AOC - SISTEMAS NUMERICOS

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Sistemas Numéricos 
Decimal, Binário, Octal, 
Hexadecimal 
Prof. Hiromasa Nagata 
AOC - Hiromasa Nagata 2 
Bases Numéricas 
• Historicamente, existiram vários sistemas de numeração 
com bases diferentes; 
• Assim, por exemplo, os babilônios adotaram um sistema 
de numeração cuja base é 60; 
• Seu uso conserva-se até hoje nas medidas de ângulos e 
de tempo. 
3,42,09 = 3 x 602 + 42 x 601 + 9 x 600 = 13.329 
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Bases Numéricas 
• Acredita-se que o primeiro sistema foi o decimal, ou base 
dez, em decorrência dos dedos da mão que o homem 
possui, e que ele utilizava para representar mais 
facilmente as quantidades; 
 
 
 
 
 
• Em regra, qualquer número inteiro maior ou igual a um 
pode ser utilizado como base de um sistema de 
numeração; 
• Nas diferentes áreas de computação, os sistemas mais 
comuns são os binários ou base dois e os hexadecimais 
ou base 16. 
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Bases Numéricas 
• Polinômio de um Sistema de Numeração 
– A representação de um número qualquer na base dez 
pode ser considerada da seguinte forma: 
 
5.326 = 5.000 + 300 + 20 + 6 
 ou 
5 x 1000 + 3 x 100 + 2 x 10 + 6 
 ou, ainda, 
5 x 103 + 3 x 102 + 2 x 101 + 6 x 100 
 
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Bases Numéricas 
• Sistema Decimal 
– O sistema decimal ou base dez usa os algarismos 0, 1, 2, 3, 4, 
5, 6, 7, 8 e 9. 
– O sistema decimal é o mais utilizado pelas pessoas no seu 
cotidiano, portanto, ele será tomado como referência para 
análise e estudo dos outros sistemas de numeração. 
– Assim sendo, quando escrevermos qualquer outro número que 
não seja na base dez, indicaremos a sua base à direita do 
número e meio espaço abaixo. Exemplo: 
 
 31716 (317, na base 16) 
 1101012 (110101, na base 2) 
 5538 (553, na base 8) 
 152 (152, na base 10) 
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Bases Numéricas 
• Sistema Binário - O sistema binário é conhecido 
por esse nome porque possui apenas dois 
algarismos, zero e um (0,1). 
 
– Esse sistema de numeração é o mais utilizado 
em computadores em razão de sua maior rapidez 
na execução das operações matemáticas e 
também por ocupar um número menor de bits 
para armazenar a informação, quando 
comparado ao sistema decimal; 
 
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Bases Numéricas 
– Podemos observar que a representação do número 
11010012 será, na base dez, equivalente a: 
1 x 26 + 
1 x 25 + 
0 x 24 + 
1 x 23 + 
0 x 22 + 
0 x 21 + 
1 x 20 = 10510 
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Bases Numéricas 
• Sistema Hexadecimal 
 
– O sistema hexadecimal ou base 16 equivale 
aos algarismos de 0 a 15, assim 
representados: 
 
0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E e F 
 
– Os algarismos alfabéticos correspondem a: 
 
A = 10, B = 11, C = 12, D = 13, E = 14, F = 15 
 
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Bases Numéricas 
• Sistema Hexadecimal 
 
– Aplicando o polinômio anterior, podemos 
observar que a representação do número 
3BF4C16 será, na base dez, equivalente a: 
 
– 3 x 164+ B x 163 + F x 162 + 4 x 161 + C x 160 = 
245.58010 
 
 ( 3 x 164+ 11 x 163 + 15 x 162 + 4 x 161 + 12 x 160 ) 
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Bases Numéricas 
• Sistema Octal 
 
– O sistema de numeração octal possui os 
algarismos zero a sete (0,1, 2, 3, 4, 5, 6, 7). 
 
– Aplicando o polinômio anterior, podemos 
observar que a representação do número 
546218 será, na base dez, equivalente a: 
 
5 x 84 + 4 x 83 + 6 x 82 + 2 x 81 + 1 x 80 = 22.92910
 
 
Mudança da Base 10 para Base 2 
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A mudança da base 10 para qualquer base "b” envolve uma sucessão de divisões 
do número inicial pela base "b" até obtermos um quociente menor que a base 
solicitada; 
 
Nesse instante, podemos escrever o número solicitado começando com o último 
quociente e com os sucessivos restos, da direita para a esquerda; 
 
A seguir observaremos exemplos para obtermos a passagem da base 10 para as 
bases 2, 8, e 16,respectivamente. 
 
Exemplo: escrever o número que no sistema de numeração binária corresponda 
ao número decimal 43. 
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Mudança da Base 10 para Base 2 
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Exemplo: escrever o número que no sistema de 
numeração binária corresponda ao número decimal 61. 
Tomando o último quociente e os sucessivos restos, 
nessa ordem, obtemos o número binário 111101, e podemos 
afirmar que: 
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Mudança da Base 10 para Base 8 
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Mudança da Base 10 para Base 16 
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Mudança de Qualquer Base para Base 10 
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A mudança de qualquer base para a base "10”envolve uma 
sucessão de multiplicações da direita para a esquerda, do 
número inicial pela base "b", elevando a base a partir de zero, 
e incrementando-a de um em um, quando finalmente 
somaremos todos os números obtidos para encontrar o 
resultado na base solicitada. 
 
Exemplo: 
 
Faça a conversão do número F4B2A516 para a base 10. 
Mudança de Qualquer Base para Base 10 
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Operações Aritméticas com Binários 
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Soma de Binários 
 
 
Para a soma de números binários, 
devemos obedecer à regra a seguir: 
Operações Aritméticas com Binários 
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Operações Aritméticas com Binários 
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RESPOSTAS: 
A) (101 1110)2 
B) (1 0001 0000)2 
C) (1 1100)2 
 
Subtração no sistema binário: 
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Obedece a seguinte tabela: 
Subtração no sistema binário: 
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Resolva as seguintes subtrações binárias: 
Multiplicação no sistema binário: 
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Procede como uma multiplicação no sistema decimal: 
EXERCICIOS DE FIXAÇÃO 
1) CONVERTER OS SEGUINTES NÚMEROS BINÁRIOS EM 
DECIMAL E HEXADECIMAL: 
 
a) (1011)2 
b) (0011)2 
c) (1111)2 
d) (0111 0001)2 
e) (1111 1110)2 
f) (1100 1001)2 
 
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EXERCICIOS DE FIXAÇÃO 
2) FAÇA OS SEGUINTE CÁLCULOS MATEMÁTICOS. DÊ 
AS RESPOSTAS EM DECIMAL E HEXADECIMAL: 
 
 
a) (1011)2 + (0011)2 
b) (1111)2 + (0111 0001)2 
 
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RESPOSTAS 
1) CONVERTER OS SEGUINTES NÚMEROS BINÁRIOS EM 
DECIMAL E HEXADECIMAL: 
a) (1011)2 = (11)10 = (B)16 
b) (0011)2 = (03)10 = (3)16 
c) (1111)2 = (15)10 = (F)16 
d) (01110001)2 = (113)10 = (71)16 
e) (1111 1110)2 = (254)10 = (FE)16 
f) (1100 1001)2 = (201)10 = (C9)16 
 
2) FAÇA OS SEGUINTE CÁLCULOS MATEMÁTICOS. DÊ 
AS RESPOSTAS EM DECIMAL E HEXADECIMAL. 
a) (1011)2 + (0011)2 = (1110)2 = (14)10 = (E)16 
b) (1111)2 + (0111 0001)2 = (1000 0000)2 = (128)10 = (80)16 
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