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Lista 9: Problemas de Otimização - Cálculo Diferencial e Integral I - Turma D Professora: Elisandra Bär de Figueiredo 1. Quer-se construir uma sala retangular que tenha 236 m2 de área. Quais devem ser as dimensões para que seu perímetro seja o menor possível? 2. Tem-se um terreno retangular de 4328 m2 de área. Pretende-se murá-lo e sabe-se que o vizinho de um dos lados paga a metade do muro que faz limite com sua propriedade. Para tanto, quais devem ser as dimensões deste terreno para que se gaste o mínimo possível ao murá-lo? 3. Dentre todos os retângulos de área 49 cm2, qual tem perímetro mínimo? 4. Um fazendeiro tem 24 m de cerca para construir três galpões retangulares adjacentes (de mesma área), conforme a �gura a seguir. Quais devem ser as dimensões totais dos galpões de modo a maximizar sua área total ? 5. Um sólido será construído acoplando-se a um cilindro circular reto de altura h e raio r uma semi- esfera também de raio r. Deseja-se que a área da superfície do sólido seja de 5picm2. Determine os valores de r e h para que o sólido tenha volume máximo. 6. Um arame de comprimento 12m é cortado em dois pedaços, sendo que um pedaço é dobrado em forma de quadrado cujo lado é l, e o outro pedaço é dobrado em forma de círculo cujo raio é R. Como devemos cortar o arame para que a soma das áreas englobadas pelos dois pedaços seja máxima? 7. Há várias semanas o Departamento de Estradas vem registrando velocidade do tráfego �uindo numa rodovia após uma saída. Os dados sugerem que a velocidade do tráfego na saída é apro- ximadamente f (t) = t3 − 10, 5t2 + 30t + 20 km/h, onde t é o número de horas após o meio dia. A que horas entre 15 e 18 horas, o tráfego se move mais rápido e a que horas ele se move mais lentamente? 8. Considere três números positivos tais que sua soma é 15. Sabendo-se que o dobro do primeiro mais três vezes o segundo, mais quatro vezes o terceiro é 45, determine então esses números de modo que o produto dos três seja o maior possível. 9. Considere o retângulo, da �gura a seguir, cujo perímetro é 16cm. Determine os lados do retângulo para que a área do trângulo ABC seja a maior possível. 10. Determine, se existir, um número positivo tal que a soma de seu cubo com 4 vezes o inverso de seu quadrado seja o menor possível. 11. Considere um semicírculo de raio 2. Determine: 1 (a) as dimensões do retângulo com máxima área que seja inscrito neste semicírculo; (b) a área deste retângulo. 12. Um recipiente com a forma de um paralelepípedo de base quadrada tem um volume de 2.000 cm3. Sabendo-se que o custo da base e da tampa é o triplo do custo dos lados, determine as dimensões do recipiente de menor custo possível. 13. Duas cidades estão localizadas ao sul de um rio conforme a �gura a seguir. Uma estação bom- beadora de água será instalada para servir as duas cidades. A tubulação seguirá as retas que ligam cada cidade à estação. De�na o ponto onde a estação bombeadora deve ser instalada para minimizar o custo da tubulação. A B 10km 5km 2km Estação 14. Determine as dimensões de um cilindro reto inscrito em uma esfera de raio R para que este tenha o maior volume possível. 15. Uma pista de atletismo com comprimento total 400m, consiste em 2 semicírculos e dois segmentos retos, conforme a �gura a seguir. Determine as dimensões da pista de tal forma que a área retangular, demarcada na �gura, seja máxima. 16. Uma folha de papelão quadrada com 16 cm2 é usada para fazer uma caixa aberta, retirando quadrados do mesmo tamanho dos quatro cantos e dobrando-se os lados. Qual é o tamanho dos quadrados que resulta na caixa com o maior volume possível? 17. Pretende-se estender um cabo de uma usina de força à margem de um rio, de 900m de largura, até uma fábrica situada do outro lado do rio, 3000m rio abaixo. O custo para estender um cabo pelo rio é de R$5, 00 por metro, enquanto que para estendê-lo por terra custa R$4, 00 o metro. Qual é o percurso mais econômico para o cabo? 18. Considere um trapézio isósceles de área 50cm2. Sabendo que α = 30◦ é um dos ângulos da base, determine a medida da lateral l para que o perímetro seja mínimo. 19. Uma bateria de voltagem �xa V e resistência interna �xa r está ligada a um circuito de resistência variável R. Pela Lei de Ohm, a corrente I no circuito é I = V R + r . Se a potência é dada por P = I2R, mostre que a potência máxima ocorre quando R = r. 20. No projeto de aviões, uma característica importante é o chamado "fator de arraste", isto é, a força de freagem exercida pelo ar sobre o avião. Um modelo mede o arraste por uma função da forma F (v) = Av2 + B v2 , onde A e B são constantes positivas. Descobre-se experimentalmente que o arraste é minimizado quando v = 160 mph. Use esta informação para encontrar a razão B A . 2 21. A carga transmitida através de um circuito varia de acordo com a equação q = t4− 4t3 coulombs. Determine o instante t quando a corrente i = dq dt atinge um mínimo. 22. O trabalho realizado por um solenóide ao mover um induzido varia de acordo com W = 2t3 − 3t4 joules. Determine a maior potência desenvolvida. (Potência: P = dW dt .) 23. Determine a maior corrente num capacitor com capacitância C igual a 4 3 × 10−6 farads, se a voltagem aplicada for dada por V = 250t2 − 200t3 volts (i = CdV dt ). 24. Um gerador produz uma tensão Vin = 110 Volt para alimentar uma carga resistiva R. A linha de transmissão de energia possui uma resistência r0 = 0, 8kΩ/km e 5000km de extensão entre a fonte e a carga. Sabendo que a potência sobre uma carga é dada por P = V 2 R (R + r)2 , calcule o valor de R para que a potência transmitida pelo gerador seja máxima. 25. Um circuito RLC paralelo sobreamortecido com o capacitor de capacitância C = 23, 81mF = 1 42 F, inicialmente descarregado, e o indutor de indutância L = 7H, inicialmente carregado com corrente de -10A, gera uma tensão de saída no resistor de resistência R = 6Ω regida pela Equação 1. Calcule o tempo para que a corrente que passa pelo resistor seja máxima. Calcule também o valor da tensão e da corrente no resistor nesse instante e esboce o grá�co da tensão de saída do circuito. Dados: + - VRLC V = −K1es1t +K2es2t (1) V = RI (2) K1 = K2 = 84V s1 = −α− √ α2 − ω20 s2 = −α + √ α2 − ω20 α = 1 2RC ω0 = 1√ LC Respostas: 1. x = y = 2 √ 59m 2. Aproximadamente 76m por 57m. 3. O quadrado de lado 7cm. 4. 2m e 3m. 3 5. r = h = 1cm 6. R = 6 4 + pi e l = 12 4 + pi 7. Mais rápido 15h, mais lento às 17h. 8. x = y = z = 5 9. x = y = 4cm 10. 5 √ 8 3 11. (a) √ 2× 2√2; (b) 4u.a. 12. 5 3 √ 144cm e 20 3 √ 12 13. 20 7 m após o ponto N. 14. √ 6R 3 e 2 √ 3R 3 15. 10m e 100 pi m 16. 2 3 m 17. 1200m pelo rio e 1800m por terra. 18. l = 10cm 19. 20. B A = (160)4 21. t = 2s 22. 0, 125W 23. i = 25× 10−4 18 A 24. R = 4MΩ 25. t = ln 6 5 s; V = 70 5 √ 6 V ; I = 35 3 5 √ 6 A 4
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