aula 01

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Cálculo Numérico
Prof. Fernando Bicudo Salomão
	
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ENC e ENP/UNIVAG
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Objetivos
Ementa
Metodologia, Técnicas de Ensino e Recursos Didáticos
Avaliação
Bibliografia
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Melhorar a familiarização e “intimidade” do aluno com a matemática, mostrando seu lado prático e sua utilidade no dia-a-dia de um engenheiro. Rever conceitos já vistos, exercitá-los e utilizá-los de maneira prática;
Apresentar ao aluno maneiras práticas de se desenvolver e utilizar métodos numéricos. Isso significa mostrar como usar esses métodos numéricos na calculadora e em um computador;
Treinar o aluno a aprender outros métodos numéricos por conta própria. No seu dia-a-dia profissional, ele pode se deparar com um problema cuja solução depende de um método numérico que não foi visto no curso. Portanto, ele deverá ser capaz de encontrar a literatura pertinente, estudar o método e aprender a sua utilização de maneira conceitual e prática (usando um aplicativo computacional) por conta própria.
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Solução exata
Introdução de um diodo no circuito:
Solução utilizando métodos numéricos
V
R
i
V
R
D
i
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Decidir? 
Resolver problema matemático numericamente 
Pacote Computacional
Utilizar ou não de um método numérico 
 (Temos métodos numéricos que resolvam o problema?)
Escolher o método a ser utilizado 
 Vantagens e Limitações de cada método
 (Qual o mais adequado para o seu problema?)
Avaliar a qualidade da solução obtida 
(saber exatamente o que está sendo feito pelo
computador ou calculadora, isto é, como determinado método é aplicado – erros / aproximações)
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Um problema de Matemática pode ser resolvido analiticamente, mas esse método pode se tornar impraticável com o aumento do tamanho do problema.
 
	Exemplo:	solução de sistemas de equações 	lineares. 
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A existência de problemas para os quais não existem métodos matemáticos para solução (não podem ser resolvidos analiticamente). 
	Exemplos:
	a)				não tem primitiva em forma simples;
	
	b) 	não pode ser resolvido analiticamente;
	c)	equações diferenciais parciais não lineares podem 	ser resolvidas analiticamente só em casos 	particulares.
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Os métodos numéricos buscam de forma mais simples soluções aproximadas para as formulações matemáticas.
Nos problemas reais, os dados são medidas e, como tais, não são exatos. Uma medida física não é um número, é um intervalo, pela própria imprecisão das medidas. Daí, trabalha-se sempre com a figura do erro, inerente à própria medição.
Os métodos aproximados buscam uma aproximação do que seria o valor exato. Dessa forma é inerente aos métodos se trabalhar com a figura da aproximação, do erro, do desvio.
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Função do Cálculo Numérico na Engenharia
“Buscar solucionar problemas técnicos através de métodos numéricos  modelo matemático”
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Passos para a resolução de problemas
PROBLEMA
MODELAGEM
REFINAMENTO
RESULTADO DE
CIÊNCIAS AFINS
MENSURAÇÃO
ESCOLHA
DE MÉTODOS
ESCOLHA
DE PARÂMETROS
TRUNCAMENTO
DAS ITERAÇÕES
RESULTADO
NUMÉRICO
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Fluxograma – Solução Numérica
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Influência dos Erros nas Soluções
Exemplo 1: Falha no lançamento de mísseis
(25/02/1991 – Guerra do Golfo – míssil Patriot)
Erro de 0,34 s no cálculo do tempo de lançamento
Limitação na representação numérica (24 bits)
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Influência dos Erros nas Soluções
Exemplo 2: Explosão de foguetes
(04/06/1996 – Guiana Francesa – foguete Ariane 5)
Erro de trajetória 36,7 s
após o lançamento 
Limitação na representação numérica (64 bits/ 16 bits)
Prejuízo: U$ 7,5 bilhões
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Três feirantes uniram-se e venderam uma dúzia de bananas por p1 reais, uma dúzia de laranjas por p2 reais e uma dúzia de maçãs por p3 reais. Calcule p1, p2 e p3, sabendo-se que a receita total = soma das receitas (preço × quantidade vendida em dúzias, de cada produto) em reais do primeiro feirante é dada por 10p1 + 30p2 + 20p3 = 150, a do segundo é 20p1 + 50p2 + 30p3 = 240, e a do terceiro feirante é 30p1 + 20p2 + 40p3 = 230.
Solução: 
Para encontrar p1, p2 e p3, você deve resolver o seguinte sistema: 
 
 assim temos de escolonar:
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 Passo 1) Multiplique a primeira linha da
 matriz (I) por 1/10 para obter a11 =1
(I)
Assim:
 Passo 2) Substitua a segunda linha de (II) (II) por essa mesma linha adicionada 
 à primeira linha de (II) multiplicada 
 por (-20) para obter a12 = 0
Assim: 
(III) Passo 3) Substitua a terceira linha de 
 (III) por essa mesma linha adicionada 
 à primeira linha de (III) multiplicada 
 por (-30) para obter a13 = 0
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(III) Assim:
 (IV)
 Passo 4) Multiplique a segunda linha de (IV ) por −1/10 para encontrar para obter a 22 = 1
Assim: 
(V) Passo 5) Substitua a primeira linha da matriz (V) por
 essa mesma linha adicionada à segunda linha de (V )
 multiplicada por (-3) para obter a 12 = 0
Assim:
 (VI) Passo 6) Substitua a terceira linha da matriz (V I) 
 por essa mesma linha adicionada à segunda linha de
 (V I) multiplicada por 70 para obter a 32= 0
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(VI) Assim:
 (VII)
 Passo 7) Multiplique a terceira linha de (V II) por 1/50 para obter para obter a 33 = 1
Assim: 
(VIII) Passo 8) Substitua a primeira linha de (V III) por essa 
 mesma linha adicionada à terceira linha de (V III) para ter 
 para obter a 13 = 0
Assim:
 (IX) Passo 9) Finalmente, substitua a segunda linha de (IX) por 
 essa mesma linha adicionada à terceira linha de (IX) 
 multiplicada por (-1) para obter a23 =0
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(X) Passo 10) De a resposta: p1 = 1, p2 = 6, e p3 = 4
 TEMOS QUE:
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