limites

Prévia do material em texto

6 Limite e 
ontinuidade de funções de n variáveis reais
6.1 Limites
6.1.1 Funções de duas variáveis
Seja f uma função de duas variáveis que está de�nida em algum dis
o aberto
B((a, b); r), ex
eto possivelmente no próprio ponto (a, b). Dizemos que o limite de f(x, y)
quando (x, y) tende a (a, b) é L e es
revemos
lim
(x,y)→(a,b)
f(x, y) = L
se para todo número ǫ > 0 existe um número 
orrespondente δ > 0 tal que se (x, y) ∈ D
e 0 < ||(x, y)− (a, b)|| < δ então |f(x, y)− L| < ǫ.
Podem ser usadas ainda as notações:
lim
x → a
y → b
f(x, y) = L e f(x, y)→ L quando (x, y)→ (a, b)
Nessas 
os
unstân
ias, a distân
ia entre f(x, y) e L pode ser feita arbitrariamente
pequena se tomarmos a distân
ia de (x, y) a (a, b) su�
ientemente pequena, mas não nula.
Se nos for dado um pequeno intervalo (L− ǫ, L+ ǫ) em torno de L, então podemos
determinar uma bola aberta Dδ 
om 
entro em (a, b) e raio δ > 0 tal que f leve todos
os pontos de Dδ (ex
eto possivelmente (a, b)) no intervalo (L − ǫ, L + ǫ), 
omo ilustra o
diagrama de setas:
Outra ilustração é dada na �gura a seguir, onde a superfí
ie S representa o grá�
o de f .
Se ǫ > 0 é dado, podemos a
har δ > 0 tal que, se (x, y) perten
e à bola aberta Dδ e
(x, y) 6= (a, b), sua imagem em S estará entre os planos horizontais z = L− ǫ e z = L+ ǫ.
2
Para as funções de uma úni
a variável, quando fazemos x tender a a, só existem duas
direções possíveis de aproximação: pela esquerda ou pela direita. Já para as funções de
duas variáveis essa situação não é tão simples porque existem in�nitas maneiras de (x, y)
se aproximar de (a, b) por uma quantidade in�nita de direções e de qualquer maneira que
se queira.
Sendo assim, se existe o limite de f(x, y) quando (x, y) tende a (a, b), então f(x, y)
deve se aproximar do mesmo valor-limite independentemente do modo 
omo (x, y) se
aproxma de (a, b). Portanto, se a
harmos dois 
aminhos diferentes de aproximação ao
longo dos quais f(x, y) tenha limites diferentes, segue então que lim(x,y)→(a,b) f(x, y) não
existe.
Exer
í
ios Resolvidos:
1. Se f(x, y) =
xy
x2 + y2
, será que lim
(x,y)→(0,0)
f(x, y) existe?
2. Se f(x, y) =
xy2
x2 + y2
, será que lim
(x,y)→(0,0)
f(x, y) existe?
3. Determine, se existir, lim
(x,y)→(0,0)
3x2y
x2 + y2
.
6.1.2 Funções 
om três ou mais variáveis
Seja f uma função de n variáveis que está de�nida numa bola aberta B(A; r), ex
eto
possivelmente no próprio ponto A. Então, o limite e f(P ) quando P tende a A é L, e
es
revemos
lim
P→A
f(P ) = L
se para todo ǫ > 0 existir um δ > 0 tal que se 0 < ||P − A|| < δ então |f(P )− L| < ǫ.
6.1.3 Propriedades
As propriedades dos limites de funções de uma variável podem ser estendidas para
os limites de funções de várias variáveis.
6.2 Continuidade
6.2.1 Funções de duas variáveis
Dizemos que a função f de duas variáveis x e y é 
ontínua em um ponto (a, b) se e
somente se as seguintes 
ondições forem satisfeitas:
3
(i) f(a, b) existe;
(ii) lim
(x,y)→(a,b)
f(x, y) existe;
(iii) lim
(x,y)→(a,b)
f(x, y) = f(a, b).
Se f for 
ontínua em todos os pontos de um sub
onjunto A de Df , diremos que f é
ontínua em A. Diremos, simplesmente, que f é 
ontínua se o for em todos os pontos de
seu domínio.
O signi�
ado intuitivo de 
ontinuidade é que, se o ponto (x, y) varia de uma pequena
quantidade, o valor de f(x, y) variará de uma pequena quantidade. Isso que dizer que a
superfí
ie que 
orresponde ao grá�
o de uma função 
ontínua não tem bura
os ou rupturas.
Exemplos:
1. A função 
onstante f(x, y) = k é 
ontínua, pois
lim
(x,y)→(a,b)
f(x, y) = lim
(x,y)→(a,b)
k = k = f(a, b)
para todo (a, b) em R2.
2. A função f(x, y) = x é 
ontínua, pois
lim
(x,y)→(a,b)
f(x, y) = lim
(x,y)→(a,b)
x = a = f(a, b)
para todo (a, b) em R2.
Exer
í
ios Resolvidos:
1. Determine se f é 
ontínua em (0, 0) se
f(x, y) =
{
3x2y
x2+y2
se (x, y) 6= (0, 0)
0 se (x, y) = (0, 0)
2. Determine se f é 
ontínua em (0, 0) se
f(x, y) =
{ xy
x2+y2
se (x, y) 6= (0, 0)
0 se (x, y) = (0, 0)
3. Seja
f(x, y) =
{
x3
x2+y2
se (x, y) 6= (0, 0)
0 se (x, y) = (0, 0)
Determine o 
onjunto dos pontos de des
ontinuidade de f .
4. Determine todos os pontos em que f é 
ontínua se
f(x, y) =
{
x2 + y2 se x2 + y2 ≤ 1
0 se x2 + y2 > 1
Teorema 6.1 Se f e g forem duas funções 
ontínuas em um ponto (a, b), então
(i) f ± g é 
ontínua em (a, b);
(ii) fg é 
ontínua em (a, b);
(iii)
f
g
é 
ontínua em (a, b), desde que g(a, b) 6= 0.
4
6.2.2 Funções 
om três ou mais variáveis
Suponha que f seja uma função de n variáveis e A, um ponto de Rn. Então, dizemos
que f será 
ontínua em um ponto A se e somente se as seguites 
ondições forem satisfeitas:
(i) f(A) existe;
(ii) lim
P→A
fP ) existe;
(iii) lim
P→A
f(P ) = f(A).
Referên
ias
GUIDORIZZI, H. L. Um Curso de Cál
ulo. Vol. 2. Rio de Janeiro: LTC, 2001.
LEITHOLD, L. O Cál
ulo 
om Geometria Analíti
a. 3. ed. Vol. 2. São Paulo:
Harbra, 1994.
STEWART, J. Cál
ulo. Vol. 2. São Paulo: Cengage Learning, 2009.