4- Lajes Nervuradas.pdf

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Lajes Nervuradas
Prof. Romel Dias Vanderlei
Universidade Estadual de Maringá
Centro de Tecnologia
Departamento de Engenharia Civil
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Curso: Engenharia Civil Disciplina: Estruturas em Concreto II
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Bibliografia:
? BOCCHI JÚNIOR, C.F.; GIONGO, J. S. Concreto armado: Projeto e construção de lajes 
nervuradas. São Carlos, EESC-USP, agosto de 2007
? ANDRADE, J.R.L. Estruturas Correntes de Concreto Armado - Parte 1. São Carlos, EESC 
– USP, 1977.
? ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE NORMAS TÉCNICAS. Projeto de estruturas de concreto: 
NBR 6118:2003. Rio de Janeiro, ABNT, 2004.
? ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE NORMAS TÉCNICAS. Cargas para o cálculo de 
estruturas de edificações. NBR 6120:1980. Rio de Janeiro, ABNT, 1980.
? ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE NORMAS TÉCNICAS. Laje pré-fabricada – Requisitos –
Parte 1: Lajes unidirecionais. NBR 14859-1:2002. Rio de Janeiro, ABNT, 2002.
? ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE NORMAS TÉCNICAS. Laje pré-fabricada – Requisitos –
Parte 2: Lajes bidirecionais. NBR 14859-2:2002. Rio de Janeiro, ABNT, 2002.
? ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE NORMAS TÉCNICAS. Laje pré-fabricada – Painel 
alveolar de concreto protendido. NBR 14861:2002. Rio de Janeiro, ABNT, 2002.
? ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE NORMAS TÉCNICAS. Armaduras treliçadas
eletrossoldadas - Requisitos. NBR 14862:2002. Rio de Janeiro, ABNT, 2002.
? BOCCHI JUNIOR, C. F. Lajes nervuradas de concreto armado: projeto e execução. São 
Carlos, EESC – USP, 1995.
? BORGES, A. de C. Prática das Pequenas Construções, vol.1. São Paulo, Edgard Blücher, 
1972.
? LIMA, J.C. de O. Boletim Técnico - Sistema Treliçado Global, Vol.1 - Campinas, 
mediterr6anea Pré-fabricados de Concreto Ltda, 1991.
? PINHEIRO, L.M. Concreto Armado: Tabelas e Ábacos. São Carlos, EESC – USP, 1993.
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Sumário
4.1- Introdução
4.2- Tipologia das Lajes Nervuradas
4.2.1- Lajes Nervuradas Moldadas no Local
4.2.2- Lajes Nervuradas Pré-Moldadas
4.2.3- Lajes Nervuradas com Capitéis e com Vigas-faixa
4.2.4- Lajes nervuradas mistas com fôrma metálica incorporada
4.3- Considerações para Projeto
4.3.1- Vinculação das Lajes Nervuradas
4.3.2- Vãos Efetivos das Lajes Nervuradas
4.4- Pré-dimensionamento
4.4.1- Recomendações da NBR 6118:2003
4.4.2- Critérios de Projeto segundo a NBR 6118:2003
4.5- Ações Atuantes nas Lajes Nervuradas
4.5.1 Ações permanentes diretas
4.5.2 Ações variáveis normais
4.6- Verificação da Segurança
4.6.1- Verificações Pertinentes às Nervuras
4.6.1.1- Flexão nas Nervuras
4.6.1.2- Cisalhamento nas Nervuras
4.6.2- Verificações Pertinentes a Mesa
4.6.2.1- Flexão na Mesa
4.6.2.2- Cisalhamento na Mesa
4.7- Verificação do Estado Limite de Serviço
4.7.1- Verificação da flecha em lajes
4.8- Exemplo
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4.1- Introdução
? Uma laje nervurada é constituída por um conjunto 
de vigas que se cruzam, solidarizadas pela mesa.
? Esse elemento estrutural terá comportamento
intermediário entre o de laje maciça e o de grelha.
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4.1- Introdução
? Segundo a NBR 6118:2003, lajes nervuradas 
são:
“Lajes moldadas no local ou com nervuras pré-
moldadas, cuja zona de tração é constituída 
por nervuras entre as quais pode ser colocado 
material inerte."
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4.1- Introdução
? Quanto as solicitações, entende-se por lajes 
nervuradas aquelas que:
? a mesa de concreto resiste às tensões de 
compressão
? as barras das armaduras resiste às tensões de 
tração;
? a nervura de concreto faz a ligação mesa-
armadura, podendo, também absorver tensões 
de compressão.
? Portanto, o comportamento do conjunto nervura 
(viga) e mesa (laje) é semelhante ao de uma 
viga de seção T.
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4.2- Tipologia das Lajes Nervuradas
? Consideram-se dois grandes grupos:
? Lajes nervuradas moldadas no local;
? Lajes nervuradas pré-moldadas.
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4.2- Tipologia das Lajes Nervuradas
4.2.1- Lajes Nervuradas Moldadas no Local
? São aquelas construídas em toda sua 
totalidade na obra e na posição definitiva.
? É necessário o uso de fôrmas e de 
escoramentos, além do material de 
enchimento.
? Pode-se utilizar fôrmas para substituir os 
materiais inertes.
? Essas fôrmas podem ser em polipropileno ou 
em metal, com dimensões moduladas, sendo 
necessário utilizar desmoldantes iguais aos 
empregados nas lajes maciças.
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4.2- Tipologia das Lajes Nervuradas
4.2.1- Lajes Nervuradas Moldadas no Local
? Laje nervurada com as células aparentes
? Fôrmas com faces não inclinadas
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4.2- Tipologia das Lajes Nervuradas
4.2.1- Lajes Nervuradas Moldadas no Local
? Laje nervurada com as células aparentes
? Fôrmas com faces inclinadas
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4.2.1- Lajes Nervuradas Moldadas no Local
? Laje nervurada com as células aparentes
? Fôrmas com faces inclinadas
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4.2.1- Lajes Nervuradas Moldadas no Local
? Laje nervurada com as células aparentes
? São necessárias fôrmas, posicionadas sobre 
tablado de madeira, apoiado em 
cimbramento.
? As fôrmas podem ser em madeira, metálica ou 
fibras de vidro ou plásticas recuperáveis e, 
portanto, reutilizáveis.
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4.2- Tipologia das Lajes Nervuradas
4.2.1- Lajes Nervuradas Moldadas no Local
? Laje nervurada com as células não aparentes
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4.2- Tipologia das Lajes Nervuradas
4.2.1- Lajes Nervuradas Moldadas no Local
? Laje nervurada com as células não aparentes
? Evita o uso de fôrmas entre as nervuras e a 
face inferior da mesa;
? Uso de materiais inertes, sem finalidade 
estrutural, constituídos por blocos que podem 
ser cerâmicos, de concreto celular, de 
poliestireno expandido (isopor), ou de outros 
materiais.
? Esses elementos ficam incorporados na laje e 
para posicioná-los há necessidade do tablado 
inferior.
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4.2- Tipologia das Lajes Nervuradas
4.2.1- Lajes Nervuradas Moldadas no Local
? Laje nervurada tipo caixão perdido:
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4.2- Tipologia das Lajes Nervuradas
4.2.1- Lajes Nervuradas Moldadas no Local
? Laje nervurada tipo caixão perdido:
? Projeto arquitetônico prevê forro em concreto 
aparente.
? O processo construtivo tem que considerar a 
construção da mesa inferior.
? Depois do processo de cura são colocados os 
blocos cerâmicos, com posterior moldagem das 
nervuras e mesa superior.
? Os estribos das nervuras, se necessários, 
precisam ser posicionados junto com as 
armaduras da mesa inferior.
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4.2- Tipologia das Lajes Nervuradas
4.2.1- Lajes Nervuradas Moldadas no Local
? Laje com fôrma perdida em forma de tubo:
? Fôrmas em papelão rígido, encapado com filme 
plástico.
? A fôrma que é perdida propicia a redução do 
peso próprio da laje e o papelão é um material 
inerte.
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4.2- Tipologia das Lajes Nervuradas
4.2.2- Lajes Nervuradas Pré-Moldadas
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4.2- Tipologia das Lajes Nervuradas
4.2.2- Lajes Nervuradas Pré-Moldadas
? As nervuras são compostas de vigotas pré-moldadas.
? Dispensam o uso do tabuleiro da fôrma tradicional.
? As vigotas são capazes de suportar seu peso próprio e 
as ações de construção, necessitando apenas de 
cimbramentos intermediários.
? Essas lajes são constituídas de:
? vigotas pré-moldadas;
? elementos de enchimento, que são colocados sobre os 
elementos pré-moldados,
? e concreto moldado no local.
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4.2- Tipologia das Lajes Nervuradas
4.2.2- Lajes Nervuradas Pré-Moldadas
? Há três tipos de vigotas:
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4.2- Tipologia das Lajes Nervuradas
4.2.2- Lajes Nervuradas Pré-Moldadas
? As nervuras são transportadas e posicionadas
sobre as fôrmas das vigas e os apoios 
intermediários temporários (cimbramentos).
? Não necessitam de fôrma, junto a face inferior.
? Os blocos posicionados entre as nervuras, não 
permitem que o concreto percole pelas regiões 
de contato entre nervuras pré-fabricadas e 
blocos.
? Os blocos, como já visto, podem ser de material 
cerâmico, isopor, papelão, concreto celular, etc.
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4.2- Tipologia das Lajes Nervuradas
4.2.2- Lajes Nervuradas Pré-Moldadas
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4.2- Tipologia das Lajes Nervuradas
4.2.3- Lajes Nervuradas com Capitéis e com 
Vigas-faixa
? Em regiões de apoio, tem-se:
? concentração de tensões transversais 
? ruína por punção ou por cisalhamento.
? Esses tipos de ruína devem ser evitados, 
garantindo-se que a ruína, caso ocorra, seja por 
flexão.
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4.2- Tipologia das Lajes Nervuradas
4.2.3- Lajes Nervuradas com Capitéis e com 
Vigas-faixa
? Nesses casos, pode-se adotar:
? região maciça em volta do pilar, formando um 
capitel;
? faixas maciças em uma ou em duas direções, 
constituindo vigas-faixa.
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4.2- Tipologia das Lajes Nervuradas
4.2.3- Lajes Nervuradas com Capitéis e com 
Vigas-faixa
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4.2- Tipologia das Lajes Nervuradas
4.2.4- Lajes nervuradas mistas com fôrma 
metálica incorporada
? Antes da cura do concreto, a fôrma de aço 
suporta as ações permanentes e as de 
construção (equipamentos de construção, 
trabalhadores, etc.) e,
? Após a cura, o concreto passa a atuar 
estruturalmente em conjunto com a fôrma de 
aço.
? A fôrma metálica é responsável por absorver 
as tensões de tração geradas pela ação do 
momento fletor.
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4.2- Tipologia das Lajes Nervuradas
4.2.4- Lajes nervuradas mistas com fôrma 
metálica incorporada
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4.2- Tipologia das Lajes Nervuradas
4.2.4- Lajes nervuradas mistas com fôrma 
metálica incorporada
? A fôrma de aço deve ser capaz de transmitir o 
cisalhamento longitudinal na interface aço-
concreto.
? A aderência deve ser garantido por ligação 
mecânica por meio de mossas nas fôrmas de 
aço trapezoidais ou, ligação por meio do atrito 
por causa do confinamento do concreto nas 
fôrmas de aço reentrantes.
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4.2- Tipologia das Lajes Nervuradas
4.2.4- Lajes nervuradas mistas com fôrma 
metálica incorporada
? Este tipo de laje mista tem sido usada com a 
finalidade de diminuir os custos de construção, 
pois não há necessidade de se usarem:
? Fôrmas;
? Barras ou fios de aço para absorver as tensões de 
tração.
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4.3- Considerações para Projeto
4.3.1- Vinculação das Lajes Nervuradas
? As lajes nervuradas podem ter suas bordas:
? Apoiadas;
? Contínua;
? Engastadas ou em Balanço.
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4.3- Considerações para Projeto
4.3.1- Vinculação das Lajes Nervuradas
? Bordas apoiadas:
Laje nervurada apoiada 
nas vigas de borda.
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4.3- Considerações para Projeto
4.3.1- Vinculação das Lajes Nervuradas
? Contínuas:
Duas lajes nervuradas 
contíguas;
Lajes engastadas entre si, 
desde que as rigidezes 
sejam iguais ou próximas;
A mesa da laje nervurada 
fica tracionada e a nervura 
comprimida.
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4.3- Considerações para Projeto
4.3.1- Vinculação das Lajes Nervuradas
? Contínuas:
Opção: lajes 
nervuradas na 
região da ligação 
com mesa 
inferior.
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4.3- Considerações para Projeto
4.3.1- Vinculação das Lajes Nervuradas
? Engastada ou em Balanço:
Laje engastada na viga de 
borda;
A viga fica submetida a 
tensões tangenciais 
relativas a força cortante e 
torção;
É possível projetar-se a 
laje com mesa invertida.
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4.3- Considerações para Projeto
4.3.1- Vinculação das Lajes Nervuradas
? Recomenda-se evitar engastes e balanços pois, 
nestes casos, têm-se forças de tração na face 
superior, onde se encontra a mesa de concreto, 
e forças de compressão na parte inferior, região 
em que a área de concreto é reduzida.
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4.3- Considerações para Projeto
4.3.2- Vãos Efetivos das Lajes Nervuradas
? Quando os apoios puderem ser considerados 
suficientemente rígidos quanto à translação vertical, o 
vão efetivo deve ser calculado pela seguinte expressão:
Sendo:
210 aallef ++=
NBR 6118:2003
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4.3- Considerações para Projeto
4.3.2- Vãos Efetivos das Lajes Nervuradas
? Na maioria dos casos, pode-se considerar como vão 
efetivo a distância entre os centros dos apoios 
(vigas) que têm, nos projetos usuais de edifícios, 
larguras medindo entre 12cm e 20cm.
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4.4- Pré-dimensionamento
4.4.1- Recomendações da NBR 6118:2003
? A espessura da mesa (hf), quando não houver tubulações 
horizontais embutidas, precisa ser maior ou igual a 1/15 da 
distância entre nervuras (a) e não menor que 3 cm; o valor mínimo 
absoluto deve ser 4 cm quando existirem tubulações embutidas de 
diâmetro máximo 12,5 mm;
? A espessura das nervuras (bw) não podem ser inferior a 5 cm; 
nervuras com espessura menor que 8 cm não devem conter 
armadura de compressão (caso de armadura dupla).
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4.4- Pré-dimensionamento
4.4.2- Critérios de Projeto segundo a NBR 6118:2003
? Dependem do espaçamento “e” entre os eixos das nervuras:
? Para e ≤ 65cm:
? pode ser dispensada a verificação da flexão da mesa,
? para verificação do cisalhamento da região das nervuras, 
permite-se a consideração dos critérios de laje;
? Para 65cm ≤ e ≤ 110cm:
? exige-se a verificação da flexão da mesa
? as nervuras devem ser verificadas ao cisalhamento como 
vigas;
? permite-se verificação ao cisalhamento como lajes se e ≤
90cm e a largura média das nervuras for maior que 12 cm;
? Para e > 110cm:
? a mesa deve ser projetada como laje maciça, apoiada na 
grelha de vigas, respeitando-se os seus limites mínimos de 
espessura.
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4.5- Ações Atuantes nas Lajes Nervuradas? As ações podem ser divididas em permanentes 
diretas e ações variáveis normais.
? Precisam seguir as prescrições das NBR 6118:2003 e 
NBR 6120:1980.
4.5.1 Ações permanentes diretas
? São aquelas relativas ao peso próprio da laje 
nervurada e dos revestimentos.
? As ações relativas aos materiais de enchimento é
feita considerando-se o peso específico do 
material que os constitui.
? A força de peso próprio é considerada 
uniformemente distribuída em toda área da laje.
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4.5- Ações Atuantes nas Lajes Nervuradas
4.5.1 Ações permanentes diretas
? Alguns materiais destinados ao enchimento e seu 
peso específico, segundo a NBR 6120:1980
Blocos de concreto celular..........................4 kN/m3
Blocos de argamassa...............................22 kN/m3
Cimento amianto.......................................20 kN/m3
Lajotas cerâmicas.....................................18 kN/m3
Tijolos furados......................................... 13 kN/m3
Tijolos maciços........................................ 18 kN/m3
Tijolos sílico-calcáreos............................. 20 kN/m3
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4.5- Ações Atuantes nas Lajes Nervuradas
4.5.2 Ações variáveis normais
? São as constituídas pelos móveis, pessoas, e 
objetos destinados ao pleno funcionamento do 
ambiente previsto no projeto arquitetônico.
? Estas ações foram estabelecidas pela NBR 
6120:1980.
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4.6- Verificação da Segurança
? Estados Limites Últimos
? Deve-se verificar separadamente a resistência da 
mesa e das nervuras.
? Estados Limites de Serviço
? Verificações necessárias :
? Flexão nas nervuras,
? Cisalhamento nas nervuras,
? Flexão na mesa,
? Cisalhamento na mesa,
? Flecha da laje.
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4.6- Verificação da Segurança
4.6.1- Verificações Pertinentes às Nervuras
? Verificadas à flexão e ao cisalhamento.
? 4.6.1.1- Flexão nas Nervuras
? Devem obedecer as recomendações da NBR 
6118:2003;
? Considera-se como seção resistente, a seção T, 
submetida à flexão simples;
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4.6.1- Verificações Pertinentes às Nervuras
? 4.6.1.1- Flexão nas Nervuras
? Caso de mesa comprimida:
? A seção a ser considerada é uma seção T.
? Quando a linha neutra encontra-se na mesa, a 
seção resistente passa a ser um falso T e comporta-
se como retangular com altura h e largura bf.
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4.6.1- Verificações Pertinentes às Nervuras
? 4.6.1.1- Flexão nas Nervuras
? Caso de mesa comprimida:
? Quando a linha neutra encontra-se na nervura, é o 
caso de dimensionamento de seções T (seção T 
verdadeira);
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4.6.1- Verificações Pertinentes às Nervuras
? 4.6.1.1- Flexão nas Nervuras
? Caso de mesa tracionada:
? A seção resistente é constituída apenas pela 
nervura, com altura h e largura bw.
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4.6.1- Verificações Pertinentes às Nervuras
? 4.6.1.1- Flexão nas Nervuras
? Taxas mínimas de armadura de flexão para vigas:
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4.6.1- Verificações Pertinentes às Nervuras
? 4.6.1.2- Cisalhamento nas Nervuras
a) Distância entre eixos das nervuras ≤ 65cm
? permite-se considerar os critérios de laje.
b) Distância entre eixos das nervuras entre 65cm e 
110cm
? permite-se considerar os critérios de vigas;
? deve ser colocada armadura perpendicular à
nervura, na mesa, por toda a sua largura útil, com 
área mínima de 1,5cm2/m;
? permite-se considerar os critérios de laje se o 
espaçamento entre eixos de nervuras for até 90cm e 
a espessura média das nervuras for > 12cm.
P
ro
f. 
R
om
el
 D
ia
s 
V
an
de
rle
i
4.6.1- Verificações Pertinentes às Nervuras
? 4.6.1.2- Cisalhamento nas Nervuras
? Pode-se dispensar armadura transversal quando a 
força cortante de cálculo obedecer à expressão:
1RdSd VV ≤( )
0,02 quemaior não ,
25,0
402,1
1
1
inf,
11
db
A
f
f
f
dbkV
w
s
c
ctk
ctd
ctdRd
wRdRd
⋅=
=
⋅=
⋅⋅⋅+⋅⋅=
ρ
γ
τ
ρτ
26
P
ro
f. 
R
om
el
 D
ia
s 
V
an
de
rle
i
4.6.1- Verificações Pertinentes às Nervuras
Sendo:
? k é um coeficiente que tem os seguintes valores:
• para elementos onde 50% da armadura inferior não 
chega até o apoio: k = |1|;
• para os demais casos: k = |1,6 − d |, não menor que |1|, 
com “d” em metros.
? As1 é a área da armadura de tração que se estende 
até não menos que (d + lb,nec) além da seção 
considerada;
? bw é a largura mínima da seção ao longo da altura 
útil “d”.
P
ro
f. 
R
om
el
 D
ia
s 
V
an
de
rle
i
4.6.1- Verificações Pertinentes às Nervuras
3
2
3
2
inf, 21,03,07,07,0 ckckctmctk ffff =⋅==
Como:
Resulta:
3
2
0375,0 ckRd f=τ
? Em caso de necessidade de armadura 
transversal, aplicam-se os critérios estabelecidos 
nos itens 17.4.2 e 19.4.2 NBR 6118: 2003.
27
P
ro
f. 
R
om
el
 D
ia
s 
V
an
de
rle
i
4.6.2- Verificações Pertinentes a Mesa
? 4.6.2.1- Flexão na Mesa
?Exige-se:
? para lajes com espaçamento entre eixos de 
nervuras entre 65 e 110cm;
? se existirem cargas concentradas entre 
nervuras.
P
ro
f. 
R
om
el
 D
ia
s 
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rle
i
4.6.2- Verificações Pertinentes a Mesa
? 4.6.2.1- Flexão na Mesa
28
P
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ia
s 
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de
rle
i
4.6.2- Verificações Pertinentes a Mesa
? 4.6.2.1- Flexão na Mesa
? A mesa pode ser considerada como um painel de 
lajes maciças contínuas apoiadas nas nervuras.
? Essa continuidade implica em momentos negativos
nesses apoios.
? Deve ser disposta armadura para resistir a essa 
solicitação, além da armadura positiva.
? Outra possibilidade é considerar a mesa apoiada 
nas nervuras:
? Dessa forma, podem ocorrer fissuras na ligação das 
mesas, sobre as nervuras.
P
ro
f. 
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om
el
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ia
s 
V
an
de
rle
i
4.6.2- Verificações Pertinentes a Mesa
? 4.6.2.2- Cisalhamento na Mesa
? É verificado utilizando-se os critérios de lajes 
maciças.
? Em geral, o cisalhamento somente terá
importância na presença de cargas 
concentradas de valor significativo.
? Recomenda-se, sempre que possível, que ações 
concentradas atuem diretamente nas nervuras, 
de forma a evitar a necessidade de armadura de 
cisalhamento na mesa.
29
P
ro
f. 
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el
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ia
s 
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an
de
rle
i
4.7- Verificação do Estado Limite de Serviço
? 4.7.1- Verificação da flecha em lajes
? É feito utilizando-se processos analíticos que 
divide o cálculo em duas parcelas:
? Flecha imediata
? Flecha diferida.
? A NBR 6118:2003 estabelece limites para flechas.
? Leva-se em consideração combinações de ações.
P
ro
f. 
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ia
s 
V
an
de
rle
i
4.7- Verificação do Estado Limite de Serviço
? 4.7.1- Verificação da flecha em lajes
? As combinações de serviço quase permanentes:
? são aquelas que podem atuar durante grande parte 
do período de vida da estrutura e sua consideração 
pode ser necessária na verificação do estado limite 
de deformações excessivas.
∑ ∑+= kqjjkgiserd FFF ,2,, ψ
onde:
Fd,ser é o valor de cálculo das ações para combinações de serviço;
Fgi,k são as ações devidas às cargas permanentes;
Fqj,k são as ações devidas às cargas variáveis;
ψ2j é o coeficiente dado na tabela.
30
P
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om
el
 D
ia
sV
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de
rle
i
4.7- Verificação do Estado Limite de Serviço
? Valores do coeficiente ψ2
P
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4.8- Exemplo
31
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rle
i
4.8- Exemplo
A laje nervurada L11, faz parte da estrutura do pavimento 
de um edifício residencial, sendo que as demais lajes 
são maciças. Escolheu-se enchimento de tijolos 
cerâmicos furados entre nervuras.
A rotina do projeto da laje nervurada segue a mesma já
estudada para lajes maciças e os critérios para o 
dimensionamento das barras das armaduras e 
verificação da segurança estrutural são os indicados na 
NBR 6118:2003.
P
ro
f. 
R
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V
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rle
i
? Direção x:
4.8.1- Vãos efetivos da laje
21,0, aall xxef ++=
cma
cmh
cmt
a
cma
cmh
cmt
a
laje
laje
9,6
9,6233,03,0
11
2
22
2
6
9,6233,03,0
6
2
12
2
2
2
2
1
1
1
=⇒
⎪⎩
⎪⎨
⎧
=⋅=⋅
==≤
=⇒
⎪⎩
⎪⎨
⎧
=⋅=⋅
==≤
sendo:
Assim:
cml xef 9,5109,66498, =++=
32
P
ro
f. 
R
om
el
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ia
s 
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an
de
rle
i
? Direção y:
4.8.1- Vãos efetivos da laje
21,0, aall yyef ++=
cma
cmh
cmt
a
cma
cmh
cmt
a
laje
laje
9,6
9,6233,03,0
11
2
22
2
9,6
9,6233,03,0
11
2
22
2
2
2
2
1
1
1
=⇒
⎪⎩
⎪⎨
⎧
=⋅=⋅
==≤
=⇒
⎪⎩
⎪⎨
⎧
=⋅=⋅
==≤
sendo:
Assim:
cml yef 8,7619,69,6748, =++=
P
ro
f. 
R
om
el
 D
ia
s 
V
an
de
rle
i
? Como ℓef,y > ℓef,x os módulo do momento fletor na 
direção do eixo x será maior que o módulo do 
momento na direção y (mx > my), portanto, é
conveniente que as nervuras paralelas a ℓef,x
fiquem mais próximas entre si do que as da 
direção y.
? Material de enchimento:
? Tijolos cerâmicos furados com dimensões de 9cm de 
largura, 19cm de comprimento e 19cm de altura.
4.8.2- Distância livre entre nervuras
33
P
ro
f. 
R
om
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de
rle
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? Medida das Nervuras:
? Na direção y ficam espaçadas de 19cm (1 tijolo)
? Na direção x ficam espaçadas de 36cm (4 tijolos).
? Largura das nervuras, nas duas direções foi adotada igual 
a 5cm.
? Altura da laje:
? Adotada igual a 23cm, pois o tijolo furado tem 19cm de 
altura e a medida mínima da espessura da mesa é de 4cm.
4.8.2- Distância livre entre nervuras
P
ro
f. 
R
om
el
 D
ia
s 
V
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de
rle
i
? Ações permanentes diretas “g” (pesos próprios 
dos materiais)
? Ações variáveis normais “q” (móveis, pessoas, 
objetos, etc.).
? Determinar as ações atuantes na mesa e 
nervuras separadamente.
? Mesa:
4.8.3- Ações uniformemente distribuídas
( ) 2
2
2
./,
2
,
5,3 
5,1 
1 
1 2504,0 3
mkNqg
mkNq
mkNAdotadog
mkNmhg
mesa
residência
revestpisopp
m
kN
materialconcconcpp
==+
==
==
=×=⋅= γ
34
P
ro
f. 
R
om
el
 D
ia
s 
V
an
de
rle
i
? Nervuras:
4.8.3- Ações uniformemente distribuídas
2
3
., 45,141,024,0
2519,019,02
05,0219,041,02
05,02
mkN
mkN
g nervpp =×
×⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ ⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ ×××+⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ ×××
=
P
ro
f. 
R
om
el
 D
ia
s 
V
an
de
rle
i
? Material de enchimento:
4.8.3- Ações uniformemente distribuídas
( ) 23 72,1
41,024,0
1319,036,019,0 mkNmkNgtijolos =×
×××=
? Total:
( ) ( )
( ) 2222
.,
67,672,145,15,3 mkNmkNmkNmkNqg
ggqgqg
Total
tijolosnervppmesaTotal
=++=+
+++=+
35
P
ro
f. 
R
om
el
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ia
s 
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an
de
rle
i
?Distâncias entre os eixos das nervuras:
? ax = 24cm - na direção do vão efetivo ℓy
? ay = 41cm - na direção do vão efetivo ℓx
?Como ax e ay < 65cm
? permite calcular os esforços solicitantes 
associando à laje nervurada uma laje 
maciça.
? podem ser usadas as tabelas de Pinheiro 
(2007), nas determinações das reações de 
apoio e dos momentos fletores.
4.8.4- Cálculo dos esforços solicitantes
P
ro
f. 
R
om
el
 D
ia
s 
V
an
de
rle
i
? Vinculação nos apoios:
? Considerar L11 apoiada nas vigas de borda.
? Tipo da laje:
4.8.4- Cálculo dos esforços solicitantes
Lajes do tipo 1
? Cálculo de λ:
49,1
9,510
8,761 ===
x
y
l
lλ
36
P
ro
f. 
R
om
el
 D
ia
s 
V
an
de
rle
i
? Cálculo das forças cortantes atuantes nas bordas
? Tabela 2.2a
4.8.4- Cálculo dos esforços solicitantes
? Coeficientes:
νx = 3,33
νy = 2,50
P
ro
f. 
R
om
el
 D
ia
s 
V
an
de
rle
i
? Cálculo das forças cortantes atuantes nas bordas
? Reações de apoio:
4.8.4- Cálculo dos esforços solicitantes
sendo:
νx atua nas bordas paralelas a ℓy e
νy atua nas bordas paralelas a ℓx.
mkNlp
mkNlp
x
yy
x
xx
5,8
10
109,567,650,2
10
v
4,11
10
109,567,633,3
10
v
=××=⋅⋅=
=××=⋅⋅=
ν
ν
37
P
ro
f. 
R
om
el
 D
ia
s 
V
an
de
rle
i
? Cálculo das forças cortantes por nervura
? multiplicar o módulo da força cortante v pela distância 
entre o centro das nervuras medida na direção do vão 
efetivo.
? Têm-se:
Nas nervuras paralelas a direção x a força cortante por 
nervura é:
4.8.4- Cálculo dos esforços solicitantes
kNx 74,224,04,11V =×=
Nas nervuras paralelas a direção y a força cortante por 
nervura é:
kNy 49,341,05,8V =×=
P
ro
f. 
R
om
el
 D
ia
s 
V
an
de
rle
i
? Cálculo dos momentos fletores
? Tabela 2.3a
4.8.4- Cálculo dos esforços solicitantes
? Coeficientes:
μx = 7,72
μy = 3,89
38
P
ro
f. 
R
om
el
 D
ia
s 
V
an
de
rle
i
? Cálculo dos momentos fletores
? Momentos fletores:
4.8.4- Cálculo dos esforços solicitantes
sendo:
mx atua na região central e tem direção paralela a ℓx
my atua na região central e tem direção paralela a ℓy
mmkNlp
mmkNlp
x
yy
x
xx
⋅=××=⋅⋅=
⋅=××=⋅⋅=
77,6
100
109,567,689,3
100
m
41,13
100
109,567,672,7
100
m
22
22
μ
μ
P
ro
f. 
R
om
el
 D
ia
s 
V
an
de
rle
i
? Cálculo dos momentos fletores por nervura
? multiplicar o módulo do momento fletor m pela distância 
entre o centro das nervuras medida na direção do vão 
efetivo.
? Têm-se:
Nas nervuras paralelas a direção x o momento fletor por 
nervura é:
4.8.4- Cálculo dos esforços solicitantes
mkNx ⋅=×= 22,324,041,13M
Nas nervuras paralelas a direção y o momento fletor
por nervura é :
mkNy ⋅=×= 78,241,067,6M
39
P
ro
f. 
R
om
el
 D
ia
s 
V
an
de
rle
i
? Critérios já estudados para vigas de seção T
4.8.5.1- Cálculo da área de barras longitudinais
(Asx) para as nervuras paralelas a ℓx
? Momento fletor na nervura central: Mx = 3,22 kN.m
? Seção transversal:
4.8.5- Dimensionamento das armaduras por nervura
Viga de seção T
d = 23 – 2 = 21cm
bf = 24cm
hf = 4cm
bw = 5cm
P
ro
f. 
R
om
el
 D
ia
s 
V
an
de
rle
i
4.8.5.1- Cálculo da área de barras longitudinais
(Asx) para as nervuras paralelas a ℓx
? Posição da linha neutra:
? Calcula-se kc considerando uma seção retangular com 
bw = bf
4.8.5- Dimensionamento das armaduras por nervura
5,23
4,1322
2124 22 =×
×=⋅=
d
f
c M
db
k
04,050/25 1.1 =⎯⎯⎯ →⎯− xTabelaCAC β
40
P
ro
f. 
R
om
el
 D
ia
s 
V
an
de
rle
i
4.8.5.1- Cálculo da área de barras longitudinais
(Asx) para as nervuras paralelas a ℓx
? Posição da linha neutra:
4.8.5- Dimensionamento das armaduras por nervura
? Como y = 0,67cm < hf = 4cm :
? Linha neutra está na mesa e não na alma.
? Situação de viga T falso
cmxyx
d
x
x
67,084,08,08,0
84,02104,0
=×=⋅=
=×=→=β
P
ro
f. 
R
om
el
 D
ia
s 
V
an
de
rle
i
4.8.5.1- Cálculo da área de barras longitudinais
(Asx) para as nervuras paralelas a ℓx
? Para C25 e aço CA-50, determina-se o valor de ks
4.8.5- Dimensionamento das armaduras por nervura
023,0=sk
41
P
ro
f. 
R
om
el
 D
ia
s 
V
an
de
rle
i
4.8.5.1- Cálculo da área de barras longitudinais
(Asx) para as nervuras paralelas a ℓx
? Área das barras da armadura:
4.8.5- Dimensionamento das armaduras por nervura
2
, 49,021
3224,1023,0 cm
d
MkA dsxs =××=⋅=
2
.,
2
,
50,0
p/nervura 8149,0
cmA
cmA
efetsx
xs
=
→= φ
P
ro
f. 
R
om
el
 D
ia
s 
V
an
de
rle
i
4.8.5.2- Cálculo da área de barras longitudinais
(Asy) para as nervuras paralelas a ℓy
? Momento fletor na nervura central: My = 2,78 kN.m
? Seção transversal:
4.8.5- Dimensionamento das armaduras por nervura
Viga de seção T
d = 23 – 2 = 21cm
bf = 41cm
hf = 4cm
bw = 5cm
42
P
ro
f. 
R
om
el
 D
ia
s 
V
an
de
rle
i
4.8.5.2- Cálculo da área de barras longitudinais
(Asy) para as nervuras paralelas a ℓy
? Posição da linha neutra:
? Calcula-se kc considerando uma seção retangular com 
bw = bf
4.8.5- Dimensionamento das armaduras por nervura
5,46
4,1278
2141 22 =×
×=⋅=
d
f
c M
db
k
02,050/25 1.1 =⎯⎯⎯ →⎯− xTabelaCAC β
P
ro
f. 
R
om
el
 D
ia
s 
V
an
de
rle
i
4.8.5.2- Cálculo da área de barras longitudinais
(Asy) para as nervuras paralelas a ℓy
? Posição da linha neutra:
4.8.5- Dimensionamento das armaduras por nervura
? Como y = 0,34cm < hf = 4cm :
? Linha neutra está na mesa e não na alma.
? Situação de viga T falso
cmxy
x
d
x
x
34,042,08,08,0
42,02102,0
=×=⋅=
=×=→=β
43
P
ro
f. 
R
om
el
 D
ia
s 
V
an
de
rle
i
4.8.5.2- Cálculo da área de barras longitudinais
(Asy) para as nervuras paralelas a ℓy
? Para C25 e aço CA-50, determina-se o valor de ks
4.8.5- Dimensionamento das armaduras por nervura
023,0=sk
P
ro
f. 
R
om
el
 D
ia
s 
V
an
de
rle
i
4.8.5.2- Cálculo da área de barras longitudinais
(Asy) para as nervuras paralelas a ℓy
? Área das barras da armadura:
4.8.5- Dimensionamento das armaduras por nervura
2
, 43,021
2784,1023,0 cm
d
MkA dsys =××=⋅=
2
.,
2
,
50,0
p/nervura 8143,0
cmA
cmA
efetsy
ys
=
→= φ
44
P
ro
f. 
R
om
el
 D
ia
s 
V
an
de
rle
i
4.8.5.3- Armadura mínima
4.8.5- Dimensionamento das armaduras por nervura
⎪⎩
⎪⎨⎧<=××=⋅⋅=⋅=
ys
xs
wmínscmínsmíns A
A
cmhbAA
,
,2
,,, 17,0235100
150,0ρρ
P
ro
f. 
R
om
el
 D
ia
s 
V
an
de
rle
i
? Distâncias entre os eixos das nervuras:
? ax = 24cm - na direção do vão efetivo ℓy
? ay = 41cm - na direção do vão efetivo ℓx
? Como ax e ay < 65cm
? permite que a verificação da segurança com relação a 
força cortante seja feita usando os critérios 
adotados para lajes maciças.
? Características das nervuras em x e y:
? bw = 5cm, h = 23cm e d = 21cm
? Será verificada a nervura sob ação da maior força 
cortante:
? Vy = 3,49kN
4.8.6- Verificação das nervuras quanto às 
forças cortantes
45
P
ro
f. 
R
om
el
 D
ia
s 
V
an
de
rle
i
4.8.6- Verificação das nervuras quanto 
às forças cortantes
kNVV ydSd 89,449,34,1 =×==
? Pode-se dispensar armadura transversal quando a 
força cortante de cálculo obedecer à expressão:
1RdSd VV ≤
( )
(OK) 02,000476,0
215
50,0
(OK) 139,121,06,1
/032,032,0250375,00375,0
402,1
1
1
2
11
3
2
3
2
<=×=⋅=
>=−=
==×=⋅=
⋅⋅⋅+⋅⋅=
db
A
k
cmkNMPaf
dbkV
w
s
ckRd
wRdRd
ρ
τ
ρτ
P
ro
f. 
R
om
el
 D
ia
s 
V
an
de
rle
i
4.8.6- Verificação das nervuras quanto às 
forças cortantes
( )
kNV
V
Rd
Rd
49,6
21500476,0402,139,1032,0
1
1
=
×××+××=
Substituindo:
Verificação
kNVkNV RdSd 49,689,4 1 =<=
? Não há necessidade de adotar estribos
verticais nas nervuras
? A resistência do concreto é suficiente para resistir as 
tensões de tração nas nervuras oriundas da força 
cortante.
46
P
ro
f. 
R
om
el
 D
ia
s 
V
an
de
rle
i
4.8.7- Verificação da resistência da mesa
⎩⎨
⎧=⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛→≥⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛
33/ 3.6
20/ 5
/9,0
.
2
. c
c
s
Amcm
s
A
dist
s
dist
s
φ
φ
? Como ax e ay < 65cm:
? Pode ser dispensada a verificação da flexão da 
mesa
? Armadura de distribuição:
? Combate os efeitos da retração;
? Consolida a estrutura da nervura com a mesa;
? Controla as fissuras e
? Distribui melhor as cargas pontuais
?As,dist = φ5 c/20cm nas direções x e y
P
ro
f. 
R
om
el
 D
ia
s 
V
an
de
rle
i
4.8.7- Verificação da resistência da mesa
? Armadura de borda (negativa):
? Nas bordas da laje, junto as vigas de apoio, 
costuma-se posicionar uma armadura (As,borda) 
com extensão lx/5, visando atenuar uma eventual 
fissuração proveniente do engastamento parcial 
das lajes nas vigas.
? As,borda = φ5 c/13cm sobre as vigas de borda
? lx/5 = 510,9/5 = 102,2cm ≅ 105cm
⎩⎨
⎧=⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛→≥=
20/ 3,6
13/ 5
/5,1 2,, c
c
s
AmcmAA
borda
s
mínsbordas φ
φ
47
P
ro
f. 
R
om
el
 D
ia
s 
V
an
de
rle
i
4.8.8- Detalhamento das barras das 
armaduras
? Detalhamento das barras das armaduras:
diâmetros, comprimentos parciais, totais dos ganchos das barras.
P
ro
f. 
R
om
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 D
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s 
V
an
de
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i
4.8.8- Detalhamento das barras das 
armaduras
? Detalhamento das barras das armaduras: