ALGEBRA LINER E ESTRUTURA ALGEBRICA

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Questão 1/10 - Álgebra Linear
Seja T:R2→R2T:R2→R2 a transformação linear dada por T(x,y)=(x+2y,y).T(x,y)=(x+2y,y). Assinale a alternativa que contém a matriz de TT com relação à base canônica do R2R2:
Nota: 10.0
	
	A
	[1201].[1201].
Você acertou!
Observamos que
T(1,0)=(1,0)=1(1,0)+0(0,1) e T(0,1)=(2,1)=2(1,0)+1(0,1).T(1,0)=(1,0)=1(1,0)+0(0,1) e T(0,1)=(2,1)=2(1,0)+1(0,1).
Logo, a matriz de TT com relação à base canônica é [1201].[1201].
	
	B
	[1021].[1021].
	
	C
	[1210].[1210].
	
	D
	[2110].[2110].
	
	E
	[1012].[1012].
�
Questão 2/10 - Estrutura Algébrica
A estrutura algébrica de um conjunto com operações é a denominação dada ao conjunto em função dos axiomas satisfeitos pelas operações. Diante disso, coloque V quando a afirmativa for verdadeira e F quando falsa.
I. (   ) Todo domínio de integridade é anel.
II. (   ) Se KK é corpo, então KK é domínio de integridade.
III. (   ) Um domínio de integridade é um anel unitário, comutativo e sem divisores de zero.
Agora, marque a sequência correta:
Nota: 0.0
	
	A
	V, V, V.
Um domínio de integridade é um anel unitário, comutativo e sem divisores de zero. Com isso, as afirmativas I e III são verdadeiras. Se KK é corpo, então KK é um anel unitário, comutativo no qual todo elemento diferente de zero de KK tem inverso multiplicativo. Com esta última propriedade, mostra-se que KK não possui divisores de zero. Portanto, KK é um domínio de integridade e a afirmativa II também é verdadeira.
	
	B
	V, F, V.
	
	C
	V, V, F.
	
	D
	V, F, F.
	
	E
	F, V, V.
�
Questão 3/10 - Álgebra Linear
Considere o conjunto formado pelos vetores v1=(1,−3,4), v2=(3,2,1) e v3=(1,−1,2).v1=(1,−3,4), v2=(3,2,1) e v3=(1,−1,2). Com base neste conjunto, analise as afirmativas:
I. Os vetores v1, v2 e v3v1, v2 e v3 são linearmente independentes.
II. Os vetores v1, v2 e v3v1, v2 e v3 são linearmente dependentes.
III. O conjunto {v1,v2,v3}{v1,v2,v3} forma uma base para o R3.R3.
São corretas as afirmativas:
Nota: 0.0
	
	A
	I, apenas.
	
	B
	I e II, apenas.
	
	C
	I e III, apenas.
	
	D
	II, apenas.
Observamos que det⎡⎢⎣131−32−1412⎤⎥⎦=0.det[131−32−1412]=0. Com isso, os vetores v1, v2 e v3v1, v2 e v3 são linearmente dependentes.
	
	E
	II e III, apenas.
�
Questão 4/10 - Álgebra Linear
Seja T:R2→R2T:R2→R2 o operador linear dado por T(x,y)=(x+2y,3x+2y)T(x,y)=(x+2y,3x+2y). Com base nesse operador, coloque V quando a afirmativa for verdadeira e F quando falsa:
I. (   ) A matriz de TT com relação à base canônica do R2R2 é [1232].[1232].
II. (   ) O polinômio característico de TT é p(λ)=λ2−3λ−4.p(λ)=λ2−3λ−4.
III. (   ) Os autovalores de TT são λ1=1 e λ2=−4.λ1=1 e λ2=−4.
Agora, marque a sequência correta:
Nota: 0.0
	
	A
	V, V, V.
	
	B
	V, F, V.
	
	C
	V, V, F.
Como T(1,0)=(1,3)T(1,0)=(1,3) e T(0,1)=(2,2),T(0,1)=(2,2), a matriz de TT na base canônica do R2R2 é A=[1232].A=[1232]. Logo, a afirmativa I é verdadeira. O polinômio característico de TT é definido por p(λ)=det(A−λI)p(λ)=det(A−λI). Assim,
p(λ)=det[1−λ232−λ]=λ2−3λ−4,p(λ)=det[1−λ232−λ]=λ2−3λ−4, o que garante que a afirmativa II é verdadeira. Um autovalor de TT é raiz do polinômio característico p(λ).p(λ). Como
p(λ)=0⟺λ=−1 ou λ=4,p(λ)=0⟺λ=−1 ou λ=4, concluímos que os autovalores de TT são λ1=−1 e λ2=4.λ1=−1 e λ2=4. Portanto, a afirmativa III é falsa.
	
	D
	V, F, F.
	
	E
	F, V, V.
�
Questão 5/10 - Estrutura Algébrica
Considere os anéis (Z,+,⋅)(Z,+,⋅), (Q,+,⋅)(Q,+,⋅) e (R,+,⋅)(R,+,⋅), em que ++ e ⋅⋅ denotam suas operações usuais. É correto afirmar que
Nota: 10.0
	
	A
	(Z,+,⋅)(Z,+,⋅) é um anel comutativo, unitário e com divisores de zero.
	
	B
	(Z,+,⋅)(Z,+,⋅) é corpo.
	
	C
	(Q,+,⋅)(Q,+,⋅) não é domínio de integridade.
	
	D
	(Q,+,⋅)(Q,+,⋅) é corpo.
Você acertou!
Com as operações usuais, (Q,+,⋅)(Q,+,⋅) é um anel comutativo e com unidade 1. Além disso, dado a=pq∈Q, p∈Z, q∈Z∗a=pq∈Q, p∈Z, q∈Z∗com a≠0,a≠0, vem que p≠0p≠0 e qp∈Q.qp∈Q. Então, a−1=qp∈Qa−1=qp∈Q, pois pq⋅qp=1.pq⋅qp=1.
	
	E
	(R,+,⋅)(R,+,⋅) não é domínio de integridade.
�
Questão 6/10 - Estrutura Algébrica
Assinale a alternativa que contém o quociente q(x)q(x) e o resto r(x)r(x) da divisão do polinômio f(x)=x3−5x2+3x+8f(x)=x3−5x2+3x+8 por h(x)=x−3h(x)=x−3:
Nota: 10.0
	
	A
	q(x)=3x2−2x−3 e r(x)=1.q(x)=3x2−2x−3 e r(x)=1.
	
	B
	q(x)=2x2−2x+3 e r(x)=1.q(x)=2x2−2x+3 e r(x)=1.
	
	C
	q(x)=x2−2x−3 e r(x)=−1.q(x)=x2−2x−3 e r(x)=−1.
Você acertou!
Basta verificar que h(x)⋅q(x)+r(x)=f(x).h(x)⋅q(x)+r(x)=f(x).
	
	D
	q(x)=x2−3x+2 e r(x)=−1.q(x)=x2−3x+2 e r(x)=−1.
	
	E
	q(x)=x2−3x+3 e r(x)=−1.q(x)=x2−3x+3 e r(x)=−1.
�
Questão 7/10 - Álgebra Linear
Seja T:R3→R3T:R3→R3 a transformação linear dada por T(x,y,z)=(x−3y+2z,−x+2y−4z,2x−y+3z).T(x,y,z)=(x−3y+2z,−x+2y−4z,2x−y+3z). Assinale a alternativa que apresenta o vetor u∈R3u∈R3 tal que T(u)=(−7,7,−3).T(u)=(−7,7,−3). 
Nota: 10.0
	
	A
	u=(1,2,−1).u=(1,2,−1).
Você acertou!
Basta verificar que T(1,2,−1)=(−7,7,−3).T(1,2,−1)=(−7,7,−3).
	
	B
	u=(−1,2,−1).u=(−1,2,−1).
	
	C
	u=(−3,−2,−1).u=(−3,−2,−1).
	
	D
	u=(6,4,−2).u=(6,4,−2).
	
	E
	u=(3,0,−5).u=(3,0,−5).
�
Questão 8/10 - Álgebra Linear
Considere a matriz A=[−2112−1].A=[−2112−1]. Assinale a alternativa que apresenta um autovetor de AA associado ao autovalor λ=2:λ=2:
Nota: 10.0
	
	A
	[−13].[−13].
	
	B
	[10].[10].
	
	C
	[74].[74].
	
	D
	[35].[35].
	
	E
	[14].[14].
Você acertou!
Observamos que [−2112−1][14]=[28]=2[14],[−2112−1][14]=[28]=2[14], o que mostra que [14][14] é autovetor de AA associado ao autovalor λ=2.λ=2.
�
Questão 9/10 - Estrutura Algébrica
Considere o polinômio p(x)=x3+5x2−22x−56p(x)=x3+5x2−22x−56. Assinale a alternativa que contém as raízes reais de p(x)p(x):
Nota: 10.0
	
	A
	2, 4 e 7.
	
	B
	-7, -4 e 2.
	
	C
	-2, 4 e 7.
	
	D
	-7, -4 e -2.
	
	E
	-7, -2 e 4.
Você acertou!
O polinômio p(x)p(x) pode ser decomposto como p(x)=(x−4)(x+2)(x+7)p(x)=(x−4)(x+2)(x+7). Logo, as raízes de p(x)p(x) são -7, -2 e 4.
�
Questão 10/10 - Estrutura Algébrica
Assinale a alternativa que contém um polinômio mônico:
Nota: 0.0
	
	A
	p(x)=3x3+2x2+3.p(x)=3x3+2x2+3.
	
	B
	p(x)=2x2−3√x+2.p(x)=2x2−3x+2.
	
	C
	p(x)=2x5−3x3/2+2.p(x)=2x5−3x3/2+2.
	
	D
	p(x)=2x4+√3x+3.p(x)=2x4+3x+3.
	
	E
	p(x)=x3−3x22+√2.p(x)=x3−3x22+2.
O polinômio tem grau 3 e o coeficiente do termo que determina o grau do polinômio é 1.
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