Pêndulo Simples e Pêndulo de Mola - Laboratório

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Universidade Paulista – Campus Manaus 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Complementos De Física – Laboratório 
Relatório 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Manaus-Am 
2016 
Universidade Paulista – Campus Manaus 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Complementos De Física – Laboratório 
Pêndulo Simples e Pêndulo De Mola 
 
Relatório da atividade realizada em 
laboratório, na disciplina de 
Complementos de Física, orientada 
pelo professor Marinilson de Lima, 
para obtenção de nota parcial 
referente à NP2. 
 
 
Componentes: RA: 
Artur Aguiar C69GCB-2 
Carla Ferreira C560BG-3 
Carlos Mateus C57BJE-0 
Keven Rocha C669AC-5 
Rúbenn Oliveira C63BGB-7 
 
 
 
 
 
 
Manaus-Am 
2016 
PÊNDULO SIMPLES 
1. OBJETIVO 
Estudar a lei que rege o período de oscilação de um pêndulo simples. 
2. INTRODUÇÃO 
Considere uma partícula de massa 𝑚 suspensa por um fio leve e inextensível 
de comprimento 𝑙; o sistema assim formado pode ser colocado a oscilar sob a ação 
da gravidade em torno da sua posição de equilíbrio, constituindo dessa forma um 
pêndulo simples. O movimento de um pêndulo simples, no caso de oscilações de 
pequenas amplitudes, é um caso típico de movimento harmônico simples. 
Decompondo, na direção tangente à trajetória da partícula as forças atuantes 
na mesma, tem-se como resultante nesta direção: 𝑅 = −𝑚.𝑔 𝑠𝑒𝑛 𝜃. 
Aplicando-se o princípio fundamental da Dinâmica, tem-se: 
𝑅 = −𝑚.𝑔 𝑠𝑒𝑛𝜃 = 𝑚. 𝛼𝑡 = 𝑚.
𝑙𝑑2𝜃
𝑑𝑡2
 
Reescrevendo-se a equação anterior, tem se: 
𝑙𝑑2𝜃
𝑑𝑡2
+
𝑔
𝑙
𝑠𝑒𝑛 𝜃 = 0 (I) 
Se o ângulo 𝜃 for pequeno (pequenas amplitudes), podemos utilizar a aproximação 
𝑠𝑒𝑛 𝜃 = 0 (em radianos). 
Com esta última aproximação a equação (I) transforma-se em: 
𝑙𝑑2𝜃
𝑑𝑡2
+
𝑔
𝑙
𝜃 = 0 (II) 
A solução da equação (II) é do tipo: 
𝜃 = 𝜃𝑜 cos(𝜔𝑜𝑡 + 𝛼) 
sendo: 
𝜃 − 𝑎𝑚𝑝𝑙𝑖𝑡𝑢𝑑𝑒 𝑑𝑎 𝑜𝑠𝑐𝑖𝑙𝑎çã𝑜 
𝜔𝑜 − 𝑝𝑢𝑙𝑠𝑎çã𝑜 𝑑𝑎 𝑜𝑠𝑐𝑖𝑙𝑎çã𝑜 
𝛼 − 𝑓𝑎𝑠𝑒 𝑖𝑛𝑖𝑐𝑖𝑎𝑙 
A função 𝜃 = 𝜃(𝑡) é solução da equação diferencial (II) desde que: 𝜔𝑜² =
𝑔
𝑙
 
Lembrando que 𝜔𝑜 = 2𝜋/𝑇 pode ter a expressão para o período T da oscilação. 
𝑇 = 2𝜋√
𝑙
𝑔
 
3. MATERIAL UTILIZADO 
a) Fio; 
b) Cronômetro; 
c) Trena; 
d) Balança; 
e) Esferas de massas diferentes; 
f) Tripé, hastes e garras de sustentação. 
 
4. PROCEDIMENTO EXPERIMENTAL 
a) Considere pequenas amplitudes; para diferentes amplitudes e meça o 
respectivo período T; 
b) Estude a dependência do período de oscilação com a massa do pêndulo 
simples, varie a massa m e meça o respectivo período; 
c) Estude a dependência do período de oscilação com o comprimento do 
pêndulo simples; para isto varie o comprimento l medindo os respectivos 
períodos. 
5. ANÁLISE DE DADOS E CONCLUSÕES 
1. Qual o objetivo deste experimento? 
R= Determinarmos o período, a oscilação do pêndulo e a gravidade. 
2. Quais os aparelhos de medição utilizados? Indicar a precisão dos mesmos. 
R= Balança de Torção; Balança de Precisão ½ g (0,5 g); régua cm ½ cm (0,5 cm); 
Pêndulo com massa desprezível; cronômetro. 
3. Apresentar os resultados obtidos preenchendo as tabelas anexas. 
 
 
m(g) 89,492 22,956 71,250 64,468 
𝑻𝟏𝟎(s) 14,92 14,87 14,86 15,08 
T(s) 1,492 1,487 1,486 1,508 
 
l (m) 0,10m 0,20m 0,30m 0,60m 
𝒕𝟏𝟎(s) 5,59 8,68 10,47 15,02 
T(s) 0,559 0,868 1,047 1,502 
T²(s²) 0,312481 0,753424 1,096209 2,256004 
 
𝜽(°) 5° 10° 15° 20° 
𝒕𝟏𝟎(s) 14,67 14,78 14,93 15,21 
T(s) 1,467 1,478 1,493 1,521 
4. Qual a relação entre o período e a amplitude? 
R= Observamos que ao aumentarmos a amplitude o período também aumenta, 
se diminuirmos a amplitude, concomitantemente o período também diminui. 
Temos, portanto, uma relação diretamente proporcional. 
𝑇 = 2𝜋√
𝑙
𝑔
 
5. Qual a relação entre o período e a massa do pêndulo? 
Mesmo que a massa seja alterada, o período não varia em pequenas oscilações. 
6. GRÁFICOS 
7. Construir o diagrama cartesiano (T, l) 
 
 
8. Construir o diagrama cartesiano (T², l) 
 
0,1
0,2
0,3
0,6
0
0,2
0,4
0,6
0,8
1
0 0,5 1 1,5 2
L
(m
)
T(s)
T(L)
0,559
0,868
1,047
1,502
0,1
0,2
0,3
0,6
0
0,2
0,4
0,6
0,8
1
0 0,5 1 1,5 2 2,5 3
L
(m
)
T²(s²)
T²(L)
0,312481
0,753424
1,096209
2,256004
9. A partir do diagrama (T², l) determinar a aceleração da gravidade local. 
Para calcular a aceleração da gravidade basta substituir os valores de L e T na 
equação deduzida. 𝑻² = 𝟒𝝅².
𝒍
𝒈
 
𝑔 = 4𝜋².
𝑙
𝑇2
 
Dados: L=0,60 e T=1,502 
𝑔 = 4𝜋².
0,60
1,5022
 
 
𝑔 ≅ 10,50𝑚/𝑠² 
10. O diagrama (T², l) confirma o resultado previsto pelo nosso modelo teórico? 
R= Confirma, pois, se o comprimento L for nulo não ocorrerá nenhuma oscilação, 
portanto, quanto maior for a distância L, maior será o período T de oscilação, sendo 
este diretamente proporcional. 
 
11. Justifique quantitativamente o fato de se determinar o tempo de dez 
oscilações para calcular o período, em vez de medi-lo. 
R= Ao medirmos a quantidade de oscilações que o pêndulo executa em dez segundos, 
obteremos um valor médio para o período. Portanto, temos: 
𝑇 =
𝑇𝑒𝑚𝑝𝑜 𝑑𝑒 10 𝑜𝑠𝑐𝑖𝑙𝑎çõ𝑒𝑠
10
 
 
12. Um pêndulo simples que oscilasse com período 𝑇𝑡 na Terra, oscilaria com 
que período 𝑇𝑙 na Lua? Dado: (𝑔𝑡 = 6𝑔𝑙). 
 
𝑔𝑙 =
9,81
6
= 1,64𝑚/𝑠² 
𝑢𝑠𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑙 = 0,6𝑚 
𝑇 = 2𝜋√
0,60
1,64
 𝑇 = 2𝜋√0,366 𝑇 = 3,80 𝑜𝑢 38 𝑠𝑒𝑔𝑢𝑛𝑑𝑜𝑠 
 
 
 
 
PÊNDULO DE MOLA 
1. OBJETIVO 
Determinação da constante elástica de molas helicoidais. 
2. INTRODUÇÃO 
Uma mola helicoidal é constituída de um pedaço de fio metálico enrolado de 
forma a acompanhar o desenvolvimento de uma hélice; se a mola for tracionada e 
depois abandonada, ela retorna ao seu comprimento natural, desde que a 
intensidade da força nela aplicada não ultrapasse um certo valor (limite de 
elasticidade). Caso a mola seja tracionada com forças muito intensas ela se deforma 
irreversivelmente, ou seja, ultrapassa o seu limite de elasticidade. 
Hooke verificou, em 1678, que abaixo do limite de elasticidade a deformação 
x produzida na mola é diretamente proporcional á intensidade da força F aplicada na 
mesma: 
 F= k.x (l) 
Onde: k é constante elástica da mola (depende do material do fio, do diâmetro 
das espiras que constituem a mola e do número de espiras). 
Durante este experimento a mola será presa por uma extremidade, na outra 
extremidade serão presos massores aferidos, ficando a mesma sob a ação do peso 
desses massores. 
Cada vez que for colocado um massor adicional num porta-cargas preso á 
extremidade inferior da mola, o comprimento da mola irá aumentar, até atingir um 
valor no qual o sistema permanece em equilíbrio estático; em cada situação de 
equilíbrio estático, a carga presa á extremidade da mola recebe da mesma uma 
força restauradora que equilibra seu peso. 
Seja m a massa de um corpo, em equilíbrio estático, preso a extremidade 
inferior da mola; caso esse corpo seja deslocado de uma distância x medida a partir 
do equilíbrio estático, e depois abandonado, a resultante das forças atuantes o 
mesmo será: R⃗⃗ = − k x i 
Aplicando-se a 2º lei de Newton, tem-se: 
 − k x = m ẍ(ll) 
ou seja, 
 �̈� +
𝑘
𝑚 
𝑋 = 0 (lll) 
A equação diferencial (lll) caracteriza um movimento harmônio simples (M.H.S.); sua 
solução é do tipo: 
 𝑥 = 𝑎 cos( 𝜔0𝑡 + α) 
(lV) 
 
 
Sendo: 
 𝑎 - amplitude do M.H.S. 
𝜔0 - pulsação do M.H.S. (𝜔0 = 
2𝜋
𝑇
) 
 𝛼 - fase inicial 
Deve-se ressaltar ainda, que a função x(t) dada pela identidade (lV) satisfaz a 
equação (lll) desde que: 
 𝜔 2
0
= 
𝑘
𝑚
 (V) 
A partir da identidade (V) pode-se concluir que o período T do MHS será dada por: 
 𝑇 = 2𝜋√
𝑚
𝑘
 
3. ASSOCIAÇÃO DE MOLAS 
Supor um sistema genérico de molas acopladas de forma que as deformações 
sejam independentes. 
a) Paralelo 
Quando se aplica uma força que produz nas molas deformações idênticas, a 
associação é dita em paralelo. 
A constante elástica equivalente é dada por: 
𝐾𝑒𝑞 = ∑ 𝐾𝑖 = 𝐾1 + 
𝑛
𝑖=𝑙
𝐾2 … + 𝐾𝑛 
b) Série 
Se ao sistema de molas aplica-se uma força que se transmite em intensidade 
para todas as molas, consequentemente produzindo deformações inversamente 
proporcionais ás respectivas constantes elásticas, a associação é dita em série. 
A constante elástica equivalente é dada por: 
1
 𝑘𝑒𝑞
= ∑
1
 𝑘𝑖
= 
1
 𝑘1
+ 
1
 𝑘2
𝑛
𝑖=𝑙
+ …+ 
1
 𝑘𝑎
 
4. MATERIAL UTILIZADO 
a) Mola helicoidal; 
b) Porta-cargas e massores aferidos; 
c) Escala graduada; 
d) Cronômetro; 
e) Base, haste e garras de sustentação. 
 
5. PROCEDIMENTO EXPERIMENTAL 
Resumo 
O experimento será feito com duas molas distintas, de constantes elásticas 𝐾1 
e 𝐾2 respectivamente. 
Vamos determinar as constantes elásticas de cada mola utilizando dois 
métodos: estático e dinâmico (ver a seguir). 
Em seguida associamos as molas em serie e medimos a constante elástica 
equivalente pelo método dinâmico; associamos as molas em paralelo, medimos a 
constante elástica equivalente pelo método estático. 
Método estático 
a) Monte o dispositivo indicado na figura 2, suspendendo a 
mola com o eixo na vertical. Prenda o porta-cargas na 
extremidade inferior da mola; meça a posição do porta-cargas 
no equilíbrio estático (adote a borda do porta-cargas como 
referência para leituras): 
 
 
 
figura 2. 
b) A partir da situação de equilíbrio estático (já descrita no item a), aplique na mola 
forças de diferentes intensidades F, medindo as respectivas deformações x 
produzidas na mola (vide a tabela 1 do estudo dirigido). 
Método dinâmico 
a) Montar o sistema esquematizado na figura 2. 
b) Prender um corpo de massa m (porta-cargas mais massores) á extremidade 
inferior da mola; coloque o sistema a oscilar. Meça o tempo gasto pelo sistema, 
durante 10 oscilações completas (𝑡10); 
c) Repetir o procedimento anterior, utilizando outros valores de massa m (vide a 
tabela 2 do estudo dirigido). 
 
6. ANALISE DE DADOS (TABELAS) 
1. Quais os objetivos deste experimento? 
Temos por objetivo descobrir qual é a constante elástica da mola usada no 
experimento. 
2. Indicar os instrumentos de medição utilizados e suas respectivas precisões. 
Régua 1/5mm. 
3. Apresentar os resultados obtidos, preenchendo as tabelas anexas: 
ESTÁTICO: 
F (N) 0,0062 0,092 0,288 0,384 0,480 
x (m) 0,045 0,094 0,141 0,190 0,240 
 
DINÂMICO: 
m (kg) 0,0098 0,0196 0,0290 0,0392 0,049 
𝑡10 (s) 4,95 6,05 7,51 8,10 9,87 
T (s) 0,495 0,605 0,751 0,810 0,987 
T² (s²) 0,245 0,366 0,564 0,656 0,974 
 
GRÁFICOS 
 
4. Utilizando os dados obtidos, construa o diagrama cartesiano (x, F). 
 
0,0062
0,092
0,288
0,384
0,48
0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0 0,05 0,1 0,15 0,2 0,25 0,3
F 
(N
)
x(m)
x , F
0,045
0,094
0,141
0,19
0,24
5. Construa os diagramas cartesianos (T², m). 
 
 
6. A partir do diagrama cartesiano (T², m) determinar a constante elástica k da 
mola. Usando m=0,0392 e T²=0,656 
𝐾 = 4𝜋2.
𝑚
𝑇2
= 4𝜋2.
0,0392
0,656
 𝐾 = 2,36 
Sugestão: Mostrar que o coeficiente angular b, no diagrama (T², m) vale: 𝑏 =
𝑘
4𝜋2
 
T = 2π.
√m
k
→ (T)2 = (2π.
√m
k
)
2
→ T² = 4π².
m
k
→ m =
k
4π2
. T² ∴ 𝐛 =
𝐤
𝟒𝛑𝟐
 
 
7. Podemos afirmar, independente dos instrumentos utilizados, que o método 
estático é mais preciso que o dinâmico ou vice-versa? 
R= Tanto o método dinâmico quanto o estático são muito precisos, ou seja, 
praticamente não há diferença de precisão entres ambos, os dois métodos apontam 
dados obtidos com exatidão. 
0,245
0,366
0,564
0,656
0,974
0
0,2
0,4
0,6
0,8
1
1,2
0 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06
T²
(s
²)
m(kg)
T² , m
0,0098
0,0196
0,029
0,0392
0,049
CONCLUSÃO 
 
Concluímos, portanto, que ao aumentarmos a amplitude em um 
pêndulo simples, o período também aumentará, se diminuirmos a amplitude, o 
período também diminuirá, ou seja, a massa do pêndulo não influencia no 
tempo, mas, a amplitude e a gravidade. Nessa situação, temos uma relação 
diretamente proporcional, a amplitude está em função do tempo, e a partir dos 
dados obtidos, podemos esboçar os nossos gráficos que mostram a variação 
entre tempo e espaço (amplitude), quanto maior a área a ser utilizada, maior 
será o tempo gasto. Já em um pêndulo de mola, podemos observar que a 
oscilação possui uma constante elástica, de modo que, na associação de 
molas temos dois tipos de deformações independentes, um em paralelo e o 
outro em série. Em paralelo, quando uma força é aplicada, as molas 
produzem deformações parecidas, já em série, quando aplica-se uma força 
transmitida a todas as molas, elas tendem a produzir um efeito inversamente 
proporcional às constantes elásticas. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS 
 
Livros: 
Apostila de Complementos de Física (Laboratório); Arduino Francesco Lauricella, 
Brasílio Camargo Brito Filho, Francisco Xavier Sevegnani, Pedro Américo Frugoli, 
Roberto Gomes Pereira Filho 
 
Fisica IV, Sears & Semansky 12ed. 
 
Links: 
www.fisica.ufpb.br/~mkyotoku/texto/texto6.ht 
imagem.casadasciencias.org/online/36_pendulo-elastico_massa-mola-teoria.htm