PROVA 1 - 20.06.13 (Graça Luzia)

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Observações: 
 Todas as respostas devem ser justificadas. – Não é permitido o uso de calculadoras e 
similares – Por favor, desligue o celular. 
 
(3,2) 1ª QUESTÃO 
Considere a região R do plano, limitada pelas curvas 
2
1 2: yxC 
 e 
xyC :2
. 
a) Faça um esboço da região R, indicando os pontos de interseção. 
b) Determine a área da região R. 
c) Determine a expressão através de integral que permite calcular o volume do sólido que tem por 
base a região R e cujas seções planas por planos perpendiculares ao eixo Oy são triângulos 
retângulos isósceles, com a hipotenusa apoiada sobre a base (região R), todos situados em um 
mesmo subespaço em relação ao plano da base. 
d) Determine a expressão através de integral, que permite calcular o volume do sólido de revolução, 
usando o método das cascas cilíndricas, obtido pela rotação de R em torno da reta
2y
 
(Observação: não é necessário resolver a integral dos itens c) e d) dessa questão) 
 
(3,0) 2ª QUESTÃO: Considere a região R1 plano limitada pelas curvas 
3: 23  xyC
e 
2
4 2: xyC 
(ver figura). 
a) Sabendo que a área de R1 é 4 u.a, determine as coordenadas do centro de massa da região R1. 
b) Determine, usando o Teorema de Pappus, o volume do sólido gerado pela rotação dessa região 
em torno da reta y = 2x -4. 
c) Determine a expressão através de integral que permite calcular o volume do sólido de revolução, 
usando o método das seções transversais, obtido pela rotação de R1 em torno da reta y = 2. 
(Observação: não é necessário resolver a integral deste item) 
 
Instituto de Matemática. - Departamento de Matemática. 
MATA03 – Cálculo B Prova da 1a Unidade (Peso 3) Data: 20/06/2013 
Semestre – 2013.1 Profa: Graça Luzia Dominguez Santos Turma: 01 
Nome do Aluno___________________________________________________ 
Assinatura_______________________________________________________ 
 
2 
 
 
 
 (1,0) 3ª QUESTÃO: Determine, usando integral, a área da superfície gerada pela rotação do 
segmento de reta 
yx 1
 
10  y
 torno do eixo Oy. 
(2,8) 4ª QUESTÃO: Seja C5 a curva de equações paramétricas 
]2,0[ t ,
)cos(y
)2(x






t
tsen
 (ver figura) 
 
 
 
 
 
(0,8) a) Determine a orientação da curva justificando. 
(1,0) b) Determine os valores dos parâmetros t para os quais a curva possui retas tangentes verticais. 
(1,0) c) Calcule área da região limitada pela curva. 
x
y
-1 1
-2
-3
x
y