FisicaII Energia

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Física II 
Prof. Me Denes Martins de Morais 
Energia no MHS 
 Um sistema submetido a uma força F(x) = -kx tem energia 
cinética dada por 
ENERGIA CINÉTICA NO MHS 
)(
2
1
)(
2
1
)(
2
1
2
1
2
1
22
22
222
2
2













tsenkAK
tsen
m
k
mAK
tsenmAK
dt
dx
mmvK
 Que é a energia cinética do meu sistema. 
 A energia potencial é obtida calculando o trabalho necessário 
para movimentar a partícula a uma distância x. 
 
 
 integrando 
 
 
 substituindo x(t) 
ENERGIA POTENCIAL NO MHS 
kxdxFdxdW 
UkxdW  2
2
1
)(
2
1 22   tsenkAU
 Que é a energia potencial do meu sistema. 
Energia Potencial Elástica 
Referência: U(x0 = 0) = 0 
 
x
xdxkUxU
0
)()0()(
kxF 
Força conservativa: 
Energia Potencial: 
2
2
1
)( kxxU 
 A energia total do oscilador harmônico será 
ENERGIA MECÂNICA TOTAL NO MHS 
 
constAmE
ttsenAmE
UKE



22
2222
2
1
)(cos)(
2
1


 E independe do tempo, logo a energia total se conserva, portanto 
o oscilador harmônico simples é um sistema conservativo. 
x = -A 
v = 0 
amáx 
EC = 0 
EPOT → Máxima 
x = 0 
V → Máxima 
a = 0 
EC →Máxima 
EPOT = 0 
x = A 
v = 0 
amáx 
EC = 0 
EPOT → Máxima 
 Energias num MHS 
ENERGIA NO MHS 
Conservação da Energia 
Energia Mecânica Total: 
 
2 21 1
2 2
E mv kx 
Energia 
Cinética 
Energia 
Potencial Elástica 
Extremos: x=A e x=-A 
2 2 21 1 1(0) ( )
2 2 2
E m k A kA  
No ponto de equilíbrio: x = 0 
2 2 2
0 0
1 1 1
(0)
2 2 2
E mv k mv  
-A A 0 
posição 
U 
K 
E 
en
er
g
ia
 
= Constante 
Conservação da Energia 
Ekxmv  22
2
1
2
1
Exemplo 1 
Um pequeno bloco de massa m = 0,20 kg 
oscila num plano horizontal sem atrito preso a 
uma mola de constante elástica k = 3,2 N/m. 
A energia mecânica do sistema é 0,016 J, 
determine para a posição de equilíbrio do 
sistema bloco mola e depois para o ponto de 
máxima elongação da mola. 
• A aceleração do bloco. 
• A energia potencial elástica da mola. 
• A energia cinética da mola. 
• A velocidade do bloco. 
 
• Solução: 
• Considerando primeiro no ponto de equilíbrio do 
sistema bloco mola: 
 1 - No ponto de equilíbrio a força resultante é nula, 
condição de equilíbrio, logo a aceleração é nula; 
a = 0. 
 2 - Na direção horizontal a única força atuante no 
bloco é a força elástica, sendo a resultante nula 
indica que a força elástica é nula e nesse caso a 
energia potencial elástica também é nula; 
Ep = 0. 
 
3 - Em = Ep + EC 
 0,016 = 0 + EC 
 EC = 0,016 
 
4 - EC = m.v
2/2 
 0,016 = 0,20.v2/2 
 0,016 = 0,10.v2 
 v2 = 0,16 
 v = 0,4 m/s 
 
• Considerando agora no ponto de 
máxima elongação da mola: 
1. No ponto de máxima elongação da 
mola, v = 0 e EC = 0. Temos então, 
Ep = Em, mas Ep = k.x
2/2 
 K.x2/2 = 0,016 
 3,2.x2 = 0,032 
 X2 = 0,01 
 X = 0,10 m 
 a = k.x/m 
 a = 3,2.0,10/0,20 
 a = 1,6 m/s2 
 
2 - Ep = Em, como visto no item 
anterior, logo, 
 Ep = 0,16 J 
 
3 - v = 0 
 EC = m.v
2/2, logo; 
 EC = 0 
 
4 - v = 0 
 
Muitos edifícios altos possuem amortecedores de massa, cuja 
finalidade é evitar que os edifícios oscilem excessivamente por 
causa do vento. Em muitos casos, o amortecedor é um grande 
bloco instalado no alto do edifício, que oscila na extremidade de 
uma mola, movendo-se em um trilho lubrificado. Quando o 
edifício se inclina em uma direção (para a direita, por exemplo), o 
bloco se move na mesma direção, mas com um certo retardo, de 
modo que, quando finalmente oscila para a direita, o edifício está 
se inclinando para a esquerda. Assim, o movimento do bloco está 
sempre defasado em relação ao movimento do edifício. 
Suponha que o bloco possui uma massa m = 2,72 x 105 kg e foi 
projetado para oscilar em uma frequência f = 10,0 Hz e com uma 
amplitude xm = 20,0 cm. 
a) Qual é a energia mecânica total E do sistema massa-mola? 
 
b) Qual é a velocidade do bloco ao passar pelo ponto de 
equilíbrio? 
 
Exercício 1 
• Um oscilador é formado por um bloco com 
uma massa de 0,500 kg ligado a uma mola. 
Quando é posto em oscilação com uma 
amplitude de 35,0 cm o oscilador repete o 
movimento a cada 0,500s. Determine (a) o 
período, (b) a frequência, (c) a frequência 
angular, (d) a constante elástica, (e) a 
velocidade máxima e (f) o módulo da força 
máxima que a mola exerce sobre o bloco 
Exercício 2 
(a) 2,1x107 J; (b) 12,6 m/s 
Bibliografia 
• RESNICK, R.; HALLIDAY, D.; WALKER, J. Fundamentos de 
física, v. 2 – gravitação, ondas, termodinâmica. 8. ed. RJ: LTC, 
2009. 
• SEARS, F. et. al. Física, v.2, termodinâmica e ondas. 12. ed. 
SP: Addison Wesley, 2008. 
• TIPLER, P.; MOSCA, G.Física.v.1 para cientistas e 
engenheiros: mecânica, oscilações e ondas - termodinâmica. 6. 
ed. RJ: LTC, 2009. 
• CUTNELL, J. D.; JOHNSON, K. W. Física. v.2. 6. ed. RJ: LTC, 
2006. 
• KNIGHT, R. D. Física - uma abordagem estratégica, v. 2. SP: 
Bookman Companhia, 2009. 
• MEDEIROS, D. Física mecânica, v. 1. Parte 2. RJ: Ciência 
Moderna, 2011. 
• YOUNG, H. D. Sears e Zemansky Física II. 10. ed. SP: 
Pearson, 2003.