EXERC-PARAL-PERP-DIST-INTERS

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Departamento de Expressão Gráfica ARQ03317 – Geometria Descritiva II A 
Faculdade de Arquitetura Lista de Exercícios 2008
 
 1
Professores: Anelise Hoffmann Fábio Teixeira 
 Jocelise Jacques José Luis Aymone 
 Régio Silva Tânia Silva 
 
 
Obs.: Resolver os exercícios utilizando: 
 Escala: 1:1 Unidade: mm. 
 
 
Aula 2: Reta 
 
1. Representar em épura: 
a) uma reta fronto-horizontal que passa por P (20, 30, 40) 
b) marcar um segmento de reta de 30 mm sobre uma reta perpendicular ao plano horizontal de 
projeção que passa por C (20, 30, 30) 
c) mostrar o ângulo que s faz com os planos horizontal e frontal de projeção, sendo s : A(30, 10, 
40) e B (30, 50, 20) 
d) uma reta paralela ao plano frontal de projeção, faz 45o H com o plano horizontal de projeção e 
passa por F (40, 20, 40) 
 
2. Desenhar a reta representada pelos pontos A (15; 10; 10) e B(60; 45; 55) e marcar o ponto P (10; 
__;__) sabendo que este pertence à reta. 
 
3. Conhecendo a reta b (A, B), determinar a projeção de seus pontos J (?, 15, ?) e Q, que dista 35mm 
de J. Sendo A (30, 50, 20) e B (60, 20, 20). 
 
4. Representar em épura e identificar as retas. Verificar se os pontos X (30, 25, 30) e Y (40, 30, 40) 
pertencem às retas r e s. 
a) r : paralelo ao plano horizontal de projeção (PHP) faz 30o AH com o plano frontal de projeção 
(PFP) , passa por A (40, 30, 30). 
b) s : perpendicular a (PFP) , contém B (40, 50, 30). 
 
5. Representar o segmento de reta EF, sabendo que é de perfil, mede 45 mm e faz 60o AH com o 
(PFP), sendo E (40, 50, 20). 
 
 
Aula 3: Mudança de Sistema de Referência - retas 
 
1. Marcar sobre a reta que passa por E (50, 10, 20) e F (20, 30, 30) um segmento AE de 20 mm. 
 
2. Dado o segmento C (25, 30, 30) D (50, 20, 10) determinar o ângulo que CD faz com o (PFP). 
 
3. Tornar de topo a reta r: A (70, 30, 00) B (10, 10, 40). 
 
4. Tornar horizontal a reta que passa por K (50, 30, 30) L (20, 10, 10). 
 
5. Tornar frontal a reta s: C (00, 40, 10) D (30, 20, 40). 
 
6. Encontrar a VG dos segmentos: 
a) M (60, 30, 20) N (20, 10, 10) e o ângulo que faz com o (PHP) 
b) R (60, 30, 20) S (10, 05, 10) e o ângulo que faz com o (PFP) 
 
7. Marcar 30 mm sobre a reta t: A (80, 20, 10) B (00, 50, 30). 
 
8. Transformar a reta AB em fronto-horizontal de afastamento igual a 30mm. A (10; 30; 20) e B (40; 
05; 20). 
 
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9. Determinar a dimensão real do segmento DE e identificar o ângulo que o mesmo faz com o plano 
horizontal de projeção. D (40, 60, 20) E (40, 00, 50). 
 
10. Dado o segmento CD, sendo C (10, 30, 40) e D (30, 20, 05) determinar o ângulo que CD faz com 
o plano vertical de projeção e o ponto M, ponto médio do segmento. 
 
11. Tornar a reta g (GU) uma reta fronto-horizontal, sendo G (10, 40, 60) e U (30, 10, 20). Qual a 
mudança de sistema de referência realizada? 
 
 
Aula 4: Posição relativa entre retas 
 
1. Verificar a posição relativa entre as retas: 
a) r: A (50, 10, 40) B (50, 40, 10) e s: C (30, 20, 40) D (30, 50, 10) 
b) t: E (50, 10, 40) F (50, 40, 10) e q: G (20, 30, 40) H (20, 20, 10) 
c) m: fronto-horizontal, passa por K (10, 30, 20) e n: P (10, 60, 50) Q (50, 20, 10) 
 
2. Dada a reta r A(60,20,10) B(10,50,10) traçar por P(30,20,30) uma reta m, perpendicular a r. 
 
3. Representar o triângulo ABC, sabendo que um de seus lados é uma reta horizontal r que faz 45º 
horários e mede 40 mm, outro lado é uma reta frontal 60º anti-horário, concorrente a r em 
A(60,20,20). Determinar as projeções de B e C sabendo que o triângulo é retângulo. 
 
 
Aula 5: Estudo do Plano 
 
1. Representar em épura: 
a) um plano de topo que faz 45o AH com o (PHP) passando por 3 pontos não-colineares. 
b) um plano vertical por 2 retas paralelas. 
c) um plano que passa por Q (50, 10, 20) e pela reta r. 
 r: frontal, faz 45o H com o (PHP) e passa por O (10, 10, 20). Identificar o plano. 
d) o plano β : reta m : L (40, 50, 20) J (40, 20, 50) 
 reta n : fronto-horizontal que contém Q (20, 30, 40) , Identificar β. 
e) α : A (30, 10, 10) B (30, 20, 40) C (30, 30, 20), identificar α. 
 Verificar se os pontos P (30, 15, 15) e Q (20, 25, 25) pertencem ao plano α. 
f) a reta de topo (t) que passa por M (40, 25, 15), pertence ao plano horizontal (α) que contém a 
reta s? E a reta fronto-horizontal (h) de afastamento e cota = 30mm pertence a α? 
s: C (30, 50, 15) D (70, 10, 15). 
 
2. Determinar as projeções de um plano definido por duas retas paralelas “s” e “p”. Sabendo que 
estas retas são frontais e fazem 45° horários com o (PHP), “s” contém o ponto V (45, 45, 5) e “p” 
contém L (45, 45, 20). 
 
3. Representar uma reta de perfil (p) de abscissa = 20 mm contida em ϕ. 
 ϕ : reta m: horizontal, faz 30o H com (PFP) e passa por A (50, 30, 40). 
 reta n : frontal, faz 60o AH com (PHP) e passa por A 
 
4. Traçar uma reta horizontal (h) com cota 25 mm contida em β. 
 β : C (00, 10, 20) D (20, 40, 40) E (60, 10, 00). 
 
 
 
 
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5. Identificar os planos 
e suas características: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
6. Representar a reta frontal de afastamento 15mm contida em α. Sendo α determinado pelos pontos 
A(60;05;45), B(50; 45;10) e C (10;15;50). 
 
7. Desenhar em épura o plano horizontal α através de duas retas concorrentes p e t. As retas 
concorrem no ponto J (30,15, 15). A reta p é fronto-horizontal e t é horizontal que faz 30º anti-horários 
com o (PFP). 
 
8. Representar as projeções mongeanas do plano que contém duas retas concorrentes no ponto Z 
(50, 40, 40), sabendo-se que uma reta é vertical e outra é frontal e faz um ângulo de 45ºAH com o 
(PHP). Identifique qual o tipo de plano formado e suas características. 
 
9. Traçar pelo ponto R (30, 10, 10) uma reta f, frontal a qual forma um ângulo de 45ºH com (PHP). 
Marcar sobre esta reta um ponto T que dista 30mm de R. 
 
10. Identificar o plano representado pelo ponto M (40, 15, 30) e a reta n, sabendo que esta é uma reta 
frontal que faz 60ºH com o (PHP) e passa pelo ponto T (15, 15, 20). 
 
11. Representar as projeções de um plano de topo que contenha o ponto M (20, 40, 50) e faça 30º H 
com o plano horizontal de projeção. 
 
12. Desenhar as projeções do plano que contém duas retas concorrentes no ponto D (20, 40, 30), 
sabendo-se que uma reta é fronto-horizontal e outra é perfil e faz um ângulo de 30ºAH com o (PHP). 
Identifique qual o tipo de plano formado e suas características. 
 
 
Aula 6: Mudança de Sistema de Referência - Planos 
 
1. Determinar a VG da figura plana: 
 A (30, 20, 40) B (30, 20, 05) C (30, 40, 05). 
 
2. Determinar a PA do triângulo DEF. 
 D (60, 10, 10) E (10, 10, 10) F (30, 60, 30). 
 
3. Encontrar a VG do plano β : I (80, 30, 50) J (40, 60, 40) K (00, 00, 30). 
 
4. Transformar o plano α em um plano frontal. α : T (60, 20, 40) U (20, 60, 00) V (00, 20, 60). 
 
5. Transformar α em um plano horizontal. α : M (40, 10, 20) N (00, 10, 40) O (10, 40, 05). 
 
A2 
p2 
q2 
p1 ≡ q1 
n2 A2 
n1 
A1 p1 q1 
p2 
 q2 B2 
B1 
A1 
C2 
C1 
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6. Representar o triângulo eqüilátero (l=30mm) contido em α. Sendo α um plano de topo, o qual 
contém F (10; 10; 10) e faz 45ºH com o (PHP). 
 
7. Encontrar a verdadeira grandeza da figura plana configurada pelos pontos A (00, 20, 10), B (70, 
20, 50) e C (30,90,70). 
8. Encontrar triângulo eqüilátero de lado LM pertencente ao plano configurado pelos pontos 
L(70,20,50), M (40,80,10) e N (20,40,10). 
 
9. Encontrar as projeções de um quadrado contido no plano α [L (50, 20, 50), M (20, 80, 10), N (00, 
40, 70)], sendo uma das diagonais o segmento ML. 
 
10. Tornar frontal o plano β: reta frontal que passa por J (20, 10, 20) e faz 30o (AH); e ponto S (60, 30, 
50). 
 
11.Tornar o plano α um plano horizontal. Sendo α: A (50, 10, 20) B (10, 10, 40) C (30, 30, 10) 
 
12. Encontrar o ângulo que a figura plana FGH faz com (PHP). F (10, 10, 40) G (40, 60, 20) H (80, 30, 
60) 
 
13. Encontrar um quadrado de lado MN pertencente a um plano horizontal, sendo M (50, 10, 30) e N 
(00, 30, 00). 
 
14. Representar um triângulo eqüilátero de l = 40 mm pertencente ao plano ϕ. 
 ϕ: K (40, 10, 10) L (20, 50, 10) M (00, 10, 60) 
 
 
Aula 8: Posição relativa entre retas e planos 
 
1. Representar as projeções da reta r que passa pelo ponto P (10, 30, 40), paralela ao plano ϕ e aos 
planos horizontal e vertical de projeção. ϕ: A (50, 20, 50) B (80, 40, 30) C (20, 60, 10). 
 
2. Determinar as projeções do plano β, paralelo ao plano α, sabendo que β é definido por duas retas 
concorrentes passando pelo ponto O (90, 15, 25). 
 α: A (10, 15, 20) B (40, 65, 60) C (70, 25, 20) 
 
3. Definir por P (30, 30, 30) uma reta perpendicular ao plano ABC. 
 A (80, 15, 50) B (50, 30, 10) C (90, 45, 05) 
 
4. Traçar por Q uma reta perpendicular ao plano CDE. Sendo: C (60, 20,30), D(30,20,10), E 
(50,50,40) e Q (50,30,30). 
 
5.Representar as projeções de uma reta paralela ao plano α (TUV) e ao (PFP), passando pelo ponto 
F. Sendo: T (40, 60, 50), U (70, 10, 10), V (100, 30, 50) e F (20, 30, 20). 
 
6. Representar a horizontal que contém S e é paralela α (A, B, C).Sendo: S(10, 40, 20), A (90, 20, 
30), B (60, 60, 10) e C (20, 20, 60). 
 
7. Representar a reta r, que passa pelo ponto T (15, 40, 15) e é paralela ao plano β (DEF), sendo D 
(30, 50, 40), E (20, 10, 10) e F (80, 30, 20). 
 
8. Representar as projeções do plano perpendicular a α e paralelo a reta f. Este plano contém o ponto 
T (00, 30, 50). Sendo α [ W(50, 15, 10), Y (80, 45, 50), M (100, 15, 20)] e f [A(40, 60, 20) e B (10, 40, 
40)]. 
 
 
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Aula 9: Distância 
 
1. Encontrar a distância entre C (30, 20, 20) e a reta t: D (10, 10, 40) E (50, 10, 30). 
 
2. Encontrar a VG da distância entre as retas: 
 t: K (60, 10, 30) L (00, 30, 10) e v: M (60, 25, 20) N (00, 25, 60) 
 
3. . Determinar a distância entre as retas s e t . 
 Sendo s : A (90, 30, 50) B (30, 10, 30) e t : C (90, 00, 20) D (30, 50, 50) 
 
4. Representar em épura uma reta s, paralela a r, com 30 mm de distância em relação à reta r. Sendo 
r: A (10, 30, 25) B (60, 45, 55) 
 
5. Determinar a distância de P (20, 50, 40) ao plano β. β: M (70, 05, 40) N (30, 40, 10) O (00, 25,30). 
 
6. Encontrar a distância entre a reta r e o plano α. 
 r: D (00, 10, 20) E (15, 35, 50) 
 α: A (60, 25, 30) B (25, 30, 50) C (10, 05, 20) 
 
7. Encontrar a distância entre α e β: 
 α: A ( 60, 20, 30) B (40, 40, 30) C ( 20, 10, 30) 
 β: D ( 30, 15, 50) E (10, 10, 50) F (00, 50, 50) 
 
8. Determinar a distância entre os planos α e β . Sendo α determinado pelos pontos A(10, 15, 20), B 
(40, 65, 60) e C (70, 25, 20), β paralelo a α e definido por duas retas que passam pelo ponto D (90, 
15, 40). 
 
9. Representar as projeções de uma reta paralela ao plano α e a (PFP) passando por P (20, 30, 20). 
Determinar a distância entre a reta e o plano α. Sendo α: A (40, 60, 50) B (70, 10, 10) C (100, 30, 50) 
 
 
Aula 10: Rotação - retas 
 
1. Tornar a reta AB frontal utilizando o método de rotação. 
 A (50, 10, 10) B (00, 30, 30) 
 
2. Encontrar a VG da reta E (40, 10, 30) F (00, 30, 50), por rotação, utilizando um eixo de topo que 
passa por P (20, 20, 10). 
 
3. Tornar a reta horizontal que contém os pontos M (40, 10, 20) e N (00, 30, 20) uma reta de topo, 
utilizando o método de rotação. 
 
4. Dada a reta A(50,10,10) B(10,30,40) tornar vertical utilizando rotação. 
 
 
Aula 11: Rotação - planos 
 
1. Encontrar a verdadeira grandeza, por rotação, do plano definido pelos pontos ABC, sendo A (10, 
20, 30); B (40, 60, 70) e C (65, 20, 15). Representar nos planos horizontal e vertical de projeção o 
quadrado (AEFG) pertencente ao plano ABC (exercício anterior), tendo como lado o segmento de reta 
AB. 
 
2. Encontrar a distância do ponto C (50, 40, 40) ao plano β, por rotação. 
 β: F (60, 10, 10) G (20, 10, 40) H (10, 30, 10) 
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3. Encontrar a VG dos planos por rebatimento: 
a) α: A (50, 10, 10) B (30, 50, 30) C (00, 40, 60) D (10, 20, 50) 
b) β: E (50, 10, 20) F (30, 50, 60) G (10, 10, 40) 
c) γ: I (50, 20, 20) J (20, 45, 05) K (00, 10, 50) 
 
4. Encontrar o centro (C) da circunferência circunscrita ao triângulo XYZ , por alçamento em (PHP) e 
(PFP). Sendo: X (50, 10, 40) Y (20, 50, 10) Z (0, 30, 40) 
 
5. Encontrar o triângulo eqüilátero de l = 30 mm pertencente ao plano α, por rebatimento e 
alçamento em (PHP) e (PFP) . Sendo: α: N (60, 20, 30) O (40, 50, 40) P (00, 20, 10) 
 
6. Determinar a VG do plano β, por rebatimento. β: J (70, 20, 10) K (10, 40, 10) L (40, 60, 50) 
 
7. Determinar as projeções de um triângulo equilátero contido no plano α (DTU), sabendo que um dos 
lados do triângulo é TU. Utilizar dupla rotação. Dados: D (30, 55, 40); T (00, 35, 10); U (45, 10, 10). 
 
8. Encontrar o quadrado de l = 25 mm, contido em ρ, utilizando o método de rotação, rebatimento e 
alçamento. Representar em (PHP) e (PFP). ρ: A (20, 10, 20) B (40, 50, 70) C (80, 10, 50) 
 
9. Determinar as projeções do triângulo eqüilátero contido em β utilizando rotação, rebatimento e 
alçamento. Sabendo que AB é um dos lados do triângulo. 
 β: A (30, 55, 40) B (00, 35, 10) C (45, 10, 10) 
 
 
Aula 12: Interseção reta e plano 
 
1. Encontrar o ponto de interseção (I) entre as figuras planas e retas a seguir, verificando também a 
visibilidade: 
a) s: A (50, 20, 40) B (00, 20, 50) 
 α: E (40, 10, 50) F (20, 30, 20) G (00, 50, 40) 
b) t: fronto-horizontal, passa por F (80, 30, 30) 
 β: A (60, 10, 10) B (40, 10, 60) C (00, 70, 10) 
c) r: horizontal, faz 45o H, passa por T (60, 10, 30) 
 ϕ: H (70, 20, 30) J (40, 50, 50) K (20, 10, 00) 
d) s: P (60, 20, 20) Q (60, 60, 60) 
 σ: R (80, 30, 40) S (40, 60, 20) T (20, 10, 70) 
 
2. Determinar a interseção da reta y e o plano β. Sendo y que é horizontal, passa pelo ponto T (50, 
15, 10) e faz 30º H. β contém os pontos D (60, 15, 00), K (30, 50, 50) e R (10, 20, 10). 
 
3. Determinar a interseção da reta r = R(10, 30, 40), S(40, 40, 20) com o plano horizontal de cota 
30mm. Verificar a Visibilidade. 
 
4. Determinar a interseção da reta (F, T) com o plano γ (S, M, N), sendo: F(10, 40, 70), T (80, 70, 05), 
S (10, 50, 10), M (60, 70, 50) e N (100, 10, 10). Avaliar a visibilidade. 
 
 
Aula 13: Interseção de planos 
 
1. Encontrar a reta interseção entre os planos e analisar a visibilidade: 
γ: I (50, 05,30) J (25, 35, 20) K (10, 15, 15) ε: M (45, 20, 10) N (30, 35, 05) O (20, 05, 35) 
 
2. Encontrar a reta interseção entre os planos e analisar a visibilidade: 
β: K (60, 10, 10) L (10, 40, 10) M (40, 10, 40) γ: R (40, 40, 05) S (20, 05, 40) T (10, 30, 20) 
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3. Encontrar a reta interseção entre os planos e analisar a visibilidade: 
α: A (50, 10, 10) B (50, 40, 30) C (20, 40, 30) D (10, 10, 10) 
ε: M (40, 20, 05) N (20, 20, 40) O (45, 45, 40) 
 
4. Determinar a interseção entre os planos α e β, analisando a visibilidade. Sendo α : F(60, 10, 20), 
H (10, 30, 20), Y (50, 50, 50) e β : O (60, 30, 40) , T (10, 10, 40), R (30, 60, 10). 
 
5. Determinar a interseção das figuras planas: 
β : J (10, 50, 10), B (40, 15, 10), M (70, 35, 65) e 
α :A (25, 50, 05), H (60, 55, 35), T (65, 25, 65), Z (30, 20, 35). 
 
6. Determinar a interseção entre as figuras planas: 
ϕ : R (10, 15, 35), N (50, 60, 65), L (60, 15, 10) e ω: P (70, 40, 45), O (20, 60, 15), D (30, 00, 60). 
 
7. Estudar a interseção entre as figuras HIJ e RQTU. Sendo H (41, 05, 05); I (00, 15, 16); J (19, 41, 
39); R (15, 16, 32); Q (26, 42, 07); T (77, 46, 17); U (57, 20, 40). 
 
8. Determinar a interseção entre δ e γ, analisando a visibilidade. 
Sendo δ :T (10, 15, 20) E (40, 65, 60) D (70, 25, 20) 
 γ : F (00, 50, 55) P (25, 80, __) Q (60, 15, 30), γ é de topo.