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GEOMETRIA ANALITICA–VETORES – José Francisco Faria 
 
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GEOMETRIA ANALÍTICA 
 
VETORES 
 
Introdução 
 
 Há dois tipos de grandezas, as escalares e as vetoriais. As grandezas 
escalares são usadas em medir comprimento, área, volume, massa, temperatura, 
densidade, etc. Estas grandezas são completamente definidas e geralmente são 
consideradas como números reais. O segundo tipo de grandezas são vetores, e 
necessitam de mais conceitos nas suas definições tais como, magnitude, direção, 
sentido etc. Os vetores são usados em medir força, velocidade, aceleração, 
deslocamento, impulso etc. Geometricamente os vetores são representados por 
segmentos das retas orientadas no plano e no espaço. A direção e o sentido do 
segmento orientado identifica a direção e o sentido do vetor. 
 
 Neste capítulo, estudaremos sobre vetores. Apresentaremos, noções básicas, 
operações, vetores no plano e no espaço. Também, apresentaremos os produtos 
escalares, vetoriais e mistos entre vetores. 
 
 
Vetores 
 
Definição (Segmento Orientado da Reta). É determinado por um par ordenado de 
pontos na reta, o primeiro ponto chama-se origem do segmento e o segundo 
extremidade. 
 
Seja A e B dois pontos na reta, onde A é o ponto inicial e B é o ponto final. O 
segmento orientado de origem A e extremidade B representa-se pelo vetor AB , ou 
seja, um vetor é definido por um segmento de reta. 
 
 
 
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Se o ponto inicial de um vetor u é A e o ponto final é B, então escrevemos 
ABu = . 
 
O ponto inicial as vezes é chamado de origem e o ponto final de extremidade 
do vetor. 
 
Um vetor é caraterizado por três coisas: direção, sentido e comprimento, ou seja, 
com qualquer vetor AB sempre é associado, o comprimento, a direção e o sentido. 
 
A seguir estudaremos esses três assuntos. 
 
• Comprimento 
 
O comprimento do vetor AB é representado por |AB| e é a distância do ponto A 
até o ponto B ou vice-versa. 
 
• Direção 
 
A reta de comprimento infinito no qual o vetor é colocado é chamada de direção 
ou suporte do vetor. Por exemplo, diversos vetores na mesma reta ou retas paralelas 
tem a mesma direção. 
Os vetores AB , DC e EF tem a mesma direção. Se escrevemos ABu = , CDv = e 
EFw = então dizemos que os vetores AB , DC e EF são representantes dos vetores 
u , v e w respectivamente. 
 
• Sentido 
 
O sentido do vetor AB é de A até B e do vetor BA é de B até A, ou seja, o sentido 
de um vetor é do ponto inicial ao ponto final. 
 
 
 
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Os vetores AB e BA tem a mesma direção e comprimento mas de sentido 
contrário ou oposto. 
 
 A questão comparação de dois vetores só é possível quando as retas que 
suportam esses vetores sejam a mesma ou paralelas. Dois vetores com mesma 
direção ou paralelas. Dois vetores com mesma direção ou paralela podem ter sentido 
igual ou oposto. Quando não tem mesma direção, não podemos ter a comparação, 
por exemplo, os vetores PQ e RS dados na figura abaixo: 
 
Algumas Considerações sobre Vetores 
 
Vetores paralelos 
 
Dois vetores u e v são paralelos, se eles tem os seus representantes na mesma 
direção (pode ser sentido contrário). Denotamos por vu . Por exemplo, veja os 
vetores dados a seguir 
 
 
Os vetores u , v e w são paralelos. Os vetores u , v e w tem a mesma direção 
mas os vetores u e v tem o mesmo sentido e o vetor w tem sentido contrário ao de 
u e v . 
 
 Dizemos que dois vetores são colineares se eles se encontram na mesma reta, 
independente do sentido. 
 
 
Vetores iguais 
 
Dois vetores u e v são iguais, se 
(i) tem o mesmo comprimento, ou seja, |u| e |v|; 
 
 
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(ii) tem mesma direção ou são paralelos; 
(iii) tem mesmo sentido. 
 
Denotamos por u = v . 
 
Por exemplo, os vetores AB , CD e EF dados abaixo são iguais. 
 
Observação 
 
• Dois vetores não são iguais, se não são de comprimento igual, ou não tem mesma 
direção ou mesmo sentido, ou seja, se falha uma das três condições dadas acima, 
dizemos que os vetores não são iguais. 
 
Veja outra exemplo do paralelogramo ABCD. Neste caso, CDAB = e BCAD = . 
 
Operações com Vetores 
 
 Podemos efetuar vários tipos de operações com e entre vetores. As principais 
operações são: 
(i) adição de vetores; 
(ii) multiplicação de um vetor por um escalar. 
(iii) produto escalar ou produto interno; 
(iv) produto vetorial; 
(v) produto misto. 
 
As últimas três operações vão ser estudadas posteriormente nas outras seções. 
Nesta seção apresentaremos as duas primeiras operações, ou seja, adições de vetores 
e multiplicação de um vetor com um escalar. 
 
 
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Adição de Vetores 
 
Consideremos dois vetores u e v . Pretendemos encontrar um vetor que representa a 
soma desses dois vetores, ou seja, vu + . A soma ou adição é determinada da 
seguinte forma: 
 
• tome um segmento orientado representando o vetor u ; 
• tome um segmento orientado representando o vetor v com origem na 
extremidade de u ; 
• o vetor vu + é representado pelo segmento orientado, que vai de origem de u 
até a extremidade de v . 
 
Veja a figura abaixo: 
 
 
 Veja nas figuras abaixo outros tipos de ilustrações interpretando adição de 
vetores: 
 
 
 
Propriedades da Adição 
 
A operação de adição satisfaz algumas propriedades dadas a seguir. 
 
• Comutativa. Sejam u e v dois vetores dados. Então, vale a igualdade 
 
uvvu +=+ . (1) 
 
 A propriedade (1) pode ser verificada facilmente redesenhando a figura... dada 
acima: 
 
 
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Através da figura acima, ou da propriedade (1), podemos dizer que a ordem de 
somatório de dois vetores não muda o resultado final, ou seja, somando u com v ou 
v com u , o resultado é o mesmo. 
 
• Associativa. Vale a seguinte propriedade: 
 
)()( wvuwvu ++=++ . (2) 
 
para quaisquer vetores u , v e w . 
 
 Podemos verificar a propriedade (2) através da figura abaixo: 
 
 
 A propriedade associativa (2) nos diz que podemos somar mais de dois vetores 
independente da ordem, o resultado contínua o mesmo. 
 
• Vetor nulo ou Vetor neutro. Vamos definir agora o que é vetor nulo ou vetor 
neutro de adição. 
 
Definição: Um vetor é nulo quando o ponto final do vetor é o mesmo ponto 
inicial. Neste caso, a origem coincide com a extremidade. Denotamos o vetor nulo 
por 0 . 
O vetor nulo não possui direção e nem sentido, então, ele é considerado paralelo 
a qualquer vetor. O vetor nulo também não tem comprimento. Segue então que 
 
uu +=+ 00 , (3) 
 
para qualquer vetor u . 
 O vetor nulo também é considerado como vetor neutro da adição. 
 
 Da propriedade (3) podemos observar que somando um vetor nulo a qualquer 
vetor, a soma sempre é o mesmo vetor. 
 
• Vetor simétrico ou oposto. A seguir definimos o que é o vetor simétrico ou 
oposto. 
 
 
 
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Definição: Para qualquer vetor não-nulo u , o simétrico de u (ou oposto de u ) 
denotado por u− é o vetor que tem mesmo comprimento, mesma direção e sentido 
contrário ao de u . Veja as figuras abaixo: 
Segue então que 
0)( =−+ uu . (4) 
 
 Da propriedade (4), podemos observar que a soma de um vetor dado com seu 
oposto, o resultado sempre é o vetor nulo. 
 
 De (1), (2), (3) e (4) podemos resumir as quatro propriedades importantes dos 
vetores. 
(i) Comutativa: uvvu +=+ . 
(ii) Associativa: )()( wvuwvu ++=++ . 
(iii) Elemento neutro: uu +=+ 00 . 
(iv) Elemento oposto: 0)( =−+ uu ,onde u , v e w são quaisquer vetores. 
 
 
Diferença entre Vetores 
 
Em virtude da propriedade (iv), podemos definir a diferença entre dois vetores. 
 
Definição 2.4. Definimos a diferença u menos v , vu − e escrevemos 
 
)( vuvu −+=− . (5) 
 
Em particular, 0=− uu . 
 
Das propriedades (1)-(4), seque que 
 
 )( vuv −+ vvu +−= )( (comutativa) 
 )( vvu +−+= (associativa) 
 0+= u (oposto) 
u= (neutro) 
 
 
 
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Assim, a diferença vu − é o vetor que somando a v dá u , portanto, ele vai da 
extremidade de v até a extremidade de u , desde que u e v estejam representados 
por segmentos orientados com a mesma origem. Veja figura abaixo: 
 
Pela figura dada acima, podemos interpretar o seguinte: 
 
A equação vetorial. Sejam u e v dois vetores, então a equação vetorial uxv =+ 
é satisfeita por um vetor único vu − , ou seja, existe um único x tal que vux −= . 
 
Vamos analisar melhor a diferença de vetores através das diversas figuras dadas 
abaixo: 
 
ou seja, 
 Vamos analisar agora um paralelogramo para descrever a diferença e a soma dos 
vetores 
 
 Da figura, observamos que no paralelogramo determinado pelos vetores u e v , 
verifica-se que a soma vu+ é representada por uma das diagonais, enquanto, a 
diferença vu− pela outra diagonal. 
 
 
 
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 Exemplo: Dados dois vetores u e v não nulos e não paralelos. Construir no 
mesmo gráfico os vetores vu+ , vu− , uv − e vu−− , todos partindo da mesma 
origem. 
 
 Resolução. Veja figura abaixo: 
 
 
Exemplo: Provar que as diagonais de um paralelograma tem o mesmo ponto 
médio. 
 
 Resolução. Vamos construir um paralelogramo ABCD. 
 
 Seja M o ponto de interseção dos diagonais. Sabemos que AM = MC, precisamos 
provar que BM = MD? 
 
 CMBCBM += (definição) 
 MAAD+= (igualdade) ADMA+= (comutativa) 
 MD= (definição) 
 ⇒ MDBM = 
 
Portanto, concluímos que M é o ponto médio de BD . 
 
 
 
Multiplicação de um Vetor por um Escalar 
 
Sejam u um vetor e α um escalar. A multiplicação do vetor u por um escalar 
(número real) é determinada pelo vetor u α tal que 
 
 
 
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(i) o módulo ou comprimento de u α é dado por 
||||| | uu α=α , 
ou seja, o comprimento de u α é α ou α− vezes o comprimento de u conforme 
acordo com α é positivo (incluindo zero) ou negativo. 
 
(ii) a direção de u α é a mesma ou oposta à direção de u . 
 
(iii) o sentido de u α é o mesmo ou oposto do sentido de u , conforme α é 
positivo ou negativo. Se 0=α ou 0=u , então 0 =α u . 
 
Veja alguns exemplos nas figuras abaixo: 
 
Observações 
 
• Se uw α= , então dizemos que o vetor w é um múltiplo escalar de u . 
 
• Dois vetores não nulos, são paralelos ou colineares se, e somente se, um é 
múltiplo escalar do outro. 
 
 
Propriedades da Multiplicação 
 
Análoga à operação de adição, a operação de multiplicação de um vetor por um 
escalar também tem algumas propriedades. 
 
Sejam u e v quaisquer dois vetores e a e b escalares (números reais), então tem-
se 
 
• Associativa: uabuba )()( = ; 
• Distributiva em relação à adição de escalares: ubuauba +=+ )( ; 
• Distributiva em relação à adição de vetores: vbuavua +=+ )( ; 
• Identidade: uu =⋅1 . 
 
A verificação das propriedades um, dois e quatro é simples. Vamos verificar a 
terceira propriedade, ou seja, vbuavua +=+ )( ? 
 
 
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Inicialmente vamos supor que a é positivo. Seja uOA = e vAB = , então 
vuOB += . Seja uaAO =′ . 
Do ponto A′ traça-se um reta paralela a AB e no mesmo sentido do vetor v e 
estende-se OB até BO ′ . 
 
Pelas propriedades geométricas, temos 
 
vaABaBA ==′′ 
e 
)( vuaOBaBO +==′ . 
 
 De forma análoga, podemos provar o resultado quando a é negativo. Veja figura 
abaixo: 
 
 Exemplo: Dados os vetores u , v e w de acordo com a figura abaixo. Construir o 
vetor wvu
2
1
32 +− . 
Resolução. Veja a resolução via figura abaixo: 
 
 
 
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 Exemplo: Demonstrar que o segmento cujos extremos são os pontos médios de 
dois lados de um triângulo é paralelo ao terceiro lado e igual à sua metade. 
 
 Resolução. Vamos considerar o triângulo ABC e M e N os pontos médios dos 
lados CA e CB respectivamente. Precisamos mostrar que ABMN e ABMN
2
1
= . 
Vamos representar o triângulo ABC em forma vetorial. 
 
 
 Agora, pela representação vetorial temos 
 
 CNMCMN += 
 CBAC
2
1
2
1
+= 
 )(
2
1
CBAC += 
 AB
2
1
= . 
Portanto, ABMN e ||
2
1
|| ABMN = . 
 
 Vamos analisar agora uma outra propriedade de adição e subtração dada por 
 
 vuvu −−=+− )( . (6) 
 
 A propriedade (6) pode ser verificada facilmente pela figura abaixo: 
 
 
 
Observe que 
 
 
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vuOB += e )( vuBO +−=′ . 
 Por outro lado, 
 BOBAAO ′=′′+′ 
 ⇒ )()( vuvu +−=−+− 
 ⇒ )( vuvu +−=−− . 
 
 
Ângulo entre Dois Vetores 
 
Sejam u e v dois vetores não nulos. O ângulo entre os vetores u e v é o ângulo 
θ formado por duas semi-retas representando os vetores u e v , onde pi≤θ≤0 . 
 
 
Observações 
 
• Se pi=θ , então os vetores u e v tem a mesma direção e sentido contrário. 
 
• Se 0=θ , então os vetores u e v tem a mesma direção e mesmo sentido. Neste 
caso, os vetores u e v são paralelos ou colineares. 
 
• Se 
2
pi
=θ , então os vetores u e v são chamados ortogonais, e indicamos por vu⊥ . 
Neste caso, 
 
 
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222 |||| || vuvu +=+ , 
 
onde o teorema de Pitagoras foi utilizado, |⋅| representa o módulo de vetor. 
 
• O vetor nulo é considerado ortogonal a qualquer vetor. 
 
• Se u é ortogonal é v e α um número real qualquer, u é ortogonal a v α . 
 
• O ângulo formado pelos vetores u e v− é o suplemento do ângulo entre u e v . 
 
 
Exemplo: Sabendo que o ângulo entre os vetores u e v é de 30o, determinar o 
ângulo formado pelos vetores 
(i) u e v− ; 
(ii) u− e v− ; 
(iii) u2 e v4 . 
 
Resolução. 
 
(i) u e v− : ooo 15030180 =− . 
 
(ii) u− e v− : o30 . 
 
(iii) u2 e v4 : o30 . 
 
Veja todas as três figuras abaixo: 
 
 
 
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• 1a Lista de Exercícios - Páginas 13-14, Livro - Steinbruch, Alfredo e Paulo 
Winterle - Geometria Analítica, McGraw Hill, 1987. 
 
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