Derivadas - Resumo
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Derivadas - Resumo


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Interpretação geométrica de derivada
Denição de derivada via limite (também chamada de derivada pela denição):
Equação da reta tangente em um ponto x = a:
A reta tangente ao gráco de f em um determinado ponto x0 é aquela que está
na posição limite das retas secantes quando elas tendem a x0. E a derivada
justamente será a inclinação (ou o coeciente angular) desta mesma reta
tangente ao gráco de f em um determinado ponto x = x0.
x
y
0
P
t
Q
Q
Q
f (x) = lim
h 0
f(a + h) - f(a)
y = f (a) (x-a) + f(a)
h
Exemplos de casos de grácos onde não é possível determinar a derivada:
a
x
y
uma quina
a
x
y
uma descontinuidade x
y
uma reta tangente vertical
Derivadas
Cálculo I
2
f (x) . g(x) - g (x) . f(x)
Regras de Derivação - Parte I
Regra do produto e do quociente
Derivadas de funções trigonométricas
Derivada de soma e subtração de funções
a)
b)
Derivada de função constante Se f(x) = c, então f ’ (x) = 0
Derivada de função potência Se f(x) = axn, onde a , então f ‘ (x) = n . axn-1
(f(x) + g(x)) = f (x) + g (x)
(f(x) - g(x)) = f ‘ (x) - g (x)
A regra do produto - se f e g são funções deriváveis, então:
(f(x) . g(x)) ‘ = f (x) . g(x) + g (x) . f(x)
A regra do quociente - se f e g são funções deriváveis, então:
g(x)
f(x)
(g(x))2
f (x) = cos(x)
f(x) = sen(x)
f (x) = sec2(x)
f(x) = tg(x)
f (x) = - sen(x)
f(x) = cos(x)
Observação:
sec(x) = 1
cos(x)
=
3
x
y
2
2
- 1
1
-
Regras de Derivação - Parte I
Derivada de funções exponenciais e logarítmicas
A regra da cadeia - válida quando desejamos derivar funções compostas, isto é, funções
que apresentam a seguinte estruturação:
F(x) = (G(x))n
função externa Ffunção externa G
F (x) = f (g(x)) . g (x)
f(x) = exf (x) = ex
f(x) = In(x)
e
x
y
x
In(x)
x
yf (x) = 1
x
Observação: Em ambas as funções podem haver casos em que seja necessária a utilização da Regra da Cadeia (isto
é, funções compostas envolvendo a função exponencial/logarítmica).
y = arcsen(x)
Dom = [ -1 , 1 ]
Im = 2
-2
,
Funções trigonométricas inversas e suas derivadas
y = 1
1- x2
Lutiele
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