2_Cap2_Vetores_SW

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GEOMETRIA ANALÍTICA – VETORES – José Francisco Faria 
 
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Decomposição de Vetores 
 
 Nas seções anteriores, estudamos os vetores do ponto de vista geométrico e, 
no caso, eles eram representados por um segmento da reta orientada. Nesta seção 
estudaremos os vetores numa outra forma de representação, onde os segmentos 
orientados estarão relacionados com os sistemas de coordenadas cartesianas. Esse 
sistema pode ser plano ou do espaço. As operações com vetores também podem ser 
definidas utilizando um sistema de coordenadas retangulares. Antes de apresentar as 
representações dos vetores em forma cartesiana, pelos pontos do plano ou do espaço, 
apresentaremos algumas considerações gerais sobres os vetores no plano e no 
espaço. 
 
Vetores Coplanares 
 
Dois ou mais vetores são coplanares se existir algum plano onde estes vetores 
estão representados. Quando consideramos dois vetores, sempre há plano contendo 
estes dois vetores. Mas, se temos mais que dois vetores, não é necessário que eles 
estejam sempre no mesmo plano. Veja alguns exemplos abaixo: 
 
(i) 
 
 
 Os vetores u e v são coplanres. 
 
(ii) 
Os vetores u , v e w são coplanres. 
 
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(iii) 
Os vetores u , v e w não são coplanres 
 
Nas situações (i) e (ii), os vetores são coplanares e na situação (iii) os vetores não 
são coplanares, mas estão no mesmo espaço, ou seja, no espaço tridimensional. 
 
 
Combinação Linear 
 
 Se u e v são dois vetores não-colineares, então o vetor w pode ser 
representado por 
vbuaw += , 
para alguns escalares a e b , ou seja, os vetores u , v e w são coplanares. 
 
 Veja duas possibilidades abaixo: 
 Nas duas possibilidades acima, temos todos os valores positivos. No caso 
particular, se o vetor w tem a mesma direção do vetor u , neste caso w não é 
diagonal do paralelogramo e portanto, é necessário que 0=b , ou seja, uaw = . 
 
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No caso, se um dos valores de a e b for igual a zero, ou seja, 0=b , então o vetor 
w tem a mesma direção do vetor u , isto é, uaw = 
 
Em outras palavras, podemos dizer que dados dois vetores u e v , qualquer 
vetor r pode ser decomposto segundo as direções dos vetores u e v , ou seja, 
podemos encontrar dois escalares a e b tal que vbuar += . 
 
A seguir definimos o que é uma combinação linear. 
 
Definição: Dados dois vetores u e v . A relação 
 
vbuar += (7) 
 
representada pelo vetor r é a combinação linear dos vetores u e v , onde a e b são 
escalares. A representação (7) é única. 
 
 De mesmo modo podemos definir a combinação linear de três vetores. 
 
Definição: Dados três vetores u , v e w . A relação 
 
wcvbuar ++= (8) 
 
representada pelo vetor r é a combinação linear dos vetores u , v e w , onde a , b e c 
são escalares. 
 
 No caso de definição acima envolvendo três vetores, existem duas 
possibilidades. Ou os vetores u , v e w são coplanares ou não são coplanares. Veja 
esta análise abaixo. 
 
• 1a possibilidade. Quando u , v e w são coplanares. 
 
Neste caso, a combinação linear fica conforme a figura: 
 
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 Na figura acima, consideramos que 0>a , 0>b e 0>c , e encontramos o vetor 
wcvbuar ++= . 
 
 Agora, se dado um vetor r no plano, podemos representar o vetor r como 
combinação linear dos vetores u , v e w , mas como no caso de dois vetores, esta 
combinação não é única. Veja abaixo duas alternativas diferentes de representação do 
mesmo vetor r . 
 Qualquer ponto na reta paralela ao vetor w passando pelo ponto final do 
vetor r pode ser representado como combinação linear. 
 
• 2a possibilidade. Quando u , v e w não são coplanares. 
 
Neste caso, um vetor dado r pode ser representado numa forma única pela 
combinação linear 
wcvbuar ++= , 
 
onde a , b e c são escalares. Veja esta representação no espaço tridimensional. 
 
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 OPr = 
 LPOL += 
 PNNLOL ′+′+= 
 ONOMOL ++= , 
 
Logo, existem escalares a , b e c tal que uaOL = , vbOM = e wcON = . 
 
Assim, 
wcvbuar ++= . 
 
É fácil provar que esta representação é única. 
 
De fato, se fosse possível 
 
wcvbuar ′+′+′= 
 
 ⇒ 0)()()( =′−+′−+′− wccvbbuaa . 
 
Se 0≠′− aa , então 
 
w
aa
cc
v
aa
bb
u
′−
′−
−
′−
′−
−= 
 
Isto implica que, o vetor u é coplanar com vetores v e w , ou seja, os vetores u , v e 
w são coplanares. 
 
Assim, 
aaaa ′=⇒=′− 0 . 
 
Analogamente, aa ′= e bb ′= . 
 
Logo, a representação wcvbuar ++= é única. 
 
 
Vetores no Plano 
 
Seja u um vetor no plano. Vamos representar este vetor u no plano cartesiano. 
Definimos as componentes do ponto final do representante do vetor u que tem 
ponto inicial na origem, escrevendo simplesmente ),( bau = . Veja detalhes na figura 
abaixo: 
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21
 
 
Em particular, o vetor nulo )0,0(0 = . 
 
Na representação do vetor ),( bau = , a e b são chamadas coordenadas e em geral 
o par ordenado não é comutativo, ou seja, ).,(),( abba ≠ 
 
Vamos realizar agora as operações de adição e multiplicação por escalar de 
vetores usando representação coordenada. 
 
 
Adição de Vetores 
 
Sejam ),( 11 bau = e ),( 22 bav = dois vetores. A soma de vetores é definida por 
 
),(),(),( 21212211 bbaababavu ++=+=+ . 
 
Veja ilustração abaixo. 
 
 
 
 
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22
Multiplicação de um Vetor por Escalar 
 
Sejam ),( bau = um vetor e α um escalar. A multiplicação do vetor u pelo escalar 
α é dada por 
),( bau αα=α . 
 Veja a ilustração na figura abaixo: 
 
Observação 
 
• Na representação do vetor no plano bi-dimensional utilizamos origem como o 
ponto inicial do vetor. Caso o vetor não inicia na origem, ou seja, PQ um vetor no 
plano onde ),( 11 baP = e ),( 22 baQ = , então o vetor PQu = é representado pela 
diferença de coordenadas de Q com P , ou seja, 
),( 1212 bbaaPQu −−== . 
 Veja a figura abaixo: 
 
 
 
 
 
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Vetores no Espaço 
 
Seja u um vetor no espaço. Como no caso bi-dimensional, definimos as 
componentes do vetor u como sendo as coordenadas ),,( cba do ponto final do 
representante de u que tem ponto inicial na origem. Escrevemos simplesmente 
),,( cbaOPu == . 
 Em particular, )0,0,0(0 = . 
 
 Assim, as coordenadas de um pontoP são iguais às componentes do vetor OP 
que vai da origem do sistema de coordenadas ao ponto P . 
 
 Assim, como fizemos para vetores no plano, para vetores no espaço a soma de 
vetores e a multiplicação de vetor por escalar podem ser realizados em termos das 
componentes. 
 
 
Adição de Vetores 
 
Sejam ),,( 111 cbau = e ),,( 222 cbav = dois vetores. A adição de vetores u e v é 
dada por 
),,(),,( 222111 cbacbavu +=+ ),,( 212121 ccbbaa +++= . 
 
 
Multiplicação de um Vetor por Escalar 
 
Seja ),,( cbau = um vetor e α um escalar. A multiplicação do vetor u com α é 
dada por 
),,( cbau α=α ),,( cba ααα= . 
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Por exemplo, se )3,2,1( −=u e )1,4,2( −=v , então 
 )1,4,2()3,2,1( −+−=+ vu 
 )13,42,21( −+−+= 
 )2,2,3(= , 
e 
 )9,6,3()3,2,1(33 −=−=u . 
 
Observações 
 
• Quando um vetor u está representado por um segmento orientado da reta com 
ponto inicial fora da origem, digamos ),,( 111 zyxP = e ponto final ),,( 222 zyxQ = , 
então as componentes do vetor u são dados por 
OPOQPQPQu −=−==),,( 121212 zzyyxx −−−= . 
Assim, podemos dizer que um vetor u pode Ter sua origem em qualquer ponto. 
 
 Por exemplo, se )2,1,
2
5
(=P e )
2
5
,
2
5
,0(=Q , então 
PQPQu −== )2,1,
2
5
()
2
5
,
2
5
,0( −= 
)
2
1
,
2
3
,
2
5
(−=u . 
 
• As propriedades dadas na seções anteriores em relação às operações de adição e 
multiplicação continuam valendo no caso da representação dos vetores no plano 
e também no espaço. 
 
A seguir apresentaremos a condição de igualdade e de paralelismo de dois 
vetores. Também apresentaremos módulo de um vetor. 
 
 
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Igualdade de dois vetores 
 
Dois vetores =
r
1 1 1( , , )u a b c e ),,( 222 cbav = são iguais, se, e somente se suas 
componentes são iguais, ou seja, =1 2a a , =1 2b b e =1 2c c . 
 
 
Paralelismo de dois vetores 
 
Dois vetores ),,( 111 cbau = e ),,( 222 cbav = são paralelos ou colineares, se existe 
um k tal que =
r r
u kv , ou seja, 
 
=1 1 1 2 2 2( , , ) ( , , )a b c k a b c 
⇒ =1 2a ka , =1 2b kb e =1 2c kc ⇒ 
1 1 1
2 2 2
a b c k
a b c
= = = 
 
Está é a condição de paralelismo de dois vetores, isto é, dois vetores são paralelos 
ou colineares quando suas respectivas coordenadas são proporcionais. 
 
Representamos por u v
r r
. 
Por exemplo, os vetores )4,3,2( −−=u e )8,6,4( −−=u são paralelos, pois 
8
4
6
3
4
2
−
−
==
−
−
, 
ou, 
vu
2
1
= . 
Observação 
 
• Estão valendo as mesmas condições para os vetores representados no plano. 
 
Norma ou Módulo de um Vetor 
 
 Seja ),( bau = um vetor dado no plano. O módulo ou norma de vetor u , 
denotado por ||u é dado por 
22 || bau += . 
 
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No caso do vetor ),,( cbau = estar no espaço, o módulo ou norma é definido da 
mesma maneira como no plano, ou seja, 
 
222 || cbau ++= . 
 
 
Observações 
 
• Vetor unitário. Quando 1 || =u , dizemos que o vetor u é unitário. 
Por exemplo, se )2,2,1( −=u , então ||u 1)2(21 222 =−++= . Logo, o vetor u é 
unitário. 
 
• Vetores canônicos. Vetores canônicos são dados por )0,0,1(=i , )0,1,0(=j e 
)1,0,0(=k , onde 1=== kji . Podemos sempre escrever qualquer vetor dado 
),,( cbau = como combinação linear desses três vetores, ou seja, ),,( cbau = 
kcjbia ++= . 
• Versor de um vetor. O vetor 
|u|
u
=v é chamado versor de u , e neste caso 1 || =v . 
O vetor v tem a mesma direção do vetor u . 
Por exemplo, se )3,1,2( −=u , então 
|u|
u
=v
)3,1,2(
)3,1,2(
−
−
= 
222 3)1(2
)3,1,2(
+−+
−
= 
914
)3,1,2(
++
−
= )
14
3
,
14
1
,
14
2
(
−
= . Nesse case, 222 )
14
3
()
14
1
()
14
2
( || +
−
+=v =1. 
 
• Comprimento. O módulo também é conhecido como comprimento de um vetor 
ou distância entre dois pontos. 
 
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• Distância entre dois pontos. A distância entre dois pontos ),,( 111 zyxP = e 
),,( 222 zyxQ = é igual ao comprimento ou módulo do vetor 
PQPQ −= ),,( 121212 zzyyxx −−−= e é dada por 
 
|| ),( PQQPdist = 212
2
12
2
12 )()()( zzyyxx −+−+−= . 
 
 Por exemplo, se )3,2,1( −=P e )1,4,3( −=Q , então 
 
|| ),( PQQPdist = 222 )31())2(4()13( −−+−−+−= 
222 )4(62 −++= 16364 ++= 142= unid. dist. 
 
• Módulo da multiplicação de um vetor com escalar. Seja ),,( cbau = um vetor e α 
um escalar. Pela definição de módulo, temos 
 
|),,(| || cbau α=α 
 |),,(| cba ααα= 
 222 )()()( cba α+α+α= 
 222|| cba ++α= |||| uα= 
 
⇒ || uα |||| uα= . 
 
 
• 2a Lista de Exercícios - Páginas 37-38. Livro - Steinbruch, Alfredo e Paulo 
Winterle - Geometria Analítica, McGraw Hill, 1987. 
 
 
Vetores Linearmente Dependentes e Independentes 
 
 Dizemos que um conjunto de vetores { }nuuu ,...,, 21 é linearmente dependente 
se existem escalares 1a , 2a , ... , na nem todos nulos tal que 
 
0...2211 =+++ nnuauaua . 
 
 Se o conjunto de vetores { }nuuu ,...,, 21 não é linearmente dependente, então, 
dizemos que ele é linearmente independente, ou seja, se 
 
0...2211 =+++ nnuauaua , 
então, 1a = 2a = ... = na = 0. 
 
 
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Observações 
 
• Solução da equação. Vamos considerar a equação 
 
0...2211 =+++ nnuauaua . (9) 
 
Se a única solução da equação (9) é a solução trivial, isto é, 1a = 2a = ... = na = 0, 
então dizemos que os vetores 1u , 2u , ... , nu são linearmente independentes (LI). 
 
Se a equação (8) possui pelo menos uma solução além da trivial, dizemos que os 
vetores 1u , 2u , ... , nu são linearmente dependentes (LD). 
 
• Vetores colineares são sempre LD. Sejam u e v dois vetores colineares. Então 
vku = (10) 
 para algum k. 
 
 De (10), temos 
0=− vku . 
 
 Isto implica que existem 1=a e kb −= , não nulos tal que 
 
0=+ vbua . 
 
 Isto implica novamente que os vetores u e v são LD. 
 
• Dois vetores não colineares são LI. Sejam u e v dois vetores satisfazendo 
 
0=+ vbua . 
Seja 0≠a , então v
a
b
u −= . Isto implica que os vetores u e v são colineares, o qual 
é absurdo. Então, 
0=+ vbua 0==⇒ ba . 
 
 Logo, os vetores u e v são LI. 
 
• Três vetores coplanares são LD. Sejam u , v e w três vetores coplanares. Quando 
três vetores são coplanares, podemos sempre escrever um deles como 
combinação de outros dois, ou seja, 
vcubw += , 
 para alguns escalares a e b . 
 
 Então, 
01 =−−⋅ vcubw . 
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Isto implica que existe pelo menos um coeficiente 01 ≠=a . Logo, os vetores u , v 
e w são LD. 
 
 
Teste de Dependência ou Independência Linear 
 
 A seguir apresentaremos um teste para verificar se três ou mais vetores são 
linearmente independentes ou dependentes. Este teste está baseado sobre dois 
passos. 
• 1o passo. Escrever os vetores numa forma da matriz A cujas linhas são os vetores 
dados. 
 
• 2o passo. Escalonar a matriz A. 
 
 Se existe pelo menos uma linha nula na forma escalonada, então isto indica 
que os vetores são LD. 
 
Observação 
 
• Caso a matriz A for quadrada, podemos analisar diretamente se os vetores são LD 
ou LI, calculando o determinante da matriz e concluindo da seguinte forma: 
(i) Se 0det =A , então os vetores são LD. 
(ii) Se 0det ≠A , então os vetores são LI. 
 
Exemplo: Analisar se os vetores dados são LD ou LI. 
 
(i) )2,1(=u , )1,1( −=v . 
(ii) )3,2,1( −=u , )1,3,2( −=v e )3,1,2( −=w . 
(iii) )2,3,1( −=u , )4,1,2(=v , )3,2,1(−=w e )4,1,1( −=r . 
 
Resolução. Observe que no caso de (i) e (ii) temos matriz como quadrado. Nesses 
casos podemos analisar diretamente calculando o determinante. Veja a seguir: 
 
(i) 
11
21
)det(
−
=A 21−−= 03 ≠−= . Logo os vetores )2,1(=u , )3,1( −=v são LI. 
 
(ii) 28
312
132
321
)det( −=
−
−
−
=A 0≠ . Logo, os vetores dados são LI. 
 
(iii) Este exemplo resolveremos por escalonamento. Temos dado 
 
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30












−
−
−
=
411
321
412
231
A . 
 
Aplicando as operações elementares sobre a matriz A, obtemos a matriz 
escalonada B dada por 











 −
=
000
500
070
231
B . 
 
 Como na forma escalonada da matriz A, existe última linha nula, então 
concluímos que os vetores dados são LD. 
 
• 3a Lista de Exercícios 
 
1. Verifique se são LI ou LD os vetores 
(i) )3,2,1(=u e )1,3,2( −=v . 
(ii) )2,7,1(=u e )1,
2
5
,
2
1(=v . 
(iii) )4,2,1( −=u , )1,4,1( −=v e )3,2,5(=w . 
(iv) )4,1,2( −=u , )5,3,2(−=v , )1,2,5(−=w e )2,1,3( −=r . 
2. Ache m de modo que )1,1,2( −−=u seja combinação linear de )1,1,2( −+= mmv e 
)2,,1( mmw −= . Em seguida, determine m para que { wvu ,, } seja LD. 
3. )4,1,2( −−=u pode ser escrito como combinação linear de )2,1,1( −=v e 
)4,3,1( −=w ? 
4. Dados os vetores )1,2,3( −−=u , )4,2,1(−=v e )2,1,5( −=w . 
(i) Ache as coordenadas de 
(a) vu 2+ . 
(b) vu +2 . 
(c) wvu −+ 32 . 
(ii) Verifique se u é combinação de v e w . 
(iii) Escreva )3,4,1( −=r como combinação linear de u , v e w . 
5. Ache m para que sejam LD os vetores: 
(i) )2,1,( mu −= e )1,,2( mv = . 
(ii) )2,1,21( mmu +−= e )2,,( mmmv −= . 
(iii) )1,2,1( +−= mmu , ),2,( mmv −= e )2,3,1( −=w . 
-------------------