equações com o � (erros iguais). 
44 
 
iii. Construção da tabela auxiliar: 
* (* –* (*+ –*(* 
1 0,2 2,3 0,04 0,46 
2 0,4 4,7 0,16 1,88 
3 0,6 6,9 0,36 4,14 
4 0,8 9,1 0,64 7,28 
∑ 2 23 1,2 13,76 
 
iv. Substituição dos somatórios na equações correspondentes para 
encontrar os valores de m e q: 
 
m = 11,3 m/s 
q = 0,1 m 
v. Para calcular as incertezas dos coeficientes, lembre-se que � = Δ`. 
Como � = Δ` = 0,3, aplicando as equações correspondentes: 
 
�Ž = 0,67082 m/s �r = 0,36742 m 
Conforme as relações do item ii da resolução, tem-se os seguintes valores na 
forma padrão: 
 
… = �11,30 ± 0,67� m/s 
k„ = �0,10 ± 0,37� m 
 
Exemplo 6.3.3: Considere o mesmo exemplo anterior, agora com os dados 
abaixo. Utilize o Método dos Mínimos Quadrados para obter, na forma padrão, os 
valores da velocidade … e da posição inicial k„. 
d �s� g �m� 
0,2 2,3 
0,4 4,7 
0,6 6,9 
0,8 9,1 
45 
 
Resolução: 
i. Equação (linear) para o movimento: k = k„ + …l 
ii. Relação de termos da equação com os coeficientes e variáveis de uma 
reta: 
 
k = ` 
k„ = q … = m 
l = � 
Nota: Note que, como ` = k e os erros de cada k� são desconhecidos, deverá 
ser usado o conjunto de equações com o � (erros iguais). 
iii. Construção da tabela auxiliar: 
* (* –* (*+ –*(* 
1 0,2 2,3 0,04 0,46 
2 0,4 4,7 0,16 1,88 
3 0,6 6,9 0,36 4,14 
4 0,8 9,1 0,64 7,28 
∑ 2 23 1,2 13,76 
 
iv. Substituição dos somatórios na equações correspondentes para 
encontrar os valores de m e q: 
 
m = 11,3 m/s 
q = 0,1 m 
v. Para calcular as incertezas dos coeficientes, lembre-se que � agora é 
desconhecido, por isso deverá ser estimado através da Eq. (6.19). 
* (* –* ™š* �™š*�+ 
1 0,2 2,3 − 0,06 0,0036 
2 0,4 4,7 0,08 0,0064 
3 0,6 6,9 0,02 0,0004 
4 0,8 9,1 − 0,04 0,0016 
∑ - - - 0,012 
46 
 
 �� = 0,006 
Aplicando às equações das incertezas dos coeficientes, encontramos: 
 
�Ž = 0,17321 m/s �r = 0,094868 m 
Conforme as relações do item ii da resolução, tem-se os seguintes valores na 
forma padrão: 
 
… = �11,30 ± 0,17� m/s 
k„ = �0,100 ± 0,095� m 
 
 
Compare os resultados destes três exemplos. Que diferença fez a alteração 
das incertezas de k e, consequentemente, na mudança do conjunto de equações 
utilizadas? Refaça o Exemplo 6.3.2, agora aplicando o conjunto de equações para 
erros diferentes. Houve diferença nos resultados? Se sim, foram significativas? 
47 
 
BIBLIOGRAFIA 
DE ALMEIDA, R. M.; HÉLIO, O. Física Experimental I. Física VCE, 2011. 
Disponivel em: <https://sites.google.com/site/fisvce/fisexp1>. Acesso em: Jan. 2015. 
DE ARAÚJO, L. E. E. Lei de Potência. [S.l.], p. 4. 
MARCONI, J. D. Introdução à Teoria de Erros e Medidas. [S.l.], p. 4. 
MARCONI, J. D.; RODRIGUES, V. Experimento 4: Mínimos Quadrados. 
[S.l.], p. 3. 
MARCONI, J. D.; RODRIGUES, V.; DE ARAÚJO, L. E. E. Tabelas e Gráficos. 
[S.l.]. 
RODRIGUES, V. Experimento 4: Propagação de Erros. [S.l.]. 
STEWART, J. Cálculo Volume II. 5ª. ed. São Paulo: Thomson Learning, v. II, 
2007. 
VUOLO, J. H. Fundamentos da Teoria de Erros. 2ª. ed. São Paulo: Edgard 
Blücher Ltda., 1996. 
WIKIPEDIA. Gráfico. Wikipedia, 2015. Disponivel em: 
<https://pt.wikipedia.org/wiki/Gr%C3%A1fico>. Acesso em: 23 Nov. 2015. 
 
48 
 
APÊNDICE A – Derivação Parcial 
A derivada parcial de uma função de várias variáveis consiste em derivar esta 
função em relação a cada uma de suas variáveis por vez, mantendo as demais como 
se fossem constantes numéricas. Para uma função ‡���, ��, ��, … , �j�, a qual depende 
de s variáveis, sua derivada parcial é representada por: 
 
~‡���, ��, ��, … , �j�~�� (A.1)
Note a simbologia da derivação parcial. Enquanto a derivada ordinária é 
representada pela letra ‘d’, a parcial é representada por uma letra ‘›’ arredondada, o 
‘∂’. Veja a seguir alguns exemplos de derivação parcial. 
 
Exemplo A.1.1: Seja ‡��, `� = �� + ��`� − 2`�, calcule as derivadas parciais 
em relação a � e `. 
Resolução: 
→ Para realizar o cálculo de uma derivada parcial em relação a �, deriva-se 
somente em relação a este, mantendo a variável ` como uma constante. 
 
~‡��, `�~� = 3�� + 2�`� 
→ Para o cálculo em relação a ` , realiza-se o mesmo processo descrito acima, 
no entanto, mantendo-se � como uma constante. 
 
~‡��, `�~` = 3��`� − 4` 
 
Exemplo A.1.2: Calcule a derivada parcial com relação a �, ` e  da função 
‡��, `, � = 5�S`� + �`� + 4 + 1. 
Resolução: 
→ Para o caso de uma função de 3 variáveis, deriva-se com relação à variável 
pretendida e mantém-se as outras duas como constantes. 
49 
 
 
~‡��, `, �~� = 20��`� + `� ~‡��, `, �~` = 10�S` + 3�`� 
~‡��, `, �~ = 4 
 
Tenha mais informações sobre derivação parcial no livro Cálculo, volume 2, 
de James Stewart (Editora Thomson Learning), ou qualquer outro livro de Cálculo 
Diferencial e Integral II. 
 
 
 
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